2018年秋人教版七年级数学上思维特训(二十一)含答案：角的运动问题

七年级数学专题训练23 与角相关的问题阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1. 角的分类； 2. 角平分线的概念； 3. 互余、互补等数量关系角； 4. 用方程的观点来进行角的计算.例题与求解【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则12∠+∠= .21（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12∠+∠的值.【例2】如果α∠与β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠. 其中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.【例3】已知80AOB ∠=︒，OC 是不在直线OA ，OB 上的任一条射线. OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOC . 求∠MON 的大小.（题目中考虑的角都小于平角）B'A'O BA（湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因OC 位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x 的值.（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x 的代数式表示，通过解方程求出x 的值.【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.19°（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ （3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.【例6】如图所示，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC . （1）如图①，若30AOC ∠=︒，求∠DOE 的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出∠DOE 的度数 （用含α的代数式表示）；（3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置.① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；② 在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由ABODCEECDOBA图 ① 图 ②（湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE 的度数；（2）先根据∠DOE 与∠COE 的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC 表示出∠COE ，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；（3）①可设∠BOC 为一个未知数，分别表示出∠AOC 与∠DOE ，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.能力训练A 级1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 .（“祖冲之杯”邀请赛试题）2. 如图，45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 .EC DOBA（“希望杯”邀请赛试题）3. 如图，150AOC BOD ∠=∠=︒，若3AOD BOC ∠=∠，则BOC ∠等于 .AB ODC4. 如图，O 是直线AB 上一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分∠BOD ，则图中彼此互补的角有 对.ECDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）5. 一个角的补角的117是6°，则这个角是（ ） A. 68° B. 78° C. 88° D. 98°（“希望杯”邀请赛试题）6. 用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）种 A. 9 B. 10 C. 11 D. 127. 如图，若180AOB ∠=︒，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）2ABO1A.1212∠-∠B.132122∠-∠C. 1(21)2∠-∠D.1(21)3∠+∠ （甘肃省兰州市竞赛试题）8. 如图，180AOB ∠=︒，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设BOD α∠=，则与α的余角相等的角是（ ）αABODCEA.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9. 如图，已知2COB AOC ∠=∠，OD 平分∠AOB ，且19COD ∠=︒，求∠AOB 的度数.CDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）10. 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，12BOE EOC ∠=∠，72DOE ∠=︒. 求∠EOC 的度数.ECDO BA11. 已知80AOB ∠=︒，OC 平分∠AOB ，60COD ∠=︒，OE 平分∠COD . 求∠AOE 的大小.EC DOB A12. 如图，已知OB ，OC ，OD 为∠AOE 内三条射线. （1）图中共有多少个角？（2）若OB ，OC ，OD 为∠AOE 四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE 的度数. （3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和.EC DOBAB 级1. 已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是 .（浙江省杭州市竞赛试题）2. α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则αβγ++= .（江苏省竞赛试题）3. 如图，点O 在直线AB 上，OC ，OD ，OE ，OF 是位于AB 同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.F ABOD C E（五城市联赛试题）4. 如图，射线OC ，OD ，OE ，OF 分别平分∠AOB ，∠COB ，∠AOC ，∠EOC ，若24FOD ∠=︒，则AOB ∠= .F EC DOBA（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）5. 4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33（“五羊杯”竞赛试题）6. 如图是一个3×3的正方形，则图中1239∠+∠+∠++∠的和等于（ ）987654321A. 270°B. 315°C. 360°D. 405°（广西省竞赛试题）7. 已知，OM ，ON ，OP 分别是∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的平分线，则下列各式中成立的是（ ）OCB APMNA.AOP MON ∠>∠B.AOP MON ∠=∠C.AOP MON ∠<∠D.以上情况都有可能 8. 如图，∠AOC 是直角，21.5COD ∠=︒，且OB ，OD 分别是∠AOC ，∠BOE 的平分线，则∠AOE 等于（ ）ABODCEA. 111.5°B. 138°C. 134.5°D. 178°（五城市联赛试题）9. 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF ，使∠COE 和∠BOE 互余，射线OF 和OD 分别平分∠COE 和∠BOE . 求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠.FABODC E10. 如图，∠A 1OA 11是一个平角，322143325443A OA A OA A OA A OA A OA A OA ∠-∠=∠-∠=∠-∠==11101092A OA A OA ∠-∠=︒. 求1110A OA ∠的度数....A 5A 4A 3A 2A 10A 11A 1O（山东省竞赛试题）11. 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB 的面积第一次达到最大？（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）专题23 与角相关的问题例1 45°提示：如图，通过拼补得∠1+∠2=45°.例2．B提示：①（90°－∠β）+∠β=90°符合；②（∠α－90°）+∠β=∠α+∠β－90°=180°－90°=90°符合；③11(1809090 22αββββ∠+∠+∠=⨯︒+∠=︒+∠≠︒）；④111()18090222αββαβ∠-∠∠=∠+∠=⨯︒=︒()+符合.故①②④能表示β∠的余角.13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOM=∠COM=12AOC∠，∠CON=∠BON=12BOC∠（1）如图①，若OC在∠AOB内，设∠BOC=x，则图①图② 图③ 例6 （1）20m n，2(6)0n ，且2m n 与2(6)n 互为相反数。

- 1 -思维特训(七) 含有字母的绝对值的化简 方法点津 ·1．绝对值的性质：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．有理数的加法法则：若a >b >0，则a ＋b >0；若0>b >a ，则a ＋b <0；若a ，b 异号，|a |>|b |，则a ＋b 的符号与a 的符号保持一致．典题精练 ·类型一 以数轴为背景的绝对值的化简1．(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离；(2)若|a|＝－a ，则a________0；(3)有理数a ，b 在数轴上的位置如图7－S －1所示，请化简：|a|＋|b|＋|a ＋b|.图7－S －12．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －2所示，化简：|a ＋b|－|a －b|＋|a ＋c|.图7－S －2- 2 -3．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －3所示，化简：|a ＋c|－|a －b|＋|b ＋c|－|b|.图7－S －34．有理数a ，b ，c在数轴上的位置如图7－S －4所示，化简：3|a －b|＋|a ＋b|－|c －a|＋2|b －c|.图7－S －45．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －5所示，化简：|b －c ＋a|＋|a ＋c|－|b －a ＋c|－|a ＋b ＋c|.图7－S －5类型二以符号为背景的绝对值的化简6．已知x＜0，y＞0，z＜0，且|x|＜|y|，|y|＞|z|，化简：|x＋z|－|y＋z|＋|x＋y|－|x－y＋z|.7．(1)若－2≤a≤2，化简：|a＋2|＋|a－2|＝______；(2)若a≥－2，化简：|a＋2|＋|a－2|；(3)化简：|a＋2|＋|a－2|.- 3 -详解详析1．解：(1)原点(2)因为|a|＝－a，所以a≤0.(3)由a，b在数轴上的位置可知，a＜－1＜0＜b＜1，所以a＜0，b＞0，a＋b＜0，所以|a|＝－a，|b|＝b，|a＋b|＝－a－b，所以原式＝－a＋b－a－b＝－2a.2．解：根据题意，得－2＜c＜－1，0＜a＜1，2＜b＜3，所以a＋b＞0，a－b＜0，a＋c＜0，所以原式＝a＋b－[－(a－b)]＋[－(a＋c)]＝a＋b＋a－b－a－c＝a－c.3．解：由图可知：a＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，b＜0，所以原式＝－(a＋c)－(a－b)－(b＋c)＋b＝－a－c－a＋b－b－c＋b＝－2a＋b－2c.4．解：由图可知c＞0，a＜b＜0，则a－b＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，所以原式＝－3(a－b)－(a＋b)－(c－a)－2(b－c)＝－3a＋3b－a－b－c＋a－2b＋2c＝－3a＋c.5．解：由图可知b－c＋a＜0，a＋c＜0，b－a＋c＞0，a＋b＋c＜0，- 4 -则原式＝－b＋c－a－a－c－b＋a－c＋a＋b＋c＝－b. 6．解：因为x＜0，y＞0，z＜0，|x|＜|y|，|y|＞|z|，所以x＋z＜0，y＋z＞0，x＋y＞0，x－y＋z＜0，所以原式＝－x－z－y－z＋x＋y＋x－y＋z＝x－y－z. 7．解：(1)因为－2≤a≤2，所以a＋2≥0，a－2≤0，所以|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4.故答案为4.(2)①如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；②如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.(3)①如果a＜－2，那么|a＋2|＋|a－2|＝－a－2＋2－a＝－2a；②如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；③如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.- 5 -思维特训(八) 整体法求整式的值方法点津·1．整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．2．根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．典题精练·类型一已知一个代数式的值进行整体求值1．若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝________．2．理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果式子5a＋3b的值为－4，那么式子2(a＋b)＋4(2a ＋b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b.把等式5a＋3b＝－4的两边同乘2，得10a＋6b＝－8.仿照小明的解题方法，完成下面的问题：(1)如果a2＋a＝0，那么a2＋a＋2018＝________；(2)已知14x－21x2＝－14，求9x2－6x－5的值；(3)已知a－b＝－3，求3(a－b)－5a＋5b＋5的值；(4)请你仿照以上各题的解法，解决下列问题(写出必要的解题过程)：若a－b＝4，求如图8－S－1所示两个长方形的面积差，即S1－S2的值．图8－S－1- 6 -- 7 -类型二 已知两个代数式的值进行整体求值3．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m ＋n ＝－2，mn ＝－4，则2(mn －3m)－3(2n －mn)的值为________．4．若a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，则(a ＋b ＋c －d)＋(a ＋b ＋d －c)＋(a ＋c ＋d －b)－(a －b －c －d)＝________．5．阅读下面例题的解题过程，再解答下面的问题．例题：已知m －n ＝100，x ＋y ＝－1，求(n ＋x)－(m －y)的值．解：(n ＋x)－(m －y)＝n ＋x －m ＋y ＝n －m ＋x ＋y ＝－(m －n)＋(x ＋y)＝－100－1＝－101.问题：(1)已知a ＋b ＝－7，ab ＝10，求(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)的值；(2)已知a 2＋2ab ＝－2，ab －b 2＝－4，求2a 2＋72ab ＋12b 2的值．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数(整体)．根据提示解答下列问题．已知A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5，当x ＝2时，求B ＋C 的值．- 8 -- 9 -详解详析1．1[解析] 原式＝－3mn ＋3m ＋10，把mn ＝m ＋3代入，得原式＝－3m －9＋3m ＋10＝1.2．解：(1)a 2＋a ＋2018＝0＋2018＝2018.(2)由14x －21x 2＝－14，得21x 2－14x ＝14，即3x 2－2x ＝2，则原式＝3(3x 2－2x)－5＝6－5＝1.(3)3(a －b)－5a ＋5b ＋5＝3(a －b)－5(a －b)＋5＝－2(a －b)＋5.当a －b ＝－3时，原式＝11.