2019-2020陕西师范大学附属中学分校数学高考模拟试题带答案

陕西师范大学附属中学2019届上学期第二次模拟考试高三数学（文）试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.设全集U =R ,集合{|1}M x x =>,2{|1}P x x =>,则下列关系中正确的是A.M P =B.M P ⊂≠C.P M ⊂≠D.()U M P =∅ð2.设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则z 等于 A.12i + B.12i - C.2i - D.2i 3.命题“对任意的x ∈R ，都有2240x x -+≤”的否定为A.存在x ∈R ，使2240x x -+≥B.对任意的x ∈R ，都有2240x x -+>C.存在x ∈R ,使2240x x -+>D.存在x ∉R ,使2240x x -+>4.已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若公差0d <且27S S =，则下列结论中不正确的是．．．．． A.45S S = B.90S = C.50a = D.2745S S S S +=+5. 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3， 第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是 A.36 B.40 C.48 D.50 6.方程lg 0x x +=的根所在的区间是A.1(0,)4B.11(,)42C.31(,)24D.3(,1)47．“2a b c +>”的一个充分条件是A.a c >且b c >B.a c >且b c <C.a c >或b c >D.a c >或b c < 8.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为A.83π B.3C. D.323π9.已知(cos 23,cos67)AB =︒︒,(2cos68,2cos 22)BC =︒︒,则ABC ∆的面积为3π712πO 10.若函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是A. B. C. D.11．若抛物线y ＝2x 2上两点()11,A x y 、()22,B x y 关于直线y ＝x ＋m 对称，且1212x x =-，则实数m 的值为 A.21 B.32 C.52 D.212．已知1a >，若函数()(),1121,13x a x f x f x a x -<≤=-+-<≤⎧⎨⎩，则()[]0f f x a -=的根的个数最多有A.1个B.2个C. 3个D. 4个二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上）13.已知函数22log (2),0(),026x x f x x x x +>⎧⎪=⎨≤⎪+⎩,()2f a =，则a =_______.14.函数()sin()f x A x ωϕ=+，（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>） 的部分图像如图，则(0)f =_______.15.若函数()f x 对于x ∈R 都有(1)(1)f x f x -=+和(1)(3)0f x f x -++=成立，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则(2016)f =_______.16.已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则()AE AF AC +⋅ 等于_______.三、解答题（解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17. (本题满分12分) 为选拔选手参加“汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生 参加“汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．18.(本题满分12分)已知等差数列{}n a ，满足37a =，5726a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）令211n n b a =-（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19.(本小题满分12分)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==. （Ⅰ）求证：1D E ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若直线1BD 与平面ABCD 所成的角为3π，求四棱锥1-D ABED 体积．20.(本题满分12分) 如图所示，点N 在圆O ：228x y +=上，点D 是N 在x 轴上投影，M 为DN 上一点，且满足2DN DM =.（Ⅰ）当点N 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹C 的方程. （Ⅱ）过(2,0)F 不与坐标轴垂直的直线交曲线C 于,P Q 两点， 线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点E , 试判断EF PQ是否为定值？若是定值，求此定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数21()ln 22f x x ax x =--.（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当12a =-时，关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程选讲A BCD1A 1B 1C 1D E在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=． （Ⅰ）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(3,，求PA PB +． 23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知函数2()log (12)f x x x m =++--． （Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．陕西师范大学附属中学2019届上学期第二次模拟考试高三数学（文）试题参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）三、解答题(本题共70分)17. (本题满分12分)解: （Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=.（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)内的学生有5人，记这5人分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为1b ，2b .抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（1a ，2a ），（1a ，3a ），（1a ，4a ），（1a ，5a ），（1a ，1b ），（1a ，2b ），（2a ，3a ）， （2a ，4a ），（2a ，5a ），（2a ，1b ），（2a ，2b ），（3a ，4a ），（3a ，5a ），（3a ，1b ）， （3a ，2b ），（4a ，5a ），（4a ，1b ），（4a ，2b ），（5a ，1b ），（5a ，2b ），（1b ，2b ）. 其中2名同学的分数都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：（1a ，2a ），（1a ，3a ），（1a ，4a ），（1a ，5a ），（2a ，3a ），（2a ，4a ），（2a ，5a ）， （3a ，4a ），（3a ，5a ），（4a ，5a ）.∴ 所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率101112121P =-=. 18. (本题满分12分)解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，5762613a a a +=⇒=，6323a a d -==， ∴ 21n a n =+.（Ⅱ）211111()14441n n b a n n n n ===--++， ∴ 1111111()4122314(1)n nS n n n =-+-++-=++. 19. (本题满分12分) 解:( Ⅰ)底面ABCD 和侧面11B BCC 都是矩形 ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥又∵C CC CD =1 ∴⊥BC 平面11D DCC 又∵1D E ≠⊂平面11D DCC ∴1BC D E ⊥，既1D E BC ⊥又∵1D E EB ⊥，BCEB B = ∴1D E ⊥底面ABCD(Ⅱ) 2V =20. (本题满分12分)【解析】（Ⅰ）设),(y x M 、00(,)N x y ，由于2DN DM =和ND ⊥x 轴，所以0x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 代入圆方程得：22184x y += 所以，曲线C 的轨迹方程为 22184x y += （Ⅱ）EF PQ是定值，值为4。

陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交 D．与k的取值有关6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4 B．4 C．6 D．68．等差数列{an }和等比数列{bn}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．40969．函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A ．（）B ．（）C ．（1，e ）D ．（e ，∞）10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．212．定义在[0，+∞）的函数f （x ）的导函数为f′（x ），对于任意的x ≥0，恒有f′（x ）＞f （x ），a=，b=，则a ，b 的大小关系是（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．无法确定二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的M 的值是______．14．已知实数x ，y 满足，若目标函数z=x ﹣y 的最大值为a ，最小值为b ，则a+b=______．15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是______号． 16．在△ABC 中，BC=，∠A=60°，则△ABC 周长的最大值______．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =log 2a n ，c n =，记数列{c n }的前n 项和T n ，求T n ．18．如图，梯形ABEF 中，AF ∥BE ，AB ⊥AF ，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC 将梯形CDFE 折起，使得平面CDFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：AC ∥平面BEF ； （2）求三棱锥D ﹣BEF 的体积．19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a 的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积最大值．21．已知函数f （x ）=x ﹣a ﹣lnx （a ∈R ）． （1）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：若0＜x 1＜x 2，则lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB ，CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，E 是圆O 上的点，过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F ，连结CE 交AB 于G 点． （1）求证：FG 2=FA•FB； （2）若圆O 的半径为2，OB=OG ，求EG 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3，曲线C 2的参数方程是（t 为参数）．（1）求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（1）设曲线C 1和C 2交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|（x ∈R ，a ∈R ）的值域为[﹣2，2]． （1）求实数a 的值；（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）≤m ﹣m 2，求实数m 的取值范围．陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣3＜x＜3，即B=（﹣3，3），∵A=[1，+∞），∴A∩B=[1，3）．故选：B．2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（1﹣ai）2=（1﹣a2）﹣2ai为纯虚数，∴，解得a=±1．故选：D．3．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin2α﹣cos2α的值．【解答】解：tanα=1，则sin2α﹣cos2α===，故选：B．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可得出．【解答】解：，不共线的两个向量，若命题p：＞0，则＞0⇔夹角是锐角，因此命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交 D．与k的取值有关【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，再求出圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离，从而得到直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交．【解答】解：圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离d=，∴直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交．故选：C．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A ．4B ．4C ．6D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长a ，可得：该三棱柱的俯视图为边长为a的正三角形，即可得出面积．【解答】解：由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长=×2=4， ∴该三棱柱的俯视图为边长为4的正三角形，其面积===4．故选：A ．8．等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2，则b bb=（ ）A ．64B ．32C ．256D ．4096 【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1．求得b bb=b 1•b 5•b 9，代入计算即可得到所求值．【解答】解：等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2， 可得a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，b n =1•2n ﹣1=2n ﹣1． 可得bbb=b 1•b 5•b 9=1•24•28=212=4096． 故选：D ．9．函数f （x ）=lnx+e x 的零点所在的区间是（ ） A ．（） B ．（） C ．（1，e ） D ．（e ，∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f （a ）f （b ）＜0即为满足条件的区间【解答】解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，，f （1）=e ＞0故满足条件的区间为（0，） 故选A ．10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，设齐王的三匹马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的三匹马分别记为b 1，b 2，b 3，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案 【解答】解：设齐王的三匹马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的三匹马分别记为b 1，b 2，b 3， 齐王与田忌赛马，其情况有：（a 1，b 1）、（a 2，b 2）、（a 3，b 3），齐王获胜； （a 1，b 1）、（a 2，b 3）、（a 3，b 2），齐王获胜； （a 2，b 1）、（a 1，b 2）、（a 3，b 3），齐王获胜； （a 2，b 1）、（a 1，b 3）、（a 3，b 2），田忌获胜； （a 3，b 1）、（a 1，b 2）、（a 2，b 3），齐王获胜； （a 3，b 1）、（a 1，b 3）、（a 2，b 2），齐王获胜；共6种； 其中田忌获胜的只有一种（a 2，b 1）、（a 1，b 3）、（a 3，b 2）， 则田忌获胜的概率为， 故选：D 11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得p=2c ，将x=c 代入双曲线的方程，可得=2p=4c ，由a ，b ，c 的关系和离心率公式，解方程即可得到所求．【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），2由题意可得c=，即p=2c，由直线AB过点F，结合对称性可得AB垂直于x轴，令x=c，代入双曲线的方程，可得y=±，即有=2p=4c，由b2=c2﹣a2，可得c2﹣2ac﹣a2=0，由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，（负的舍去），故选：C．12．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=，b=，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造新函数g（x）=，研究其单调性即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵对任意x≥0，恒有f（x）＜f′（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）是在定义域上是增函数，所以g（3）＞g（2），即b＞a，故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是 3 ．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值，∵a=2＜b=3，∴M=3故答案为：3．14．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则a+b= 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线y=x﹣z过B（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．∴a=2，b=﹣1，则a+b=1．故答案为：1．15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是 6 号．【考点】进行简单的合情推理．【分析】结合题意，进行假设，然后根据假设进行分析、推理，即可判断入选者．