《必修1》函数专题
一、函数的概念及其解析式的一般构成
『知识与方法梳理』?
1.函数的概念：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，
使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一 确定的数f(x )和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.
相关词： （1）定义域： A ； （2）值域： {y | y =f(x ), x A } .
2.映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集
合A 中的_任何一个_元素，在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的_对应_(包括集合A ，B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f)叫做集合A 到集合B 的映射，记作：“ f ：A →B ”．
3. 几种常见初等函数的解析式
函 数 解析式 参数 定义域 常函数 y = b b ∈R R 绝对值 y=a|x| a ≠0 R
反比例 y = k
x
k ≠0 (- ∞, 0) ∪(0, +∞)
一次函数
y = a x + b a ≠0 R
二次函数
y = a x 2 + b x + c
a ≠0 R y =a(x - h)2 + k 顶点:（h,k) y = a(x -x 1)(x -x 2)
零点: x 1, x 2 指数函数 y = a x a ≠1,a>0 R 对数函数
y = log a x
a ≠1,a>0 (0,+∞) 幂函数 y = x α
α为正整数 R
α为负整数 (- ∞, 0) ∪(0, +∞)
α为正分数 [0, +∞) α为负分数
(0, +∞)
4.函数解析式的特殊构成：
（1）分段函数：定义域分成几段，每段解析式不同.
（2）复合函数：形如f[g(x )],内函数g(x )的函数值作为外函数f(x )的自变量
取值，计算外函数的值即为复合函数值.
（4）变换函数：经过平移或伸缩及对称等变换得到的函数.
（3）合成函数：由几个已知函数（初等或其复合与变换函数）通过加减乘
除等基本运算形成的函数.
（5）周期函数：存在非零常数T ，使得对函数定义域内的任意数x 都有
f(x +T)=f(x )成立.
5.解析式运算性质： （1）根式运算性质：
()n n a = a （n 为偶数时a ≥0,否则无意义）
； n
n a =?
??为偶数）
为奇数）
n a n a ( ||( .(n N*)
（2）分数指数幂与根式换算:（m,n
N*,n>1))
m n a (a ≥0) = n a m ; m
n a -(a >0) = 1n a m
. （3）指数式与对数式互化（a>0, a 1,b>0）：
a m
= b ? log a b=m
（4）指数式运算性质（a>0, b>0）
a r a s =a r+s (a r )s =a rs (ab)r = a r
b r a r a s =a r-s (a b )r = a r
b
r
（5）对数式运算性质（m,a,b>0,a,m ≠1,M>0, N>0） log a （M
N ）= log a M+log a N, log a M N =log a M - log a N, log m b
log m a
=log a b,
log a M n = n log a M , a log a M = M, log a 1= 0,
log a a= 1.
6.常识知识与方法：
（1）分数指数幂的底：负数不能像正数那样定义分数指数幂
（否则会造成运算矛盾），.零只能定义正的分数指数幂。无理指数幂也如此。 （2）求定义域的常用经验：
①分式分母不为0; ②偶次根式下大于等于0；③真数大于0； ④底数大于0，不等于1；⑤0的0次幂没意义；⑥分段函数的定义域为各段并集; ⑦合成函数的定义域取交集；⑧复合函数的定义域：由外函数的定义域限制内函数的取值值域，进而确定内函数自变量的取值范围,此即复合函数的定义域.
（3）两种常见半周期(t)函数f(x )(周期为 T=2t )的等式条件.：
① f(x + t) = k - f(x )， (k R)
② f(x + t) = ± k
f(x)
, (k ≠0)
（4）求函数解析式常用方法：
①求已知函数的解析式??
???
直接列等式法；直接求参数法；待定系数法.
②利用复合函数求未知函数的解析式??
???
配项法；换元法；函数方程法.
『题型分类例析』?
（一）函数概念的理解与应用
1. 函数对应关系解析式的判断
■题型结构特征：判断对应关系解析式的合理性，或两种表示是否等价. ★判断识真☆ 给出下列四个对应：
①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝
1x ＋1
； ②A ＝{a |12a ∈N *}，B ＝{b |b ＝1
n ，n ∈N *}，对应关系f ：a →
b ，b ＝1
a
；
③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ；
④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．
其中是从A 到B 的映射的是___________．
【例题1】 下列函数中，表示同一函数的是（ ） A .y =5
x 5 与y =x 2
B. y = lne x 与y=e lnx
C.y =(x-1)(x+3)x-1 与y=x+3
D. y = x 0与y= 1x
2. 函数对应关系图像的判断
■题型结构特征：判断图像表示的对应关系的合理性.
【例题2】 若函数f(x)的定义域为M={x| -2≤x ≤2},值域
为N={y|0≤y ≤2}，则函数y=f(x)图象只可能是（ ）
1. 下列对应：
①M ＝R ，N ＝N ＋，对应关系f ：“对集合M 中的元素，取
绝对值与N 中的元素对应”；
②M ＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，
x ∈M ，y ∈N ；
③M ＝{三角形}，N ＝{x |x >0}，对应关系f ：“对M 中的三
角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个
2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1
x ＋1
B ．y ＝x 0和y ＝1
C ．f (x )＝x 2和
g (x )＝(x ＋1)2 D ．f (x )＝
(x )2x 和g (x )＝x
(x )2
3. 已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数与f (x )相等的函数是( )
A ．g (x )＝|x 2－1|
|x ＋1|
B ．g (x )＝?????|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1
C ．g (x )＝???x －1，x ＞0，
1－x ，x ≤0
D ．g (x )＝x －1
4. a ，b 为实数，集合M ＝{b
a
，1}，N ＝{a ，0}，f ：x →2x 表示
把集合M 中的元素x 映射到集合N 中为2x ，则a ＋b ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．±2
（二）函数的定义域
1. 求函数定义域
■题型结构特征：已知函数解析式求其定义域.
【例题3】 函数f (x )＝1
2－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域为
__________.
※解法辩伪※
1.已知函数f(x 2 – 3) = lg
x 2
x 2 - 4
，求f(x)的定义域. 〖错解1〗只需lg x 2x 2 - 4 有意义，∴x 2
x 2 - 4
>0, ∴x 2 – 4 > 0, ∴x >
2或x < - 2.
〖错解2〗令x 2 – 3= t, 则x 2 = t + 3, ∴f(t) = lg t + 3
t - 1
, ∴f(x) =
lg x + 3x- 1 , ∴f(x)的定义域只需lg x + 3x- 1 意义，
∴
x + 3
x- 1
> 0, ∴x< - 3 或x > 1. 即f(x)的定义域为( - ∞, - 3)∪(1, +∞).
2.函数f(x + 2)的定义域为[ -1，2]，求函数f(x)的定义域. 〖错解〗因为函数f(x + 2)的定义域为[ -1，2]，所以 – 1 ≤ x + 2 ≤ 2, 则 – 3 ≤ x ≤ 0 ∴函数f(x)的定义域为[ - 3, 0].
2. 逆用函数定义域
■题型结构特征：已知函数定义域求解析式中相关参数.
【例题4】 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则实
数a 的取值范围为______________．
1. [2017山东理1]设函数y = 4 - x 2
的定义域为A ，函数y = ln(1 - x)的定义域为B, 则A ∩B = ( )
A.（1,2）
B.(1,2]
C.（-2,1）
D.[-2,1) 2. 若函数()1222
-=-+a
ax x
x f 定义域为R ，
则a 的取值范围是________．
3. 函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 （ ） A.(,1)-∞- B ．(1,)+∞
C ．(1,1)(1,)-+∞U
D ．(,)-∞+∞
4. [2014山东理3]函数1
)(log 1)(22-=
x x f 的定义域为( )
A.)2
10(，
B. (2,+∞)
C. ),2()2
1
0(+∞U ，
D. )2[]2
10(∞+，
，U
5. 已知函数y =
3
x - 1
kx 2 + 4kx + 3
的定义域为R ，则k 的取值范围
是 .
6. 已知集合A ＝{x |x ≥4}，g (x )＝
1
1－x ＋a
的定义域为B ，若
A ∩
B ＝?，则实数a 的取值范围是________．
7. （1）若f(x)的定义域为[-1,1]，则f(2x –1)的定义域是 . （2）若f(x + 1)的定义域为[-1, 1]，则f(2x )的定义域是 . （3）若f(x + 3)的定义域为[-5, -2]，则f(x + 1) + f(x – 1)的定义域.
