三角函数公式应用附答案

题型一 公式基本运用---不变应万变【例题1】（1）已知角终边经过点，则的值是。

（2）在直角坐标系中，若角的终边经过点，则.(3)已知，则的值是 .（4）．已知，则。

（5）已知，则 。

3sin ,sin cos 15θθθ=->sin2θ=（6）已知，则。

1cos 0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（7）已知，在的值为。

（8）．已知 ，则 。

（9）．已知，，则的值为。

（10）．已知，且，则。

【强化练习】 1．若，是第三象限的角，则。

2．已知,且，则。

3．已知，则=。

4．已知，，则。

5．已知，且是第四象限角，则 。

6．已知，，则 。

7．已知角的终边经过点,其中,则等于。

考向二 公式灵活运用---公式也善变，你善变吗？【例2】（1）由射线（）逆时针旋转到射线（）的位置所成角为，则 。

（2）．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的值为 。

（3）．已知，，则。

（4）．已知，则=。

【强化练习】1．已知， ，则。

2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭()3tan 4απ-=-cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2．若,则的值为。

考向三 齐次与三兄弟【例3】(1)已知，则的值为. （2）已知直线的倾斜角为，则。

(3)．若，，则的值为 .(4)已知，则 .【强化练习】1．若，且，则。

2.．若，且，则。

3．已知，则=。

4．若，则。

5．已知为第二象限角，且，则 。

α1sin cos 5αα+=sin cos αα-=6．已知，则。

4tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭7．已知，则的值为。

8若为第一象限角，且，则的值为。

9．若，则。

考向四凑角---凑角不是臭脚【例4】（1）当时，若，则的值为。

（2）已知，，则。

（3）已知，，、均为锐角，则角等于。

（4）．若。

10,0,cos,cos224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（5）．为第三象限角，，则。

三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。

三角函数的应用题第一阶梯［例1］如图，AD〃BC, AC丄BC,若AD二3, DC二5,且ZB二30° ,求AB 的长。

解：TZDAC二90。

由勾股泄理，有CD：=AD：+AC：•••AD二3, DC二5•••AC 二4••• ZB 二30 °•••AB 二2AC•••AB 二8丄［例2］如图，ZUBC 中，ZB二90° , D 是BC 上一点，且AD二DC,若tgZDAC二4,求tgZBADo探索：已知tgZDAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求ZBAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的tgZDAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。

又要求ZBAD的正切值应已知RtABAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tgZDAC的条件。

由于AD二DC,即ZC=ZDAC,这时也可把正切值直接移到RtAABC中。

解答：过D点作DE丄AC于E,•/ /gZDAC = *DE且以DAC花设DE二k,则AE=4kTAD 二DC,A ZDAC=ZC, AE=EC•••AC 二8kfgC =• •设AB二m, BC=4m 由勾股定理，有AB:+BC:=AC:8眄tn = - k•••17由勾股左理，有CD:=DE:+EC:［例 3］如图，四边形 ABCD 中,ZD 二90° , AD 二3, DC=4> AB 二 13, BC 二 12,求 sinB 。

探索：已知条件提供的图形是什么形？其中ZD 二90° , AD 二3, DC 二4,可提供什么知识？求sinB 应放在什么 图形中。

点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有ZD 二90° , AD 二3, DC 二4,这样可求AC 二5,又因有AB 二13,BC 二12, 所以可证AABC 是RtA>因此可求sinBo解：连结ACI ZD 二90 ° 由勾股圧理，有 AC ：=CD =+CD 2 TAD 二3, CD 二4, •••AC 二 5TAB 二 13, BC 二 12 /. 13:=12:+52 ••• ZACB=90°・•・ CD = 4vik .•他=込17由正切左理，有5唱tgZBAD=吕由正眩左义，有sin B =AC.•- sin B =—13第二阶梯［例1］如图，在河的对岸有水塔AB,今在C 处测得塔顶A 的仰角为30° ,前进20米后到D 处，又测得A 的 仰角为45° ,求塔髙AB 。

专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用答案部分1．D 【解析】11111()(1cos )sin sin cos )2222224f x x x x x x πωωωωω=-+-=-=-，当12ω=时，1())24f x x π=-，(,2)x ππ∈时，1()(2f x ∈，无零点，排除A,B ；当316ω=时，3())164f x x π=-，(,2)x ππ∈时，0()f x ∈，有零点，排除C ．故选D ．2．B 【解析】22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，因为sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x = 时，()f x 取得最大值为max ()5f x =，故选B ．3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4x π=或54π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2x x +此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x =或1x =-时，212x +=，而|1|x +由两个值，故C 错误，选D ．5．B 【解析】由于(0)2,()1()()424f f f f πππ===<，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，()tan )4f x BP AP x x π=+=≤≤．不难发现()f x 的图象是非线性，排除A ．6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =⋅，当[0,]2x π∈时，()sin cos f x x x ==1sin 22x ；当(,]2x ππ∈时，1()cos sin sin 22f x x x x =-=-，故选C ．7．2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以61611sin 6022S =⨯⨯⨯⨯=o ．8．4,,a b r r的夹角为θ，由余弦定理有：a b -==r r，a b +==r r则：a b a b ++-=r r r r令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin4a b a ba b a b++-==++-==r r r rr r r r，即a b a b ++-r r r r的最小值是4，最大值是9；1【解析】22cos sin 21cos2sin 2)14x x x x x π+=++++，所以 1.A b = 10．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．11．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．θHE KGNM PO ABC D过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈．当0[,)2πθθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1[,1)4．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2πθθ∈．设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2πθθ∈，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()0f θ'=，得π6θ=， 当0(,)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数； 当(,)62ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数， 因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值．答：当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．12．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为AC =40AM =．所以30MN ==，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=.因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)13．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x ．由ππππk x k 22222+≤≤+-()k Z ∈，可得ππππk x k +≤≤+-44()k Z ∈；由ππππk x k 223222+≤≤+()k Z ∈，得ππππk x k +≤≤+434()k Z ∈； 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-()k Z ∈；单调递减区间是]43,4[ππππk k ++()k Z ∈． （Ⅱ）1()sin 022A f A =-=Q ，1sin 2A ∴=，由题意A是锐角，所以cos 2A =． 由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，2212b c bc=+≥可得32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立．2sin 4bc A ∴≤．ABC ∆∴面积最大值为432+． 14．【解析】（Ⅰ）因为1()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ--+--+，又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ， 当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ；于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ （Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由（1）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-， 又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ， 故在10时至18时实验室需要降温.15．【解析】：（1）Q c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+Q()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）Q c b a ，，成等比数列，22b ac ∴= 由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥Q （当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为1216．【解析】（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x << 所以sin cos2sin cos2x x x x >>问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．。