2019版高中数学 第二章 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理学案 新人教A版选修2-2
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精 品 试 卷 精品推荐 2．1.1 合情推理 学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．
知识点一 归纳推理 思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体． 以上属于什么推理？ 答案 属于归纳推理． 梳理 (1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． (2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理． 知识点二 类比推理 思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？ 答案 类比推理． 梳理 (1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理． (2)特征：由特殊到特殊的推理． 精 品 试 卷
精品推荐 知识点三 合情推理
思考 归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理． 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假． 梳理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理． (2)推理的过程 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想
1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( × ) 2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ ) 3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )
类型一 归纳推理 命题角度1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式： 1＋1＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， … 照此规律，第n个等式可为_____________________________________________________．
(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 (1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
(2)x1－4x x1－2n－1x 解析 (1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(2)∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x. 精 品 试 卷 精品推荐 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，
f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，
f4(x)＝f3(f3(x))＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，
f5(x)＝f4(f4(x))＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，
∴根据前几项可以猜想fn(x)＝x1－2n－1x. 引申探究 在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N*)的表达式．
解 ∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x. 又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，
f3(x)＝f(f2(x))＝x1－2x1－x1－2x＝x1－3x，
f4(x)＝f(f3(x))＝x1－3x1－x1－3x＝x1－4x.
因此，可以猜想fn(x)＝x1－nx. 反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； 精 品 试 卷 精品推荐 ③提炼出等式(或不等式)的综合特点；
④运用归纳推理得出一般结论． (2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和； ②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式． 跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4的值； (2)猜想an的表达式． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数列中的应用 解 (1)因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝32，
又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋32，解得a3＝34， 又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋32＋34，解得a4＝38. (2)由(1)知a1＝3＝320，a2＝32＝321，a3＝34＝322，a4＝38＝323，…，猜想an＝32n－1(n∈N*)． 命题角度2 图形中的归纳推理 例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31 C．32 D．36 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B 解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表： 图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B. 反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略 精 品 试 卷 精品推荐 跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 C 解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝8＋(n－1)×6＝6n＋2. 类型二 类比推理 命题角度1 数列中的类比推理 例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16T12成等比数列． 考点 类比推理的应用 题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案 T8T4 T12T8 解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性： 设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1， 则T4＝b41q6，T8＝b81q1＋2＋…＋7＝b81q28， T12＝b121q1＋2＋…＋11＝b121q66，
T16＝b161q1＋2＋…＋15＝b161q120，
∴T8T4＝b41q22，T12T8＝b41q38， 精 品 试 卷 精品推荐 T16
T12
＝b41q54，
即T8T42＝T12T8·T4，T12T82＝T8T4·T16T12， 故T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列． 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)： 等差数列 等比数列 定义 an－an－1＝d(n≥2) an÷an－1＝q(n≥2) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 性质 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
跟踪训练3 若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋…＋ann(n∈N*)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列． 考点 类比推理的应用 题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案 nc1c2c3…cn 解析 数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋…＋ann(n∈N*)也是等差数列．类比猜想：若数列{cn}
是各项均为正数的等比数列，则当dn＝nc1c2c3…cn时，数列{dn}也是等比数列． 命题角度2 几何中的类比推理 例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
