2018年秋七年级数学上思维特训(二十一)含答案

思维特训(十七)　线段上的动点问题方法点津·所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．线段上的动点问题一般有两种类型：(1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；(2)动点有速度型，主要利用路程＝时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解．典题精练·类型一　动点无速度型1．如图17－S－1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A，B间的距离为100 km，A，C间的距离为40 km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的距离为x km.(1)用含x的式子表示车站到三个村庄的距离之和；(2)若车站到三个村庄的距离之和为105 km，则车站应设在何处？(3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？图17－S－12．如图17－S－2，某公司有三个住宅小区A，B，C，A，B，C各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上(即A，B，C三点共线)，已知AB＝100米，BC＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？图17－S－23．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且a，b满足等式(a＋9)2＋|7－b|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x.(1)求线段AB的长．(2)数轴上是否存在点P，使PA＝3PB？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)在(2)的条件下，若M，N分别是线段AB，PB的中点，试求线段MN的长．类型二　动点有速度型4．如图17－S－3，P是线段AB上任意一点，AB＝12 cm，C，D两点分别从点P，B开始，同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s.(1)若AP＝8 cm.①求运动1 s后，CD的长；②当点D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD.(2)如果t＝2，CD＝1 cm，试探索AP的长．图17－S －35．如图17－S －4，B 是线段AD 上一动点，沿A →D 以2 cm /s 的速度运动，C 是线段BD 的中点，AD ＝10 cm ，设点B 运动的时间为t s .(1)当t ＝2时，①AB ＝________ cm ；②求线段CD 的长．(2)在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．图17－S －46．如图17－S －5甲，O 是线段AB 上一点，C ，D 两点分别从O ，B 同时出发，以2 cm /s ，4 cm /s 的速度在直线AB 上运动，点C 在O ，A 之间，点D 在O ，B 之间．(1)设C ，D 两点同时沿直线AB 向左运动t s 时，AC ∶OD ＝1∶2，求的值；OA OB (2)在(1)的条件下，若C ，D 两点运动s 后都停止运动，此时恰有OD －AC ＝BD ，5212求CD 的长；(3)在(2)的条件下，将线段CD 在线段AB 上左右滑动如图17－S －5乙(点C 在O ，A 之间，点D 在O ，B 之间)，若M ，N 分别为AC ，BD 的中点，试说明线段MN 的长度始终不发生变化．图17－S－5详解详析1．解：(1)如图①，当点P在线段BC上时，车站到三个村庄的距离之和为PA＋PB＋PC＝40＋x＋100－(40＋x)＋x＝(100＋x)km；如图②，当点P在线段AC上时，车站到三个村庄的距离之和为PA＋PC＋PB＝40－x＋x＋60＋x＝(100＋x)km.综上所述，车站到三个村庄的距离之和为(100＋x)km.(2)由(1)得100＋x＝105，解得x＝5.答：车站设在C村左侧或右侧5 km处．(3)当x＝0时，x＋100＝100，此值最小．答：车站设在C村时到三个村庄的距离之和最小．2．解：以A小区为停靠点，则所有人的路程之和为15×100＋10×300＝4500(米)，以B小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×100＋10×200＝5000(米)，以C小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×300＋15×200＝12000(米)．因为4500<5000<12000，所以该停靠点的位置应设在A 小区．3．解：(1)由(a ＋9)2＋|7－b|＝0，得a ＋9＝0，7－b ＝0.解得a ＝－9，b ＝7.所以线段AB 的长为b －a ＝7－(－9)＝16.(2)当点P 在线段AB 上时，PA ＋PB ＝AB ，即3PB ＋PB ＝AB ＝16，PB ＝4，此时7－x ＝4，解得x ＝3；当点P 在线段AB 的延长线上时，PA －PB ＝AB ，即3PB －PB ＝AB ＝16，PB ＝8，此时x ＝7＋8＝15.综上所述，x 的值为3或15.(3)当点P 在线段AB 上时，由M ，N 分别是线段AB ，PB 的中点，得MB ＝AB ＝8，NB ＝PB ＝2.1212由线段的和差，得MN ＝MB －NB ＝8－2＝6；当点P 在线段AB 的延长线上时，由M ，N 分别是线段AB ，PB 的中点，得MB ＝AB ＝8，NB ＝PB ＝4.1212由线段的和差，得MN ＝MB ＋NB ＝8＋4＝12.综上所述，MN 的长为6或12.4．解：(1)①由题意可知：CP＝2×1＝2(cm)，DB＝3×1＝3(cm)，因为AP＝8 cm，AB＝12 cm，所以PB＝AB－AP＝4 cm，所以CD＝CP＋PB－DB＝2＋4－3＝3(cm)．②因为AP＝8 cm，AB＝12 cm，所以PB＝4 cm，AC＝(8－2t)cm，所以DP＝(4－3t)cm，所以CD＝CP＋DP＝2t＋4－3t＝(4－t)cm，所以AC＝2CD.(2)当t＝2时，CP＝2×2＝4(cm)，DB＝3×2＝6(cm)．当点D在点C的右边时，如图①所示：因为CD＝1 cm，所以CB＝CD＋DB＝7 cm，所以AC＝AB－CB＝5 cm，所以AP＝AC＋CP＝9 cm；当点D在点C的左边时，如图②所示：因为AD＝AB－DB＝6 cm，所以AP＝AD＋CD＋CP＝11 cm.