【解答】解：入选者不能是4号、5号，因为如果是4号或5号，则甲、乙、丁三个人的猜测都是正确的； 如果入选者是6号，那么甲、乙、丙的猜测是错的，只有丁的猜测是对的； 如果入选者是1、2、3中的一个，那么甲、丁的猜测是错的，乙、丙的猜测是对的； 根据题意“只有一人的猜测对的”， 所以入选者是6号． 故答案为：6．16．在△ABC 中，BC=，∠A=60°，则△ABC 周长的最大值．【考点】正弦定理． 【分析】由正弦定理可得： ====2，因此△ABC 周长=a+b+c=+2sinB+2sinC ，=2sinB+2sin+，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：在△ABC 中，由正弦定理可得： ====2，∴b=2sinB ，c=2sinC ， ∴△ABC 周长=a+b+c=+2sinB+2sinC ，=2sinB+2sin+=2sinB+2+=3sinB+cosB+=2+=2sin （B+30°）+，∵0°＜B ＜120°，∴B+30°∈（30°，150°）， ∴sin （B+30°）∈．∴△ABC 周长≤3．故答案为：3．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =log 2a n ，c n =，记数列{c n }的前n 项和T n ，求T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出a 1=2，利用当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，得到数列的递推关系式，判断新数列是等比数列，然后求解数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）利用b n =log 2a n ，c n =，求出数列的通项公式，利用裂项法求解数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=2，…当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2）… 即：，…∴数列{a n }为以2为公比的等比数列， ∴a n =2n ．…（Ⅱ）由b n =log 2a n 得b n =log 22n =n ，… 则c n ===，…T n =1﹣+﹣+…+=1﹣=．…18．如图，梯形ABEF 中，AF ∥BE ，AB ⊥AF ，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC 将梯形CDFE 折起，使得平面CDFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：AC ∥平面BEF ； （2）求三棱锥D ﹣BEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BF 中点为M ，AC 与BD 交点为O ，连结MO ，ME ，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OCEM 为平行四边形，然后利用线面平行的判定得答案；（2）由线面垂直的性质定理可得BC ⊥平面DEF ，然后把三棱锥D ﹣BEF 的体积转化为三棱锥B ﹣DEF 的体积求解．【解答】（1）证明：如图，记BF 中点为M ，AC 与BD 交点为O ， 连结MO ，ME ， 由题设知，且CE ∥DF ，且MO=，即CE=MO且CE∥MO，知四边形OCEM为平行四边形，有EM∥CO，即EM∥AC，又AC⊄平面BEF，EM⊂平面BEF，∴AC∥平面BEF；（2）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，∴BC⊥平面DEF，三棱锥D﹣BEF的体积为=．19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出a，估计该校成绩在120分以上人数即可；（2）根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）由0.025+0.05+0.075+0.1+0.2+0.25+10a=1，得a=0.03成绩在120分以上的人频率为0.3+0.25+0.075=0.625，估计该校成绩在120分以上人数为1200×0.625=750人，（2）成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内学生人数分别为2人和3人，从中抽出2人的基本事件总数为10种，其中这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10的事件数为4，所求概率为p==．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x=ty+1与椭圆交于A ，B 两点，由，得：（3t 2+4）y 2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值． 【解答】20．（本小题满分12分） 解：（1）∵椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C 的方程为：．…（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x=ty+1与椭圆交于A ，B 两点， 则，整理，得：（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y 1﹣y 2|===，∴==，椭圆C 的内接平行四边形面积为S=4S △OAB =，令m=≥1，则S=f （m ）==，注意到S=f （m ）在[1，+∞）上单调递减，∴S max =f （1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…21．已知函数f （x ）=x ﹣a ﹣lnx （a ∈R ）． （1）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：若0＜x 1＜x 2，则lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）法一：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而求出a 的范围即可；法二：分离参数，得到a ≤x ﹣lnx （x ＞0），令g （x ）=x ﹣lnx （x ＞0），根据函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可； （2）先求出lnx ≤x ﹣1，得到ln＜﹣1，（0＜x 1＜x 2），整理即可．【解答】解：（1）解法1：f′（x ）=（x ＞0），令f′（x ）＞0，得x ＞1；令f′（x ）＜0，得0＜x ＜1， 即f （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 可知f （x ）的最小值是f （1）=1﹣a ≥0，解得a ≤1； 解法2：f （x ）≥0，即a ≤x ﹣lnx （x ＞0）， 令g （x ）=x ﹣lnx （x ＞0）， 则g′（x ）=，（x ＞0），令g′（x ）＞0，得x ＞1；令g′（x ）＜0，得0＜x ＜1， 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 可知g （x ）的最小值是g （1）=1，可得a ≤1； （2）证明：取a=1，知f （x ）=x ﹣1﹣lnx ，由（1）知lnx ﹣x+1≤0，即lnx ≤x ﹣1， ∴ln＜﹣1，（0＜x 1＜x 2），整理得lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB ，CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，E 是圆O 上的点，过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F ，连结CE 交AB 于G 点． （1）求证：FG 2=FA•FB； （2）若圆O 的半径为2，OB=OG ，求EG 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接OE ，DE ，由弦切角定理知∠FEG=∠D ，证明FG=FE ，由切割线定理得FE 2=FA•FB，即可证明：FG 2=FA•FB；（2）由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即可求EG 的长． 【解答】（1）证明：连接OE ，DE ，由弦切角定理知∠FEG=∠D ． ∵∠C+∠D=90°， ∴∠C+∠FEG=90°又∠C+∠CGO=90°，∠CGO=∠FGE ∴∠C+∠FGE=90°， ∴∠FGE=∠FEG即FG=FE …由切割线定理得FE 2=FA•FB，所以FG 2=FA•FB； （Ⅱ）解：由OB=OG=2知，OG=2，∴AG=2+2，BG=2﹣2，在Rt △OCG 中，由OC=2，OG=2得，CG=4．由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG， 即（2+2）（2﹣2）=4EG ，∴EG=2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3，曲线C 2的参数方程是（t 为参数）．（1）求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（1）设曲线C 1和C 2交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3即可化为直角坐标方程．曲线C 2参数方程是（t 为参数） 消去参数化为直角坐标方程．（II ）直线方程与椭圆方程联立可得交点坐标，利用中点坐标公式、圆的标准方程即可得出． 【解答】解：（I ）曲线ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3化为直角坐标方程为：x 2+3y 2=3，即=1；曲线C 2参数方程是（t 为参数） 化为直角坐标方程为：x=﹣（y ﹣1），即x+y ﹣=0．（II ），解得，即A （0，1），B （，0），线段AB 的中点为M ，则以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程为=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|（x ∈R ，a ∈R ）的值域为[﹣2，2]． （1）求实数a 的值；（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）≤m ﹣m 2，求实数m 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为：|a ﹣4|=2，解出即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到﹣2≤m ﹣m 2，解出即可． 【解答】解：（1）对于任意x ∈R ，f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|∈[﹣|a ﹣4|，|a ﹣4|]， 可知|a ﹣4|=2，解得：a=2或a=6；（2）依题意有﹣2≤m﹣m2，即m2﹣m﹣2≤0，解得：m∈[﹣1，2]．。