(4)两个长方形的面积差是S 1－S 2＝4(5a －2b)－3(6a －2b)＝20a －8b －(18a －6b)＝2a －2b ＝2(a －b)．当a －b ＝4时，S 1－S 2＝2×4＝8.3．－8[解析] 因为m ＋n ＝－2，mn ＝－4，所以原式＝2mn －6m －6n ＋3mn ＝5mn －6(m ＋n)＝－20＋12＝－8.4．－2 [解析] 因为a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，所以原式＝a ＋b ＋c －d ＋a ＋b ＋d －c ＋a ＋c ＋d －b －a ＋b ＋c ＋d ＝2a ＋2b ＋2c ＋2d ＝2(a ＋b ＋c ＋d)＝－2.5．解：(1)(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)＝3ab ＋6a ＋4b －2a ＋2ab＝5ab ＋4a ＋4b＝5ab ＋4(a ＋b)．当a ＋b ＝－7，ab ＝10时，原式＝5×10＋4×(－7)＝22.(2)把a 2＋2ab ＝－2左右两边同乘2，得2a 2＋4ab ＝－4，把ab －b 2＝－4左右两边同乘12，- 10 -得12ab －12b 2＝－2. 所以2a 2＋72ab ＋12b 2＝2a 2＋4ab －(12ab －12b 2)＝－4－(－2)＝－2. 6．解：因为A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5， 所以B ＋C＝(A ＋B)－(A －C)＝3x 2－5x ＋1－(－2x ＋3x 2－5)＝3x 2－5x ＋1＋2x －3x 2＋5＝－3x ＋6，把x ＝2代入上式，得B ＋C ＝－6＋6＝0.思维特训(九) 整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？- 11 -3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a＝－3时，求整式7a2－[5a－(4a－1)＋4a2]－(2a2－a＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？- 12 -- 13 -6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x ＝12”错看成“x ＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y ＝－1”错看成“y ＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x3－6x2－7x＋8＋x2＋3x－2x3＋3＋x3＋5x2＋4x－1＝(1－2＋1)x3＋(－6＋1＋5)x2＋(－7＋3＋4)x＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3＝3.整式的结果与a，b的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8，因为整式的值与x的取值无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．- 14 -6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.- 15 -。

初中七年级（上）旋转动角问题专题（适用于七年级上学期）〖解题策略〗角是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1.角平分线的应用，如双角平分线模型；2. 多个角间的数量关系及其等量代换；3. 引入字母表示比例角度、动角，用方程的观点来进行角的计算；4.角的边位置不定时，需要分类讨论.〖典型例题〗已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=∠BOD，求∠DOE的度数；（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值：（3）若射线OM绕着O点从OA开始以15度秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON一∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t所在的时间段．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）版权所有解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=∠AOB=75°，∵∠BOC=60°，∠COD=∠BOD，∴∠BOD=40°，∠COD=20°，∴∠EOD=∠EOB﹣∠DOB=75°﹣40°=35°．（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，∴90﹣15t=60﹣5t，∴t=3．当OE与OF重合时，15t+5t=150°，t=7.5．综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s．（3）2∠BON﹣∠BOM的值为定值（4＜t＜12）．理由：∵∠AOM=15t．∠AON=∠MON=7.5t，∠BON=210°﹣7.5t，∠BOM=210°﹣15t，∴2∠BON一∠BOM=2（210°﹣7.5t）﹣（210°﹣15t）=210°（4＜t＜12）．〖同步练习〗一. 填空题．1．计算：53°40′30″+75°57′28″＝2．同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是度．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？3．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为．4．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=°．二. 解答题5．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=；若∠AOC=120°，则∠DOE=；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．7．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？8．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．10．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF 平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α=；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t （0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α﹣β|=20°，请直接写出t的值为．〖参考答案〗一. 填空题．1．计算：53°40′30″+75°57′28″＝129°37′58″，解：53°40′30″+75°57′28″=128°97′58″=129°37′58″2．同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是90度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是72.5度．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？解：（1）3×30=90°；（2）2×30°=72.5°；（3）从重合到第一次垂直所需要的时间为，设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则6x﹣0.5x=2×905.5x=180x=，（24×60﹣）÷=24×60×=43.5（次）取整为43次．故总次数为43+1=44（次）答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．3．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为3或或．解：当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=3；当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=．当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=．故t的值为3或或．4．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=114°．解：∵OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC又∵剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，∴2∠COE=76°∴∠COE=38°又∵∠BOE=∠EOC，∴∠BOE=×38°=19°∴∠BOC=∠BOE+∠EOC=19°+38°=57°则∠AOB=2∠BOC=2×57°=114°．二. 解答题5．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB=20°，所以∠AOC=40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE=110°，所以∠AOD=55°，因为∠COD=∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD=55°﹣40°=15°；（2）因为90°﹣55°=35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE=30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣30，解得，x=40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣305x﹣110=3x+30，解得，x=70．6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=50°；若∠AOC=120°，则∠DOE=60°；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=α（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．解：（1）∵∠AOC=100°，∴∠BOC=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×80°=40°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣40°=50°；∵∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×60°=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣30°=60°；（2）∠DOE=α；∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=90°﹣α，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣（90°﹣α）=α；（3）∠DOE﹣∠AOF=45°．理由：∵∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，∴∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，设∠DOE=x，∠AOF=y，左边=∠AOC﹣3∠AOF=2∠DOE﹣3∠AOF=2x﹣3y，右边=2∠BOE+∠AOF=2（90°﹣x）+y=180°﹣2 x+y，∴2x﹣3y=180﹣2 x+y 即4x﹣4y=180°，∴x﹣y=45°∴∠DOE﹣∠AOF=45°．7．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN 如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？解：（1）∠DBA=∠DBC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）∠MBN的度数不变化，理由如下：设∠ABE=x°，则∠ABD=60﹣x°、∠CBE=45°﹣x°，∵BM、BN分别平分∠ABD、∠CBE∴∠ABM=∠ABD=（60°﹣x°），∠EBN=∠EBC=（45°﹣x°），∴∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN=（60°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）=52.5°；（3）（2）中的结论不变，理由如下：设∠ABE=x°，则∠ABD=60+x°、∠CBE=45°+x°，∵BM、BN分别平分∠ABD、∠CBE，∴∠ABM=∠ABD=（60°+x°），∠EBN=∠EBC=（45°+x°），∴∠MBN=∠ABM﹣∠ABE+∠EBN=（60°+x°）﹣x°+（45°+x°）=52.5°．8．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，∴90°﹣3t°=75°，解得：t=5．此时∠MOA=3°×5=15°=∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=90°÷2，解得t=2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=180°+90°÷2，解得t=32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9t=（90°﹣3t）÷2，解得t=14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）=（3t﹣90°）÷2，解得t=38（舍去）．故EF能平分∠NOB，t的值为14s．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=90°；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 4.5秒或40.5秒（直接写出结果）．解：（1）如图2，∠BOM=90°，OM平分∠CON．理由如下：∵∠BOC=135°，∴∠MOC=135°﹣90°=45°，而∠MON=45°，∴∠MOC=∠MON；（2）∠AOM=∠CON．理由如下：如图3，∵∠MON=45°，∴∠AOM=45°﹣∠AON，∵∠AOC=45°，∴∠NOC=45°﹣∠AON，∴∠AOM=∠CON；（3）T=×45°÷5°=4.5（秒）或t=（180°+22.5°）÷5°=40.5（秒）．10．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=45°；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF 平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α＝30°；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t （0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α，请直接写出t的值为．﹣β|=20°解：（1）如图1中，∵∠EOD=90°，OF平分∠EOD，∴∠FOD=∠EOD=45°，（2）①如图2中，当t=1时，∵∠DCA=30°，∠ECD=90°，∴∠ECA=120°，∵CF平分∠ACE，∴∠FCA=∠ECA=60°∴α＝∠FCD=60°﹣30°=30°②如图2中，猜想：∠BCE=2α．理由：∵∠DCE=90°，∠DCF=α，∴∠ECF=90°﹣α，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ECF=90°﹣α，∵点A，O，B共线∴AOB=180°∴∠BCE=∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD=180°﹣90°﹣（90°﹣2α）=2α．（3）如图3中，由题意：α＝∠FCA﹣∠DCA=（90°+30t）﹣30t=45°﹣15t，β＝∠AC1D1+∠AC1F1=30t+（90°﹣30t）=45°+15t，∵|β﹣α|=20°，，∴|30t|=20°解得t=．。

七上动角问题（难题）训练一、解答题1.如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB=90°，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？为什么？(2)如图2，当∠AOB=70°，∠BOC=60°时，∠MON=度。