8. 22()lg x
x f x +-=，则22()()x x
f f +的定义域为 .
（三）函数式的运算与求值
1. 根式及分数指数幂的运算
■题型结构特征：含有根式或分数指数幂式子的运算问题. 下列根式中分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A.1
2()x x -=- B.1
3
26y y =
2 -2 x
y O
A 2 -2 x
y O B 2 y 2
-2 x O
C 2 2 -2 x
y O
D
2
C .34
341()x x
-=
D.13
3x
x -=-(x ≠0)
2. 指数式的运算
■题型结构特征：含有指数式的运算问题.
【例题5】 设f(x )= 4x
4x + 2，若0 (1) 求f(a) + f(1 – a)的值； (2) 求f(12016) + f(22016) + f(3 2016) + + f(20152016 )的值. 3. 对数式的运算 ■题型结构特征：含有对数式的运算问题. ※解法辩伪※ 已知lg x +lg y = 2lg(x –2y ), 求lg 2x y 的值. 〖错解〗由已知得lg(xy ) = lg(x – 2y )2, ∴xy = (x – 2y )2, 即 x 2 – 5xy + 4y 2 = 0,解得 x = y 或 x = 4y ，故log 2 x y = 0 或 log 2 x y = 2. 【例题6】 已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-， 证明：（1）()()f x f x -=-； （2）2 2( )2()1 x f f x x =+. 4. 指数与对数式的混合运算 ■题型结构特征：同时含有指数式与对数式相关的运算问题. ★判断识真☆ 已知y x ,为正实数，则（ ） A.y x y x lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg ) lg(222 ?=+ C .y x y x lg lg lg lg 222+=? D.y x xy lg lg )lg(222?= 【例题7】 [2016浙江高考] 已知a >b >1.若log a b +log b a =52 ， a b =b a ，则a = ，b = . 5. 抽象函数值的计算问题 ■题型结构特征：没有解析式，但常常给出函数具有的某种性质(如恒等关系式)等已知条件，进而求函数值. 【例题8】 已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意 x >0，y >0都有f (x y )＝f (x )－f (y )．若f (3)＝1，则f (9)＝____． 1. （2015浙江理12）若2log 3a =，则22a a -+= ． 2. [2015陕西文10]设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =， ( )2a b q f +=，1 (()())2 r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q => 3.，且a b += A.10 4. 5.，则 6.有如下结 ③ 12()() f x f x x x ->-1212()22< .中正确结论的序号是 A ．② B ．②③ C ．②③④ D ．①②③④ （四）反函数 1. 求反函数解析式 ■题型结构特征：判断或求反函数. ★判断识真☆ 函数)(21R x y x ∈=+的反函数是 A. )0(log 12>+=x x y B. )1)(1(log 2>-=x x y C. )0(log 12>+-=x x y D. ) 1)(1(log 2->+=x x y 【例题9】 [2016上海文]已知点(3,9)在函数f(x) = 1 + a x 的 图像上，则f(x)的反函数f - 1 (x) = . 【例题10】 [2014全国大纲12]函数()y f x =的图象与函数 ()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ） A ．y=g(x) B ．y=g(-x ） C ．y= - g(x) D ．y= - g(- x) ※解法辩伪※ 函数f(x )=x 3+1的反函数f -1(x )=_________. 〖错答〗1 3 (1)x - 〖错解〗由 y ＝x 3+1，得 x ＝3 1-y 13(1) y =-, 将y 改成x ，x 改成y 可得答案. 2. 利用反函数计算 ■题型结构特征：利用反函数关系求值或解参数. 【例题11】 [2017上海8] 定义在（0，+∞）上的函数y = f(x) 的反函数为 y = f - 1(x)，若31,0() (),0 x x g x f x x ?-≤? =?>??为奇函数，则f - 1(x) = 2的解为 1. 函数3ln(1)(1)y x x =+>-的反函数是（ ） A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)x y e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()x y e x R =-∈ 2. 若函数y=f(x)是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点(,)a a ，则f(x)=（ ） A. 2log x B. 1 2 log x C. 12x D. 2x 3. （2015上海文4）设f -1(x)为f(x)= x 2x+1 的反函数，则 f -1(2)= . （五）分段函数 1. 分段函数求值 ■题型结构特征：无参分段求值. 【例题12】 [2015新课标2]函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+- 则2(2)(log 12)f f -+=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2. 分段函数求参 ■题型结构特征：分段式含参或分段点含参或等式含参.确定参 数值. 【例题13】 已知函数f (x )＝??? 1－x ，x ≤0， a x ，x >0， 若f (1)＝f (-1)， 则实数a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【例题14】 已知实数a ≠0，函数2,1 ()2,1x a x f x x a x + , 若 f (1-a )=f (1+a )，则a 的值为 . 3. 分段函数求解析式 ■题型结构特征：已知某段函数求未知段函数. 【例题15】 定义在R 上的函数f(x )满足f(x +1)=2f(x ).若当 0≤x ≤1时.f(x )= x (1-x )，则当-1≤x ≤0时，f(x ) =__________. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ※解法辩伪※ 已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x) = x 2 + 2x,求x<0时f(x)的解析式. 〖错解〗∵f(x)是奇函数，∴f(-x) = - f(x),∴当x<0时，f(x) = -(x 2 + 2x). 4. 解分段函数不等式 ■题型结构特征：无参分段求值. ※解法辩伪※ 函数2 x 0,()|-1| 0 x x f x x x ?-≥=? 综上不等式f(x)<2的解为-1 【例题16】 设函数()??? ??≥-<+=0 ,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实 数a 的取值范围是 . 【例题17】 [2017全国新课标3文16]设函数 10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，， 则满足f(x) + f(x - 1 2 ) > 1的x 的取值范围是__________. 5. 分段函数的零点 ■题型结构特征：考察分段函数的零点问题，或由零点的存在 性判断参数的取值. 【例题18】 已知函数()()2 2, 2,2,2,x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ， 其中b R ，若函数y=f(x) - g(x) 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.(74 ,+∞) B.(-∞,74) C.(0, 74) D.(7 4, 2) 6. 分段函数的单调性 ■题型结构特征：分段函数与单调性的综合. 【例题19】 已知函数f （x ）=???>≤--. 1,log 1,1)2(x x ， x x a a 若f （x ） 在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为________. 【例题20】 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，x ∈R ， F (x )＝???f （x ）（x >0），－f （x ）（x <0）. (1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？ 7. 分段函数的最值 ■题型结构特征：分段函数最值要分段考察. 【例题21】 [2015浙江理10]已知函数223,1 ()lg(1),1x x f x x x x ? +-≥?=??+ ， 则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 8. 绝对值分段函数 ■题型结构特征：由绝对值确定的分段函数. 【例题22】 已知f (x )＝x |x －a |＋b ，x ∈R. (1)当a ＝1，b ＝0时，判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当a ＝1，b ＝1时，若f (2x )＝5 4 ，求x 的值； (3)若b <0，且对任何x ∈[0，1]，不等式f (x )<0恒成立，求实数a 的取值范围． 1. [2015新课标1文10]已知函数12 22,1 ()log (1),1x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且 ()3f a =-，则(6)f a -=（ ） A.74- B.54 - C.34- D.14- 2. 设? ??+∞∈-∞∈=],,[,), ,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为 _______. 3. [2014江西文4] 已知函数2,0 ()()2,0 x x a x f x a R x -??≥=∈? 1 .4 A 1.2 B .1 C .2D 4. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x ) ＝????? ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2 x ＋1，0≤x ≤1， 其中a ，b ∈R.若f ( 12 )＝f ( 3 2 ) ， 则a ＋3b 的值为________． 5. f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x ) = x 2 - 1，则当x ∈R 时，f(x ) = . 6. 函数)2()21() 1(22)(2 ≥<<--≤?? ? ??+=x x x x x x x f ，则________)23(=-f ，若21)( 7. [2014 全国课标1文（15）]设函数()1 1 3 ,1,,1, x e x f x x x -? ?≥?则使得 ()2f x ≤成立的x 的取值范围是______. 8. [2015 山东理10]设函数 f(x )=31,1, 2,1 x x x x - ≥?,则满足 ()()()2f a f f a =的a 取值范围是（） A.[,1] B.[0,1] C.[ D.[1, + 9. [20XX 年山东]已知函数 2 ||, ()24,x x m f x x mx m x m ≤?=?-+>? ，， 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________. （六） 复合函数与合成函数 1. 复合函数的解析式与函数值计算 ■题型结构特征：形如f[g(x)]的函数，考察其解析式或求值. 