2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵∴−−=3(−−)；∴=−−.故选：C.【此处有视频，请去附件查看】5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）＝sinxB. f（x）＝e xC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，不等式f（）+f（）＞f（）+f（）等价为（﹣）[f（）﹣f（）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE 将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE ﹣B的余弦值都为定值．【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得：，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为9．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x ＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴．因此+＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．【此处有视频，请去附件查看】21。

陕西师范大学附属中学2024届高三下学期第十次模考数学（理）试卷一、单选题1．已知集合{}{}212,30A xx B x x x =-≤≤=-+>∣∣，则A B ⋃=（ ） A ．RB ．(]0,2C ．[)1,0-D ．[)1,3-2．定义运算a b ad bc c d=-，则满足i01i 2iz-=--（i 为虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知菱形ABCD 的边长为1，60,,,A AB a BC b AC c ∠=︒===r r u u u r u u u r u u u r r ，则|2|a b c ++=r r r（ ）A B C D 4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：π的值取35≈）A ．2300.88cmB ．2311.31cmC ．2322.24cmD ．2332.52cm5．已知函数2()(0)21x x bf x a ab +=+≠-是奇函数，则（ ）A ．21a b +=B ．21a b -=-C ．1a b +=D ．1a b -=-6．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．设O 是坐标原点，在区域(){},1x y x y +≤内随机取一点，记该点为P ，则直线OP 的倾斜角不大于3π4的概率为（ ） A ．34B ．58C ．12D ．148．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的顶点都在球O 的球面上，那么球O 的表面积是（ ）．A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y y +-=，若直线1y kx =-上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的值不可能是（ ）A ．1-B ．14-C ．12D 10．2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F C 交于,A B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点,M AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN 的面积为p =（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（ ）A ．3或9B ．3C ．9D ．6二、填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，曲线C 上的点M 满足，120F M F M ⋅=u u u u r u u u u r ，12π6MF F =∠，则双曲线的离心率为．14．如图，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于,A B 的一点，则下面结论中正确的序号是．（填序号）①AE CE ⊥；②BE DE ⊥；③DE ⊥平面BCE ；④平面ADE ⊥平面BCE ．15．已知大屏幕下端B 离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）米．16．已知函数2()(1)ln 2x f x mx x mx =-+-，函数()()g x f x '=有两个极值点12,x x ．若110,e x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()12g x g x -的最小值是.三、解答题17．“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．设事件A =“游客对“村超”满意”，事件B =“游客年龄不超过35周岁”，据统计，()()48,515P A B P B A ==∣∣．(1)根据已知条件，填写下列22⨯列联表并说明理由；(2)由（1）中22⨯列联表数据，分析是否有99%的把握认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．参考数据：18．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1,AD CC 的中点.(1)已知点G 满足14DD DG =u u u u r u u u r，求证,,,B E G F 四点共面；(2)求平面11BAC 与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值.19．数列{}n a 的前n 项的最大值记为n M ，即{}12max ,,,n n M a a a =⋅⋅⋅；前n 项的最小值记为n m ，即{}12min ,,,n n m a a a =⋅⋅⋅，令n n n p M m =-，并将数列{}n p 称为{}n a 的“生成数列”． (1)设数列{}n p 的“生成数列”为{}n q ，求证：n n p q =； (2)若23n n a n =-，求其生成数列{}n p 的前n 项和．20．已知椭圆 2222:1(0)x y a b b α+=>>的离心率为其左右焦点分别为 F F ₁、₂，下顶点为A ，右顶点为B ，1ABF V 的面积为1 (1)求椭圆 C 的方程;(2)设不过原点O 的直线交C 于M 、N 两点，且直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列，求MON △面积的取值范围．21．已知函数π())e ,0,2xf x x a ϕϕ-⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行或重合． (1)求ϕ的值；(2)若对0,()0x f x ∀≥≤恒成立，求a 的取值范围； (3)利用下表数据证明：157πsin103314k <∑．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x ty t=⎧⎨=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin )2ρθθ-=.（1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:0,02OA πθααρ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭…与曲线2C 相交于点A ，将OA 逆时针旋转90︒后，与曲线1C 相交于点B ，且|||OB OA =，求α的值.23．已知函数()1f x x a x =-+-的最小值为3，其中0a >． (1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若关于x 的方程()1f x bx =+有实数根，求实数b 的取值范围．。

