图论

图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。

某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。

例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。

从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。

与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。

通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。

⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。

1阶零图N1称作平凡图。

平凡图只有⼀个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。

图论综述一、简介图论是数学的一个分支。

它以图为研究对象。

图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。

集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。

通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。

图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。

关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。

目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。

图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。

二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。

其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。

紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。

u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。

图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。

最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。

2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。

树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。

树是图论中应用最为广泛的一类图。

在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。

图论导引参考答案图论导引参考答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的连接关系。

图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。

本文将介绍图论的基本概念和常见算法，并提供一些参考答案来帮助读者更好地理解和应用图论。

一、图的基本概念1.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图中，边有方向，表示节点之间的单向关系；而无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。

1.2 路径和环路径是指图中一系列节点和边的连续序列，路径的长度为路径中边的数量。

如果路径的起点和终点相同，则称之为环。

1.3 连通图和连通分量在无向图中，如果任意两个节点之间都存在路径，则称该图为连通图。

连通图中的极大连通子图称为连通分量。

1.4 强连通图和强连通分量在有向图中，如果任意两个节点之间都存在路径，则称该图为强连通图。

强连通图中的极大强连通子图称为强连通分量。

二、图的存储方式2.1 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的存储方式，使用一个二维矩阵来表示图中节点之间的连接关系。

矩阵的行和列分别表示节点，矩阵中的元素表示节点之间是否存在边。

2.2 邻接表邻接表是另一种常见的图的存储方式，使用一个数组和链表的结构来表示图中节点之间的连接关系。

数组中的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。

三、常见图算法3.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历图的算法。

从图中的一个节点开始，沿着一条路径一直深入直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他路径。

DFS可以用于判断图的连通性、寻找路径等问题。

3.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历图的算法。

从图中的一个节点开始，先访问其所有相邻节点，然后再依次访问这些节点的相邻节点，以此类推。

BFS可以用于计算最短路径、寻找连通分量等问题。

3.3 最小生成树算法最小生成树算法用于求解一个连通图的最小生成树，即包含图中所有节点且边的权重之和最小的子图。

第八章独立集和团§8.1 独立集°独立集：设S是V的一个子集，若S中任意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一个独立集。

°最大独立集：G的一个独立集S称为G的最大独立集，是说：G不包含适合S′>S的独立集S′。

°例子：(见图8.1)°覆盖：G的一个覆盖是指V的子集K，使得G的每条边都至少有一个端点属于K。

°例子：在图8.1中，两个独立集都是覆盖的补集。

定理8.1：设S⊆V，则S是G的独立集当且仅当V\S是G的覆盖。

证：按定义，S是G的独立集当且仅当G中每条边的两个端点都不同时属于S，即当且仅当G的每条边至少有一个端点属于V\S，亦即当且仅当V\S是G的覆盖。

∎°独立数：G的最大独立集的顶点数称为G的独立数，记为α(G)。

°覆盖数：G的最小覆盖的顶点数称为G的覆盖数，记为β(G)。

推论8.1：α+β=υ。

证：设S是G的一个最大独立集，K是G的一个最小覆盖。

由定理8.1，V\K是独立集，而V\S是覆盖。

因此υ−β=V\K≤α (8.1)υ−α=V\S≥β (8.2)结合8.1式和(8.2)式，即得α+β=υ。

∎°边覆盖：G的一个边覆盖是指E的一个子集L，使得G的每个顶点都是L中某条边的端点。

°边独立集：即对集。

*注意：边覆盖并不总是存在的，G有边覆盖，当且仅当δ>0。

°边独立数和边覆盖数：最大对集的边数称为边独立数，记作α′G;最小边覆盖的边数称为边覆盖数，记作β′(G)。

*注意：对集的补集不一定是边覆盖，边覆盖的补集也不一定是对集。

定理8.2 (Gallai)：若δ>0,则α′+β′=υ。

证：设M是G的一个最大对集，U是M非饱和顶点集。

由于δ>0且M是最大对集，所以存在|U|条边的一个集E′，它的每条边都和U 的每个顶点相关联。

显然，M∪E′是G的边覆盖，因而β′≤M∪E′=α′+υ−2α′=υ−α′即α′+β′≤υ (8.3)再设L是G的一个最小边覆盖，置H=G[L]，并且设M是H的一个最大对集。

