第七章_数值积分2

积分误差:
已知 在[a,b]中连续,
由积分第一中值定理:
其中,
在[a,b]中不变号,
共四十页
证毕 #
➢ 定理(dìnglǐ)7.3
若
第7章 数值(shùzí)微分与数值
(shùzí)积分
, 则Simpson公式的误差为:
其中,
【证明】Simpson公式是2阶N-C公式, 由定理7.1, 它具有2n+1 (这里n=1) 阶
1.151 3.1613527
1.1499 3.1578771
0.0001 1.1500 3.1581929
3.158
3.158 1.9290E-04 1.9290E-04
1.1501 3.1585087
1.149999 3.1581897
1.00E-06 1.150000 3.1581929
3.2
1.14 3.1267684
0.01
1.15 3.1581929 3.17404 3.158245 1.5847E-02 5.2100E-05
1.16 3.1899333
1.149 3.1550363
0.001 1.150 3.1581929
3.1598
3.1582 1.6071E-03 7.1000E-06
代数精度. 即对任意3次多项式, Simpson公式精确成立. 构造f(x)的三次(sān cì)插值多项式 H3(x), 满足:
由第五章中Hermite 插值的余项 (对应n=2, m=0):
共四十页
➢ 定理(dìnglǐ)7.3 证明 (续) 对上式积分(jīfēn),
Simpson积分误差: 在[a,b]上连续 作变量代换, 由积分第一中值定理:

第七章
§7.7 数值微分
数值积分与微分
泰勒公式是建立数值微分的工具之一，设 h x1 x0 ，
根据泰勒公式可得：
f x0 h f x0 f x0 O h h h h f x0 f x0 2 2 f x0 O h2 h
1 t
0
1
t
2
dt 。
解：(1)首项系数为1的三次勒让德多项式为：
3 2 d x 1 3! 3 3 3 x x x 3 6! dx 5 3 3 , x1 0, x2 取其零点 x0 作为高斯点 5 5 3
第七章
§7.6 高斯求积公式
N
（充分性得证）
第七章
§7.6 高斯求积公式
数值积分与微分
定理7.6 表明，若能够找到满足
N+1次多项式 N 1 x ，则积分公式的高斯点就确定了， 从而确定了一个高斯型求积公式。为此，引入勒让德 (Legendre)多项式。 定义：一个仅以区间[-1, 1]上的高斯点 xi i 0 为零点的
j 0
N
关于高斯求积公式的误差有如下结论：高斯积分公式 的误差是可控的，稳定性比其他积分方法好。特别当
f x 在[-1, 1] 上连续时，高斯型求积公式必收敛。
第七章
数值积分与微分
总结
1 梯形求积公式和辛普生求积公式是低精度的方法，但对 于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的 效果。复化梯形公式和辛普生求积公式，精度较高，计 算较简，使用非常广泛。 2 龙贝格求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似 程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此， 对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3 Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时， 前面计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦， 但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分， 则是其他方法所不能比的。

第八章 数值积分我们知道，如果函数f (x )在区间[a, b]上连续，且原函数为F (x )，则可用牛顿――莱布尼兹公式)()()(a F b F dx x f ba-=⎰来求得定积分。

然而，对有些函数来说，找到原函数往往很困难，有些原函数不能用初等函数表示出来，例如：dx e ax ⎰-02（a 为有限数）还有的被积函数尽管能用初等函数的有限形式表示出来，但表达式过于复杂，也不便使用。

特别是在实际问题中，更多的函数是用表格或图形表示的，对这种函数，更无法用牛顿――莱布尼兹公式求积分。

因此，有必要研究用数值方法求定积分的问题。

这种数值积分方法也是微分方程、积分方程数值解法的基础。

数值积分的基本思想是构造一个简单函数（例如多项式）P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求⎰ban dx x P )( 求得⎰badx x f )(的近似值。

§1 插值型求积公式 设⎰=badx x f I )(*（8.1）插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使⎰=≈ban dx x P I I )(*称（8.1）为插值求积公式。

由拉格朗日插值公式)()()(0k nk k n x f x l x P ∑==代入（8.1），则有)()()()(0k nk bak k nk bak x f dx x l dx x f x l I ⋅==∑⎰∑⎰==记)()(0k nk k bak k x f I dxx l ∑⎰===λλ其中λk 为求积系数，x k 为求积节点。

1．两点公式 构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=[])()()(21)(21)()(21)()()()()()()()(221b f a f a b a b a b b f b a b a a f dxa x ab b f dx b x b a a f dxb f a b a x a f b a b x dx x P T ba b a ba ba +-=-⨯-+-⨯-=--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--==⎰⎰⎰⎰ （8.2）（8.2）亦称为梯形公式。

按照这种思想，可以构造一些求积分值的近似公式，如 梯形公式：
b
a
f
xdx
b
2
a
f
a
f
b
中矩形公式：
b
a
f
x
dx
b
a
f
a
2
b
第七章 数值微积分
当函数 f (x)已知时，讨论定积分的计算问题
I
f
b
a
f
(x)dx
为了避开求原函数的困难，通过被积函数 f (x) 的值来求解积
分值。由积分中值定理，对连续函数 f (x)，有
I f
b
f (x)dx
a
n
Ai f (xi )
i0
其中xi 称为求积节点；Ai 为求积系数（或节点 xi的权），它仅
与节点值及区间[a,b] 有关，而与被积函数 f (x)的形式无关。
记
b
n
Rn[ f ]
f (x)dx
a
Ai f (xi )
i0
称Rn[ f ] 为积分公式的余项或是截断误差。
2x 1 1 arctan 2x 1 2 2
2x 1 arctan
2x 1
第七章 数值微积分
(4) f (x) 本身没有具体的解析表达式，仅有表格或图形给出 的实验测量数据点。
以上几种情况下就无法应用牛顿-莱布尼兹公式，所以， 需要研究计算定积分的近似方法——数值积分法；在微分学 中，函数 f (x) 的导数是通过极限定义的，如果函数以一组观 测数据的形式给出，或者表达式过于复杂时，就需要用数值 方法求解函数的导数或微分。
§1 牛顿-柯斯特（Newton-Cotes）公式
用拉格朗日插值多项式 Ln (x) 作为 f (x) 的近似函数，设 [a,b]上的节点为a x0 x1 x2 xn b 则有