量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末试题及答案(A)
选择题（每题3分共36分）
1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C
A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；
B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；
C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；
D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；
B. Ψ归一化后，
ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；
C. Ψ一定是实数；
D. Ψ一定不连续.
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；
B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；
C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；
D.每个光子以一定的几率通过偏振片.
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A
A. *ψ 一定也是该方程的一个解；
B. *ψ一定不是该方程的解；
C. Ψ 与*
ψ 一定等价；
D.无任何结论.
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒.
6．如果以∧
l 表示角动量算符，则对易运算]
,[y x l l 为：B
A. ih ∧
z
l
B. ih
∧
z l
C.i
∧
x
l D.h
∧
x
l
7．如果算符
∧A 、∧B 对易，且∧
A ψ
=A
ψ，则：B
A. ψ 一定不是∧B 的本征态；
B. ψ一定是 ∧
B 的本征态；
C.*ψ一定是∧
B 的本征态；
D. ∣Ψ∣一定是∧
B 的本征态.
8．如果一个力学量 ∧
A 与H
∧
对易，则意味着∧
A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；
D.其本征值出现的几率会变化.
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒.
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev
11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23
)h ω下，简并度为：B
A. )1(21
+N N ； B. )2)(1(21
++N N ；
C.N(N+1)；
D.(N+1)(n+2)
12．判断自旋波函数 )]
1()2()2()1([2
1βαβαψ+=
s 是什么性质：C
A. 自旋单态；
B.自旋反对称态；
C.自旋三态；
D. z σ
本征值为1.
二 填空题（每题4分共24分）
1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 2
6
.13-
= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：—————
——————，光的波长为———— ————————.
2．如果已知初始三维波函数
)0,(r →
ψ ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 )(p ϕ =——————————————，任意时刻的波函数为
),(t r →
ψ————————————.
3．在一维势阱（或势垒） 中，在x=x 0 点波函数
ψ————————（连续或不连续），它的导数'ψ————————
————（连续或不连续）. 4．如果选用的函数空间基矢为n
，则某波函数
ψ
处于
n
态的几率用 Dirac 符号表示为——————————，某算
符
∧
A 在 ψ
态中的平均值的表示为——————————.
5．在量子力学中，波函数ψ 在算符∧
Ω操作下具有对称性，含义是————————————————————————
——，与 ∧
Ω对应的守恒量 ∧
F 一定是——————————算符.
6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是—
———————————————————. 三计算题（40分）
1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x ≤a ，V(x)=∞,当x<0或x>0, 求粒子的能量和波函数.(10分)
2．设一维粒子的初态为)/()0,(0h x ip Exp x =ψ，求),(t x ψ.（10分）
3．计算z σ表象变换到x σ表象的变换矩阵.（10分）
4 .4个玻色子占据3个单态1ϕ ，2ϕ，3ϕ，把所有满足对称性要求的态写出来.（10分）
B 卷
一、（共25分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）
2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）
3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数.（4分）
4、在一维情况下，求宇称算符P
ˆ和坐标x 的共同本征函数.（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系.（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ˆ
,ˆ，满足
1ˆˆ22==B A
，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符
A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B
ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S. 三、（15分）线性谐振子在0=t
时处于状态
)21exp(3231)0,(2
2x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=
，其中
ημωα=，求
1、在0=t
时体系能量的取值几率和平均值.2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值
四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛++λλλλλλ
23303220
21
的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项. 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
