陕西师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中文数试题

黄陵中学2016~2017学年第二学期期中测试高二普通班理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i2．函数y=f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义是（）A．在点x0处的斜率B．曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率C．在点（x0，f（x0））处的切线与x轴所夹锐角的正切值D．点（x0，f（x0））与点（0，0）连线的斜率3．对任意的x，有f′（x）=4x3，f（1）=﹣1，则此函数解析式（）A．f（x）=x3B．f（x）=x4﹣2 C．f（x）=x3+1 D．f（x）=x4﹣14．=（）A．2 B．4 C．πD．2π5．下面使用类比推理恰当的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a10的值为（）A．45 B．55 C．65 D．667．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数( )A．7 B．64 C．12 D．818．下列叙述正确的是（）A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|＞|b|，则a＞bC．若a＜b，则|a|＞|b| D．若|a|=|b|，则a=±b9．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件10．用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A．1 B．1+2 C．1+2+22D．1+2+22+2311．在下列命题中，正确命题的个数是（）①两个复数不能比较大小；②复数z=i﹣1对应的点在第四象限；③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1；④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，则z1=z2=z3．A．0 B．1 C．2 D．312．设f（x）存在导函数且满足=﹣1，则曲线y=f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．715．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3 6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是．（填上你认为正确的所有说法的序号）15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表：21．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f（x）相切？（只需写出结论）2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C．2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：由，得z＝i（1﹣i）＝1+i．故选：B．3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．71【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a＝8，t＝82﹣1＝63a+t＝71．故选：D．5．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1＝0，由题意得：△＝（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选：C．6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）＝2x+3f′（2）+，令x＝2，则f′（2）＝4+3f′（2）+，即2f′（2）＝﹣，∴f′（2）＝﹣．故选：D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位【解答】解：由表格得＝5，＝0.9，∵回归直线方程为＝bx+7.9，过样本中心，∴5b+7.9＝0.9，即b＝﹣，则方程为＝﹣x+7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就减少1.4个单位，故选：B．8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝，f′（x）＞0得，x＞；f′（x）＜0得，0＜x＜；∵函数f（x）定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴0≤k﹣1＜＜k+1，∴1≤k＜．故选：B．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△＝4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）＝，故选：D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）＝ax2+bx+c的导数为f′（x）＝2ax+b，即有f′（1）＝0，即2a+b＝0，①又f（1）＝3，即a+b+c＝3②，又f（2）＝8，即4a+2b+c＝8，③由①②③解得，a＝5，b＝﹣10，c＝8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c＝0，且4a+2b+c＝8，且＝3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且4a+2b+c＝8，解得a＝﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且＝3，解得a＝﹣不为非零整数，不成立．故选：A．二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为1．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i．复数的虚部为：1．故答案为：1．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是②④．（填上你认为正确的所有说法的序号）【解答】解：独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病，显然错误；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病，根据统计，是正确的；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人，显然错误；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人，也有可能，故正确．故答案为②④．15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是存在一个能被2整除的数不是偶数．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题．其否定一定是一个特称命题，结合全称命题的否定方法，我们易得，命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．故答案为：存在一个能被2整除的数不是偶数．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．【解答】解：由图象知f（x）＝0的根为0，1，2，∴d＝0．∴f（x）＝x3+bx2+cx＝x（x2+bx+c）＝0．∴x2+bx+c＝0的两个根为1和2．∴b＝﹣3，c＝2．∴f（x）＝x3﹣3x2+2x．∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2＝0的两根，∴．∴．故填：．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【解答】解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝5，f（3）＝13，f（4）＝25，∴f（2）﹣f（1）＝4＝4×1．f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4∴f（5）＝25+4×4＝41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（2）﹣f（1）＝4×1，f（3）﹣f（2）＝4×2，f（4）﹣f（3）＝4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）＝4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）＝4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．【解答】解：（I）当k＝0时，f（x）＝﹣3x2+1∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．当k＞0时，f'（x）＝3kx2﹣6x＝3kx（x﹣）∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．（II）当k＝0时，函数f（x）不存在最小值．当k＞0时，依题意f（）＝﹣+1＞0，即k2＞4，由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表： 【解答】解：（Ⅰ）七年级学生竞赛平均成绩（45×30+55×40+65×20+75×10）÷100＝56（分），八年级学生竞赛平均成绩（45×15+55×35+65×35+75×15）÷100＝60（分）． …（6分） （Ⅱ）…（8分） ∴，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”． 21．（12分）已知函数f （x ）＝2x 3﹣3x ． （Ⅰ）求f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切，求t 的取值范围； （Ⅲ）问过点A （﹣1，2），B （2，10），C （0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f （x ）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＝2x 3﹣3x 得f ′（x ）＝6x 2﹣3，令f′（x）＝0得，x＝﹣或x＝，∵f（﹣2）＝﹣10，f（﹣）＝，f（）＝﹣，f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝2﹣3x0，且切线斜率为k＝6﹣3，∴切线方程为y﹣y0＝（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．。