高考模拟数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知i 是虚数单位，若(13)z i i +=，则z 的虚部为A ．10iB ．10i -C ．110D ．110- 2、已知集合22{|1},{|1log }A x x B x y x =≥==-，则R A C B =IA ．(2,)+∞B ．(,1](2,)-∞-+∞UC ．(,1)(2,)-∞-+∞UD ．[1,0][2,)-+∞U3、通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：参考右上附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“是否此零食与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“是否此零食与性别无关”4、已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．常用条件D ．既不充分也不必要条件按5、已知向量a r 与b r 的夹角为120o ，3,13a a b =+=r r r ，则b =rA ．1B ．3C ．4D ．56、函数()2tan f x x x =-在(,)22ππ-上的图象大致是7、执行如图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为A ．4B ．5C ．D ．78、平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不u 任何一条平行线相碰的概率是A ．a r a -B ．2a r a- C ．22a r a - D ．22a r a + 9、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个共同的交点F ，两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点F 到双曲线的渐近线的距离为A 3．2 C 6 D ．310、已知函数(1)y f x =-是定义在R 上的奇函数，若对于任意两个实数12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则不等式()30f x +<的解集为A ．(,3)-∞-B ．(4,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,4)-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 【答案】C【解析】因为复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，所以2230,310x x x x ⎧+-==-⎨-≠⎩解得，因此选C 。

2．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．21-B ．23-C ．21D ．23【答案】A【解析】因为1598a a a π++=，所以55838,3a a ππ==即，所以285161cos()cos 2coscos 332a a a ππ+===-=-，因此选A 。

3．若椭圆22221(0)x y ab a b +=>>的离心率为32，则双曲线12222=-bx a y 的离心率为A ．3B ．5C ．7 D ．2【答案】B【解析】因为若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，所以22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2214b a =，所以双曲线12222=-b x a y 的离心率为222551,42b e e a =+==所以。