(直接写出结果)(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？2.已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点，(1)若点C恰好是AB中点，求DE的长．(2)若AC=4cm，求DE的长．(3)试说明不论AC取何值(不超过12cm)，DE的长不变．(4)知识迁移：如图2，已知∠AOB=120∘，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60∘与射线OC的位置无关．3.如图1，已知PQ//MN，点A，B分别在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转(速度是a/秒)，射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转(速度是秒).且a、b满足|a−3b|+(a+b−4)2=(1)直接写出a、b的值；(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒(t<60)，两条旋转射线交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，求出∠BAC与∠BCD的数量关系；(3)若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒(t≺160)，若旋转中AM//BP，求t的值．4.如图1，已知∠AOC=120°，射线OM以每秒8°的速度，从射线OC开始逆时针向射线OA旋转，到达射线OA之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线OC 停止，射线ON从射线OA开始，以每秒4°的速度顺时针向射线OC旋转，直到到达各自的目的地才停止.设旋转时间为t秒．(1)当t=5秒时，求出∠MON的度数．(2)在运动过程中，当∠MON达到48°时，求t的值．(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM、射线OA、射线ON其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．5.如图1，已知∠AOB=126°，∠COD=54°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=1 3∠AOC，∠BON=13∠BOD．(1)∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，求∠MON 的度数；(2)∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°(0<n<126且n≠54)，求∠MON的度数；6.【探究】将两个三角板的两个直角顶点O重合在一起，放置成如图甲所示的位置，请回答下面的问题．(1)如果重叠在一起∠BOC=30°，则∠AOD=___________．(2)若将∠COD绕点O旋转，使重叠在一起的∠BOC=50°，∠AOD=______ ．(3)图甲中∠AOC与∠BOD满足的数量关系是___________，根据是__________．【拓展】在图甲所示的位置上，继续将∠COD绕点O旋转，得到如图乙所示的位置，请回答下面的问题．(4)如果∠BOC=x°，则∠AOD=_________________(用含x的式子表示)(5)此时图乙中∠AOC与∠BOD始终满足的数量关系是________________．【结论】由上述的探究过程可知，三角板COD绕重合点O旋转．不论旋转到任何位置时，∠AOD与∠BOC始终满足的数量关系是________________________．7.已知将一副三角板(直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=900，∠ABO=450，∠CDO=900，∠COD=600)(1)如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？(2)如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？(3)如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．8.如图，已知直线AB上一点O，∠AOC=∠DOE=90°，∠DOC=∠EOB．(1)求证：∠AOD=∠COE证明(法1)：∵∠AOC=∠DOE=90°(已知)∴∠AOD+∠COD=90°∠COE+∠COD=90°∴∠AOD=∠COE(____________)(法2)∵∠AOC=90°(已知)∴∠COB=90°∴∠AOD+∠DOC=90°∠COE+∠EOB=90°∵∠DOC=∠EOB(已知)∴∠AOD=∠COE(____________)∠BOD，求∠AOE、∠COD的度数．(2)若∠COE=159.已知如图(1)：∠AOB=α，∠COD=β(3a>β,且α,β为锐角)，OM平分∠AOD，ON平分∠COB，在线段AC上，AB=x，CD=y，M为AD中点，N为CB中点．(1)图(1)中，在∠AOC内，当射线OB和射线OD重合时，求∠MON的度数，此时在线段AC上，当点B和点D重合时，求线段MN的长度；(2)图(2)中，在∠AOC内，当射线OB和射线OD不重合时，求∠MON的度数，此时在线段AC上，当点B和点D不重合时，求线段MN的长度；(3)当∠COD从图(1)所示的位置绕点O逆时针旋转n∘(0<n<90)时，满足∠AOC+∠MON=6∠COD，求旋转度数n(结果用α,β表示)10.已知：如图，∠AOC=∠AOB+∠BOC，且∠AOC<180°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．(1)如果∠AOB=80°，∠BOC=50°，求∠DOE的度数；(2)请你任意指定∠AOB和∠BOC的度数，其他条件不变，通过画图，计算∠DOE的度数；不必写出上述画图计算过程，直接写出你指定的∠AOB的度数为________°，∠BOC的度数为________°，算出的∠DOE的度数为________°；(3)在已知条件下，从(1)、(2)的结果中，你发现了什么规律，请写出来．11.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，其中∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．(1)①如图，若∠ACB=130°，求∠DCE的度数；②猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；(3)当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值；若不存在，请说明理由．12.如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB下方．(1)三角板绕点O逆时针旋转一定的角度，当边OM在∠BOC的内部，ON在AB的下方时，①若∠BON=10°，求∠COM的度数；②探究∠COM与∠BON之间的数量关系，并简单说明理由；(2)若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为(直接写出结果)．13.O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______ ，∠COF和∠DOE的数量关系为______；(2)若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系．14.已知将一副三角板(∠AOB=90∘,∠ABO=45∘,∠CDO=90∘,∠COD=30∘):(1)如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，求∠BOD的度数；(2)如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，当OA恰好平分∠COD时，求∠BOC的度数；(3)如图3，继续旋转，当三角板OCD完全转入三角板AOB内部时，作射线OM平分∠AOD，射线ON平分∠BOC，①若∠AOD=20∘时，求∠MON的度数；②当∠AOD的度数改变时，∠MON的度数是否会改变，请说明理由.若不变，求出∠MON的值．15.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；(2)若∠BOC=120°.①将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为__________(直接写出结果)；②将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．16.如图，已知点O为直线MN上一点，点A在射线OM上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，OC为∠MOA的角平分线，点B为射线ON上的一点，射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，OD为∠BON的角平分线，OA、OB同时旋转，设旋转时间为t秒(0≤t≤60)：⑴用含t的代数式表示∠AOC的度数．⑴在运动过程中，当∠COD第二次达到40°时，求t的值．⑴在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．17.点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)①如图1，若∠DOE=25°，求∠AOC的度数；②如图2，若∠DOE=α，直接写出∠AOC的度数(用含α的式子表示)；(2)将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．。

毕达哥拉斯（约公元前580——前500），古希腊数学家．他既是哲学家、数学家、又是天文学家，创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派．他提出了“万物皆数”的著名论断，被誉为西方理性数学的创始人．毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是毕达哥拉斯的一大贡献，他还首创地圆说，认为日、月、星都是球体，悬浮在太空之中．22．角解读课标角也是一种最基本的几何图形，它在现实生活中随处可见．张开的剪刀、纵横交错的公路、钟面上的时针和分针等都给我们以角的形象．角既可以看作有公共端点的两条射线组成的图形，又可看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．与角相关的知识有： 1．角平分线的概念； 2．角的分类；3．互余、互补等数量关系角．类似于解与线段相关的问题，解与角相关的问题时，往往用到相关概念、分类与讨论、代数式的思想等知识方法．问题解决例1 把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到'70AOB ∠=︒，则'B OG ∠=_______．DOG ABCC'B'试一试 折痕OG 两旁的部分能互相重合，即OG 为'BOB ∠平分线，这是解本例的关键． 例2 如图，A 、O 、B 在一条直线上，AOC BOC ∠=∠，若12∠=∠，则图中互余的角共有（ ）． A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对21DOABCE试一试 从互余的概念入手，应注意等量代换，避免漏掉互余的角．例3 如图，已知2BOC AOC ∠=∠，OD 平分AOB ∠，且19COD ∠=︒，求AOB ∠的度数．试一试 设AOC x ∠=，建立方程，用代数方法计算．DABC例4 将一副三角板的两三角板如图放置，OM 平分AOC ∠，ON 平分DOC ∠． （1）将45︒三角板绕O 点旋转（30︒角的三角板不动），求MON ∠的大小．（2）若将30︒角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论是否变化？（直接写出结论，不必说明理由）试一试 三角板绕O 点旋转过程中，有下列情形：OA 与OB 重合，OA 在COB ∠内部，COB ∠包含在AOD ∠内部，故分类讨论是解本例的关键．30°45°DOAB C例5 已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．图①DO ABC E图②DOA B C E（1）如图①，若30AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图①中的DOE ∠绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置． ①探究AOC ∠与DOE ∠的度数之间的关系；②在AOC ∠的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定AOF ∠与DOE ∠的度数之间的关系，并说明理由．分析与解 对于（3）②，为方便设DOE x ∠=，AOF y ∠=，将条件等式变形为只含x ，y 的等式． （1）15︒ （2）2DOE α∠=（3）①12DOE AOC ∠=∠．②左边2424DOE AOF x y =∠-∠=-，右边()22901802BOE AOF x y x y =∠+∠=︒-+=︒-+， 即241802x y x y -=︒-+，得45180x y -=︒， 45180DOE AOF ∠-∠=︒∴．钟表上的角度例6 在0时到12时之间，钟面上的时针与分针在什么时候成60︒的角？试尽可能多地找出答案，又秒针与时针共有几次成60︒的角？分析与解 直觉作答或近似估计，可得到一些答案，而通过方程可使我们找到问题全部的解． 而列方程解答，又有几种不同的解题策略： （1）分别对两个整点之间的答案列出方程求解； （2）在上述某础上寻找规律求出全部解；（3）将问题看成圆周追及问题．设分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为112，将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时（从0时开始）开始同向而行，要求使两者相距10个单位长度所用的时间．设从0时开始，过x 分钟后分针与时针成60︒的角，此时分针比时针多走了n 圈()0,1,2,3,,11n =，则601012x x n -=+，或605012xx n -=+， 解得()12601011x n =+或()12605011x n =+． 分别令以0n =，1，2，3，…，11，即得本题的所有22个解（精确到秒）：0:54:33，2:00:00，3:05:27，4:10:55，5:16:22，6:21:49，7:27:16，8:32:44，9:38:11，10:43:38，11:49:05；1:16:22，2:21:49，3:27:16，4:32:44，5:38:11，6:43:38，7:49:05，8:54:33，10:00:00，11:05:27，0:10:55．在12小时内，秒针相对于时针走了60121719⨯-=圈，所以秒针与时针共有71921438⨯=次成60︒的角．数学冲浪 知识技能广场1．一个角的余角比它的补角的13还少20︒，则这个角是________．2．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．（1）若145AOD ∠=︒，则BOC ∠=________． （2）若AOD BOC ∠=4∠，则AOC ∠=___________．DABC3．如图，AOB ∠是钝角，OC 、OD 、OE 是三条射线，若OC OA ⊥，OD 平分AOB ∠，OE 平分BOC ∠，那么DOE ∠的度数是_________．DOABCE4．如图，O 是直线AB 上一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分BOD ∠，则图中彼此互补的角有________对．DOABCE5．在时刻8:30，时钟上的时针与分针之间的夹角为（ ）． A ．85︒ B ．75︒ C ．70︒ D ．60︒6．如图所示的44⨯的方格表中，设ABD α∠=，DEF β∠=，CGH γ∠=，则（ ）． A ．βαγ<< B ．βγα<< C ．αγβ<< D ．αβγ<<DGHABCEF7．如图，A 、O 、B 在一条直线上，1∠是锐角，则1∠的余角是（ ）．A ．1212∠-∠B ．132122∠-∠C ．()1212∠-∠D ．()1213∠+∠OAB128．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在'D 、'C 的位置．若65EFB ∠=︒，则'AED ∠等于（ ）．A ．70︒B ．65︒C ．50︒D ．25︒D'C'FEDCBA9．如图，已知OB 、OC 、OD 为AOE ∠内三条射线． （1）图中共有多少个角？（2）若OB 、OC 、OD 为AOE ∠四等分线，且图中所有锐角的和为400︒，求AOE ∠的度数； （3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和．OECBAD10．如图，两个形状、大小完全相同的含有30︒、60︒的三角板如图①放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转．