【例题23】 已知f (x )＝x 2 －1，g (x )＝??? x －1， x >0， 2－x ， x <0， (1)求f [g (2)]与g [f (2)]． (2)求f [g (x )]与g [f (x )]的表达式． ★判断识真☆ 设f (x ),g (x ),h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f ○g )(x )和(f ●g )(x )；对任意x R , (f ○g )(x )=f (g (x )); (f ●g )(x )=f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ） A ．((f ○g )●h )(x )=((f ●h )○(g ●h ))(x ) B ．((f ●g )○h )(x )=((f ○h )●(g ○h ))(x ) C ．((f ○g )○h )(x )=((f ○h )○(g ○h ))(x ) D ．((f ●g )●h )(x )=((f ●h )●(g ●h ))(x ) 2. 已知复合函数及其内函数求外函数 ■题型结构特征：已知f[g(x)]及g(x)的解析式，求f(x). ※解法辩伪※ 已知：11 )11(2 -=+x x f ，求f(x). 〖错解〗设x t 11+ =，则 11-=t x ，代入已知得 f(t) = 1 (1t - 1 )2 - 1= (t - 1)2 - 1 = t 2 - 2t ∴ x x x f 2)(2-= 【例题24】 已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1 x 2， 则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x ＋1 x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2 C ．f (x )＝x 2 D ．f (x )＝(x －1 x )2 (x ≠0) 3. 已知外函数及复合函数求内函数的参数 ■题型结构特征：已知f(x)及f[g(x)]的解析式，求g(x ). 【例题25】 已知 a ，b 为常数，若 f(x )＝x 2＋4x ＋3，f(a x ＋b)＝x 2＋10x ＋24，则 5a －b ＝ . 4. 已知合成函数求函数解析式 ■题型结构特征：不同函数用加减乘除运算符号连结而成的函数 方程式，常常是可整形置换的复合函数. 【例题26】 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足 f (x )＋ g (x )＝e x ，则g (x )＝( ). A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12 (e x －e － x ) 【例题27】 已知函数f (x )(x ≠0)，且f (x )满足f (1x )＋1 x f (－x ) ＝2x ，则f (2)的值是( ) A ．2.5 B ．3 C ．3.5 D ．4.5 〖类型题〗（六) 1. [2014江西]已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 2. 已知2(3)4log 3233x f x =+，则f(2) + f(4) + f(8) + ··· + f(28)的值等于 ． 3. 奇函数f(x)和偶函数g(x)如果满足2f(x) - g(x)= x 3 + x 2 + x + 1 x ，求f(x)与g(x)的函数解析式 4. 已知函数f(x )满足f(x ) - 2f(4 - x ) = 3x , 则f(x )解析式为 . 5. 已知(0)1f =，()()(21)()f p q f p q p q p q -=--+∈R ，，则 ()f x ． 6. 已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立. （Ⅰ）函数()x x f 1 = 是否属于集合M ？说明理由； （Ⅱ）设函数()M x a x f ∈+=1 lg 2，求a 的取值范围； （Ⅲ）设函数x y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，证明： 函数()M x x f x ∈+=22. 7. 求下列函数的解析式： (1)已知二次函数f (x )满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，求f (x )； (3)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)＝1，且对任意实数a ，b 有f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． （七）周期变化与伸缩变化函数 1. 周期函数 ■题型结构特征：已知常数T 使f(x+T)=f(x)恒成立. 【例题28】 [2016四川]已知函数f(x)是定义在R 上的周期为 2的奇函数，当0 2 ) + f(1) = ______. 【例题29】 [2017山东文14]已知f (x )是定义在R 上的偶函数, 且f (x +4)=f (x -2).若当x [-3,0]时, f(x) = 6 - x ,则f(919)= . 【例题30】 已知函数f(x)是定义在实数集R 上的不恒为零 的偶函数，且对任意实数x 都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f(5 2 ) 的值是 ( ) A. 0 B. 12 C. 1 D. 5 2 ★判断识真☆ 1. x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数 ※解法辩伪※ 1. [2016上海]设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f(x) + g(x)、f(x) + h(x)、g(x) + h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若f(x) + g(x)、f(x) + h(x)、g(x) + h(x)均是以T 为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 〖错解〗答案选C.对①用反证，若f(x)、g(x)、h(x)都是减函数，则f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)也必都是减函数，与已知矛盾，故①正确.②为假命题，理由是：假设f(x) = F(x) - x, g(x) = G(x) + x ，其中F(x)、G(x)都是以T 为周期的函数，则f(x)、g(x)都不是以T 为周期的函数，但f(x) + g(x) = F(x) + G(x)是以T 为周期的函数. 2. 半周期变化函数 ■题型结构特征：含有f(x+t) =m - f(x)或f(x+t) = k f(x) 等关系. 【例题31】 已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶 函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________． 【例题32】 函数f(x)对于任意实数x 满足条件()()1 2f x f x += ，若()15,f =- 则 ()()5f f =_______. 3. 局部周期变化函数 ■题型结构特征：在函数的某段上具有f(x+T)=f(x)恒成立. 【例题33】 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ???log 3（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x >0，则f (2 015)＝_______． 4. 周期伸缩函数 ■题型结构特征：函数具有f(x+T)=mf(x)恒成立. 【例题34】 定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且 当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( ) A ．－116 B ．－18 C ．－1 4 D ．0 5. 纵横伸缩变化函数 ■题型结构特征：函数具有f (ωx)=mf(x)恒成立. 【例题35】 若函数y ＝f (x )(x ∈R ＋)同时满足：①对一切正数 x 都有f (3x )＝3f (x )，②f (x )＝1－|x －2|(1≤x ≤3)，则f (100)＝____；方程f (x )＝f (100)的解的最小值为____． 1. [2014四川文13]设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当 [1,1)x ∈-时， 242,10,(), 01,x x f x x x ?-+-≤<=?≤ ()2 f =________. 2. (2016江苏)设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区 间[ ?1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤ =?-≤ 其中a R 若f( - 52 ) = f( 9 2 ) ，则f （5a ）的值是 . 3. （2016山东）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时， 3 ()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当 12x > 时，11 ()()22 f x f x +=- .则f (6)= A.?2 B.?1 C.0 D.2 4. 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时， f (x )＝x 3 －x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 5. 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f(x+2)=f(x)，且当x [0,2)时，f(x)=log 2(x+1)，则f(-2008)+f(2009)的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 6. 已知最小正周期为2的函数y ＝f (x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象与y ＝|log 5x |的图象交点个数为( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 7. 已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数且满足f (x ＋5)≥f (x )，f (x ＋1)≤f (x )，则f (2 015)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 8. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11) 9. 若函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝2，且f (3)＝2，则f (2 015) ＝ ． 10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 015)的值． 11. 定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0，2) 时，f (x )＝???x 2－x ，x ∈[0，1）， －()1 2||x －3 2，x ∈[)1，2， 若x ∈[－4，－2)时，f (x )≥t 4－1 2t 恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A.[)－2，0∪(0，1) B.[)－2，0∪[)1，＋∞ C.[]－2，1 D.(]－∞，－2∪(]0，1 12. 定义在[]1，8上的函数f (x )同时满足：①f (2x )＝cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－(x －3)2.若函数f (x )的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．2或4 D ．1或2 （八）自定义函数及函数构造（或映射） 1. 