4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像 A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位【答案】A【解析】法一：由图像易知：721,4,2123A T T ππππω⎛⎫==-===⎪⎝⎭所以，所以()sin(2)f x x ϕ=+，把点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入， 得7sin(2)1,,1223πππϕϕϕ⨯+=-<=因为所以，所以()sin(2)3f x x π=+，把函数 ()sin(2)3f x x π=+向右平移6π个长度单位得到函数sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，因此选A 。

陕西省师大附中2020届高三第五次模拟考试数学理试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第I 卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题 每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．集合},3{2R x x y x A ∈-==，},1{2R x x y y B ∈-==，则A B I =A.{(2,1),(2,1)}B.{13}z z ≤≤C.{13}z z -≤≤D.{03}z z ≤≤ 2. 函数y ＝8sin4x cos4x 的最小正周期是A.2πB.4πC. π4D. π23． 3(1－i )2＝A. 32iB.－32i C.i D.－i 4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈C. ,y x x R =∈D. x 1() ,2y x R =∈5. 若9987.0)3(=Φ，则标准正态总体在区间（—3，3）内取值的概率为A ．0.9987B ．0.9974C ．0.9944D ．0.84136. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖7. =---+++∞→12)12(31lim2n n n n Λ A. 21 B.2 C.23 D. 328.若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2,则双曲线12222=-ax b y 的离心率为A ．223 B ．2 C ．2 D ．332 9. 设10<<<a b ，则下列不等式中成立的是A ．12<<ab aB ．0log log 2121<<a bC ．12<<b ab D ．222<<a b10．设P 为ABC ∆所在平面内一点，且025=--AC AB AP ，则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为A ．15 B ．25 C ．14 D ．53 11. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35C 3．012. 已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数,且)()(x f x f '<对于R x ∈恒成立,则A. )0()2(2f e f ⋅>, )0()2009(2009f ef ⋅> B. )0()2(2f e f ⋅<, )0()2009(2009f e f ⋅> C. )0()2(2f e f ⋅>, )0()2009(2009f ef ⋅<D.)0()2(2f e f ⋅<, )0()2009(2009f ef ⋅<第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上 13.已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则11()()42x yz =⋅的最小值为________.14. 表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ． 15. 二项式6(x x+的展开式中的常数项为________.(结果用数值作答). 16. 如果一个函数的图象关于直线0x y -=对称,则称此函数为自反函数. 使得函数23x byx a+=-为自反函数的一组．．实数,a b的取值为________三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本题满分12分）已知函数()2sin()184f x xππ=++.（Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数(),[2,14]y f x x=∈-的图象(不要求写出作图过程).（Ⅱ）令)()()(xfxfxg-+=，x R∈.求函数)(xgy=的图象与x轴交点的横坐标.18. (本题满分12分) 按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动).该校高2020级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．（I）求该班学生参加活动的人均次数x；（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率P．（III）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．（要求：答案用最简分数表示）19．（本题满分12分）如图所示，在矩形ABCD中，22==ABAD，点E是AD的中点，将DEC∆沿CE折起到ECD'∆的位置，使二面角BECD--'是直二面角.（Ⅰ）证明：DCBE'⊥；（Ⅱ）求二面角EBCD--'的正切值.21. （本题满分12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是1 2 3510152025参加人数活动次数抛物线y =41x 2的焦点，离心率等于22.直线l 与椭圆Γ交于N M ,两点. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；(Ⅱ) 椭圆Γ的右焦点F 是否可以为BMN ∆的垂心？若可以,求出直线l 的方程；若不可以,请说明理由.21.（本题满分12分）设函数a t at t f -+=221)(的定义域为]2,2[，记函数)(t f 的最大值为)(a g .（Ⅰ）求)(a g 的解析式;（Ⅱ）已知1()()g a g a>,试求实数a 的取值范围.22. （本题满分14分）已知正项数列{}n a 满足对一切*∈N n ,有233231n n S a a a =+++Λ，其中n n a a a S +++=Λ21. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 求证: 当*N n ∈时, 3ln )11ln(<+nn a a .数学答题纸理科一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13. , 14. . 15. . 16. .三、解答题:(本大题共6小题，共74分)17.（Ⅰ）（Ⅱ）18. （Ⅰ）（Ⅱ）19. （Ⅰ）（Ⅱ）20. （Ⅰ）（Ⅱ）21. （I）(II)22. （Ⅰ）（Ⅱ）陕西省师大附中2020届高三第五次模拟考试数学理答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C A A B D A D D A B A二.填空题13.161.; 14.2π; 15. 15; 16. 2a=,b可以填写任意实数三、解答题17．（Ⅰ）(Ⅱ)1)48sin(21)48sin(2)()()(++-+++=-+=ππππxxxfxfxg28cos222)48sin(2)48sin(2+=+--+=xxxπππππ由028cos22)(=+=xxgπ得228cos-=xπ,从而πππkx2438+±=,即Zkkx∈±=,616.所以,函数)(xgy=与x轴交点的横坐标为Zkk∈±,616. 12分18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．（I）该班学生参加活动的人均次数为x=1023501155020325251==⨯+⨯+⨯． 3分（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为492025022022525=++=CCCCP． 6分（III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知4925)()()1(25012012525012515=+=+==C C C C C C B P A P P ξ； 8分 494)()2(25012015====C C C C P P ξ. 10分 ξ的分布列：ξ12P49204925 494 ξ的数学期望：49492491490=⨯+⨯+⨯=ξE ． 12分19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E 是AD 的中点，∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形， 易知，∠BEC=90°，即BE ⊥EC又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，面D ′EC ∩面BEC=EC ， ∴BE ⊥面D ′EC ，又CD ′⊂面D ′EC ，∴BE ⊥CD ′ 6分 （Ⅱ）法一：设M 是线段EC 的中点，过M 作MF ⊥BC 垂足为F ，连接D ′M ，D ′F ，则D ′M ⊥EC ∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，∴D ′M ⊥平面EBC ， ∴MF 是D ′F 在平面BEC 上的射影，由三垂线定理得：D ′F ⊥BC ，∴∠D ′FM 是二面D ′—BC —E 的平面角.在Rt △D ′MF 中，2121,2221===='AB MF EC M D 。