综上所述，AP＝9 cm或11 cm.5．解：(1)①因为B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动，所以当t＝2时，AB＝2×2＝4(cm)．②因为AD＝10 cm，AB＝4 cm，所以BD ＝10－4＝6(cm )．因为C 是线段BD 的中点，所以CD ＝BD ＝×6＝3(cm )．1212(2)不变．因为AB 的中点为E ，C 是线段BD 的中点，所以EB ＝AB ，BC ＝BD ，1212所以EC ＝EB ＋BC ＝(AB ＋BD)＝AD ＝×10＝5(cm )．1212126．解：(1)设AC ＝x cm ，则OD ＝2x cm ，又因为OC ＝2t cm ，BD ＝4t cm ，所以OA ＝(x ＋2t)cm ，OB ＝(2x ＋4t)cm ，所以＝.OA OB 12(2)设AC ＝x cm ，则OD ＝2x cm ，又OC ＝2×＝5(cm )，BD ＝4×＝10(cm )，由OD －AC ＝BD ，得2x －x ＝×10，52521212解得x ＝5，所以OD ＝2×5＝10(cm )，所以CD ＝OD ＋OC ＝10＋5＝15(cm )．(3)在(2)中有AC ＝5 cm ，BD ＝10 cm ，CD ＝15 cm ，所以AB ＝AC ＋BD ＋CD ＝30 cm .设AM ＝CM ＝m cm ，BN ＝DN ＝y cm ，因为2m ＋15＋2y ＝30，所以m ＋y ＝7.5，所以MN ＝CM ＋CD ＋DN ＝m ＋15＋y ＝22.5(cm )．即线段MN 的长度始终是22.5 cm .。

思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津 ·定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．一般有以下两种解法：1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解．2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解．||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）.典题精练 ·类型一 几何解法1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x 对应的点与原点的距离，即|x|＝|x －0|，也就是说|x|表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．例1：已知|x|＝2，求x的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x ＝－2或x＝2.例2：已知|x－1|＝2，求x的值．解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.图11－S－1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x ＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：(1)|x－3|＝3；(2)|4x＋2|＝8；(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.类型二代数解法2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．例1：解方程|2x－1|＝3.我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝2是原方程的解．(2)当x ＝－1时，原方程的左边＝|2x －1|＝|2×(－1)－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝－1是原方程的解．综上可知，原方程的解是x ＝2或x ＝－1.例2：解方程x ＋2|x|＝3.解：当x ≥0时，方程可化为x ＋2x ＝3，解得x ＝1，符合题意；当x ＜0时，方程可化为x －2x ＝3，解得x ＝－3，符合题意．所以原方程的解为x ＝1或x ＝－3.仿照上面的解法，解下列方程：(1)x ＋3|x －1|＝7；(2)|x －12|－x ＝1.详解详析1．解：(1)由题意，得在数轴上与数3对应的点之间的距离为3的点对应的数为0和6，即x ＝0或x ＝6.(2)由题意，得在数轴上与数－2对应的点之间的距离为8的点对应的数为6或－10，即4x ＝6或4x ＝－10，所以x ＝32或x ＝－52.(3)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数3和数－4对应的点之间的距离之和为9的点对应的数，即为x 的值．在数轴上，数3和－4对应的点的距离为7，满足方程的x 在数轴上的对应点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x ＝4；同理，若x 对应的点在－4的左边，可得x ＝－5.故原方程的解是x ＝4或x ＝－5.2．解：(1)当x ＜1时，方程可化为x ＋3(1－x)＝7，即3－2x ＝7，解得x ＝－2，符合题意；当x ≥1时，方程可化为x ＋3(x －1)＝7，即4x －3＝7，解得x ＝52，符合题意．所以原方程的解为x ＝－2或x ＝52.(2)原方程可变形为|x －12|＝x ＋1，根据绝对值的意义，得x －12＝1＋x 或x －12＝－(1＋x)，解得x ＝－3或x ＝－13，经检验：x ＝－3不是原方程的解，x ＝－13是原方程的解．所以原方程的解是x ＝－13.。