第6章图论一、内容提要1.图的定义定义1.(图的定义一)图G = (V, E)是一个系统，其中(1)V≠∅是一个有限集合；V中的每一元素v∈V都称为图G的一个结点；V称为图G 的结点集；(2)E是一个有限集合；E中的每一元素e∈E都称为图G的一条边；E称为图G的边集。

定义2. (图的定义二)图G = (V, E)是一个系统，其中(1)V ≠∅是一有限集合；V中的每一元素v∈V都称为图G的一个结点；V称为图G的结点集；(2)E⊆V⨯V是一有限集合，一个V上的关系；E中的每一元素(u,v)∈E都称为图G的一条边(这里u, v∈V)；E称为图G的边集。

定义3. (图的定义三)图G= (V,∑, E)是一个系统，其中(1)V ≠∅是一有限集合；V中的每一元素v∈V都称为图G的一个结点；V称为图G的结点集；(2)∑是一有限集合；∑中的每一元素σ∈∑都称为图G中的一个标号；∑称为图G的标号集；(3)E ⊆V⨯∑⨯V是一有限集合，一个三元关系；E中的每一元素(u,σ ,v)∈E都称为图G的一条边或弧,此边起自u而终于v；称u是此边的起点，称σ是此边的标号，称v是此边的终点，起点和终点统称为边的端点(这里u, v∈V , σ∈∑)；E称为图G的边集。

定义4. (图的定义四)图G=(V,E, γ)是一个系统，其中(1)V ≠∅是一有限集合；V中的每一元素v∈V都称为图G的一个结点；V称为图G 的结点集；(2)E是一个有限集合；E中的每一元素e∈E都称为图G的一条边；E称为图G的边集。

(3)γ是边到结点集的一个关联函数，即γ:E→2V(无向图) 或γ:E→ V⨯V (有向图) 。

一般来说，它将E中的每条边e∈E与结点集V中的一个二元子集{u,v}∈2V (或{u,v}⊆V)相关联或与结点集V上的一个二元组(u,v)∈V⨯V相关联，即γ(e)={u,v} (无向图) 或γ(e)= (u,v) (有向图) ，称u是此边的起点，称v是此边的终点，结点u和v统称为边的端点。

图论维基百科，自由的百科全书跳转到：导航、搜索一个由6个顶点和7条边组成的图图论（Graph theory）是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法。

图是区域在头脑和纸面上的反映，图论就是研究区域关系的学科。

区域是一个平面，平面当然是二维的，但是，图在特殊的构造中，可以形成多维（例如大于3维空间）空间，这样，图论已经超越了一般意义上的区域（例如一个有许多洞的曲面，它是多维的，曲面染色已经超出了平面概念）。

图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用顶点代表事物，用连接两顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。

图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。

图论的研究对象相当于一维的拓扑学。

目录[隐藏]∙ 1 历史∙ 2 图论问题o 2.1 图的计数o 2.2 子图相关问题o 2.3 染色o 2.4 路径问题o 2.5 网络流与匹配o 2.6 覆盖问题∙ 3 重要的算法∙ 4 参见[编辑]历史柯尼斯堡七桥问题一般认为，于1736年出版的欧拉的关于柯尼斯堡七桥问题的论文是图论领域的第一篇文章。

此问题被推广为著名的欧拉路问题，亦即一笔画问题。

而此论文与范德蒙德的一篇关于骑士周游问题的文章，则是继承了莱布尼茨提出的“位置分析”的方法。

欧拉提出的关于凸多边形顶点数、棱数及面数之间的关系的欧拉公式与图论有密切联系，此后又被柯西等人进一步研究推广，成了拓扑学的起源。

1857年，哈密顿发明了“环游世界游戏”(icosian game)，与此相关的则是另一个广为人知的图论问题“哈密顿路径问题”。

“图”这一名词是西尔维斯特在于1878年发表在《自然》上的一篇论文中提出的。

欧拉的论文发表后一个多世纪，凯莱研究了在微分学中出现的一种数学分析的特殊形式，而这最终将他引向对一种特殊的被称为“树”的图的研究。

由于有机化学中有许多树状结构的分子，这些研究对于理论化学有着重要意义，尤其是其中关于具有某一特定性质的图的计数问题。

第四篇图论
什么是图论
定义
✓图论（Graph Theory）是数学的一个分支。

它以图为研究对象。

✓图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系；用点表示事物，用连接两点的线表示相应两个事物间的关系。