自定义函数对应法则 ■题型结构特征：已知给出函数的对应法则. ★判断识真☆ [2015湖北文7]设x ∈R ，定义符号函数1, 0,sgn 0,0,1,0.x x x x >?? ==??- 则( ) A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x = D ．||sgn x x x = 【例题36】 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数 x , y , 有( ) A. [－x ] ＝－[x ] B. [2x ] ＝ 2[x ] B. [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D. [x －y ]≤[x ]－[y ] 2. 自定义函数解析式运算 ■题型结构特征：定义某种运算符号. 【例题37】 规定记号“*”表示一种运算，且a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k ＝3. (1)正实数k 的值为____； (2)在(1)的条件下，函数f (x )＝k *x 的值域是__________． 3. 自定义函数性质 ■题型结构特征：定义函数具有的某些性质. 【例题38】 对于定义在D 上的函数f(x )，若存在距离为d 的两条直线y = k x + m 1和y = k x + m 2，使得对任意x D 都有k x + m 1≤f(x )≤k x + m 2恒成立，则称函数f(x )(x D)有一个宽度为d 的通道，给出下列函数： ①f(x )= 1 x ; ②f(x ) = x 2 - 1; ③f(x ) = x 2 - 1 期中在区间[1,+∞)上通道宽度可以为1的函数有 （写出所有正确的序号） 【例题39】 函数f(x )的定义域为A ，若x 1,x 2 ∈A 且f(x 1) = f(x 2) 时总有x 1=x 2，则称f(x )为单函数．例如，函数f(x )=2x +1(x R)是单函数．下列命题： ①函数f(x )=x 2（x ∈R ）是单函数； ②若f(x )为单函数，x 1,x 2A 且x 1x 2，则f(x 1) f(x 2)； ③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b B ，它至多有一个原象； ④函数f(x )在某区间上具有单调性，则f(x )一定是单函数． 其中的真命题是____ _____．（写出所有真命题的编号） 1. 定义“正对数”：0,01, ln ln ,1 x x x x +< ①若a ＞0，b ＞0，则ln +（a b ）=bln +a ②若a ＞0，b ＞0，则ln +（ab ）=ln +a+ln +b ③若a ＞0，b ＞0，则ln +（a b ）≥ln +a-ln +b ④若a ＞0，b ＞0，则ln +（a+b ）≤ln +a+ln +b+ln2 其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号) 2. 设[x]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 A. [－x ] = －[x ] B.[x +12 ] = [x ] C. [2x ] = 2[x ] D.1[][][2]2 x x x ++= 3. [2015湖北理6]已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >?? ==??- ()f x 是R 上的 增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则 A ．sgn[()]sgn g x x = B ．sgn[()]sgn g x x =- C ．sgn[()]sgn[()]g x f x = D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 4. 定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在 )(00b x a x <<， 满足a b a f b f x f --=) ()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，如 4x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数1)(2++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，则实 数m 的取值范围是 . 5. 给出定义：若m －12 2 (其中m 为整数)，则m 叫做离 实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是[0，1 2 ]； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k 2 (k ∈Z)对称； ③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1； ④函数y ＝f (x )在[－12，1 2 ]上是增函数． 其中的真命题是_________．(填写序号) 6. 集合A 是由适合以下性质的函数f(x )构成的：对于任意的 x >0，y >0，且x ≠y ，都有f(x ) + 2f(y ) > 3f( x + 2y 3 ). (1)试判断f 1(x ) = log 2x 及f 2(x ) = (x + 1)2是否在集合A 中？说明理由； (2)设f(x )∈A ，且定义域是(0,+∞)，值域是(1,2)，f(1)> 3 2 , 写出一个满足以上条件的f(x )的解析式；并证明你写出的函数f(x )∈A. 『类型题补充』? 『方法点拨及参考答案或提示』?函数专题（一） （一）函数概念的理解与应用 1. 函数对应关系解析式的判断 方法要领指点：注意函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 两个函数是否相同，也就取决于这三方面是否相同。判断一种关系是否是（由A 到B 的）函数(或映射)，也要注意这三方面。即考察A （定义域）集合中的每一个元素在B （未必是值域，但一定包含值域）集合是否有且唯一元素与之对应，另外由A 到B 可多对一，但不能一对多. ★判断识真☆ 【解析】(1)∵g (x )＝???|x 2－1| |x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1， 2，x ＝－1， 与f (x )的定义域 和对应关系完全一致，故选B. (2)对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到 B 的映射； 对于②，A ，B 两个集合分别用列举法表述为 A ＝{2，4，6，…}， B ＝{1，12，13，1 4 ，…}，由对应关系f ： a → b ，b ＝1 a 知，②是从A 到B 的映射； ③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B 中两个元素±1；④是从A 到B 的映射． 【例题1】 B [解析] A 中两函数值域不同，C 、D 是定义域不同 2. 函数对应关系图像的判断 方法要领指点：注意考察图像，也要从三要素方面审查。即从 图像上读出定义域，值域及对应关系是否合理. 【例题2】 注意定义域和值域的限制，A 中定义域为 [-2,0]≠M,D 中值域不等于N=[0,2]，C 中对应关系属于有一对多情况。只有B 正确. 〖类型题〗（一) 1. A. 2.D. 3.B ． 4.解析: ?????1×2＝a ，b a ×2＝0????a ＝2， b ＝0?a ＋b ＝2. （二）求函数的定义域 1. 求函数定义域 方法要领指点： 参见『知识与方法梳理』6求定义域常用经验. 【例题3】 解析: 要使函数有意义须满足???2－|x |≠0， x 2 －1≥0，x －4≠0， 解 得x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2. ∴函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2}，用区间表示为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，4)∪(4，＋∞)． ※解法辩伪※ 1.〖正解〗lg x 2x 2 - 4 有意义时，∴x 2 x 2 - 4 >0, ∴x 2 – 4 > 0, 即x 2 > 4 ∴x 2 - 3> 1，即f(x)定义域为(1, +∞) 2.〖正解〗因为函数f(x + 2)的定义域为[ -1，2]，所以 – 1 ≤ x ≤ 2, 则 1 ≤ x + 2 ≤ 4 ∴函数f(x)的定义域为[1, 4]. 2. 逆用函数定义域 方法要领指点： 虽然定义域已知，但仍然还是从如何求定义域 思考入手. 【例题4】 解析: 函数f (x )的定义域为R ，所以 2x 2＋2ax － a ≥0对任意x ∈R 恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋8a ≤0，解得 －2≤a ≤0． 〖类型题〗（二) 1. D ．解析:A= [-2, 2], B=(-∞, 1)，故A ∩B = [-2, 1). 2. [－1,0] 3.C 4.C 5.0≤k<3 6. a ≤ 3 7.（1）[0, 1] （2）(-∞, 1] （3）[-1,0] 8. (-4,-1)∪(1,4) （三）函数式的运算与求值 1. 根式及分数指数幂的运算 方法要领指点： 准确掌握根式与分数指数幂互化关系及相关的 运算法则，注意根式、分数指数幂有意义时对相关变量要求. ★判断识真☆ C 2.D 2. 指数式的运算 方法要领指点： 充分运用指数幂的运算法则，对于算式的复合 结构注意将指数式做整体蛮元处理. 【例题5】 [解析] (1) f(a) + f(1 – a) = 4a 4a + 2 + 41 - a 41 - a + 2 = 4a 4a + 2 + 44 + 2?4 a = 4a 4a + 2 + 2 2 + 4a = 1 (2)令S= f(11001) + f(21001) + f(31001) + + f(1000 1001) 则S= f(10001001) + f(9991001) + f(9981001) + + f(1 1001 ) 2S=[ f(11001) + f(10001001)] + [f(21001) + f(999 1001 ) ] + + [f(10001001) + f(11001 )] =1 + 1+ ··· + 1 = 1000，所以S = 500 3. 对数式的运算 方法要领指点： 充分运用对数的运算法则，但要特别注意对数 式中底及真数的取值要求. ※解法辩伪※ 〖正解〗由已知得lg(xy ) = lg(x – 2y )2, ∴xy = (x – 2y )2, 即 x 2 – 5xy + 4y 2 = 0,解得 x = y 或 x = 4y ， 又x –2y > 0, x > 0, y > 0, 所以只有 x = 4y 成立，故 log 2 x y = 2. 【例题6】 [解析]（1） f (- x )＝ln(1 - x ) - ln(1＋x )＝ln 1 - x 1 + x ＝- ln 1 + x 1 - x ＝- [ln(1+x ) - ln(1-x )]＝ - f (x ). （2）当x ∈(-1，1)时，2x 1 + x 2 ∈(-1，1)，且f (2x 1 + x 2 )＝ln(1+2x 1 + x 2 ) – ln(1 - 2x 1 + x 2 )＝ln 1 + x 2 + 2x 1 + x 2 - 2x ＝ln(1 + x 1 - x )2 ＝2 ln 1 + x 1 - x ＝2[ln(1＋x ) - ln(1 - x )]＝2f (x ). 4. 指数与对数式的混合运算 方法要领指点： 注意运用指数式与对数式的运算法则及相互间 的转化处理. ★判断识真☆ D 【例题7】 a=4,b=2C 解析: 设log a a = t ，则log a b = 1t , 由t + 1t = 52 且t>1解得t = 2，于是log b a = 2, a = b 2 . 由a b = b a 得b 2b = b a .又b>1， a = 2b 则b 2 = 2b,解得 b = 2,a=4. 5. 抽象函数值的计算问题 方法要领指点： 给出的函数恒等性质的充分利用是关键，根据 需要将恒等式中的变量进行有效赋值. 【例题8】 [解析]f (3)＝f ( 9 3 )＝f (9) - f (3)，得f (9)＝2f (3)＝ 2. 1. 103 ． 