【中考基础】2018年人教版中考数学第35讲《直线与圆、圆与圆的位置关系》word基础演练含答案

研究图形性质
通过研究直线与圆的位置关系，可以进一步研究图形的性质 。例如，通过观察直线与圆的位置关系，可以研究圆的对称 性、中心性等性质。
在物理学中的应用
研究运动轨迹
在物理学中，直线与圆的位置关系可以用于研究物体的运动轨迹。例如，在研究抛物线运动时，可以 通过设定一个初始位置和初始速度，利用直线与圆的位置关系来研究物体的运动轨迹。
几何解释能够直观地描述直线与圆的 位置关系，有助于深入理解相关概念 和性质。
通过几何解释，可以更好地掌握解析 几何的基本思想和方法，提高解决实 际问题的能力。
直线与圆的位置关
04
系的代数表示
代数表示的方法
直线方程
一般式 $Ax + By + C = 0$，斜截式 $y = mx + b$，点斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$
圆方程
一般式 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，标准式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
直线与圆的位置关系判断
将圆心坐标代入直线方程，根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的 值判断。
代数表示的应用场景
解析几何问题
在解析几何中，直线与圆的位置关系是常见的问题，通过代数表示可以方便地 解决这类问题。
实际应用
在工程、建筑、地理等领域中，经常需要用到直线与圆的位置关系来解决问题 。例如，建筑设计中的平面布局、地理测量中的数据解析等。
代数表示的重要性
简化问题
通过代数表示，可以将复 杂的问题简化为易于处理 的形式，从而方便解决问 题。
提高效率
使用代数表示可以快速地 计算和比较数据，提高解 决问题的效率。

2 y ＋ F 2=0
①，圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E
②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得( D 1－
D 2) x ＋( E 1－ E 2) y ＋ F 1－ F 2=0
③，方程③表示圆 C 1与 C 2的公共弦
所在直线的方程.
2. 两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d ，半弦长
若｜ AB ｜＝6，则 r 的值为
5 .
⁠
设圆心(0，0)到直线 x － 3 y ＋8＝0的距离为 d ，
则d＝
｜8 ｜
＝4，
12 ＋(− 3)2
所以 r 2＝
｜｜
2
2
又 r ＞0，所以 r ＝5.
＋ d 2＝32＋42＝25.
方法总结
1. 求直线与圆相交弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成
所以｜ AB ｜＝ (−4 − 0)2 ＋(0 − 2)2 ＝2 5 ，即公共弦长为2 5 .
法二：由 x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0，得( x －1)2＋( y ＋5)2＝50，圆 C 1的
圆心坐标为(1，－5)，半径 r ＝5 2 ，圆心到直线 x －2 y ＋4＝0的距离为
d＝
(3)过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P ( x 0， y 0)作圆的两条切线，切点分别为 A ，
B ，则过 A ， B 两点的直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2．
◉角度(二) 弦长问题
例2 (1)已知直线 y ＝2 x 与圆 − 2
则 ＝(
B )
2＋
−2
2 ＝1交于 A ， B 两点，

直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离•判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其厶的值，然后比较判别式厶与0的大小关系.若.■: ::: 0，则直线与圆相离；若抡.=0, 则直线与圆相切；若■ = 0，则直线与圆相交.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：d ::：r=相交，d =r：=相切，d . r = 相离.二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1 )几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式AB =・1亠孑x A -X B = (1亠k2)[(x A亠x B)2 4X A X B]三、圆与圆的位置关系的判定设|_G ：(x -印)2 (y -b i)2=r j(「i . 0), _ C2 ：(x-a2)2• (y -b?)2=『(「2 0)，则有：C1C2 r i r^LJC i 与L C2 外离；C1C2 =r i tuLIC i 与L C2外切；「1 •；：■ C iG| .；：丁1 ■「2 u |_| C i 与L C2 相父；GG =「i -「2(「i =「2)= LI C i与L C2 内切；GG :::「1 一「2 = LlG 与L C2 内含；四、圆的切线方程问题(1)已知|_O i :x2 y2=「2, _ O2：( x -a)2 (y -b)2=「2O3：x2 y2 Dx Ey F = 0,则以M (x0, y0) 为切点的LI O i的切线方程xx0 • yy°二「2; L O2的切线方程(x 7)化- a) • (y - b)( y° -b)二「2,L Q切线方程xx yy0匹亠.旦j F =02 2(2)已知圆的x2，y2二「2的切线斜率为k，则圆的切线方程为y = kx「k21(3)已知切线过圆外一点P(x i,y i)，可设切线方程为y - ％二k(x - x i),利用相切条件确定斜率k，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线.(4)切线长公式：从圆外一点P(X0,y。

