24解斜三角形及其应用错解分析

专题18三角形【考查题型】【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形的表示：用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形的分类：1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。

三角形三边的关系：1）三角形的任意两边之和大于第三边。

2）三角形的任意两边之差小于第三边。

几何描述：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

3）判断三条线段能否组成三角形，只需判断上述两个条件满足其一即可。

【解题技巧】已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的稳定性:三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。

【注意事项】1）三角形具有稳定性;2）四边形及多边形不具有稳定性;3）要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考查题型一三角形的稳定性题型1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D ．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．题型1-1．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（）A ．平行四边形B ．三角形C ．长方形D ．正方形考查题型二三角形的三边关系题型2．（2022·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．3，3，6B ．3，5，10C ．4，6，9D ．4，5，9【答案】C【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】A.∵336+=，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B.∵3510+<，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C.∵469+>，649-<，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D.∵459+=，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．题型2-1．（2022·浙江衢州·中考真题）线段a b c ，，首尾顺次相接组成三角形，若13a b ==，，则c 的长度可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6题型2-2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a ．则底边长为6﹣2a ．题型2-3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（）A ．1B ．2C ．7D ．8在ABC 中，5115a -<<+，即46a <<，在CDE 中，1111b -<<+，即02b <<，所以48a b <+<，26a b <-<，在ACE △中，a b d a b -<<+，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．题型2-4．（2022·青海西宁·中考真题）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2B．5C．10D．11【答案】B【分析】根据三角形三边关系定理得出6-4＜a＜6+4，求出a的取值范围，即可求解．【详解】解：由三角形三边关系定理得：6-4<a<6+4，即2<a<10，即符合的整数a的值是5，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形三边关系定理得出4-3＜a＜4+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．题型2-5．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．知识点二与三角形有关的线段三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

三角形易错易混点解析作者：余旭红来源：《初中生世界·九年级》2018年第03期易错点1 忽视构成三角形的条件例1 已知一个三角形有两边相等，且其中某两边长分别是2cm和4cm，则这个三角形的周长为 .【错解】这个三角形的周长为8cm和10cm.【剖析】分两种情况讨论：（1）当相等两边长均为2cm时，由于2+2=4，不符合“三角形任何两边的和大于第三边”；（2）当相等两边长均为4cm时，由于2+4>4，此时能构成三角形，周长为10cm.【点评】求三角形的周长时，必须考虑三角形三边关系是否成立.易错点2 忽视三角形高线位置的分类讨论例2 已知AD是△ABC的边BC上的高线，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC= .【错解】∠BAC=90°.[图1][图2]【剖析】当高AD在△ABC的内部时（如图1），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；当高AD在△ABC的外部时（如图2），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.综上可知，∠BAC的度数为90°或50°.【点评】三角形的高线因三角形的形状不同而位置不同，对于与三角形高线有关的问题，需根据三角形的具体形状进行分类讨论.易错点3 忽视全等三角形的对应关系例3 已知△ABC与△A′B′C′全等，其中∠A=60°，∠B′=40°，∠A′=80°，BC=3，则A′B′的长为（）.A.3B.4C.5D.不确定【错解】D.【剖析】由于思维定式，误认为A′B′=AB，且它们是未知的，故选D.∵∠A′+∠B′+∠C′=180°，∠A′=80°，∠B′=40°，∴∠C′=60°，可得∠C′与∠A是对应角，即边A′B′与边BC是对应边，则A′B′=BC=3.【点评】在确定全等三角形的对应角、对应边时，易受思维定式的影响而找错对应边、对应角，应根据角度相等找到对应角，从而找到对应边.易错点4 忽视三角形全等判别方法的正确应用例4 如图3，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE.△ADC 与△AEB全等吗？说明理由.图3【错解】因为AB=AC，BE=CD，∠BAE=∠CAD，所以△ADC≌△AEB（SSA）.【剖析】错解在于把“SSA”作为三角形全等的判别方法.【正解】△ADC≌△AEB.∵AB=AC，D、E为AB、AC的中点，∴AD=AE.在△ADC和△AEB中，∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）.【点评】判断全等三角形的方法一般为“ASA”“SAS”“AAS”“SSS”“HL”.其中“HL”属于直角三角形.很多同学在证明三角形全等的时候常常应用并不成立的“SSA”定理.易错点5 忽视等腰三角形、直角三角形问题中的分类讨论例5 等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）.A.40°B.100°C.70°D.40°或70°【错解】A.【剖析】等腰三角形的一个外角可以是底角的邻补角，也可以是顶角的邻补角.【正解】D.【点评】解决等腰三角形角的问题时，注意根据顶角或底角的特征进行分类讨论；在解决等腰三角形边的问题时，注意根据腰或底边的特征进行分类讨论.例6 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边的长.【错解】第三边的长为5.【剖析】若3、4都为直角边长，则第三边长为[32+42]=5；若3为直角边，4为斜边长，则第三边长为[42-32]=[7].【点评】当所给出的直角三角形的已知边没有具体指明是直角边还是斜边时，要分情况讨论，防止漏解.易错点6 忽视勾股定理的逆定理的正确理解例7 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，其中a=[54]，b=1，c=[34].【错解】不是.【剖析】∵a2=[2516]，b2=1，c2=[916]，∴b2+c2=a2，即线段a、b、c组成的三角形是直角三角形.【点评】由边长关系判定直角三角形时，常常误认为以a、b、c为边的三角形，只有当a2+b2=c2时才是直角三角形，实际上只要存在两边的平方和等于第三边的平方，就可判定一个三角形是直角三角形.易错点7 忽视等腰三角形的性质与判定的灵活运用例8 如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF.（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由.图4【剖析】不能找到∠GDF=∠DFG，DE=EF，从而不能由等腰三角形的三线合一性质得到EG⊥DF.【正解】（1）∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∠DAE=∠FBE.∵E是AB的中点，∴AE=BE.∴△ADE≌△BFE.（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF.∵∠GDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，∴GD=GF.由（1）得DE=EF，∴EG⊥DF.【点评】要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：①等角对等边；②三角形全等；③利用垂直平分线的性质.在已知的等腰三角形中，应灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决线段之间的数量与位置关系.（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区钱清镇中学）。