2. C 解析：1()ln ln 2p f ab ab ab ===； ()ln 22a b a b q f ++== 11 (()())ln 22r f a f b ab =+= 因为2 a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数， ( )()2 a b f f ab +>所以q p r >=，故答案选C 3. A 解析：a=lo g 2m, b=log 5m ，1a + 1b = 1log 2m + 1 log 5m =log m 2+log m 5 =log m 10, ∴m = 10 4. C 解析:f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D （四）反函数 1. 求反函数解析式 方法要领指点： 掌握反函数的概念，求反函数步骤是：①反解 x ；②对换x,y.不是所有函数都有反函数.反函数与原函数是关于y = x 直线对称的，解题时可充分利用. ★判断识真☆ C.[解析] 由y = 2x + 1得 x + 1 = log 2y ，即 x = log 2y – 1, 将x , y 对换即得反函数 y = log 2x – 1 .答案选C 【例题9】 log 2(x - 1) [解析] 由f(3) = 9解得a = 2，即f(x) = 1 + 2x , 反解x = log 2(y - 1). 故反函数为 f -1(x) = log 2(x - 1) 【例题10】 D.[解析]设()y f x =的反函数上任一点M(x,y)， 则有x = f(y)，即(y,x)在函数()y f x =的图象上. 又函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则有( - x, - y)在函数y = g(x)图象上，所以- y = g( - x)即 y = - g( -s x)，答案选D ※解法辩伪※ 〖正解〗由y ＝x 3+1，得x ＝31-y , 将y 改成x ，x 改成y 可得y ＝3 x - 1 ,此即f(x)的反函数(3 x - 1 不等价于1 3(1)x - ，定义域不同）. 2. 利用反函数计算 方法要领指点： 常利用y = f - 1(x)等价于f(y) = x. 【例题11】 [解析]，由f - 1(x) = 2,得f(2) = x, ∴x = f(2) = g(2) = - g( - 2) = - ( 3 - 2 - 1) = 8 9 （五）分段函数 1. 分段函数求值 方法要领指点： 分段函数求值注意取段. 【例题12】 C [解析]由已知得2(2)1log 43f -=+=，又 2log 121>，所以2 2 log 121log 62(log 12)226f -===，故 2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 2. 分段函数求参 方法要领指点： 分段函数求参数常须讨论参数进而选择段位表 示解析式. 【例题13】 B ．[解析] f(1) = a, f( - 1) = 2所以a = 2． 【例题14】 a = - 3 4 . [解析] a>0时，f(1 – a) = 2(1 – a) + a, f(1 + a) = - (1 + a) – 2a, 由f (1-a )=f (1+a )得a = - 3 4 . 3. 分段函数求解析式 方法要领指点： 充分利用函数的对称性及周期变化规律，将已 知函数式递推到未知段段函数解析式. 【例题15】 [解析]当-1 ≤ x ≤ 0时，0 ≤ x + 1 ≤ 1, 则f(x) = 12 f(x + 1) = 12 (x + 1)[1 – (x + 1)] = - 1 2 x(x + 1). ※解法辩伪※ 〖正解〗∵f(x)是奇函数，∴f(-x) = - f(x),∴当x<0时，- x > 0. ∴f(x) = - f( - x) = - (x 2 - 2x) = - x 2 + 2x. 4. 解分段函数不等式 方法要领指点： 分段函数分段解，注意自变量的范围. ※解法辩伪※ 〖正解〗x≥ 0时，由x 2 - x<2解得 - 1 【例题16】 [解析] 2()0,[()]()2f a f a f a ()0, [()]2f a f a ≥??-≤? 解 得f(a) ≥ - 2，由2 0,2 a a a ? +≥-?及2 0,2 a a ≥??-≥-?解得a ≤ 2 【例题17】 ( - 1 4 ,+∞) [解析] 由题意得：当x > 1 2 时 2x +2 > 122+ 20 > 1恒成立，即 x > 12 ; 当0 < x ≤ 1 2 时，2x + x - 12 + 1 > 20 + 0 + 12 > 1, 则0 < x ≤ 1 2 ；当x ≤0时， x + 1 + x - 12 + 1 > 1解得x > - 14 , 即- 1 4 < x ≤0, 综上x 的取值范围是(- 1 4 , +∞). 5. 分段函数的零点 方法要领指点： 分段函数的零点问题分段考察，常结合图象进 行. 【例题18】 D [解析]由()()2 2,2, 2,2, x x f x x x -≤??=?->??得 2 22,0(2), 0x x f x x x --≥??-=? 22 2,0 ()(2)42,02 22(2),2 x x x y f x f x x x x x x x ?-+ =+-=---≤≤??--+->? 即 222,0()(2)2,02 58, x x x y f x f x x x x x ?++ =+-=≤≤??-+? ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--, 所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的 解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724 b <<. 6. 分段函数的单调性 方法要领指点： 除考虑各段内的单调性，还要注意各段衔接点 位置. 【例题19】 [解析] 每段单调递增，则有a – 2 > 0, 且a > 0 即a > 2. 分段点处必有 (a – 2) – 1 ≤ log a 1，则 a ≤ 3. 综上a 取值范围是(2,3] 【例题20】 [解析] (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， 又x ∈R ，f (x )≥0恒成立，∴? ??a >0， Δ＝b 2－4a ≤0， ∴b 2－4(b －1)≤0?b ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2. ∴F (x )＝???（x ＋1）2（x >0）， －（x ＋1）2 （x <0）. (2)∵g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1 ＝(x ＋2－k 2)2＋1－（2－k ）2 4， 当 k －22≤－2或k －2 2 ≥2，即k ≤－2或k ≥6时，g (x )在[－2，2]上是单调函数． (3)∵f (x )是偶函数， ∴f (x )＝ax 2＋1，∴F (x )＝??? ax 2＋1（x >0）－ax 2 －1（x <0）. ∵m ·n <0，不妨设m >n ，则n <0. 又m ＋n >0，m >－n >0，∴|m |>|－n |， ∴F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0， ∴F (m )＋F (n )大于零． 7. 分段函数的最值 ■题型结构特征：分段函数最值要分段考察,分段求其最值，最 值中再取最值. 【例题21】 0, 2 2 -3[解析] x≥1时，f(x) = x + 2 x - 3 = (x - 2x )2 + 2 2 - 3，当x = 2 时f(x)取得最小值2 2 - 3； 当x< 1时，f(x) = lg(x 2 + 1),最小值为f(0) = 0 > 2 2 - 3 综上 f(x)最小值取2 2 - 3. 8. 绝对值分段函数 方法要领指点： 依据绝对值概念分段(去除绝对值符号). 【例题22】 [解析] (1)当a ＝1，b ＝0时，f (x )＝x |x －1|既不 是奇函数也不是偶函数. ∵f (－1)＝－2，f (1)＝0，∴f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1) 所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝x |x －1|＋1， 由f (2x )＝54，得2x |2x －1|＋1＝5 4 即? ??2x ≥1 （2x ）2－2x －1 4＝0或??? 2x <1（2x ）2－2x ＋14＝0 解得 2x ＝ 1＋22或2x ＝1－22(舍)，或2x ＝12 ， 所以x ＝log 2 1＋2 2 ＝log 2(1＋2)－1或x ＝－1. (3)当x ＝0时，a 取任意实数，不等式f (x )<0恒成立， 故只需要考虑x ∈(0，1]，此时原不等式变为|x －a |<－b x ； 即x ＋b x x )，x ∈(0，1] 又函数g (x )＝x ＋b x 在(0，1]上单调递增， 所以(x ＋b x )max ＝g (1)＝1＋b ； 对于函数h (x )＝ x －b x ，x ∈(0，1] ①当b <－1时，在(0，1]上，h (x )单调递减，(x －b x )min ＝h (1) ＝1－b ，又1－b >1＋b ， 所以此时a 的取值范围是(1＋b ，1－b )； ②当－1≤b <0时，在(0，1]上，h (x )＝x －b x ≥2－b ， 当x ＝－b ，(x －b x )min ＝2－b ，此时要使a 存在， 必须有???1＋b <2－b ， －1≤b <0 即－1≤b <2 2－3， 此时a 的取值范围是(1＋b ，2－b ) （六）复合函数与合成函数 1. 复合函数的解析式与函数值计算 方法要领指点： 复合函数运算通常是由里往外方向，即先内部 运算再外层运算. 【例题23】 [解析] (1)g (2)＝1，f [g (2)]＝f (1)＝0 f (2)＝3， g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x >0时，f [g (x )]＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f [g (x )]＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3. 即f [g (x )]＝??? x 2－2x ，x >0， x 2－4x ＋3，x <0. g [f (x )]＝??? x 2－2，x <－1，或x >1， 3－x 2，－1 ★判断识真☆ B [解析] 根据题目已知的新定义，空心为复合，实心则拿出来相乘，在B 中左边＝((f ●g )○h )(x )＝(f ●g )(h (x ))＝f (h (x ))g (h (x ))， 右边＝((f ○h ) ●(g ○h ))(x )＝(f ○h )(x )(g ○h )(x )＝f (h (x ))g (h (x ))， 由于左边＝右边，所以B 正确．其他选项按照此规律计算都不满足题意 2. 已知复合函数及其内函数求外函数 方法要领指点： 常用方法有换元和配项两种. ※解法辩伪※ 〖正解〗(换元法)设x t 11+=，则 11-=t x ，且t≠1. 代入已知 得 f(t) = 1 (1t - 1 )2 - 1= (t - 1)2 - 1 = t 2 - 2t ∴ x x x f 2)(2-=(x≠1) 【例题24】 B ．[解析](配项法)f (x －1x )＝x 2＋1x 2 = (x －1 x )2 + 2 由此知 f (x )＝x 2＋2. 3. 已知外函数及复合函数求内函数的参数 方法要领指点： 如果已知内函数式求参数，可用赋值法. 【例题25】 [解析] 法1（求解析式法）f(ax ＋b)＝x 2＋10x ＋24 得(ax ＋b)2＋4 (ax ＋b)＋3＝x 2＋10x ＋24， 化为(ax ＋b+2)2＝x 2＋10x ＋25=(x + 5)2. ∴ax+b = x + 3或 – x – 7 .即a = 1, b = 3或a = - 1, b = - 7则5a – b = 2. 法2（赋值法）f(- 5a ＋b)＝(-5)2＋10(-5)＋24 = - 1, 由(- 5a ＋b)2＋4 (- 5a ＋b)＋3 = -1解得- 5a ＋b = - 2 则5a – b = 2. 4. 已知合成函数求函数解析式 方法要领指点： 构造函数方程组，解函数方程组.常利用函数 的奇偶性及复合式的互为关系(如互为倒数，互为相反数,互相对称等). 