数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解

第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。

在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。

对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。

如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。

2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。

3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。

例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法——数值积分法。

1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。

由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。

问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。

我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。

这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。

如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4-1) 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。

而如果改用区间中点2a bc +=的“高度”()f c 近似地取代平均高度()f ξ，则可导出所谓中矩形公式（简称矩形公式）()2a b R b a f +⎛⎫=- ⎪⎝⎭(4-2)更一般地，我们可以在区间[,]a b 上适当选取某些节点k x ，然后用()k f x 加权平均得到平均高度()f ξ的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰(4-3)式中k x 称为求积节点；k A 成为求积系数，亦称伴随节点k x 的权。

权k A 仅仅与节点k x 的选取有关，而不依赖于被积函数()f x 的具体形式。

这类由积分区间上的某些点上处的函数值的线性组合作为定积分的近似值的求积公式通常称为机械求积公式，它避免了Newton-Leibnitz 公式寻求原函数的困难。

对于求积公式(4-3)，关键在于确定节点{}k x 和相应的系数{}k A 。

1.2 代数精度的概念由Weierstrass 定理可知，对闭区间上任意的连续函数，都可用多项式一致逼近。

一般说来，多项式的次数越高，逼近程度越好。

这样，如果求积公式对m 阶多项式精确成立，那么求积公式的误差仅来源于m 阶多项式对连续函数的逼近误差。

因此自然有如下的定义定义4.1 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确地成立，但对于1m +次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。

例1 判断求积公式111()[58(0)5(9f x dx f f f -≈++⎰ 的代数精度。

解 记111()()()[58(0)5(9I f f x dx I f f f f -==++⎰%， 因为111(1)2(1)(585)29I dx I -===++=⎰%，111()()[5805(09I x xdx I x -==⨯+⨯+⨯=⎰%=0，图4-1 图4-21222112()()(50.68050.6)93I x x dx I x -==⨯+⨯+⨯=⎰%2=，313333311()()[505(]09I x x dx I x -==⨯++⨯=⎰%=0， 1444112()()(50.36050.36)95I x x dx I x -==⨯++⨯=⎰%2=，515555511()()[505(]09I x x dx I x -==⨯++⨯=⎰%=0， 166633112()()[5(0.6)05(0.6)]0.2497I x x dx I x -==⨯++⨯=≠⎰%2=，7所以求积公式具有5次代数精度。

1.3插值型的求积公式最直接自然的一种想法是用()f x 在[,]a b 上的插值多项式()n x ϕ代替()f x ，由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们以()n x ϕ在[,]a b 上的积分值作为所求积分()I f 的近似值，即()()bn aI f x dx ϕ≈⎰这样得到的求积分公式称为插值型求积公式。

通常采用Lagrange 插值。

设[,]a b 上有1n +个互异节点01,,,n x x x L ，()f x 的n 次Lagrange 插值多项式为()()()nn k k k L x l x f x ==∑其中0()n ik j k ij kx x l x x x =≠-=-∏，插值型求积公式为 0()()()nbn k k ak I f L x dx A f x =≈=∑⎰ (4-4)其中(), 0,1,,bk ka A l x dx k n ==⎰L 。

可看出，{}k A 仅由积分区间[,]a b 与插值节点{}k x 确定，与被积函数()f x 的形式无关。

求积公式(4-4)的截断误差为(1)1()()()()()(1)!n bbbn n n aaaf R f f x dx L x dx x dx n ξω++=-=+⎰⎰⎰(4-5)定义4.2 求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰如其系数()bk ka A l x dx =⎰，则称此求积公式为插值型求积公式。

定理4.1 形如(4-3)的求积公式至少有n 次代数精度的充分必要条件是插值型的。

证明 如果求积公式(4-3)是插值型的，由公式(4-5)可知，对于次数不超过n 的多项式()f x ，其余项[]R f 等于零，因而这时求积公式至少具有n 次代数精度。

反之，如果求积公式(4-3)至少具有n 次代数精度，那么对于插值基函数()k l x 应准确成立，并注意到()k j jk l x δ=，即有()()nbkj k j k a j l x dx A l x A ===∑⎰所以求积公式(4-3)是插值型的。

1.4 求积公式的收敛性与稳定性定义4.3 在求积公式(4-3)中，若0lim ()()nbk k an k h A f x f x dx →∞=→=∑⎰其中11max()i i i nh x x -≤≤=-，则称求积公式(4-3)是收敛的。

实际使用任何求积公式时，除截断误差外，还有舍入误差，因此我们必须研究其数值稳定性。

在求积公式(4-3)中，由于计算()k f x 可能产生误差k δ，实际得到k f %，即()k k kf x f δ=+%，记 0()(),()nnn k k n k kk k I f A f x I f A f ====∑∑%% 如果对任给正数0ε>，只要误差k δ充分小就有()()()nn n kk k k I f I f Af x f ε=⎡⎤-=-≤⎣⎦∑%% (4-6) 它表明求积公式(4-3)计算是稳定的，由此给出：定义4.4 对任给0ε>，若存在0δ>，只要() (0,1,,)k kf x f k n δ-≤=%L 就有(4-6)成立，则称求积公式(4-3)是稳定的。

定理4.2 若求积公式(4-3)中系数0 (0,1,,)k A k n >=L ，则此求积公式是稳定的；若k A 有正有负，计算可能不稳定。

证明 对任给0ε>，若取b aεδ=-，对0,1,,k n =L 都有()k kf x f δ-≤%，则有 0()()()()nnnn n k k k k k k k k k k I f I f A f x f A f x f A δ===⎡⎤-=-≤-≤⎣⎦∑∑∑%%% 注意对任何代数精度0≥的求积公式均有(1)1nbkn ak AI dx b a ====-∑⎰可见0k A >时，有()()()nnn n k k k k I f I f A A b a δδδε==-≤==-=∑∑%由定义4.4可知求积公式(4-3)是稳定的。

若k A 有正有负时，假设(())0k k kA f x f ->%，且()k k f x f δ-=%，有 00()()()()()nnn n kk k k k k k k n nk k k k I f I f Af x f A f x f A A b a δδδ====⎡⎤-=-=-⎣⎦=>=-∑∑∑∑%%%它表明初始数据的误差可能会引起计算结果误差的增大，即计算可能不稳定。

2 Newton-Cotes 公式2.1 Cotes 系数被积函数在积分区间内变化平缓，可用等距节点插值公式近似。

将积分区间[,]a b 划分为n 等分，步长b ah n-=，等距节点,0,1,,k x a kh k n =+=L 。

此时求积公式(4-4)中的积分系数可得到简化 00()()n n b b b j k k a a aj j k j j kj kx x x a jhA l x dx dx dx x x k j h==≠≠---===--∏∏⎰⎰⎰作变换x a th =+，则有000000()(1)(1)()()()()!()!!()!n k n k n n nnn n k j j j j kj kj kt j h h b a A hdt t j dt t j dt k j h k n k k n k n --===≠≠≠----==-=----∏∏∏⎰⎰⎰ 令()00(1)()!()!n kn n n kj j kCt j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ 则()()n k k A b a C =-，求积公式(4-4)可简化为()0()()()nn k k k I f b a C f x =≈-∑ (4-7)称为n 阶Newton-Cotes 公式，简记为N-C 公式，{}()n k C 称为Cotes 系数。

由()n k C 的表达式可看出，它不但与被积函数无关，而且与积分区间也无关。