图①CBANMD图②FE C B AP NMD图③D MNPAC（1）试说明：90DPC ∠=︒；（2）如图②，若三角板PAC ∠的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转一定角度，PF 平分APD ∠，PE 平分CPD ∠，求EPF ∠；（3）如图③，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速为3/s ︒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速为2/s ︒，在两个三角形旋转过程中（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），问CPDBPN∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．思维方法天地11．以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使:5:4AOC BOC ∠∠=，若15AOB ∠=︒，则AOC ∠的度数是__________．12．在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针成直角的时刻是________． 13．如图，在33⨯的网格中标出了1∠和2∠，则12∠+∠=________．2114．如图，45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，那么不大于90︒的角有________个，它们的度数之和是_______．DOAB CE15．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于（ ）．A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒CBA16．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE AB ⊥于点O ，OF 平分AOE ∠，11531'∠=︒，则下列结论中不正确的是（ ）．A ．245∠=︒B ．13∠=∠C ．AOD ∠与1∠互为补角 D ．1∠的余角等于7531'︒DOA BCEF12317．如图是一个33⨯的正方形，则图中1239∠+∠+∠++∠的和等于（ ）． A ．270︒ B ．315︒ C ．360︒ D ．405︒987654321BA18．如图，OB 、OC 是AOD ∠的任意两条射线，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若MON α∠=，BOC β∠=，则表示AOD ∠的式子是（ ）．A ．2αβ-B ．αβ-C ．αβ+D ．以上都不正确D OMNAB C19．如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC 、OD 、OE 、OF ，使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，试探究AOF BOD ∠+∠与DOF ∠的关系，并说明理由．DO A BC EF20．如图①，点O 为直线AB 上一点．过O 点作射线OC ，使120BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．图①CBAMO 图②OMA BC图③C BA NMO（1）将图①中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图②，使一边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：直线ON 是否平分AOC ∠?请说明理由；（2）将图中的三角板绕点O 按每秒6︒的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直线ON 恰好平分AOC ∠，求t 的值；（3）将图①中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图③的位置，使ON 在AOC ∠的内部．请探究：AOM ∠与NOC ∠之间数量关系，并说明理由．应用探究乐园21．（1）时钟在2点15分时，时针和分针的夹角是多少度？（2）晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是6点多，时针与分针成90︒角，散完步后回家，小明又看了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90︒角，问小明外出多少分钟？22．已知150AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内的一条射线，射线OD 平分AOC ∠，射线OE 平分BOD ∠． （1）若AOD EOC ∠=∠（如图①），求AOD ∠的度数； （2）设()50AOD αα∠=≠︒，求AOD BOECOE∠-∠∠的值．DABCE图①OAB备用图AB备用图角答案问题解决例1 ()()111''180'1807055222B OG BOB AOB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．例2 B 90AOC BOC ∠=∠=︒，12∠=∠，COD AOE ∠=∠．例3 2BOC x ∠=，3AOB x ∠=，32AOD x ∠=，由AOD AOC COD ∠-∠=∠，得3192x x -=︒，解得38x =︒，故338114AOB ∠=⨯︒=︒．例4 （1）在旋转的过程中，12MON AOD ∠=∠这一关系不变，从而22.5MON ∠=︒． （2）略数学冲浪1．75︒ 2．（1）35︒；（2）54︒ 3．1452DOE AOC ∠=∠=︒4．6 5．B 6．B 7．C 8．C 9．（1）有10个角；（2）80AOE ∠=︒；（3）416︒． 10．（1）略（2）30EPF ∠=︒，设CPE DPE x ∠=∠=，CPF y ∠=．（3）设运动时间为t 秒，则2BPM t ∠=，1802BPN t ∠=︒-，302DPM t ∠=︒-，3APN t ∠=，18090CPD DPM CPA APN t ∠=︒-∠-∠-∠=︒-．90118022CPD t BPN t ∠︒-==∠︒-∴，为定值．11．若射线在AOB ∠的内部，则820'AOC ∠=︒；若射线OC 在AOB ∠的外部，则75AOC ∠=︒． 12． 10点23811分或11点101011分 设10点30分以后，过x 分钟，时针与分针的夹角为90︒，由60.513590x x -=-或60.513590x x -=+得2811x =或104011． 13．45︒ 通过拼补计算14． 10；450︒ 15．A 16．D17．D 沿AB 作对折时，上、下图形能够重合，得19264890∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒． 18．A19．90COE BOE ∠+∠=︒，45DOF ∠=︒，135AOF BOD ∠+∠=︒，从而3AOF BOD DOF ∠+∠=∠． 20．（1）ON 平分AOC ∠； （2）10t =或40；（3）30AOM NOC ∠-∠=︒ 21．（1）22.5︒（2）由题意得：18060.590x x -+=，61800.590y y --=， 解得41611x =，14911y =，148491632111111y x -=-=．即小明出去了83211分钟． 22．（1）30AOD ∠=︒（2）如图①，当50α<︒时，原式31501503115031503αααα-︒︒-===︒-︒-；如图②，当50α>︒时，原式31503150131503150αααα-︒-︒===-︒-︒．O ED CBA图①ABCDEO图②。

泰勒斯（公元前624-前547），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称．他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳．”25．多边形的边与角 解读课标大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n 边形，又称多边形． 边、角、对角线是多边形中最基本的概念．多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．多边形的内角和性质反映出一定的规律性：()2180n -⨯︒随n 的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360︒的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧． 问题解决例1 如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．试一试 运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中． 例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7试一试 把凸多边形内角问题转化为外角问题．例3 凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570︒，求n 的值．试一试 设除去的角为x ︒，可建立关于x ，n 的不定方程；又0180x ︒<<︒，又可得到关于n 的不等式，故有两种解题途径，注意n 为自然数的隐含条件．例4 如图，四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ．证明：180BAD EAF ∠+∠=︒．试一试 从四边形AECF 内角和入手． n 角星例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠度数．（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠度数． （3）如图③，用“一笔画”方法画成的21n +角形()2n ≥，且12221n n B B B B +是凸21n +边形，求123221n n A A A A A +∠+∠+∠++∠+∠度数．DGHABC EFDABCEF分析 从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示． 解 （1）180︒ （2）540︒（3）12221n n A A A A +∠+∠++∠+∠=（21n +个三角形1121n A B B +，221A B B ，332A B B ，…，2221n n n A B B -，21212n n n A B B ++的内角总和减去多边形12221n n B B B B +外角和的2倍）()()21180360223180n n =+⨯︒-︒⨯=-⨯︒．完全多边形把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有6个点，每两点之间都有一条线，称为完全六边形．一个完全n 边形共有()12n n -条连线．例6 证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识． 分析与解 借助图表示这一抽象的思想．用点1A ，2A ，…，6A 代表6个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．考虑1A 与5条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有3条同色，不妨设12A A ，13A A ，14A A 同为红色；若23A A ，34A A ，42A A 中有红边，则有红色()12,4i j A A A i j △≤≤；若23A A ，34A A ，42A A 无红边，则234A A A △为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．数学冲浪 知识技能广场图①DAB CE图②D GHMN A BC EFIJ K LB 2n B 2n +1B 2B 3B 4B 5B 1B 9B 8B 7B 6A 2A 3A 4A 5A 1A 2nA 9A 87A 6A 2n +1图③A 2A 3A 4A 11．如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCDE 的4个外角，若120A ∠=︒，则1234∠+∠+∠+∠=_______．2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的度数为_______．3．如图，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_____________．4．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为___________．5．将五边形纸片ABCDE 按如图所示的方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在'E 、'D '上，已知76AFC ∠=︒，则'CFD ∠等于（ ）． A ．31︒ B ．28︒ C ．24︒ D ．22︒DABCE 1234A H GA'图①图②1234567图①图②6．如图，已知正五边形ABCDE 中，12∠=∠，34∠=∠，则x =（ ）． A ．30︒ B ．45︒ C ．40︒ D ．36︒7．一个凸多边形的每一内角都等于140︒，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）． A ．9条 B ．8条 C ．7条 D ．6条8．一个凸n 边形，除一个内角外，其余1n -个内角的和是2400︒，则n 的值是（ ）． A ．15 B ．16 C ．17 D ．不能确定9．如图，已知DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ∠=︒，求B ∠的度数．10．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，AE 、CF 分别平分BAD ∠和BCD ∠．求证：AE CF ∥．思维方法天地 11．从凸n 边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n 边形的内角和为________．12．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是3060︒，则原多边形是_________边形．13．如图，设120CGE ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．DBCEFE'1234x A BED ABCEDABCE14．如图，A B C D E F G H I K ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________．15．如图，A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数等于（ ）． A ．360︒ B ．450︒ C ．540︒ D ．720︒16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002︒，则这个多边形的边数为（ ）． A ．12 B ．12或13 C ．14 D ．14或1517．有一个边长为4m 的正六边形客厅，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（ ）． A ．216块 B ．288块 C ．384块 D ．512块18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转()0180αα︒︒<︒<︒，被称为一次操作，若5次操作后发现赛车回到出发点，则α︒角为（ ）． A ．720︒ B ．108︒或144︒ C ．144︒ D ．720︒或144︒19．如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知A B C D E F ∠+∠+∠=∠+∠+∠成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．20．已知凸四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图①，若DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明； （2）如图②，若BF 、DE 分别平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明．GBCEFαDGHA BCEFIKGMN ABCEFDABCEF应用探究乐园 21．（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；（2）如图②，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？ 22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图①，若AB CD ∥，点P 在AB ，CD 外部，则有B BOD ∠=∠，又因为BOD ∠是POD △的外角，故BOD BPD D ∠=∠+∠，得BPD B D ∠=∠-∠．