2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. 2，B. 6，C.D.2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. 甲乙甲乙B. 甲乙甲乙C. 甲乙甲乙D. 甲乙甲乙3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix=cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. B.C. D.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为=kx+b，则（）A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反7.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. B. C. D.8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 319.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.10.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.11.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2112.已知双曲线：＞，＞的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=-5x+y的最大值为______．15.设函数，则函数f（log210）=______．16.如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，A1，B1，C1，D1四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P-EFB的体积．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值及方差s2；（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．20.已知椭圆C过点，，两个焦点，，，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求△AOB 面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-ax（a∈R）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}， B={3x|x ∈A}={3，6，9，18，27}， C={x ∈N|3x ∈A}={1，2，3}， ∴B∩C={3}． 故选：D ．先分别求出集合A ，B ，C ，由此能求出B∩C ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙， 则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意可得，e 2i=cos2+isin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，∴k与r的符号相同．故选：A．根据相关系数知相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．r为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果．本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．7.【答案】D【解析】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sinx，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f （x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．9.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．11.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．12.【答案】C【解析】解：F2（c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，可得|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】10【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．z=-5x+y的最大值为：10．故答案为：10．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】【解析】解：∵函数，∴函数f（log10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1==．故答案为：．10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1，由此推导出函数f（log能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】4【解析】解：设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得a2=6-2h2，其中，所以，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=a2h=（6-2h2）h=-2h3+6h，其中，构造函数f（h）=-2h3+6h，其中，则f′（h）=-6h2+6，令f′（h）=0，得h=1．当0＜h＜1时，f′（h）＞0；当时，f′（h）＜0．所以，函数V=f（h）在h=1处取得极大值，亦即最大值，则V max=f（1）=4．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理h2+r2=3，得出a2=6-2h2，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：△ =3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH=CH=2，∴∠BCH=45°．又在△DAB中，有AD=AB=2，∴∠ADB=45°．∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，则CD∥平面PAB，在Rt△PDA中，由AD=PD=2，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为．在Rt△PAB中，由AB=2，PA=，且F为PA的中点，可得△ △ =．∴V P-EFB=V E-PBF=．【解析】（1）过点B作BH⊥CD于H，证明BC⊥BD．PD⊥BC，通过直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD；（2）求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥P-EFB的体积．本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）内的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.38，由此能补全频率分布直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，质量指标值位于（80，122.5）的频率为：+=0.95．∴该产品为合格品的概率为0.95．【解析】（1）由频率分布直方图求出[95，105）内的频率为0.38，由此能补全频率分布直方图．（2）由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差．（3）求出质量指标值位于（80，122.5）的频率，由此能求出该产品为合格品的概率．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．则c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解得：c=2，a=6，b2=12．∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x=±3，可得△AOB 面积S==9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．联立，化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，△=4t2m2-4（t2+3）（m2-36）＞0，y1+y2=-，y1y2=．则|AB|===6•，令t2+3=n≥3，则△AOB面积S=d•|AB|=×3×6•=9=9≤9×=6，当且仅当n=6，t=时，△AOB面积取得最大值6．【解析】（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．可得c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解出即可得出．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x，可得△AOB面积S=9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，利用根与系数的关系可得|AB|=，令t2+3=n≥3，可得△AOB面积S=d•|AB|．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）由f（x）=e x-ax，得f'（x）=e x-a，当a＜0时，f（x）在R上为增函数，函数f（x）最多有一个零点，不符合题意，所以a＞0．当a＞0时，f'（x）=e x-a=e x-e ln af'（x）＜0⇔x＜ln a；f'（x）＞0⇔x＞ln a；所以f（x）在（-∞，ln a）上为减函数，在（ln a，+∞）上为增函数；所以f（x）min=f（ln a）=a-a lna；若函数f（x）有两个零点，则f（ln a）＜0⇒a＞e；当a＞e时，f（0）=1＞0，f（1）=e-a＜0；f（3a）=（e a）3-3a2＞0；由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）和（1，3a）上各有一个零点．结合函数f（x）的单调性，当a＞e时，函数f（x）有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为（e，+∞）．（2）证明：由（1）得a＞e，0＜x1＜x2；由ex1=ax1，ex2=ax2得x1=ln a+ln x1，x2=ln a+ln x2；所以x2-x1=ln x2-ln x1=ln；设=t（t＞1），则，解得x1=，x2=；所以x1+x2=，当t＞1时，x1+x2＞2⇔＞2⇔ln t-＞0；设h（t）=ln t-，则h'（t）=，当t＞1时，h'（t）＞0；于是h（t）在（1，+∞）上为增函数；所以，当t＞1时，h（t）＞h（1）=0，即ln t-＞0；所以x1+x2＞2．【解析】（1）利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；（2）由e x1=ax1，e x2=ax2得x1=lna+lnx1，x2=lna+lnx2；得到所以x1+x2=；构造函数h（t）=lnt-，求证即可．本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