（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论、探究等方式，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
2.通过实际案例分析，让学生学会将实际问题转化为数学问题，提高学生的数学建模能力。
3.引导学生运用数形结合的思想，将抽象的数学问题具体化，培养学生的直观想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学问题的积极态度，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心。
4.学生的学习兴趣和积极性：激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，关注学生在学习过程中的情感体验，使他们在愉悦的氛围中学习。
5.学生的个体差异：关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，制定合适的教学策略，让每个学生都能在课堂上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：
（1）理解并掌握解直角三角形的原理和方法，能够熟练运用三角函数求解未知边长和角度。
（2）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高数学建模素养。
2.难点：
（1）学生对三角函数的灵活运用，尤其在解决复杂问题时，能够选择合适的三角函数进行求解。
（2）学生在解决实际问题时，能够准确提炼关键信息，建立数学模型，并进行求解。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，通过展示生活中的实际案例，激发学生学习兴趣，引出本节课的学习内容。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
为了激发学生对解直角三角形的学习兴趣，我设计了一个与学生生活密切相关的情境：假设我们要测量学校旗杆的高度，如何利用一根尺子和一个量角器来完成这个任务？
2.教学过程：
（1）向学生展示旗杆的图片，并提出问题：“同学们，你们知道这根旗杆的高度吗？如何才能测量出来呢？”

三角形问题中的数学思想方法数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.一、分类讨论思想由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形各边的长.分析:要注意等腰三角形有两边相等， 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm ，哪一段为6cm ，故需分类讨论.解:设腰长为xcm ，底边为ycm ，即AB=x ，则AD=CD=21x ，BC=y ⑴ 若x+21x=6时，则y+21x=15. 由x+21x=6得x=4.把x=4代入y+21x=15得y=13. 因为4+4<13，所以不能构成三角形. ⑵ 若x+21x=15时，则y+21x=6. 由x+21x=15得x=10.把x=10代入y+21x=15得y=1. 10+1>10符合题意， 所以三角形三边分别为10cm 、10cm 、1cm.例2 已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.解:⑴当△ABC 为锐角三角形时(图2)∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD 中， ∠ABD=180°－90°－45°=45°.图1图2ABC D H E∵∠BHC 是△BHE 的外角， ∴∠BHC=90°+45°=135°. ⑵当△ABC 为钝角三角形时(图3)∵H 是△ABC 两条高所在直线的交点 ∠A=45°， ∴∠ABD=180°－90°－45°=45°.在Rt △BEH 中， ∠BHC=180°－90°－45°=45°. ∴∠BHC 的度数是135°或45°.注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解. 二、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.例3 如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数.分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.解:因为∠A +∠C+∠E=180°， 又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.三、方程思想求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.例4 如图5，在△ABC 中，∠B =∠C ，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC 的方程. 解:设∠EDC=x.因为∠1是△DEC 的外角，所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.又因为∠2是△ABD 的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD. 所以∠B+∠BAD =∠2+x ，即∠B+40°=∠C+2x. 因为∠B =∠C ，所以2x=40°，解得x=20°.A BDHCE图3图5AEGFB CD图4剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.四、转化思想用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.例5 如图6，求五角星各顶角之和.分析:因为∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 较分散，本例中又不 知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形 来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．解:因为∠1=∠C+∠E ，∠2=∠B+∠D ，又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨:此题还可以连接CD 求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.五、数形结合思想例6 如图7，在△ABC 中，已知AD 是角平分线， ∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB 和∠ADC 的度数.分析:在△ABD 中，∠ADB 是一个内角，它等于180°－∠B －∠BAD ，故求出∠BAD 即可求出∠ADB 的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC 的度数.解:在△ABC 中，∵∠B=60°， ∠C=45°， ∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°－60°－45°=75°. 又∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=21∠BAC=37.5°. 在△ABD 中，∠ADB=180°－∠B －∠BAD=180°－60°－37.5°=82.5°. 同理∠ADC=180°－∠C －∠DAC=180°－45°－37.5°=97.5°.点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.图6A D 图7数学思想方法在三角形中的应用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周长是24cm ，腰长是底边长的2倍，求腰长.分析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm ，可列方程为x +2x +2x =24，解之即可.解：(1)设底边长x cm ，则腰长为2x cm x +2x +2x =24 x =4.8∴腰长=2x =2×4.8=9.6 (cm)点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.二、分类讨论的思想方法：例2、已知斜三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.图1ACD解：∵△ABC 为斜三角形，∴△ABC 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形， （1） 当△ABC 为锐角三角形时（如图1）， ∵BD 、CE 是△ABC 的高，∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当△ABC为钝角三角形时（如图2），H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，在Rt△EBH中，∠BHC= 90°-∠ABD=90°-45°=45°.综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.三、转化的数学思想方法：例3、如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.分析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是△BDN的外角，∴∠1=∠B+∠D.在△AMN中，由三角形内角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠E.在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADC=180°，∴∠A+∠ACE+∠ADC+∠3+∠4+∠ADB=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨：在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.。