将点P 移到AB ，CD 内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD ∠，B ∠，D ∠之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）如图②中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图③，则BPD ∠，B ∠，D ∠，BQD ∠之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论，求图④中A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数． 微探究 平面镶嵌DABCEF 图①F E CBAD图②图①图②图③DOPA BC图①DPABC图②DPQ AB C图③ABCEF图④平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360︒，镶嵌图案有下列多种方式：1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌；2．用同一种正多边形进行镶嵌；3．用几种正多边形组合镶嵌．对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有11种．如图：例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为x、y、z，则111x y z++的值为________．试一试从建立x、y、z的等式入手．例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）．A．2种B．3种C．4种D．5种试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，则6090360m n+=，即2312m n+=，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式．例3 问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y -⨯+⋅=，整理得：238x y +=， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_________________________________________ 结论2：_________________________________________ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 问题拓展请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_____________________________________ 验证3：_____________________________________ 结论3：_____________________________________ 拼图的背后例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？ 分析 要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．解 设可以拼成凸n 边形，n 边形的内角只可能是60︒，90︒，120︒，150︒．并设其个数分别为x ，y ，z ，w （x ，y ，z ，w 为大于等于零的整数）． 则()60901201502180x y z w n x y z w n +++=⎧⎪⎨+++=-⨯⎪⎩①② 由②得2345612x y z w n +++=- ③ ①6⨯-③得43212x y z w +++= ④43212n x y z w x y z w =++++++=∴≤．由此可见，拼得的多边形最大边数为12．下面我们分情况一一探讨．（1）当2n =时，由1243212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得320x y z ++=，()(),,,0,0,0,12x y z w =∴．这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为150︒，如图①．O（2），当11n =时，由1143212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得321x y z ++=，()(),,,0,0,1,10x y z w =∴．这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为120︒，其余各内角均为150︒，如图②．（3）当10n =时，由1043212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得322x y z ++=，()(),,,0,0,2,8x y z w =∴．这说明可以拼成十边形，且这十边形中有2个内角为120︒，有8个内角为150︒，如图③． （4）当9n =时，由943212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得323x y z ++=，()(),,,0,0,3,6x y z w =∴．这说明可以拼成九边形，且这九边形中有3个内角为120︒，有6个内角为150︒，如图④．同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．练一练1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．图①十二边形()图②十一边形()图③十边形()图④九边形()图⑤八边形()图⑥七边形()图⑦六边形()图⑧五边形()2．花团锦簇有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺10圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺n 圈，则共需砖_______块．3．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（ ）．A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种4．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n 边形地板砖铺满，则n 等于（ ）． A ．4 B ．6 C ．8 D ．105．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360 ）时，就拼成了一个平面图形． （1）请根据下列图形，填写表中空格；A…（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 微探究三角形三边关系三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础．例1 不等边三角形ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_________．试一试 设ABC △的面积为S 、第三条高的长为h ，则ABC △三边都可用S 的代数式表示，由三边关系建立关于h 的不等式组．例2 已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a b c <≤，如果7b =，则这样的三角形共有（ ）． A ．21个 B ．8个 C ．9个 D ．4个试一试 a 的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定c 的取值范围，列表枚举出所有的可能性．例3 如图，已知P 为ABC △内任一点．（1）AB BC CA ++与()2PA PB PC ++哪个大？证明你的结论； （2）AB BC CA ++与PA PB PC ++哪个大？证明你的结论．试一试 对于（2），解题的关键是先证明：BP PC AB AC +<+， PA PC AB BC +<+，PA PB AC BC +<+．例4 现有长为150cm 的铁丝，要截成()2n n >小段，每段的长为不小于1cm 的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段？试一试 因n 段之和为定值150cm ，故欲n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列． 整边三角形例5 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记(),,a b c 为三边分别为a ，b ，c 且a b c ≤≤的一个三角形．（1）试尽可能多地写出满足题意的(),,a b c ； （2）你能否提出一些进一步的问题？分析与解 （1）由题意可知24a b c ++=，且a b ca b c +>⎧⎨⎩≤≤，由此得811c ≤≤，即8c =，9，10，11，故满足题意的(),,a b c 共有如下12组：():2,11,11A ；():3,10,11B ；():4,9,11C ；():5,8,11D ；():6,7,11E ；():4,10,10F ；():5,9,10G ；():6,8,10H ；():7,7,10I ；():6,9,9J ；():7,8,9K ；():8,8,8L ． （2）以下问题供参考：①将长度为()7n n ≥的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；②将长度为()4n n ≥的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？ 练一练1．现有3cm 、4cm 、7cm 、9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三PCBA角形的个数是________________．2．若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形是________三角形（按边分类）． 3．如图，加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧，A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，7m AB =，一个行人P 在马路MN 上行走．问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于_______米．4．将长度为25cm 的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a 、b 、c ，且满足a b c ≤≤，则(),,a b c 有________组解，所构成的三角形都是_______三角形．5．三角形的三边长为3，4，1x -，那么x 的取值范围是（ ）． A ．08x << B ．28x << C ．06x << D ．26x <<6．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（ ）． A ．55种 B ．45种 C ．40种 D ．30种7．7条长度均为整数的线段1a ，2a ，…，7a 满足177a a a <<<，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若11a =，721a =，则6a =（ ）． A ．18 B ．13 C ．8 D ．58．已知ABC △的两条高线的长分别为5、20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．在平面内，分别用3根，5根，6根，…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图．10．有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（单位：cm ）的细木棒各1根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？ 11．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？P NBA25．多边形的边与角 问题解决例1 连BC ，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=四边形EFBC 的内角和360=︒．例2 C 设凸多边形的边数为n ，n 个内角中恰有三个是锐角，则其余3n -个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过3，即33n -≤，解得6n ≤．例3 设除去的角为x ︒，则()21802570n x -⨯=+，得2570360180x n ++=，130x =，17n =．例4 180EAF C ∠+∠=︒，又C BAD ∠=∠，故180BAD EAF ∠+∠=︒． 数学冲浪1． 30 2．60︒ 3．540︒4．6 得到的正多边形的一个内角为3602120120︒-⨯︒=︒． 5．B 6．D 7．D 8．B 9．40B ∠=︒10．180DAB DCB ∠+∠=︒，90EAB FCB ∠+∠=︒，又90FCB CFB ∠+∠=︒，得EAB CFB ∠=∠，故AE CF ∥．11． 720︒ 12．十八边形，或十九边形或二十边形 13． 240︒ 14．1080︒ 连KF 15．C 16．D 设这个多边形为n 边形（n 为正整数），由()200221802002360n ︒<-⨯︒<︒+︒，得111113159090n <<，14n =或15． 17．C 18．D 19．可以证明CD AF ∥ 20．（1）DE BF ⊥；（2）DE BF ∥（证明略） 21．（1）12；（2）这个图形的边数是20（如图所示）；（3）得到的图形的边数是30．22．（1）不成立，结论是BPD B D ∠=∠+∠． （2）结论：BPD BQD B D ∠=∠+∠+∠． （3）360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒． 平面镶嵌（微探究）例1 依题意有：222180180180360x y z x y z ---⨯+⨯+⨯=，化简得11112x y z ++=． 例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共3种． 例3 问题再现：3验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：60120360a b +=．整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为22a b =⎧⎨=⎩和41a b =⎧⎨=⎩．结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：6090120360m n c ++=，整理得：23412m n c ++=，可以找到唯一一组适合方程的正整数解为121m n c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 练一练1．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +⨯+⨯++-=+-．当26n =时，()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +->=，故最多能完整地铺满26组，还剩2005195154-=（块）瓷砖．2． 660；600；266n n + 3． B4． C 由()2180135n n-⨯=，得8n =．5．（1）108︒；120︒；()2180n n-⨯︒（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．假定在接合处一共有k 块正n 边形地砖．由于正n 边形的所有内角都相等，则()2180360n k n-⨯⋅=，即24222n k n n ==+--，因k 为整数，故2|4n -，21n -=，2，4，得3n =，4或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形．（3）如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么，m ，n 应是方程90135360m n ⋅︒+⋅︒=︒的整数解，即238m n +=的整数解．∵这个方程的整数解只有12m n =⎧⎨=⎩一组，∴符合条件的图形只有一种．三角形三边关系（微探究）例1 设长度为4和12的高分别是边a 、b 上的，边c 上的高为h ，ABC △的面积为S ，则24S a =，212Sb =，2Sc h=，由22222412412S S S S Sh -<<+，得36h <<，又h 为整数且ABC △为不等边三角形，故5h =．a b c +>，列表如下：例3 （1） +AB PA PB <，BC PB PC <+，AC PC PA <+，相加得：()2AB BC CA PA PB PC ++<++． （2）如图，延长BP 交AC 于D ．在ABD △中，AB AD BD BP PD +>=+①， 在PDC △中，PD DC PC +>②，①+②，得AB AD PD DC BP PD PC +++>++即AB AC PB PC +>+，同理AB BC PA PC +>+，AC BC PA PB +>+．相加得:()()22AB AC BC PA PB PC ++>++，故AB AC BC PA PB PC ++>++．例4 这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…但1123455143150+++++=<，112345589232150++++++=>．故n 的最大值为10，共有以下7种方式：()1,1,2,3,5,8,13,21,34,62；()1,1,2,3,5,8,13,21,35,61；()1,1,2,3,5,8,13,21,36,60； ()1,1,2,3,5,8,13,21,37,59；()1,1,2,3,5,8,13,22,35,60； ()1,1,2,3,5,8,13,22,36,59；()1,1,2,3,5,8,14,22,36,58． 练一练1．2 2．等腰3．7 PA PB AB -≤，当A 、B 、P 在一条直线上时，等号成立．4．2 等腰 最长边介于周长的13和12之间，故最长边可取整数12、11、10、9，又三边长都是质数，则最长边为11，另两边的和为14．其中符合条件的有1111325++=，771125++=． 5．B 6．D7．B 只有当22a =，3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，64513a a a =+=时，7条线段中的任意三条都不能构成三角形．8．B 设第三条高线的长为h ，可得2043h <<．9．（1）不能搭成三角形（2）2，3，3能搭成一个等腰三角形；2，5，5；3，4，5；4，4，4各能搭成一个三角形，并且这个三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，图略．PDCBA11．不妨设a b c <<，则由30a b ca b c +=-⎧⎨+>⎩得1015c <<．因c 为整数，故11c =，12，13，14．当11c =时，10b =，9a =；当12c =时，11b =，7a =或10b =，8a =；当13c =时，12b =，5a =或11b =，6a =或10b =，7a =或9b =，8a =；当14c =时，13b =，3a =或12b =，4a =或11b =，5a =或10b =， 6a =或9b =，7a =．。