✓从一般意义而言，它描述了客观世界中的拓扑结构。

什么是图论
人们常称1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉（Euler）发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人们普遍认为欧拉是图论的创始人。

1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。

哥尼斯堡七桥问题
18 世纪在哥尼斯堡城( 今俄罗斯加里宁格勒) 的普莱格尔河上有7 座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。

城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7 座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。

图论的应用
计算机科学、物理学、化学、运筹学、信息论、控制论、网络通讯、社会科学以及经济管理、军事、国防、工农业生产等方面都得到广泛的应用。

1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。

图论的知识体系概图
第十章图的基本概念
本章各节间的关系概图
图的基本概念在计算机科学技术相关领域的应用。

图论在计算机科学中的应用1. 简介图论是研究图及其在数学中的性质和应用的分支学科。

它研究的对象是由节点和边组成的图模型，图模型可以用来描述各种实际问题。

在计算机科学中，图论有着广泛的应用。

本文将介绍图论在计算机科学中的几个重要应用领域。

2. 网络分析在计算机网络中，图论被广泛用于网络拓扑分析、路由算法设计、网络优化等领域。

例如，通过建立网络拓扑图，可以分析网络结构的特征，如节点的度、连通性等。

基于这些信息，可以设计出高效的路由算法，优化网络带宽分配，提高网络的性能和稳定性。

3. 社交网络分析社交网络分析是通过图论方法来研究社交网络中的人际关系和信息传播模式。

通过构建社交网络图，可以分析人际关系的密切程度、信息传播的路径和影响力等。

这些信息对于社交网络的营销、推荐系统和舆情分析等都有重要意义。

4. 图像处理在图像处理领域，图论被广泛应用于图像分割、图像匹配和图像压缩等任务。

通过构建图像的区域图和像素图，可以将图像分割为不同的区域，实现图像的自动识别和分析。

同时，图论的最短路径算法也被用于图像匹配和图像检索等应用中。

5. 数据库设计图论在数据库设计中也有重要的应用。

例如，在关系型数据库中，可以使用图论的概念来解决复杂查询问题，通过图的遍历和连接操作，可以高效地实现多表查询和关系推理。

而在非关系型数据库中，如图数据库，图论更是被广泛应用于数据存储和查询。

6. 流程优化图论可以用于流程的优化和调度问题。

例如，在生产流程中，可以构建生产流程图，通过最短路径算法和调度算法，实现生产流程的优化和资源的合理调度。

类似地，在物流领域也可以利用图论来优化配送路线，降低成本和提高效率。

7. 算法设计许多算法和数据结构都依赖于图论的基本概念和算法。

例如，最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序算法等都是图论中的经典算法。

这些算法在计算机科学中有着广泛的应用，如路由算法、最优化问题求解、任务调度等领域。

8. 人工智能图论在人工智能领域也有重要的应用。

基本知识点：一、图的基本定义：平凡图：只有一个顶点无边的图。

非平凡图：其他所有图。

空图：边集合为空的图。

简单图：既没有环也没有重边的图。

复合图：其他所有的图。

同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。

标定图：给图的点和边标上符号。

非标定图：不标号。

非标定图代表一类相互同构的图。

完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。

N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。

偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。

若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。

k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。

完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。

图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。

子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。

生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。

导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的子图V ‘。

'[]G V 和G v -。

边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。

'[]G E 和{}G e -。

图的运算：并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图路与图的联通性：途径：迹：边互不相同的途径。

路：边和点都互不相同的途径。

连通的：两个顶点之间存在路。

连通图：每一对顶点之间都有一条路。

连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。

两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。