2016-2017学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期期中考试数学（理）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．a ＝0是复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝03．下列各数中，纯虚数的个数是( ) 2＋7，27i,0i,5i ＋8，i(1－3)，0.618A ．0B ．1C ．2D ．34．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋b a＝－⎝⎛⎭⎪⎫－a b ＋－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－25．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误6．若复数z 1＝1＋5i ，z 2＝－3＋7i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i8．设向量OP →，PQ →，OQ →对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( ) A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝09．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数10．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫作函数f (x )的一个好点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)11．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体形与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B ．15 C.14D ．2512．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：数学物理 85～100分85分以下合计 85～100分 37 85 122 85分以下 35 143 178 合计72228300现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( ) A ．0.5% B ．1% C ．2% D ．5%附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．14．已知x ，y ∈R ，且x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．15．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2 012对应于________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17（10分）．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.18（12分）．(1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.(2)已知x2－y2＋2xy i＝2i，求实数x，y的值．19．(已知数列{a n}的通项公式是a n＝1n2＋5n＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？(2)该数列中有负数项吗？20．(本小题满分12分)已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？图1－4．22．(本小题满分12分)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830答案及解析1.解析： a ＝0时，a ＋b i 不一定为纯虚数，因为a ＝0，b ＝0时，a ＋b i ＝0，但当a ＋b i 为纯虚数时，a ＝0.答案： B2.解析： 由复数相等的条件可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.答案： A3解析： 根据纯虚数的定义知，27i ，i(1－3)是纯虚数．答案： C4.解析： A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．答案： D5.解析： 使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的． 答案： C6.解析： z ＝z 1－z 2＝(1＋5i)－(－3＋7i)＝4－2i. .答案： D7.解析： 由z 1＋z 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0，b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故选D.答案： D8.解析： ∵OP →＋PQ →－OQ →＝OQ →－OQ →＝0.∴z 1＋z 2－z 3＝0. 答案： D9.解析： “恰有一个偶数”的反面是“没有偶数或至少有2个偶数”．故选D.答案： D10.解析： 假设f (x )＝x 2＋2ax ＋1存在好点， 亦即方程f (x )＝x 有实数根， 所以x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数根， 则Δ＝(2a －1)2－4＝4a 2－4a －3≥0，解得a ≤－12或a ≥32，故当f (x )不存在好点时，a 的取值范围是－12<a <32，故选A. 答案： A11.解析： 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25，故选D.答案： D12.解析： 代入公式得K 2的观测值k ＝－272×228×122×178≈4.514＞3.841查表可得．答案： D13．答案： 菱形的对角线互相垂直且平分14．解析： “至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”． 答案： x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1) 15．答案： 知识 并集 交集 补集16.解析： 设由每一行的第一个数构成数列{a n }，则4－2＝2×2－2,8－4＝2×3－2,14－8＝2×4－2，…，a n －a n －1＝2n －2. 以上各式相加可得a n ＝n 2－n ＋2.令n 2－n ＋2≤2 012，解不等式可得n 的最大值为45，所以2 012在第45行，第45行的第一个数为a 45＝452－45＋2＝1 982.因为2 012－1 982＝30,30÷2＝15，所以2 012为第16个数． 答案： (45,16)17解析： z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又z ＝13－2i ，且x ，y ∈R . ∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.18解析： (1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－－y ，解得x ＝52，y ＝4.(2)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.19解：(1)对任意n ∈N *， ∵a n ＋1－a n ＝1n ＋2＋n ＋＋4－1n 2＋5n ＋4＝－n ＋n ＋2＋n ＋＋n 2＋5n ＋<0，∴数列{a n }是递减数列． (2)令a n <0，即1n 2＋5n ＋4<0，∴n 2＋5n ＋4<0⇒(n ＋4)(n ＋1)<0⇒－4<n <－1. 而n ∈N *，故数列{a n }没有负数项．20.证明： 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c，因此b (a ＋c )＝2ac .而由于a ，b ，c 构成等差数列可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ， 这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾． 故假设不成立，即1a ，1b ，1c不能构成等差数列．21．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y. 由观测结果可得 x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y, 因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：A 药B 药 6 0. 5 5 6 8 9 8 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 67 8 9 9 8 77 6 5 4 3 3 2 2. 14 5 6 7 521 03.2从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2，3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0，1上，由此可看出A 药的疗效更好22．D [解析] 令b n ＝a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ， 则b n ＋1＝a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4. 