专题27 和三角板有关的角度计算1．如图，直线EF与MN相交于点O，30MOEÐ=°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在NOEÐ内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为()t s．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分NOEÐ？此时OA是否平分MOEÐ？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分AOBÐ？②EF能否平分NOBÐ？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）Q当直角边OB恰好平分NOEÐ时，11(18030)7522NOB NOEÐ=Ð=°-°=°，90375t\°-°=°，解得：5t=．此时135152MOA MOE Ð=°´=°=Ð，\此时OA平分MOEÐ．（2）①OE平分AOBÐ，依题意有3093902t t°+°-°=°¸，解得 2.5t=；OF平分AOBÐ，依题意有3093180902t t°+°-°=°+°¸，解得32.5t=．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分AOBÐ②OB在MN上面，依题意有180309(903)2t t°-°-°=°-°¸，解得14t=；OB在MN下面，依题意有9(36030)(390)2t t-°-°=°-°¸，解得38t=．故EF能平分NOBÐ，t的值为14或38s．2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使65BOCÐ=°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则MOCÐ=　25°　；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是MOBÐ的角平分线，求旋转角BONÐ和CONÐ的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，14NOC AOMÐ=Ð，求NOBÐ的度数．【解答】解：（1）90MONÐ=°Q，65BOCÐ=°，906525 MOC MON BOC\Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为：25°．（2）65BOCÐ=°Q，OC是MOBÐ的角平分线，2130MOB BOC\Ð=Ð=°．BON MOB MON\Ð=Ð-Ð13090=°-°40=°．CON COB BONÐ=Ð-Ð6540=°-°25=°．即40BONÐ=°，25CONÐ=°；（3）14NOC AOMÐ=ÐQ，4AOM NOC\Ð=Ð．65BOCÐ=°Q，AOC AOB BOC\Ð=Ð-Ð18065=°-115=°．90MON Ð=°Q ，AOM NOC AOC MON\Ð+Ð=Ð-Ð11590=°-°25=°．425NOC NOC \Ð+Ð=°．5NOC \Ð=°．70NOB NOC BOC \Ð=Ð+Ð=°．3．将一副三角板ABC 和三角板(90,60)BDE ACB DBE ABC Ð=Ð=°Ð=°按不同的位置摆放．（1）如图1，若边BD 、BA 在同一直线上，则EBC Ð=　150°　；（2）如图2，若165EBC Ð=°，那么ABD Ð= ；（3）如图3，若120EBC Ð=°，求ABD Ð的度数．【解答】解：（1）9060150EBC DBE ABC Ð=Ð+Ð=°+°=°；故答案为：150°；（2）165906015ABD CBE ABC DBE Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；故答案为：15°；（3）906012030ABD ABC DBE EBC Ð=Ð+Ð-Ð=°+°-°=°．ABD \Ð的度数为：30°．4．已知将一副三角板（直角三角板OAB 和直角板OCD ，90AOB Ð=°，45ABO Ð=°，90CDO Ð=°，30)COD Ð=°（1）如图1摆放，点O 、A 、C 在一条直线上，BOD Ð的度数是　60°　；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD 绕点O 逆时针方向转动，若要OB 恰好平分COD Ð，则AOC Ð的度数是 ；（3）如图3，当三角板OCD 摆放在AOB Ð内部时，作射线OM 平分AOC Ð．射线ON 平分BOD Ð，如果三角板OCD 在AOB Ð内绕点O 任意转动，MON Ð的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【解答】解：（1）90AOB Ð=°Q ，30COD Ð=°，60BOD AOB COD \Ð=Ð-Ð=°，故答案为：60°；（2）OB Q 恰好平分COD Ð，11301522COB COD \Ð=Ð=´°=°，901575AOC AOB COB \Ð=Ð-Ð=°-°=°；故答案为：75°；（3）MON Ð的度数不发生变化，60MON Ð=°．理由如下：OM Q 平分AOC Ð，ON 平分BOD Ð，12DON BOD \Ð=Ð，12COM AOC Ð=Ð，11()()22DON COM BOD AOC AOB COD \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð-Ð，11()(9030)6022MON DON COM COD AOB COD \Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=´°+°=°．5．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使:1:2AOC BOC ÐÐ=，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为　90　度；（2）继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON 在AOC Ð的内部．试探究AOMÐ之间满足什么等量关系，并说明理由；Ð与NOC（3）在上述直角三角板从图1开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在Ð中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋Ð和AOCOM所在直线平分BOC转时间t，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：旋转角为90Ð=°．MON故答案为90．（2）如图3:30Ð-Ð=°，理由如下：AOM NOCQ，Ð+Ð=°AOC BOC180ÐÐ=，AOC BOC:1:2AOC AOC\Ð+Ð=°，2180\Ð=°，AOC60\Ð+=°，①AON CON60Q，Ð=°MON90AOM AON\Ð+Ð=°，②90②-①，得30Ð-Ð=°．AOM CON（3）如图4，当OM平分BOCÐ，Ð时，ON所在直线平分AOC60Ð=°，BOM\三角板绕点O逆时针旋转60°，此时60302t=¸=（秒)；如图5，当ON 平分AOC Ð时，OM 所在直线平分BOC Ð，30CON Ð=°，\三角板绕点O 逆时针旋转240°，此时240308t =¸=（秒)．当OM 旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．6．将一副三角板按图1摆放在直线MN 上，AF 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð．（1）BAD Ð=　105°　；FAG Ð= ；（2）如图2，若将三角板ABC 绕A 点以5/°秒的速度顺时针旋转t 秒(21)t <，求FAG Ð的度数；（3）如图3，三角板ABC 绕A 点以/m °秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE 绕A 点以/n °秒的速度逆时针旋转，当AD 与AB 边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t 秒时，有56MAD CAE Ð=Ð成立，试求此时m 与n 的关系．【解答】解：（1）如图1．1801804530105BAD BAC DAE Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°；AF Q 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð，152.52BAF BAD \Ð=Ð=°，11(18045)67.522BAG BAE Ð=Ð=°-°=°，67.552.515FAG BAG BAF \Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为105°；15°；（2）如图2，由题意可知：180180453051055BAD BAC DAE CAM t t Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-=°-；1801804551355BAE BAC CAM t t Ð=°-Ð-Ð=°-°-=°-；AF Q 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð，11(1055)22BAF BAD t \Ð=Ð=°-，11(1355)22BAG BAE t Ð=Ð=°-，11(1355)(1055)1522FAG BAG BAF t t \Ð=Ð-Ð=°--°-=°；（3）如图3．180********MAD DAE EAN nt nt Ð=-Ð-Ð=°-°-=°-，180180CAE MAC EAN mt nt Ð=°-Ð-Ð=°--．当56MAD CAE Ð=Ð时，有5150(180)6nt mt nt °-=°--，解得5n m =．即当5n m =时，有56MAD CAE Ð=Ð成立．7．如图，将一副三角尺的两个直角顶点O 重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若70BOC Ð=°，则AOD Ð=　110°　．（2）如图2，若50BOC Ð=°，则AOD Ð= ．（3）如图1，请猜想BOC Ð与AOD Ð的关系，并写出理由．【解答】解：（1）90BOC BOD Ð+Ð=Q ，70BOC Ð=°，20BOD \Ð=°，110AOD AOB BOD \Ð=Ð+Ð=°．故答案为110°．（2）90AOB DOC Ð=Ð=°Q ，又360AOB AOD DOC BOC Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，180BOC AOD \Ð+Ð=°40BOD Ð=°Q ，180130AOD BOC \Ð=-Ð=°．故答案为130°．（3）结论：180BOC AODÐ+Ð=°．理由：90AOBÐ=°Q，90CODÐ=°，(90)(90)9090180BOC AOD AOC AOC AOC AOC\Ð+Ð=°-Ð+°+Ð=°-Ð+°+Ð=°，180BOC AOD\Ð+Ð=°．8．如图，两个形状．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：90DPCÐ=°；（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分APDÐ，PE平分CPDÐ，求EPFÐ；（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/°秒，同时三角板PBD 的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2/°秒，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则BPNÐ=　1802t-　，CPDÐ= （用含有t的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①CPDBPNÐÐ为定值；②BPN CPDÐ+Ð为定值，正确的是 （填写你认为正确结论的对应序号）．【解答】解：（1）180DPC CPA DPBÐ=°-Ð-ÐQ，60CPAÐ=°，30DPBÐ=°，180306090DPC\Ð=°-°-°=°；（2）设CPE DPE xÐ=Ð=，CPF yÐ=，则2APF DPF x yÐ=Ð=+，60CPAÐ=°Q，260y x y\++=°，30x y\+=°30EPF x y\Ð=+=°（3）①正确．设运动时间为t秒，则2BPM tÐ=，1802BPN t\Ð=-，Q运动之前90CPDÐ=°，两个三角板运动的速度差为1/°秒90CPD t\Ð=-．\90118022 CPD tBPN tÐ-==Ð-．②1802902703BPN CPD t t tÐ+Ð=-+-=-，可以看出BPN CPDÐ+Ð随着时间在变化，不为定值，结论错误．故答案为：1802t-；90t-；①．9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：（1）若35DCEÐ=°，则ACBÐ的度数为　145°　；（2）若140ACBÐ=°，求DCEÐ的度数；（3）猜想ACBÐ与DCEÐ的大小关系，并说明理由；（4）三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当(090)ACE ACEа<Ð<°等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出ACEÐ角度所有可能的值，不用说明理由．【解答】解：（1）90ACD ECBÐ=Ð=°Q，18035145ACB\Ð=°-°=°．（2）90ACD ECBÐ=Ð=°Q，18014040DCE\Ð=°-°=°．（3）180ACE ECD DCB ECDÐ+Ð+Ð+Ð=Q．ACE ECD DCB ACBQ，Ð+Ð+Ð=ÐÐ与DCE\Ð+Ð=°，即ACBÐ互补．ACB DCE180（4）30°、45°、60°、75°．10．将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，如图那样摆放．（1）如果重叠在一起时，70BOCÐ=　110　度；Ð=°，则AOD（2）如果重叠在一起时，50Ð= 度；BOCÐ=°，则AOD（3）请猜想：不论旋转道何种位置，只要重叠在一起（重叠部分的角度大于0°且小于90)°，BOCÐ和AODÐ的和始终等于 度，并试说明理由．【解答】解：（1）因为BOCÐ和BODBOCÐ=°，Ð互余，且70故20AOD AOB BODÐ=Ð+Ð=°；Ð=°，所以110BOD（2）同（1），40Ð=Ð+Ð=°；AOD AOB BODBODÐ=°，130（3）180°；理由：90CODÐ=°，Q，90Ð=°AOB\Ð+Ð=°，AOB COD180Q，Ð=°-ÐAOD BOC180\Ð+Ð=°BOC AOD18011．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板Ð=°的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE AOB OAB(30)上方．将直角三角板绕着点O按每秒10?的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分CODÐ之间有Ð与BOEÐ，此时，BOC 何数量关系？并说明理由．（2）若射线OC的位置保持不变，且140Ð=°．