思维特训(九)整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b ＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab ＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二 同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a ＝－3时，求整式7a 2－[5a －(4a －1)＋4a 2]－(2a 2－a ＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a ＝－3看成了a ＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x＝12”错看成“x＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y＝－1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x 3－6x 2－7x ＋8＋x 2＋3x －2x 3＋3＋x 3＋5x 2＋4x －1＝(1－2＋1)x 3＋(－6＋1＋5)x 2＋(－7＋3＋4)x ＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x 的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a 3－6a 3b ＋3a 2b ＋3a 3＋6a 3b －3a 2b －10a 3＋3＝3.整式的结果与a ，b 的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x 2＋(a ＋2)x －11y ＋8，因为整式的值与x 的取值无关，所以1－b ＝0，a ＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.。

思维特训(一) “填幻方”问题方法点津·一、杨辉法中国南宋时期杰出的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排三阶幻方的编写方法，如图1－S－1.九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．图1－S－1也就是将1～9九个自然数依次斜排为三行三列(如图①)，再把上下两个数(1和9)对换，左右两个数(7和3)对换(如图②)，最后将四角上的数向四个角挺出，就得到三级幻方(如图③)．注意：“九子斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了．二、口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方．具体解释如下：如图1－S－2，“一填首行正中央”，指的是1～9这九个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中；“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方；“上出下填右出左”，指的是如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字了，那么就填在前一个数字的正下方．对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方．这种方法适合三阶、五阶、七阶等所有奇数阶幻方．图1－S－2典题精练·1．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有数目(个数为1～9)不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1－S－3给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是()图1－S－3图1－S－42．在3×3的方格上做填字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，填在图中三格中的数字如图1－S－5所示，若要填成，则S＝________.图1－S－53．教材在七年级数学(上册)的第21页介绍了填幻方，这部分内容就是传说中的“龟背图”，也就是“九宫图”．如图1－S－6，根据所给的“九宫图”请你找找规律，利用发现的规律将3，5，－7，1，7，－3，9，－5，－1这九个数字分别填入图中的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数字和相等．图1－S－64．将5，7，9，11，13，15，17，19，21填入如图1－S－7所示的小方格中，使之成为一个3×3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等．图1－S－75．试将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6填入如图1－S－8所示的3×3的方格中，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等．图1－S－86．将－15，－12，－9，－6，－3，0，3，6，9填入如图1－S－9所示的3×3方格中，使大方格的横、竖、斜对角的3个数字之和都相等.图1－S－97．图1－S－10是一个3×3的幻方，每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．如何把9个连续整数迅速填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等，是我们祖先早就在研究的问题．古代的“洛书”、汉朝徐岳的“九宫算”就揭示出祖先们得到的神奇填写方法．图①是把－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等的一种方法．(1)请观察图①中数字的填写规律，将下列各数组中的9个数分别填入图②③④所示的3×3方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．第一组：6，5，4，3，2，1，0，－1，－2；第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；第三组：－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8.图1－S－10(2)拓展探究：在图1－S－11所示的9个空格中，填入5个2和4个－2，使得每行、每列、每斜对角上的三个数的乘积都是8.图1－S－11(3)拓展探究：将25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这25个数分别填入图1－S－12所示的25个空格中，使得每行、每列、每斜对角上的五个数相加的和均相等.图1－S－12详解详析1．C2．30[解析] 如图，因为每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，所以x ＋10＋y＝8＋y＋13，所以x＝11.所以b＋11＋a＝8＋10＋a，所以b＝7，所以S＝b＋10＋13＝30.3.解：填法不唯一，如图：4．解：填法不唯一，如图：5．解：填法不唯一，根据杨辉法填图如下：故答案如下：6.解：填法不唯一，填图如下：7.解：(1)如图所示(填法不唯一)：(2)填法不唯一，填写如图所示：(3)填写如图所示(填法不唯一)：。