因为a n ＋1＋ (－1)n a n ＝2n －1， 所以a n ＋1＝－(－1)n a n ＋2n －1. 所以a 4n －3＝－a 4n －4＋2(4n －4)－1， a 4n －2＝a 4n －3＋2(4n －3)－1， a 4n －1＝－a 4n －2＋2(4n －2)－1，a 4n ＝a 4n －1＋2(4n －1)－1， a 4n ＋1＝－a 4n ＋2×4n －1， a 4n ＋2＝a 4n ＋1＋2(4n ＋1)－1， a 4n ＋3＝－a 4n ＋2＋2(4n ＋2)－1， a 4n ＋4＝a 4n ＋3＋2(4n ＋3)－1，所以a 4n ＋4＝a 4n ＋3＋2(4n ＋3)－1＝－a 4n ＋2＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝－a 4n ＋1－2(4n ＋1)＋1＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝a 4n －2×4n ＋1－2(4n ＋1)＋1＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝a 4n ＋8， 即a 4n ＋4＝a 4n ＋8.同理，a 4n ＋3＝a 4n －1，a 4n ＋2＝a 4n －2＋8，a 4n ＋1＝a 4n －3.所以a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4＝a 4n ＋a 4n －1＋a 4n －2＋a 4n －3＋16. 即b n ＋1＝b n ＋16.故数列{b n }是等差数列． 又a 2－a 1＝2×1－1，① a 3＋a 2＝2×2－1，② a 4－a 3＝2×3－1，③②－①得a 3＋a 1＝2；②＋③得a 2＋a 4＝8， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10，即b 1＝10.所以数列{a n }的前60项和即为数列{b n }的前15项和，即S 15＝10×15＋15×142×16＝1830.故选D.。

2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下)期中数学试卷一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为．2．复数z=（m2﹣m﹣4)+（m2﹣5m﹣6）i(m∈R），如果z是纯虚数，那么m= ．3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=．5．若复数|z﹣3i｜=5,求｜z+2｜的最大值和最小值．6．异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有条．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．8．已知集合A={z｜z=i+i2+i3+…+i n,n∈N＊}，B={z|z=z1•z2,z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有个．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ．10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为．二、选择题（4&＃215；4=16）11．下列命题中,错误的是（）A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行12．下列命题中，错误的是( )A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13．已知复数z1,z2满足｜z1﹣|=|1﹣z1z2｜｜，则有（) A．|z1|＜0且|z2|＜1 B．｜z1|＜1或｜z2|＜1 C．|z1|=1且｜z2｜=1 D．｜z1｜=1或｜z2|=114．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为( ）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜｜z1｜,求a的取值范围．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2,E为PD的中点．(1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小;(2)求二面角E﹣AC﹣D的大小，(结果用反三角函数值表示）17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中,AB=,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小;（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若（b，c)在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1)2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c)是线段s上一点（非端点）,则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由;(3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s12016-2017学年上海市华师大二附中高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为3﹣2i ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：向量对应复数﹣3+2i，则向量对应向量坐标为（﹣3,2），则向量所对应的坐标为（3，﹣2)，则定义的复数为3﹣2i，故答案为：3﹣2i2．复数z=（m2﹣m﹣4）+(m2﹣5m﹣6）i（m∈R）,如果z是纯虚数，那么m= ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得得m=,故答案为：3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为90°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角．【解答】解:∵斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，∴此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90°．故答案为：90°．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α,β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ= 2 ．【考点】MI:直线与平面所成的角．【分析】由已知得cosα=，cosβ=，cosγ=，由此能求出cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解:∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β,AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ，∵cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=++=++===2．故答案为：2．5．若复数｜z﹣3i|=5，求｜z+2|的最大值和最小值．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．【解答】解:如图，满足|z﹣3i|=5的复数z所对应的点是以C（0,3）为圆心,5为半径的圆．｜z+2|表示复数z所对应的点Z和点A（﹣2，0)的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．∴｜AC｜==．∴|z+2|max=5+，|z+2｜min=5﹣．6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有 2 条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把异面直线a,b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，过P点作直线c平分∠APB，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由此能求出结果．【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P,此时∠APB=50°,过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°,过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是30．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离．【解答】解:圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB，∴最短距离为AB的长．扇形的圆心角为=,∴AB==30．故答案为：30．8．已知集合A=｛z|z=i+i2+i3+…+i n，n∈N＊}，B=｛z｜z=z1•z2，z1∈A，z2∈A｝，则集合B中的元素共有7 个．【考点】15:集合的表示法．【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得:集合A=｛1，1+i，i，0｝,进而得到B={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0｝．【解答】解:由题意可得：集合A=｛z｜z=1+i+i2+…+i n，n∈N＊}=｛1,1+i，i,0｝，所以B=｛z｜z=z1•z2，z1、z2∈A｝=｛1，1+i，i,2i,﹣1+i，﹣1，0}，所以集合B中共有7个元素．故答案是：7．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2．