COE①则当旋转时间t=　7或25　秒时，边AB所在的直线与OC平行？②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3)，求AOC BOEÐ-Ð的值．【解答】解：（1）BOC BOEÐ=Ð，Ð=°Q，AOB90AOD BOEÐ+Ð=°，BOC AOC\Ð+Ð=°，9090Ð，Q平分CODOA\Ð=Ð，AOD AOC\Ð=Ð；BOC BOE（2）①140COEQ，Ð=°\Ð=°，40COD如图1，当AB在直线DE上方时，Q，AB OC//\Ð=Ð=°，AOC A30t=；\Ð=Ð+Ð=°，即7AOD AOC COD70如图2，当AB在直线DE下方时，//AB OC Q ，60COB B \Ð=Ð=°，20BOD BOC COD \Ð=Ð-Ð=°，则9020110AOD Ð=°+°=°，3601102510t °-°\==，故答案为：7或25；②当OA 平分COD Ð时，AOD AOC Ð=Ð，即1020t =，解得2t =；当OC 平分AOD Ð时，AOC COD Ð=Ð，即104040t -=，解得8t =；当OD 平分AOC Ð时，AOD COD Ð=Ð，即3601040t -=，解得：32t =；综上，t 的值为2、8、32；③140AOC COE AOE AOE Ð=Ð-Ð=°-ÐQ ，90BOE AOE Ð=°-Ð，(140)(90)50AOC BOE AOE AOE \Ð-Ð=°-Ð-°-Ð=°，AOC BOE \Ð-Ð的值为50°．12．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使:1:3AOC BOC ÐÐ=，将一直角MON D 的直角顶点放在点O 处，边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方，绕点O 逆时针旋转MON D ，其中旋转的角度为(0360)a a <<°（1）将图1中的直角MON D 旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时a 为 90　度．（2）将图1中的直角MON D 旋转至图3的位置，使得ON 在AOC Ð的内部，试探究AOM Ð与NOC Ð之间满足什么样的等量关系，并说明理由．（3）若直角MOND的直角边ON所在直线恰好D绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角MON平分AOCD绕点O的运动时间t的值．Ð时，求此时直角MON【解答】解：:1:3Ð+Ð=°，AOC BOCAOC BOCQ，180ÐÐ=Ð=°\Ð=°，135BOC45AOC（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：90Ð=°；NOB故答案为90．（2）90Ð+Ð=Ð=°，AON NOC AOCÐ+Ð=°Q，45AOM AON\Ð-Ð=°；AOM NOC45（3）ONÐ，Q所在直线恰好平分AOC\Ð=и=°¸=°，AON AOC245222.5此时旋转角为：9022.5112.5°+°=°¸=（秒)，112.5522.5+¸=（秒)或(112.5180)558.5所以直角MOND绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．13．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:2:1AOC BOCÐÐ=，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．（1）在图1中，AOCÐ= ．Ð=　120°　，BOC（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，则CONÐ= ；（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在BOCÐ-Ð的度Ð的内部，求BON COM数．【解答】解：（1）Q点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:2:1ÐÐ=，AOC BOCÐ+Ð=°，AOC BOC180120AOC\Ð=°，60BOCÐ=°故答案为：120°，60°；（2）Q由（1）可知：120AOCÐ=°，90MONÐ=°，AOC MON CONÐ=Ð+Ð，1209030CON AOC MON\Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：30°；（3）由图可知：60BOCÐ=°，90MONÐ=°，BON MON BOMÐ=Ð-Ð，COM BOC BOMÐ=Ð-Ð，则，90(60)30BON COM BOM BOMÐ-Ð=°-Ð-°-Ð=°，即BON COMÐ-Ð的度数是30°．14．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．（1）试说明：90DPCÐ=°；（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分APDÐ，PE平分CPDÐ，求EPFÐ．（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/s°．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2/s°，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问CPDBPNÐÐ的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．【解答】解：（1）180DPC CPA DPBÐ=°-Ð-ÐQ，60CPAÐ=°，30DPBÐ=°，180306090DPC\Ð=°-°-°=°；（2）设CPE DPE xÐ=Ð=，CPF yÐ=，则2APF DPF x yÐ=Ð=+，60CPAÐ=°Q，260y x y\++=°，30x y\+=°30EPF x y \Ð=+=°（3）不变．设运动时间为t 秒，则2BPM t Ð=，1802BPN t \Ð=-，3APN t Ð=．36090CPD DBP BPM CPA APN t \Ð=-Ð-Ð-Ð-Ð=-，\90118022CPD t BPN t Ð-==Ð-．15．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板(30)D Ð=°的直角顶点放在点O 处，一边OE 在射线OA 上，另一边OD 与OC 都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OD 恰好平分BOC Ð．①此时t 的值为　3　；（直接填空）②此时OE 是否平分AOC Ð？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分DOE Ð？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分DOB Ð？请画图并说明理由．【解答】解：（1）①30AOC Ð=°Q ，180AOB Ð=°，150BOC AOB AOC \Ð=Ð-Ð=°，OD Q 平分BOC Ð，1752BOD BOC \Ð=Ð=°，907535t °-°\==．②是，理由如下：Q 转动3秒，15AOE \Ð=°，15COE AOC AOE \Ð=Ð-Ð=°，COE AOE \Ð=Ð，即OE 平分AOC Ð．（2）三角板旋转一周所需的时间为360725==（秒)，射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为360458=（秒)，设经过x 秒时，OC 平分DOE Ð，由题意：①854530x x -=-，解得：5x =，②853603045x x -=-+，解得：12545x =>，不合题意，③Q 射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为360458=（秒)，45秒后停止运动，\当OD 旋转到OC 的位置后再旋转45°时，OC 平分DOE Ð，此时OD 旋转了360(6045)345°-°-°=°，345695t \==（秒)，综上所述，5t =秒或69秒时，OC 平分DOE Ð．（3）如图3中，由题意可知，OD 旋转到与OB 重合时，需要90518¸=（秒)，OC 旋转到与OB 重合时，需要3(18030)8184-¸=（秒)，所以OD 比OC 早与OB 重合，设经过x 秒时，OC 平分DOB Ð，由题意：18(18030)(590)2x x --=-，解得：21011x =，所以经21011秒时，OC 平分DOB Ð．16．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使120Ð=°．将一直角三角板的直BOC角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在BOCÐ的内部，且恰好平分Ð？请说明理由．Ð．问：此时直线ON是否平分AOCBOC（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOCÐ，求t的值．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在AOCÐ的内部，试探索：在旋转过程中，Ð的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．AOMÐ与NOC【解答】解：（1）直线ON平分AOCÐ．理由：如图所示，设ON的反向延长线为OD．Ð，Q平分BOCOM\Ð=Ð．MOC MOB又OM ONQ，^90\Ð=Ð=°．MOD MON\Ð=Ð．COD BON又AOD BONQ（对顶角相等），Ð=ÐCOD AOD \Ð=Ð．OD \平分AOC Ð，即直线ON 平分AOC Ð．（2）120BOC Ð=°Q ，60AOC \Ð=°．30BON COD \Ð=Ð=°．即旋转60°或240°时直线ON 平分AOC Ð．由题意得，660t =或240．解得：10t =或40；（3）AOM NOC Ð-Ð的差不变．90MON Ð=°Q ，60AOC Ð=°，90AOM AON \Ð=°-Ð、60NOC AON Ð=°-Ð．(90)(60)30AOM NOC AON AON \Ð-Ð=°-Ð-°-Ð=°．17．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板(30)M Ð=°的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t 秒后OM 恰好平分BOC Ð，则t =　5秒或115秒　（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC 平分MON Ð？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒36MOC Ð=°？请说明理由．【解答】解：（1）90AON BOM Ð+Ð=°Q ，COM MOB Ð=Ð，30AOC Ð=°Q ，2150BOC COM \Ð=Ð=°，75COM \Ð=°，15CON \Ð=°，301515\Ð=Ð-Ð=°-°=°，AON AOC CON解得：1535t=°¸°=秒；（2）5秒或115秒时，OC平分角MON，理由如下：当OC运动时，Ð=Ð，Q，CON COMÐ+Ð=°90AON BOMÐ=°Q，MON90\Ð=Ð=°，CON COM45Q三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设AON°+，Ð为306tÐ为3t，AOCÐ-Ð=°Q，45AOC AON可得：6315t t-=°，解得：5t=秒；Ð，OC停止运动，OM运动345°时，此时，OC也平分MONt=¸=（秒)；3453115（3）当OC运动时，如上图：OC平分MOBÐOC可能在MOBÐ内侧也可能在外侧，由题意得：t t-=°-°=°，t t63543024-=°-°=°或631263096解得：8t=或32秒；当OC停止运动时，Ð=，MONMO运动到AO下方6°时，36t=-¸=（秒)，(2706)388Ð=°，MO运动到AO下方6°时，36MOCt=++¸=（秒)(2703036)3112答：经过8或32秒或112秒或88秒．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使135Ð=°，将一个含45°角的直角BOC三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时BOMÐ=　90°　；在图2中，Ð？请说明理由；OM是否平分CON（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在AOCÐ的内部，请探究：AOMÐ之间的数量关系，并说明理由；Ð与CON（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOCÐ，则t的值为 （直接写出结果）．【解答】解：（1）如图2，90BOMÐ=°，Ð．理由如下：OM平分CONÐ=°Q，BOC135MOC\Ð=°-°=°，1359045而45Ð=°，MON\Ð=Ð；MOC MON故答案为90°；Ð．OM平分CON理由如下：Q三角尺绕着点O逆时针旋转90°得到OMND（如图2)，\Ð=°，90BOM\Ð=Ð-Ð=°，COM BOC BOM45而45Ð=°，NOMÐ；\平分CONOM（2）AOM CONÐ=Ð．理由如下：如图3，Q，Ð=°45MON\Ð=°-Ð，45AOM AON45AOCÐ=°Q，45NOC AON\Ð=°-Ð，AOM CON\Ð=Ð；（3）1455 4.52T=´°¸°=（秒)或(18022.5)540.5t=°+°¸°=（秒)．故答案为4.5秒或40.5秒．。

动角问题(描角法)例1．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．（2）当x＝60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x＝60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE转动的时间．例2．一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动．设三角尺ABP的运动时间为t（秒）．（1）当t＝5秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为°；（2）t＝秒时，边PB平分∠CPD；（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，①当t为何值时，边PB平分∠CPD；②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得∠BPD：∠APC＝3：2．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．例3．已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．（1）如图①，如果t＝4秒，求∠EOA的度数；（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以10°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．例4．如图，直线AB和直线CF相交于点O，∠BOC＝α．（1）如图1，若α＝60°，射线OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，试求∠EOF的度数；（2）如图2，若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝60°，试求∠EOF的度数；（3）如图3，若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝（n≥2，n为整数），那么∠EOF 与α的度数有何数量关系？（直接写出结果，不写过程）例5．已知∠AOB＝100°，作射线OC，再分别∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝60°时，则∠DOE＝度；（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，则∠DOE＝；（3）若∠AOB＝m，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．（用含m的代数式表示）例6．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°．以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）（1）当射线OP平分∠AOC时，求它旋转的时间；（2）若射线OQ的转速为3°/s，请求出当∠POQ＝70°时，射线OP旋转的时间；（3）若当∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，求此时射线OQ的旋转速度．例7．如图所示：点P是直线AB上一点，∠CPD是直角，PE平分∠BPC．（1）如图①，若∠APC＝40°，求∠DPE的度数；（2）如图①，若∠APC＝α，直接写出∠DPE的度数（用含α的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图①中的∠CPD按顺时针方向旋转至图②所示的位置，探究∠APC和∠DPE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．