1 / 50 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 第7章 参数估计 7.1 考点归纳 【知识框架】 【考点提示】 （1）置信区间的含义理解（选择题、简答题考点）； （2）估计量的三个评价标准（判断题、填空题、简答题考点）； （3）区间估计的步骤（简答题考点）、总体参数的区间估计选择恰当的统计量（计算题考点）； （4）必要样本容量的影响因素、计算（简答题、计算题考点）。 【核心考点】 2 / 50 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 考点一：参数估计的基本原理 1．置信区间 （1）置信水平为95%的置信区间的含义：用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值。 （2）置信度愈高（即估计的可靠性愈高），则置信区间相应也愈宽（即估计准确性愈低）。 （3）置信区间的特点：置信区间受样本影响，具有随机性，总体参数的真值是固定的。一个特定的置信区间“总是包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题。 2．评价估计量的标准 （1）无偏性：估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数，即E（θ∧）＝θ。 （2）有效性：估计量的方差尽可能小。 （3）一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计总体的参数。 【提示】本考点常见考查方式：①直接考查置信水平为95%的置信区间的含义；②置信度、估计可靠性、置信区间的关系及应用；③置信区间的特点；④给出估计量的具体含义，判断体现了什么标准；⑤直接回答估计量的三个评价标准及具体含义（简答题）。 考点二：一个总体参数的区间估计 表7-1 一个总体参数的区间估计 3 / 50 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 【总结】一个总体参数的估计及所使用的分布见图7-1： 图7-1 一个总体参数的估计及所使用的分布 【真题精选】 设总体X～N（μ，σ2），σ2已知，样本容量和置信水平固定，对不同的样本观测值，μ的置信区间的长度（ ）。[对外经济贸易大学2018研] A．变长 4 / 50 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 B．变短 C．保持不变 D．不能确定 【答案】C 【解析】在正态总体方差已知的条件下，μ的置信区间为 /2xzn 所以置信区间长度为/22Zn，当样本容量和置信水平固定时，置信区间长度保持不变。 考点三：两个总体参数的区间估计 表7-2 两个总体参数的区间估计 5 / 50 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 其中： 221122212112pnsnssnn 6 / 50 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 22212122222112212//11ssnnsnsnnn。 【注意】独立样本是指两个样本是从两个总体中独立抽取的，即一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立。 匹配样本是指一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应。 【真题精选】 大样本的样本比例之差的抽样分布服从（ ）。[中国海洋大学2018研] A．正态分布 B．t分布 C．F分布 D．x2分布 【答案】A 【解析】大样本下两总体比例之差的抽样分布近似服从于正态分布。 考点四：必要样本容量的确定 1．估计总体均值时必要样本容量的确定 在重复抽样条件下，设E代表允许的估计误差，所需样本容量为：
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第7章参数估计
一、单项选择题
1．在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是
使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（）。[山东大学2015研]
A．无偏性
B．有效性
C．一致性
D．充分性
【答案】B
【解析】有效性是指对同一总体参数的无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效，即
估计量与总体参数的离差越小越好。
2．一项研究表明，大公司的女性管理人员与小公司的女性管理人员颇为相似。该项研
究抽取了两个独立的随机样本，小公司抽取86名女性经理，大公司抽取91名女性经理，根
据若干个与工作有关的变量做了比较，其中所提出的一个问题是“如果有机会的话，你是否
会改变所从事的工作？”小公司的86名经理中有65人作了否定回答，大公司的91名经理
中有51人作了否定回答。两组女性经理中有机会改变工作的比例之差的95%的置信区间为
（）。[山东大学2015研]
A．0.195±0.017
B．0.195±0.117
C．0.195±0.127
D．0.195±0.137