【例题26】 D [解析] ∵f (x )＋g (x )＝e x ①. ∴f (－x )＋g (－x )＝e －x 即f (x )－g (x )＝e －x ② 由①②得：g (x )＝1 2 (e x －e －x )，选D. 【例题27】 [解析] 将f (1x )＋1x f (－x )＝2x 中的x 换成－1 x ， 得f (－x )－xf (1x )＝－2 x . 解方程组?????f (1x )＋1x f （－x ）＝2x ，f （－x ）－xf (1x )＝－2 x ，解得f (－x )＝x 2－1 x . ∴f (x )＝x 2＋1x ，从而f (2)＝22＋1 2 ＝4.5，故选D. 1. A [解析] g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得 5|a －1|＝1，所以|a － 1|＝0，故a ＝1. 2. 2008 3.f(x) = 12(x + 1 x ), g(x) = - x 2 – 1 4.x - 8 5.2()1x x f x =++ 6.[解析]（1）若()1 f x x =M ∈，则存在1x 0 + 1 = 1x 0 + 1即x 02 + x 0 + 1 = 0, 此式无解.故()1f x x =M ?. (2) ()22 lg lg lg(1)1a f x a x x ==-++ 由()()()0011f x f x f +=+得 lg(x02 + 1) – lg[(x0 + 1)2 + 1] + lg2 = lga, 解得 a[(x0 + 1)2 + 1] = 2(x02 + 1)，即(a – 2)x02 + 2ax0 + 2a – 2 = 0. 上式x 0有解时 4a 2 – 8(a – 1)(a – 2)≥0. 解得 35,35a ??∈-+?? （3）设两函数交点横坐标为t,则 2t = - t, 即 2t + t = 0, ]f(x + 1) – f(x) – f(1) = 2x + 1 + (x + 1)2 – (2x + x 2) – 3 = 2x + 2x – 令x 0 = t + 1，则f(x 0 + 1) – f(x 0) – f(1) = 2t + 1 + 2(t + 1) – 2 = 2(2t + t) = 0，所以f(x)∈M. 7.[解析] (1)法一：利用待定系数法: 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 则f(3x ＋1)＝a(3x ＋1)2＋b(3x ＋1)＋c ＝9ax2＋(6a ＋3b)x ＋a ＋b ＋c ，又f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5， ∴9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5，比较两端的系 数得， ???9a ＝96a ＋3b ＝－6a ＋b ＋c ＝5????a ＝1 b ＝－4 c ＝8 ，∴f (x )＝x 2 －4x ＋8. 法二：利用换元法：令t ＝3x ＋1，则x ＝t －1 3 ， 代入f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5中得 f (t )＝9( t －13)2－6·t －1 3 ＋5＝t 2－4t ＋8， ∴f (x )＝x 2－4x ＋8. (2)直接列方程组求解． 由2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，用－x 代换上式中的x 得 2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2， 解方程组? ??2f （x ）＋f （－x ）＝3x ＋2 2f （－x ）＋f （x ）＝－3x ＋2， 得解析式f (x )＝3x ＋2 3. (3)可用赋值法求解． 令a ＝b ＝x ，得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， ∵f (0)＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1. (3)可用赋值法求解． 令a ＝b ＝x ，得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， ∵f (0)＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1. （七）周期变化与伸缩变化函数 1. 周期函数 方法要领指点： 利用已知函数周期化数转换点位求值. 【例题28】 - 2 [解析]：由奇函数知f( - 1) = - f(1), 又由周期 为2知f(1) = f(2 - 1) = f( - 1), 所以 f(1) = 0 f( - 52 ) = f(2 - 52 ) = f( - 12 ) = - f( 1 2 ) = - 2. 【例题29】 6 [解析]：f(x + 4) = f(x -2)等价于f(x + 6) = f(x) 即f(x)为周期函数且最小正周期为6. f(919) = f(6′153 + 1) = f(1) = f( - 1) = 6. 【例题30】 [解析]：x(x + 1) ≠ 0时，f(x + 1)x + 1 = f(x) x 所以 f(x) x 是周期为1的函数. f(52)52 = f(52 - 2)52 - 2 = f(12)12 = f(12 - 1)12 - 1 = f(- 12)- 1 2 又 f( 12 )= f( - 12 )∴只有f( 12 ) = 0, 即f( 5 2 ) = 0 ★判断识真☆ 1. [解析]作出函数f (x )＝x －[x ]的大致图象如下： 观察图象，易知函数f (x )＝x －[x ]是周期函数． ※解法辩伪※ 〖错解辨析〗对①的反证法的反面还有其它可能，尤其可能函数不单调；②反例中的说明不完整，不能说明f(x)+h(x)、g(x)+h(x)是否是以T 为周期的函数 〖正解〗答案选 D.为方便举反例设定f(x)、g(x)、h(x)都是奇函数，由于奇函数关于原点对称，左右单调性相同，故只须考察x ≥0时，设f(x)+g(x) =2x 2 , =4x, =2x 则三者都是单调函数，且f(x) = x 2 + x - 2x, g(x) = x 2 +2x -x ,h(x) = 2x + x - x 2，可以判定它们不是单调函数，所以①为假命题. ②为真命题，令A(x) = f(x)+g(x)，B(x)=g(x)+h(x) ，C(x)=h(x)+f(x) ,则这三个函数都是以T 为周期的函数 又f(x) = 12 [A(x) + C(x) - B(x)], g(x)= 1 2 [A(x) + B(x) - C(x)], h(x)= 1 2 [B(x) + C(x) - A(x)], 三个函数必是以T 为周期的函数 2. 半周期变化函数 方法要领指点： 参见『知识与方法梳理』6几种半周期关系. 【例题31】 [解析]f(x + 2) = - f( x + 1) = f(x). 所以f(x)是周期为2的函数.又f(x)是偶函数，所以x [- 1, 1]时 f(x) = x 2,在区间[ - 1, 3]上的图象如图. g(x)的零点即f(x)与y = k(x + 1)的交点为，有四个交点时 k (0,14 ] 【例题32】 [解析]f(x + 4) = 1 f(x + 2) = f(x)，所以f(x)是4 为周期的函数. f(5) = f(1) = - 5 . f( - 5) = f( - 1) = 1f(2 - 1) = - 15 ，即f(f(5)) = - 1 5 3. 局部周期变化函数 方法要领指点： 周期变化受区间限制，运用时注意边界取值. 【例题33】 [解析] 因为当x >0时，f (x )＝f (x -1)－f (x -2) 所以f (x +1)＝f (x )－f (x -1)， 所以f (x +1)＝－f (x -2)，即f (x +3)＝－f (x )， ∴f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x ) 所以函数的周期为6， 故f (2 015)＝f (5)＝f (4)－f (3)＝f (3)－f (2)－f (3)＝ －f (2)＝－[f (1)- f (0)]＝f (-1)＝log 3 2. 4. 周期伸缩函数 方法要领指点： 充分利用关系式运算，必要时可考虑画图. 【例题34】 [解析]设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0，1] 则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)， 又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )， ∴f (x )＝1 4(x 2＋3x ＋2)， ∴当x ＝－32时，取到最小值为－1 16 . 5. 纵横伸缩变化函数 方法要领指点：双向伸缩利用好变化关系. 【例题35】 [解析]f (100)＝3f (1003)＝3f (3×1009)＝9f (100 9) ＝…＝81f (10081)，由此猜想f (x )＝3n f (x 3 n ). ∵10081∈[1，3]，∴81f (10081)＝81·[1－(10081 －2)]＝19?f (100)＝19. 由f (x )＝19?3n f (x 3 n )＝19. 当1≤x 3n ≤3，即3n ≤x ≤3n ＋1时，3n f (x 3 n )＝19 可化为3n (1－|x 3n －2|)＝19， 即3n －|2·3n －x |＝19，x ＝19＋3n 或x ＝3n ＋1－19. 又3n ≤x ≤3n ＋1，则n ≥3. 当n ＝3时，x ＝19＋27＝46，4627∈[1，3]，或x ＝62，62 27∈ [1，3]，故方程f (x )＝f (100)的解的最小值为46. 1. [解析]f( 32 ) = f(32 - 2)= f(= - 4(- 12 )2 + 2 = 1. 2. - 5 2 3.D 4.B 5.C 6.[解析] 由图象可知，有5个交点，故选D 7.[解析]∵f (x )≥f (x ＋1)≥f (x ＋2)≥…≥f (x ＋5)≥f (x ) ∴f (x ＋5)＝f (x ) ∴5为函数f (x )的一个周期， ∴f (x )≥f (x ＋1)≥f (x ＋5)＝f (x ) ∴f (x ＋1)＝f (x )，1为函数f (x )的一个周期， ∴f (2 015)＝f (0)＝0. x y O 1 2 3 - 1 高一数学必修一集合与函数的概念 第一章集合与函数概念 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确 定的：属于或不属于。 (2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：{…} (1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA (2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：(或BA) 注意：有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2).“包含”关系(2)—真子集 ⑴函数的定义 ①传统定义：在某一个变化的过程中，有两个变量兀和y,如果对于在某一个范围内的任意一个x 的值，都有唯一的值y与之对应，则称y是兀的函数。 ②现代定义：设A、B是两个非空数集，如杲按照某个确定的对应关系/,使对于集合A 屮任意一个数尢，在集合B屮都有唯一一个数/(x)和它对应，那么就称A T B为从集合A到集合B 中的一个函数，记作J =/(X)(XG A)其中兀叫做自变量，兀的取值集合A叫做函数的定义域；与兀的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{/(X)\XE A}叫做函数的值域。 ⑵函数的理解： ①A、B都是非空数集(也就是限定了范围)，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在 ②若y = f(x)是从集合A到集合B的函数，则应紧扣它的“任意性”和“唯一性”，即 “任意性”一一对于A中的任意一个数X；“唯一性”一一在集合B中的都有唯一的确定的数/(兀)和它对应(还应该注意它的方向性、确定性) ③在现代定义域中B不一定是，函数的值域，如函数y = x2+l可以称为实数集到实数集的函数。 ④对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可。英中对应关系是核心，定义域是根本，当 定义域和对应关系已经确定，则值域也就确定了。 