例8．如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM放在射线OB上，另一边ON放在直线AB的下方．（1）将图1中的直角三角板绕点O逆时针旋转至图2点P为线段延长线NO上一点，且OP平分∠AOC①若∠BOC＝119°40′，求∠COM的度数；②试说明射线OM是∠BOC的角平分线；（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，若∠BOC＝2∠AOC，且在旋转的过程中，第t秒时ON所在的直线恰好平分锐角∠AOC，求t的值．练习1．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝30°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，∠BOD的度数是；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是；（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC．射线ON 平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．2．（1）如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠BON＝50°，∠AOM＝40°，∠COD＝30°，求∠AOB的度数；（2）如图2，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠MON的度数．3．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）（1）当t＝2时，求∠AOB的度数；（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到63°时，求t的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON 中的其中两条组成的角（指大于0°而小于180°的角）的平分线？如果存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由．4．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD是∠AOB内的一个角，OE是∠AOC的平分线，OF 是∠BOD的平分线．（1）如果∠AOE＝20°，∠BOF＝25°，那么∠COD是多少度？（2）如果∠COD＝40°，那么能否求出∠EOF的大小？若能，则求出∠EOF的度数；若不能，请说明理由．5．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转直至ON边第一次重合在直线AD 上，整个过程时间记为t秒．（1）从旋转开始至结束，整个过程共持续了秒；（2）如图2，旋转三角板MON，使得OM、ON在直线OC的异侧，请直接写出∠CON 与∠AOM数量关系；如图3，继续旋转三角板MON，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．（3）若在三角板MON旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒12°的速度顺时针旋转，当ON边第一次重合在直线AD上时两三角板同时停止．①试用字母t分别表示∠AOM与∠AOC；②在旋转的过程中，当t为何值时OM平分∠AOC．6．O是直线AB上的一点，∠AOC＝72°．（本题中角的度数均为大于0°且小于等于180°）．（1）如图1，若OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝°；（2）在（1）的条件下，如图2，若OF平分∠BOD，求∠EOF的值；（3）如图3，将整个图形绕点O逆时针旋转m°（0＜m＜180），直线AB旋转到A1B1，OC旋转到OC1，作射线OP且不与射线OB1重合，使∠BOP＝∠BOB1，当m为何值时，∠POA1﹣∠AOC1＝60°．7．已知点O是直线AB上一点，将一个直角三角形板如图①放置，使其中一条直角边ON 在直线AB上，射线OC在∠BOM的内部．（1）如图②，将三角板绕点O逆时针旋转，当∠BON＝∠CON时，请判断OM是否平分∠AOC，并说明理由．（2）若∠BOC＝40°，将三角板绕点O逆时针旋转，每秒旋转1°，多少秒时∠AOM＝∠COM？（3）在（2）的条件下，如图③，旋转三角板使ON在∠AOC内部，另一边OM在直线AB的另一侧，请探索∠AOM与∠CON的数量关系，并说明理由．8．如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD＝∠AOB＝90°．（1）将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC ＝35°，则∠BOD＝；猜想∠AOC与∠BOD的数量关系为；（2）将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？（3）将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕着点O沿逆时针方向按每秒5°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在直线平分∠AON．9．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC 的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．10．已知∠AOB＝120°（本题中的角均大于0°且小于180°）（1）如图1，在∠AOB内部作∠COD．若∠AOD+∠BOC＝160°，求∠COD的度数；（2）如图2，在∠AOB内部作∠COD，OE在∠AOD内，OF在∠BOC内，且∠DOE＝3∠AOE，∠COF＝3∠BOF，∠EOF＝∠COD，求∠EOF的度数；（3）射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒（0＜t＜50且t≠30），射线OM平分∠AOI，射线ON平分∠BOI，射线OP平分∠MON．若∠MOI＝3∠POI，则t＝秒．11．已知∠AOB、∠COD，射线OE平分∠AOD（1）如图1，已知∠AOB＝180°、∠COD＝90°，若∠DOB＝40°，则∠COE＝度；（2）∠AOB、∠COD的位置如图所示，已知∠AOB＝2∠COD，求的值；（3）射线OC、OD在直线OA的右侧按顺时针方向分布，已知∠COD＝30°，OF为∠AOD的三等分线且靠近射线OD，设∠COF＝α，将∠COD绕点O顺时针旋转，满足45°＜∠AOD＜135°且∠AOD≠90°，若∠BOD＝3α，求∠AOB（可用α表示）12．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．13．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON ＝°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON 的度数；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝时，∠MON＝2∠BOC．14．已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．（1）如图，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；（2）点F在射线OB上，①若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD，请判断∠FOE和∠EOC的数量关系并说明理由；②若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝∠AOC时，则n＝．。

思维特训(二十一)角的运动问题方法点津·角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转．解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小)，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解．典题精练·类型一角的折叠1．(1)如图21－S－1①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，求∠AOB的度数；(2)如图②，∠MON＝20°，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON向∠MON 外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第________次操作的第________步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．图21－S－1类型二射线的旋转2．如图21－S－2，已知∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．(1)当OC旋转10秒时，∠COD＝________°；(2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间；(3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间．图21－S－23．如图21－S－3，已知∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE.(1)求∠COD的度数；(2)若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是____________；(3)若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°、每秒3°的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过几秒，∠AOE＝42°？图21－S－3类型三角的旋转4．如图21－S－4①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC.(1)求∠MON的度数；(2)如图②，若∠AOC＝15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒，此时∠AOM＝711∠BON，如图③所示，求x的值．图21－S－4类型四三角尺的旋转5．将一副三角尺如图21－S－5①所示摆放在直线AD上(三角尺OBC和三角尺MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°)，保持三角尺OBC不动，将三角尺MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．(1)当t＝________时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC－∠AOM＝________；(2)继续旋转三角尺MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；(3)若在三角尺MON开始旋转的同时，另一个三角尺OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析)．①当t＝________时，OM平分∠AOC?②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．图21－S－56．O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一块三角尺的直角顶点放在点O处．(1)如图21－S－6①，将三角尺MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；(2)如图②，将三角尺MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；(3)将三角尺MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB 的度数．图21－S－6详解详析1．解：(1)因为将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，所以∠AOB＝2∠COE＋2∠COF＝2(∠EOC＋∠COF)＝50°.(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC＝x°，则16×20°＋16x°＝360°，解得x＝2.5，所以∠MOC＝2.5°.2．解：(1)因为射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，所以当OC旋转10秒时，∠COD＝90°－4°×10－1°×10＝40°，故答案为：40.(2)设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30°.如图①，则4t＋t＝90－30，解得t＝12；如图②，则4t＋t＝90＋30，解得t＝24.综上所述，旋转的时间是12秒或24秒．(3)如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，则4m－90＝m，解得m＝30，故旋转的时间是30秒．3．解：(1)因为∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，所以∠EOB＝∠AOE－∠AOB＝80°.又因为OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，所以∠AOC ＝2∠AOB ＝40°，∠AOD ＝12∠AOE ＝50°， 所以∠COD ＝∠AOD －∠AOC ＝50°－40°＝10°.(2)由(1)知∠AOD ＝50°，所以射线OD 的方向角为北偏东40°.(3)设经过x 秒，∠AOE ＝42°，则3x －5x ＋100＝42或5x －(3x ＋100)＝42，解得x ＝29或x ＝71.即经过29秒或71秒，∠AOE ＝42°.4．解：(1)因为∠AOB ＝150°，∠COD ＝30°，OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ，所以∠MON ＝∠MOD ＋∠NOC －∠COD ＝12(∠AOD ＋∠BOC)－∠COD ＝ 12(∠AOB ＋∠COD)－∠COD ＝60°. (2)由题意，得∠BOD ＝105°－10x°，∠AOC ＝15°＋10x°，所以∠BOC ＝135°－10x°，∠AOD ＝45°＋10x°.又因为∠AOM ＝711∠BON ，且OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ， 所以∠AOD ＝711∠BOC ， 即45°＋10x°＝711(135°－10x°)，解得x ＝2.5.5．解：(1)因为∠AOC ＝45°，OM 平分∠AOC ，所以∠AOM ＝12∠AOC ＝22.5°， 所以t ＝2.25.因为∠MON ＝90°，∠MOC ＝22.5°，所以∠NOC －∠AOM ＝∠MON －∠MOC －∠AOM ＝45°.故答案为2.25，45°.(2)∠NOC －∠AOM ＝45°.理由：因为∠AON ＝90°＋(10t)°，所以∠NOC ＝90°＋(10t)°－45°＝45°＋(10t)°.因为∠AOM ＝(10t)°，所以∠NOC －∠AOM ＝45°.(3)①如图，因为∠AOB ＝(5t)°，所以∠AOC ＝45°＋(5t)°.因为OM 平分∠AOC ，所以∠AOM ＝12∠AOC ， 而∠AOM ＝(10t)°，所以10t ＝12(45＋5t)，解得t ＝3.②∠NOC －12∠AOM ＝45°. 理由：因为∠AOB ＝(5t)°，∠AOM ＝(10t)°，∠MON ＝90°，∠BOC ＝45°，所以∠AON ＝90°＋∠AOM ＝90°＋(10t)°，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝45°＋(5t)°，所以∠NOC ＝∠AON －∠AOC ＝90°＋(10t)°－45°－(5t)°＝(5t)°＋45°， 所以∠NOC －错误!∠AOM ＝45°.6．解：(1)因为∠MON ＝90°，∠BOC ＝65°，所以∠MOC ＝∠MON －∠BOC ＝90°－65°＝25°.(2)因为∠BOC ＝65°，OC 是∠MOB 的平分线，所以∠MOB ＝2∠BOC ＝130°.所以∠BON ＝∠MOB －∠MON ＝130°－90°＝40°.所以∠CON ＝∠BOC －∠BON ＝65°－40°＝25°.(3)因为∠BOC ＝65°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝180°－65°＝115°.因为∠MON＝90°，所以∠AOM＋∠NOC＝∠AOC－∠MON＝115°－90°＝25°. 又因为∠NOC＝∠AOM，所以2∠NOC＝25°.所以∠NOC＝12.5°.所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝77.5°.。