第二章数值积分法2011

2010-2011数值分析
第一章 绪论 2 第二章 函数插值 3 第三章 函数逼近 6 第四章 数值积分与数值微分 10 第五章 解线性方程组的直接解法 13 第六章 解线性方程组的迭代解法 14 第七章 非线性方程求根 16 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 19
第一章 绪论
1.1 要使的相对误差不超过0.1%，应取几位有效
解 对y=f(x)的反函数进行三次插值，插值多项式为
+ + + =, 于是有
。
第三章 函数逼近
3.1证明定义于内积空间H上的函数是一种范数。
证明： 正定性当且仅当时； 齐次性 设为数域K上任一数 三角不等式 ；
于是有 故是H上的一种范数。
3.2求，在空间上的最佳平方逼近多项式，并给出 误差。
解： 第一步：构造内积空间上的一组正交基，其中内积： 第二步：计算的二次最佳平方逼近多项式 从第一步已经知道，利用公式得： 误差为：
数字？
解：
的首位数字。 设有 n位有效数字，由定理知相对误差限 令， 解得，即需取四位有效数字.
1.2 序列满足关系式，若，计算到，误差有多
大？这个算法稳定吗？
解：，于是 ，一般地，因此计算到其误差限为，可见这个计算过程是不稳定的。
1.3 计算球的体积，要使相对误差限为1%，问测 量半径R时允许的相对误差限是多少？
4.1、计算积分，若用复化梯公式，问区间应分多 少等份才能使截断误差不超过？若改用复化辛普 森公式，要达到同样的精度，区间应分多少等 份？
解：由于，，,故对复化梯公式，要求 ，
即，.取，即将区间分为等份时，用复化梯公式计算，截断误差不超过. 用复化辛普森公式，要求 ，
即，.取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度.

数值积分方法求解积分方程y(x) = f(x) + λ∫K(x, t) y(t) dt其中y(x)是未知函数，f(x)是已知函数，K(x, t)是已知的积分核，λ是常数。

在许多科学领域，如物理、工程、经济等领域，积分方程是非常常见的。

由于积分方程的解通常难以获得解析解，因此需要使用数值方法进行求解。

数值积分方法可以分为两大类：直接积分法和迭代积分法。

直接积分法是将积分方程转化为一个代数方程，然后使用数值代数方法求解。

常用的直接积分法有Trapezoidal规则、Simpson规则和Newton-Cotes规则等。

这些方法都是通过将积分区间分割为若干个小区间，然后在每个小区间上使用适当的插值方法进行计算，最终将这些小区间上的积分结果累加起来得到整个积分方程的数值解。

迭代积分法则是通过将积分方程转化为一个迭代序列，最终得到连续逼近的解。

常见的迭代积分法有Picard迭代法、Newton离散法和倍迭代法等。

这些方法都要求原积分方程具有某些特定的性质，例如可微、紧收敛等。

在每次迭代中，通过逐步逼近不动点来计算解的近似值，直到达到所需的精度要求为止。

数值积分方法在实际应用中具有广泛的适用性和可行性。

它可以处理各种类型的积分方程，包括线性和非线性、奇异和非奇异、特征值问题等。

此外，数值积分方法还可以通过适当选择插值和逼近方法来提高计算效率和精度。

例如，在直接积分法中，可以采用高阶插值多项式来近似积分核，从而提高数值解的精度。

在实际求解中，选择合适的数值积分方法至关重要。

这涉及到对问题的深入理解以及对数值方法的熟悉程度。

在选择数值积分方法时，需要综合考虑问题的特点、数值方法的精度和效率，并根据具体情况进行权衡。

总之，数值积分方法是一种有效的求解积分方程的数学技术。

它具有广泛的适用性和可行性，可以处理各种类型的积分问题。

通过选择合适的数值方法，可以获得高精度和高效率的数值解，为科学研究和工程应用提供重要的支持。

数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。

在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。

通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。

数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。

当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。

数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。

首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。

其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。

此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。

数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。

另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。

总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。

数学实验报告
无 95
苏航
2009011122
实验日期 2011/3/11
数学实验报告
实验一 差值与数值积分
班级 姓名 交报告日期
无 95 苏航
2011/3/19
学号 2009011122
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数学实验报告
无 95
苏航
2009011122
一、差值
㈠问题描述
选择一些函数，在 n 个节点上用拉格朗日、分段线性、三次样条三种差值方法，计算 m 个插值点的函数值，通过函数和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较，适当增加 n 再作比较，由此作初步分析。
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数学实验报告
无 95
苏航
2009011122
可以发现，通过增加节点，每一种插值法的结果都比原来更加接近真实值。 dif1 = 0.0015; dif2 = 0.0082; dif3 = 0.0027; (3)10 节点，100 插值点
结果进一步逼近真实值。 dif1 = 0.00062; dif2 = 0.0035; dif3 = 0.0012; (4)简要小结 a.增加节点可以有效地提高插值结果的准确度。 b.在本函数下，拉人格朗日插值法的效果与三次样条插值法的效果相近，两 者都好于分段线性插值法。 (5)对比
从结果可以看出，各种积分法的精度都有所提高，其中自适应积分法的精度 提高得最多。 步长为 0.05，精度要求10−8
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数学实验报告
无 95
苏航
2009011122
前两种与直接步长相关的积分公式得到的结果的精度进一步提升。 由此思考， 可以自己编写“以精度为参量”的梯形积分法和 Simpson 积分法，即多次调用现 有积分程序， 判断精度是否符合要求， 若不符则进一步缩小步长， 知道满足要求。 (4)对比 步长取 0.2，比较自己编写的梯形积分公式以及 Matlab 自带的梯形积分公式。 S[1]为自己所编公式的结果，S[2]为 Matlab 自带公式的结果。