探究：若y = f(x)是从A到B的函数，则集合A、B分别是函数的定义域与值域么？ A定是值域，B可以是也可以不是，若函数y = f(x)的值域为C,则C是B的非空子集 ⑶函数符号/(兀)的含义：/(兀)表示一个整体，一个函数。而记号“厂可以看做是对“兀” 施加的某种法则(或运算)，女U/(x) = x2-2x4-3 o当x = 2吋，课看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x是某个代数式(或某一个函数符号)时，则左右两边的x都有同一个代数式(或函数符号)代替，如/(X)=(2X-1)2-2(2X-1)+3, /(g(x)) = [gS)]2—2[gS)] + 3等等，/(a)与/(x) 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。 例题： 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1 元其销售量就减少10件，则每天的销售利润是销售单价的函数吗？若是求它的定义域和对应法则若不是，则说明理由。 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 第2章 解析函数 2.1 解析函数的概念及C-R 条件 复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间. 2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（ ）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即,u v u v x y y x ????==-????在00(,)x y 成立 （B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导 （C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件 （D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件 解 由上题的推导过程知，若()f z 在0z 点可导，则,u v 在00(,)x y 可微，且 ,.u v u v a b x y y x ????==- ==???? 在00(,)x y 点成立. 反之，若,u v 在00(,)x y 可微，且满足C-R 条件，则 ()i f z u v z z ??+?=?? i()(||)(i )i(i )(||) (i )(||)x y x y x x x x x u x u y v x v y o z z z u x y v x v y o z z z u v z o z z z ?+?+?+??=+ ???+?+?+??=+ ??+??=+ ?? 故 0() lim x x z f z u iv z ?→?=+? 选（C ）. 2-2 若22 2 22,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2?+≠?+===+??+=? ，则函数() f z （ ）. （A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点外处处可导 （D ）处处可微 解 (,)u x y 在原点虽有 0y v x y ??==??但不可微；而除原点外,u v 可微但不满足C-R 条件，因此，()f z 处处不可导. 选（B ）. ()f z z =如此简单一个函数却处处连续但不可导！ 2-3 若2 2 ()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（ ）. （A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2 ,3,2)- （D ）(2,3,2)- 解 由C-R 条件及 2,2,3, 2.u u v v x a y b cy cx x y x y ????=+=-+=+=+????故2,2, 3.c a b ===- 2-3 若22 ()i f z xy x y =+则()f z （ ）. （A ）令在直线y x =上可导 （B ）仅在直线y x =-上可导 （C ）仅在（0，0）点解析 （D ）仅在（0，0）点可导 函数的概念及解析式 【复习目标】 1． 理解函数的概念； 2． 掌握函数的表示方法； 【知识梳理】 1. 设A 、B 是____的数集，如果按某种对应关系f ，__________________________________________.，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数。 2. 函数的三要素：____________、________________、________________________; 3. 常用函数的表示方法：_____________________、______________、_____________; 4. 分段函数是指____________________________________________________________________; 【基础达标】 1． f(1－x)=x 2，则f(x)=____________, 2． 若f(x －221)1x x x +=, 则f(x)=__________. 3． 已知f(x)=11+-x x ,则f(x)+f()1x =_____________. 4． 若f(x)=x 2－mx+n,f(n)=m,f(1)=－1，则f(－5)=____________. 5． 已知)3(4 1)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________. 6．已知f(1－cosx)=sin 2x ，则f(x)=________________. 【典型例题】 例1．求函数解析式 ⑴.求一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1； ⑵.设二次函数()y =f x 的最大值为13，且3(1)5f f （ ）=-=，求()f x 的解析式. ⑶.已知2(31)23f x x x +=-+，求(1)f x -=. ⑷.已知2 21)1(x x x x x f ++=+，求f(x)； 课题：§1.2.1函数的概念 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段 更注重函数模型化的思想． 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关 系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例： 我国2003年4月份非典疫情统计： 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关 系． 二、新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P20例1 解：（略） 说明： ○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数 课本P21例2 解：（略） 说明： ○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1．已知R 是实数集，21x x ?? M =.则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是( ) 6．已知 上恒成立，则实数a 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 7．函数2 5 ---= a x x y 在（－1，＋∞）上单调递增，则a 的取值范围是 A ．3-=a B ．3f （2x ）的x 的取值 范围是________. 函数的概念及其表示方法 一、函数的基本概念 （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域。 函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →: 这里 A, B 为非空的数集. （2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ? B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B （3）函数符号：)(x f y = ?y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域 1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R; 2．反比例函x k x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R 值域：当0>a 时，??????-≥a b ac y y 44|2；当0 1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝； 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设 A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f （x ）和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，能确定 y 是 x 的函数的是（ ） x ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈ Z} ，对应法则 f ：x →y= ; 3 ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ，对应法则 f ：x → y 2 =3x; A=R,B=R, 对应法则 f ：x →y= x 2; A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同（ ） 变式 1. 列图像中，是函数图像的是（ ② 变式 2. 已知函数 y=f （ x ），则对于直线 x=a （a 为常数） A. y=f （ x ）图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y ＝f （x ） ，以下说法正确的有? （ ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ，y 的值也不同 ③f （a ） 表示当 x ＝ a 时函数 f （x ） 的值，是一个常量 A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D 变式 5．设集合 M ＝{x|0 ≤x ≤ 2} ，N ＝ {y|0 ≤y ≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函 ，以下说法正确的是（ B.y=f （ x ）图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f （x ） 一定可以用一个具体的式子表示出来 ． 4 个 y 2x 1，x ∈ Z 与 y 2x 1， x ∈Z 1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数 D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同． 2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 x D ．f (x )＝x 2－9x －3 ，g (x )＝x ＋3 解析：选、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1} 解析：选D.由? ???? 1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1. 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________． 解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)． 答案：(2)(3) 1．函数y ＝1x 的定义域是( ) A ．R B ．{0} C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D ．