傅氏变换习题解答

1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 (1)1()(3)x n n δ=- (2)211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- (3)3()(),01nx n a u n a =<<(4)4()(3)(4)x n u n u n =+--2、 设()j X e ω就是序列()x n 的离散时间傅里叶变换,利用离散时间傅里叶变换的定义与性质,求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

(1)()()(1)g n x n x n =-- (2)()*()g n x n = (3)()*()g n x n =- (4)()(2)g n x n = (5)()()g n nx n = (6)2()()g n x n =(7)(),()20,n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(1)1()(),||1nx n a u n a =< (2)2()(),||1nx n a u n a =->(3)||3,||()0,n a n M x n n ⎧≤=⎨⎩为其他(4)4()(3),||1nx n a u n a =+<(5)501()()(3)4n m x n n m δ∞==-∑ (6)6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4、 设()x n 就是一有限长序列,已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,n x n n --=⎧=⎨⎩为其他它的离散傅里叶变换为()j X e ω。

不具体计算()j X e ω,试直接确定下列表达式的值。

(1)0()j X e (2)()j X e π (3)()j X e d πωπω-⎰ (4)2|()|j X e d πωπω-⎰(5)2()||j dX e d d ωππωω-⎰ 5、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(1)11,||()0,n N x n n ≤⎧=⎨⎩为其他(2)21||/,||()0,n N n N x n n -≤⎧=⎨⎩为其他(3)3cos(),||()20,n n N x n Nn π⎧≤⎪=⎨⎪⎩为其他6、证明:若()j X e ω就是序列()x n 的离散时间傅里叶变换,而1(),()0,nnx x n kk⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他则1()()j j X e X e ωω=。

解法二: 调制) (
ω1 Sa (ω 1t ) 2 cos ω c t f 5 ( t ) = f ( t ) 2 cos ω c t = π
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若再有 6 (ω ) = (ω ωc )t1
f 6 (t ) = f 5 (t t1 )
则
若又有 7
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t1 )] cos[ ω c (t t1 )]
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8. 周期信号
An jnΩt 2π fT (t ) = ∑ e , Ω = T n=∞ 2
+∞
+∞ +∞
An FT ( jω) = ∑ 2πδ(ω nΩ) = π ∑ An δ(ω nΩ) 则 n=∞ 2 n=∞
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9. 周期性冲激序列
f (t ) = =
π 4ω = {δ(ω+ ωc ) + δ(ω ωc )}+ 2 2 2 j(ω ωc )
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4. 尺度变换(比例)性质:
1 ω f ( at ) F( j ) |a | a , a ≠ 0
< Bτ = 常数 >
例:
f ( at t 0 ) ?
j
ω
a
t0
=
dF ( j ω ) j ω dF ( j ω ) j e = e dω dω
j (ω +
π
2
)
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8. 卷积定理 (1) 时域卷积定理: f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( jω) F2 ( jω)

第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。

请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。

解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。

（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。

证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。

利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。

（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。

解：（1）正确。

因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。

（2）不正确。

因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。

Ch7 傅立叶变换习题1． 已知连续时间周期信号()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=35s i n432c o s 2t t t f ππ。

将其表示成复指数傅立叶级数形式，求n F ，并画出双边幅度谱和相位谱。

2． 设()()ωF t f ↔，试用()ωF 表示下列各信号的频谱（1）()()t f t f +2； （2）()[]t t f m 0cos 1ω+（3）()t f 36-；（4）()()t f t 2+；（5）()t f t 3；（6）()dt t df etj 0ω-（7）()()t f t --11； （8）()()3-*t f t f ；（9）()t f d ττ-∞⎰（10）()ττd f t ⎰+∞-5（11）()ττd f t ⎰-∞-2/1（12）()()tj e t f dt t df --+23；（13）()()t Sa t f 2* （14）()()t u t f（15）()dtt df t-1（16）()()()322--t j e t f t3． 先求下图（a)所示信号()t f 的频谱()ωF 的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由()ωF 求出()1f t 信号频谱的具体表达式。

4． 利用三种方法求下图所示信号的频谱。

5． 用傅里叶变换的对称性，求下列各信号的频谱（1）()()112sin --t t ππ（2）()2sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t ππ；（3）0,222>+a ta a ；（4） tj a +1；6． 已知()ωF 的图形如图所示，求其傅里叶反变换()t f7． 已知()()()ωωω2cos 4Sa F =，求反变换()t f ，并画出()t f 的波形8． 求下列各傅里叶变换的原函数（1）()()0ωωδω-=F（2）()()()00ωωωωω--+=u u F ； （3）()()21a j F +=ωω；9． 已知如图所示信号 x(t)的付氏变换为试根据付氏变换的性质（不做积分运算）求 ： (a ) X(0) (b)10． 求下列各函数)(1t f 与 )(2t f 的卷积 )(*)(21t f t f（1）)()(),()(321t u e t f t u t f t -== （2）)()(),()(21t u t f t tu t f == （3）()2)()(),()(21--==t u t u t f t tu t f（4）)2()(),1()(21+=-=t u t f t tu t f （5）)45cos()(),2()(21 +=-=t t f t t f ωδ（6）)2()1()()],1()()[1()(21---=--+=t u t u t f t u t u t t f （7）)1()1()(),cos()(21--+==t t t f t t f δδω （8）)(sin )(),()(221t tu t f t u e t f t ==-11． 对图中所示的各组函数，计算卷积积分)()(21t f t f *, 并粗略画出)(1t f 与)(2t f 卷积的波形。