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【答案】D
【解析】当两个总体比例π
1和π
2未知时，可用样本比例p
1和p
2来代替，根据正态分布
建立的两个总体比例之差π
1－π
2在1
－α
置信水平下的置信区间为：
1122
12/2
1211
40402121
(1)(1)
4021
91918686
()1.96
0.195+
9186
0.1918
376apppp
ppz
nn
3．关于最大似然估计量和无偏估计量的叙述，下列正确的是（）[中山大学2014
研]
A．若T为参数θ的最大似然估计量，则g（T）为g（θ）的最大似然估计量
B．若T为参数θ的无偏估计量，则g（T）为g（θ）的无偏估计量
C．最大似然估计量和无偏估计量总是唯一的
数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma分布，Gamma分布与其他分布的联系
今天的主⾓是指数分布，由此导出\(\Gamma\)分布，同样，读者应尝试⼀边阅读，⼀边独⽴推导出本⽂的结论。由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果
有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！
⽬录
Part 1：指数分布的参数估计
指数分布是单参数分布族，总体\(X\sim E(\lambda)\)有时也记作\(\mathrm{Exp}(\lambda)\)，此时的总体密度函数为\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}I_{x>0}. \]
现寻找其充分统计量，样本联合密度函数为\[\begin{aligned} f(\boldsymbol{x})&=\lambda^n\exp\left\{-\lambda\sum_{j=1}^n x_j \right\}I_{x_1>0}\cdots I_{x_n>0}\\ &=\lambda^ne^{-n\lambda \bar
x}I_{x_{(1)}>0}, \end{aligned} \]
由因⼦分解定理，取\[g(\bar x,\lambda)=\lambda^ne^{-n\lambda \bar x},\quad h(\boldsymbol{x})=I_{x_{(1)}>0}, \]
可以得到\(\bar X\)是\(\lambda\)的充分统计量。但是指数分布的参数并⾮均值，⽽是均值的倒数，所以对\(\bar X\)也有\[\mathbb{E}(\bar X)=\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}. \]
注意，千万不要想当然地认为期望和⼀般的函数之间是可交换的，即⼀般来说\(\mathbb{E}[f(X)]\ne f[\mathbb{E}(X)]\)，所以你不能认为\(\bar X^{-1}\)就是\(\lambda\)的⽆偏估计量。
每到此时，我就想举对数正态分布的例⼦：\(X\sim N(0,\sigma^2)\)，求\(e^{X}\)的期望。显然有\[\begin{aligned} \mathbb{E}(e^{X})&=\int_{-\infty}^\infty e^x\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2} \right\}\mathrm{d}x\\ &=\int_{-
考研数学一（参数估计和假设检验）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设为未知参数θ的无偏一致估计，且是θ2的( )
A．无偏一致估计。
B．无偏非一致估计。
C．非无偏一致估计。
D．非无偏非一致估计。
正确答案：C
解析：根据无偏估计和一致估计的概念可得的非无偏一致估计，故选C。 知识模块：参数估计
2． 设是取自总体X中的简单随机样本X1，X2，…，Xn的样本均值，则是μ的矩估计，如果( )
A．X～N(μ，σ2)。
B．X服从参数为μ的指数分布。
C．P{X=m}=μ(1—μ)m—1，m=1，2，…。
D．X服从[0，μ]上均匀分布。
正确答案：A
解析：若X～N(μ，σ2)，则E(X)=μ，μ的矩估计为，故选A。对于选项B，X服从参数为μ的指数分布，则E(X)=，μ的矩估计，对于选项C，X服从参数为μ的几何分布，E(X)=，μ的矩估计，对于选项D，E(X)=，μ的矩估计。
知识模块：参数估计
3． 总体均值μ置信度为95％的置信区间为，其含义是( )
A．总体均值μ的真值以95％的概率落入区间。
B．样本均值以95％的概率落入区间。
C．区间含总体均值μ的真值的概率为95％。
D．区间含样本均值的概率为95％。
正确答案：C
解析：根据置信区间的概念，故选C。均值μ是一个客观存在的数，说“μ以95％的概率落入区间”是不妥的，所以不选A，而B、D两项均与μ无关，无法由它确定μ的置信区间。 知识模块：参数估计
4． 下列关于总体X的统计假设H0属于简单假设的是( )
A．X服从正态分布，H0：E(X)=0。
B．X服从指数分布，H0：E(X)≥1。
C．X服从二项分布，H0：D(X)=5。
D．X服从泊松分布，H0：D(X)=3。
正确答案：D