{x |x ≠1} 解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． 2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y 解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( ) A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B ．函数的定义域和值域可以是空集 C ．函数的定义域和值域一定是数集 D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ， 高中数学必修一函数概念定义域值域教学方案(总16页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 函数的概念 函数的定义： 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域. 对函数概念的理解需注意以下几点： ①函数首先是两个数集之间建立的对应，A 、B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应 ③认真理解()x f y =的含义：()x f y =是一个整体，()x f y =并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，它可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格 ④函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . 【例1】判断下列对应能否表示y 是x 的函数： （1）x y =；（2）x y =；（3）2x y =；（4）x y =2；（5）122=+x y ；（6）122=-x y 。 【练1】判断下列图象能表示函数图象的是（ ） (A) 区间的概念和记号 设a,b∈R ,且a . 1.2.1 函数的概念（第一课时） 班级 姓名 时间 制作人： 课题 函数的概念 课 型 新 授 课 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素 及函数符号的深刻含义. 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽 学习目标 重 点 难 点 学法指导 象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求 的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、 相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯， 学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗， 透数学思想和文化. 函数的概念、函数的三要素 函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解 ⑴先自学课本 15～18 页，尝试完成课本例题和练习题。 ⑵找准自学中存在的问题，以备课堂内解决。 一．知识链接： 1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数？ 一次函数，二次函数，反比例函数 2、在初中学习阶段，函数的定义是如何表述的？ 在一个变化过程中，有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它 对应，那么就说 x 是 y 的函数， y 叫自变量． 3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x 数吗？ （学生思考、小组讨论） 教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这 就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书） 二、新课探究： 1.实例感受： 实例一：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹 距地面的高度 h （单位： m ）随时间 t （单位： s ）变化的规律是： y = 130t - 5t 2． 思考 1：（１）. t 的范围是什么？ h 的范围是什么？ （２）. t 和 h 有什么关系？这个关系有什么特点？ （实例一由师生共同完成） 事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高， 1 ●高考明方向 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的 定义域和值域，了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单地应用. ★备考知考情 从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域，而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出. 函数的图象主要体现在选择与填空题中用 数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给 出图象求解析式． 一、知识梳理《名师一号》P10 知识点一函数的基本概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数， 记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值围 A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函 数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 显然，值域是集合B的子集． 从映射的角度看，函数是由一个非空数集 到另一个非空数集的映射． 温馨提示： (1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在． (2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词． (3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值． 2、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 3、函数的表示法有：解析法、列表法、图像法 知识点二映射 映射的概念： 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法 则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关系 高一数学必修一函数的概念知识点 高一数学必修一函数的概念知识点 知识点总结 本节主要包括函数的定义、函数的表示方法、函数的定义域、函数的值域、分段函数及映射等知识点。其中关键是函数的概念的理解。 1、映射的定义 2、函数的概念 3、函数的三要素：定义域、值域和对应法则。 4、两个函数能成为同一函数的条件 当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。 5、区间的概念和记号 6、函数的表示方法 函数的表示方法有三种。(1)解析法(2)列表法(3)图像法 7、分段函数 常见考法 本节是段考和高考必不可少的考查部分，多以选择题和填空题的形式出现。段考中常考查函数的定义域、值域、对应法则、同一函数、函数的解析式和分段函数。高考中可以和高中数学的大部分章节知识联合考查，但是难度不大，属于容易题。多考查函数的定义域、函数的表示方法和分段函数。 误区提醒 1、映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B可以是数集，也 可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。A到B的映射与B 到A的映射是不同的。而函数是数集到数集的映射，所以函数是特 殊的映射，但是映射不一定是函数。 2、函数的问题，要遵循“定义域优先”的原则。无论是简单的 函数，还是复杂的函数，无论是具体的函数，还是抽象的函数，必 须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点，不仅是为了防止 出现错误，有时还会为解题带来方便。 4、分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时， 注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范 围的并集是函数的定义域。 函数的概念知识点总结 本节主要知识点 （1）函数的概念. （2）函数的三要素与函数相等. （3）区间的概念及其表示. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义 设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈. 其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. 对函数的近代定义的理解 （1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如x x y --= 11就不是函数. （2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到. 存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y . 唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的. （3）集合B 不一定是函数的值域,值域是集合B 的子集. 在集合B 中,可以存在元素在集合A 中没有与之对应者. 例1. 讨论二次函数的定义域和值域. 解:二次函数的一般式为()02≠++=a c bx ax y ,为整式函数,所以其定义域为R ,其值域的确定分为两种情况: ①当0>a 时,函数的值域为?????? -≥a b ac y y 442; ②当0 函数的概念与表示 知识领航 1．函数的定义 一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数() f x和它对应，那么就称(): f x A B →为从集合A到集合B的一个函数，记作：(), y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A，B是非空数集. (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素 定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,] a b. （2）满足不等式a x b <<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,) a b. （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,) a b，(,] a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R可以用区间表示为(,) -∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,) a+∞，(,) a+∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 6. 函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7.求函数的解析式的方法 （1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知(()) f g x的解析式,求() f x. （3）消元法: 适用于同时含有() f x和1() f x ，或() f x和() f x-.高一数学必修一集合与函数的概念
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