第五部分图形的性质5.10 点和圆、直线和圆的位置关系【一】知识点清单1、点与圆的位置关系点与圆的位置关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；尺规作图-作三角形的外接圆；反证法；2、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系；切线的性质；切线的判定；切线的判定与性质；切线长及切线长定理；三角形的内切圆与内心；尺规作图-作三角形的内切圆；相交弦定理（删）；弦切角定理（删）；切割线定理（删）；圆与圆的位置关系（删）；相切两圆的性质（删）；相交两圆的性质（删）【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年湖北省宜昌市-第12题-3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O 于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【知识考点】切线的性质；圆周角定理．【思路分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．【解答过程】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠COD=45°，故选：D．【总结归纳】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．2．（2018年湖北省荆门市-第9题-3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【知识考点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形变化﹣旋转【思路分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．【解答过程】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），∴BC=4，AC=3，则AB=5，∵I是△ABC的内心，∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，∴IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3﹣1=2，OE=4﹣1=3，则I（3，2），∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3）．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．3．（2018年湖南省湘西州-第15题-4分）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【知识考点】直线与圆的位置关系．【思路分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答过程】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．【总结归纳】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．4．（2018年湖南省湘西州-第18题-4分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．D．【知识考点】垂径定理；切线的性质．【思路分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE 中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．【解答过程】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E，∵CD=8，∴CE=DE=CD=4，连接OC，则OC=OA=5，在Rt△OCE中，OE===3，∴AE=AO+OE=8，则AC===4，故选：D．【总结归纳】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理．5．（2018年江苏省徐州市-第7题-2分）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切【知识考点】圆与圆的位置关系．【思路分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答过程】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．【总结归纳】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．6．（2018年江苏省常州市-第7题-2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）A．76°B．56°C．54°D．52°【知识考点】切线的性质．【思路分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．【解答过程】解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二、填空题1．（2018年湖北省黄石市-第12题-3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为【知识考点】勾股定理；三角形的内切圆与内心．【思路分析】先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解．【解答过程】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，∴AB==10，∴△ABC的内切圆的半径==2，∴△ABC内切圆的周长=π•22=4π．故答案为4π．【总结归纳】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．2．（2018年湖南省益阳市-第15题-4分）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C=度．【知识考点】切线的性质．【思路分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到∠C的度数．【解答过程】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AD=CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°．故答案为45．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．3．（2018年湖南省益阳市-第18题-4分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC=．【知识考点】勾股定理的逆定理；作图—基本作图．【思路分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案．【解答过程】解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，由题意可得：O是△ACB的内心，∵AB=5，AC=4，BC=3，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形OGCD是正方形，∴DO=OG==1，∴CO=．故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心，正确得出OD的长是解题关键．4．（2018年江苏省镇江市-第9题-2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=°．【知识考点】三角形的外接圆与外心．【思路分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【解答过程】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40．【总结归纳】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．5．（2018年江苏省徐州市-第15题-3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°，则∠CDA=度．【知识考点】切线的性质．【思路分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．【解答过程】解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=72°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=∠COD=36°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．【总结归纳】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．6．（2018年江苏省扬州市-第15题-3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB=．【知识考点】三角形的外接圆与外心．【思路分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答过程】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．【总结归纳】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．7三、解答题1．（2018年湖北省黄石市-第21题-8分）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=，∠BCD=120°，A为BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．【知识考点】圆周角定理；切线的判定．【思路分析】（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答过程】（1）解：连接DB，如图，∵∠BCD+∠DEB=90°，∴∠DEB=180°﹣120°=60°，∵BE为直径，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，BD=DE=×=3；（2）证明：连接EA，如图，∵BE为直径，∴∠BAE=90°，∵A为的中点，∴∠ABE=45°，∵BA=AP，而EA⊥BA，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，∴直线PE是⊙O的切线．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．2．（2018年湖南省常德市-第24题-8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．【知识考点】切线的判定与性质；等边三角形的性质．【思路分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．【解答过程】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，2018年各地中考数学试题分类汇编∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．【总结归纳】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．第11页。