利用是实数,可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数,∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0,取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32 =0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．10．（理科)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状,再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解:由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=,故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为二、选择题（4&#215；4=16）11．下列命题中，错误的是（)A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线,则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断A；由直线与平面所成的角的概念可判断B；由直线与平面垂直的判定定理可判断C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断D．【解答】解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确;D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．故选B．12．下列命题中，错误的是（)A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故A正确；对于B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦,∴当另一半为底面直径时截面最大,故B正确；对于C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ,则过此两母线的截面三角形面积为l2sinθ，∴当圆锥轴截面的顶角为钝角,则当θ=时,过顶点的截面中面积最大，故C错误；对于D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分,截面为圆，故D正确．故选C．13．已知复数z1，z2满足｜z1﹣｜=｜1﹣z1z2|｜，则有（) A．｜z1｜＜0且|z2｜＜1 B．|z1｜＜1或|z2|＜1 C．｜z1|=1且｜z2｜=1 D．|z1|=1或|z2｜=1【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用，结合，化简出，通过分解因式推出z1,z2中至少又一个值为1可得答案．【解答】解：由|z1﹣｜=|1﹣z1z2|，得，即=，∴=，∴=．∴，即．得或．∴|z1｜=1或｜z2|=1．故选：D．14．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（)A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】MB：空间点、线、面的位置．【分析】结合图形,逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM,∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P,则P为AB中点,∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥,故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示,显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角,即为AD和AE成的角,即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角,故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．三、解答题(8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i,其中i为虚数单位，a∈R,若＜｜z1｜，求a的取值范围．【考点】A2:复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】先求复数Z1,然后代入＜|z1｜，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i,于是=|4﹣a+2i｜=，|z1｜=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．16．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1,BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．(2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的大小．【解答】解:（1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1,2，0），D(0，2，0），P(0，0，1），E（0，1，）,=（﹣1，﹣1，），平面ABCD的法向量=(0，0,1），设直线CE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ===，．∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin．（2）=(0，1，），=（1，2,0)，设平面AEC的法向量=（x，y,z）,则，取y=1，得=（﹣2，1，﹣2）,平面ACD的法向量=（0,0，1），设二面角E﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=｜|==．θ=arccos．∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．17．如图,在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．(1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM:异面直线及其所成的角．【分析】(1)作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；(2）直接代入面积公式计算即可．【解答】解：(1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，连结OB,则OB==2,设△ABC的边长为a，则OB===2，∴a=2．连结OE，则OE==1，取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=a=，∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角,∵AE=AF==，∴cos∠AEF==，∴异面直线AE与CD所成角为arccos．（2）三棱锥的表面积S=+=3+3．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若(b，c）在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1）2+y2=1上;（2）给定圆C:（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0）,则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点(非端点)，则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表(表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【考点】A2：复数的基本概念；JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）（b,c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P z在圆C1:(x﹣1）2+y2=1上;（2）①求出虚根，虚根在定圆C:(x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R,r＞0）,推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②(b,c)是线段s上一点（非端点）,实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根P z，可推出P z在圆C上．(3）由（2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：(1）由题意可得2b+c=0,解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点P z代入圆C1的方程，等号成立,∴P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上(2）当△＜0，即b2＜c时，解得,∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2,∵△=4(b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2,∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2,b∈［﹣m﹣r，﹣m+r]若(b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0,b∈(﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，且点在圆C上(3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=52017年6月18日。