数学试题（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1-，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B 为（ ）A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{1-，2，4}D ．{1-，2，3，4} 【答案】C【解析】因为集合A ＝{1，2，3}，所以∁U A ={-1,4}，所以(∁U A )∪B={1-，2，4}。

2．如果复数z ＝2－1＋i，则（ ）A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i 【答案】C【解析】z ＝2－1＋i ()()()21111i i i i --=---+--，所以z =z 的实部为-1，z 的虚部为－1，z 的共轭复数为-1＋i ，因此选C 。

3．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等( )A ．224515x y -= B ．22154x y -=C ．22154y x -= D ．225514x y -= 【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，所以c=1，又所以c a =所以a= 5所以22245b c a =-=，所以该双曲线的方程为225514x y -=。

4．已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为（ ）A ．5B ．40C ．20D ．10【答案】D【解析】令x=1，得232n=，所以5n =，()52103551rrrr rCx C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由1034,2r r -==得，所以展开式中4x 的系数为2510C =。

5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C 的人数为A ．7B ． 9C ． 10D ．15 【答案】A【解析】设n 抽到的号码为n a ，则()93013021n a n n =+-=-，由7503021960,n <-≤得：25.732.7n <<，所以n 的取值为26、27、28、29、30、31、32，共七个，因此做问卷C 的人数为7.6．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是【答案】A【解析】22cos =cos 21y x x =+，把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数cos 1y x =+的图像；然后向左平移1个单位长度，得到函数()cos 11y x =++；再向下平移 1个单位长度，得到函数()cos 1y x =+的图象，因此选A 。

2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A．{1，2，3}B．{1，6，9}C．{1，6}D．{3}2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A．B．C．D．3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（）A．＝﹣+B．＝﹣C．＝+D．＝+5．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A．18B．20C．21D．256．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝x|x|7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A．B．25C．D．318．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g （x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A．B．C．2D．210．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．2111．（5分）已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx ﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A．B．2C．D．512．（5分）已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为．15．（5分）在的展开式中，常数项为．16．（5分）如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18．（12分）如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB 于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．20．（12分）已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A．{1，2，3}B．{1，6，9}C．{1，6}D．{3}【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出B∩C．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}＝{3，6，9，18，27}，C＝{x∈N|3x∈A}＝{1，2，3}，∴B∩C＝{3}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A．B．C．D．【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．【解答】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix ＝cos x +i sin x ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由已知可得e 2i ＝cos2+i sin2，再由三角函数的象限符号得答案． 【解答】解：由题意可得，e 2i ＝cos2+i sin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则（ ）A ．＝﹣+B ．＝﹣C ．＝+ D ．＝+【分析】根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．【解答】解：；∴；∴．故选：A．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A．18B．20C．21D．25【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30＝390＝30×5+d，解得d＝．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d＝5+29×＝21．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝x|x|【分析】根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝x3﹣3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）＝x|x|＝，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A．B．25C．D．31【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为＝4，所以矩形的长等于4×6＝24，宽等于7，由勾股定理求得d＝＝25．故选：B．【点评】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g （x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1﹣2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）＝4，则g（x1）＝g（x2）＝2，或g（x1）＝g（x2）＝﹣2（舍去）．故有g（x1）＝g（x2）＝2，即cos2x1＝cos2x2＝﹣1，又x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x1，2x2∈[﹣4π，4π]，要使x1﹣2x2取得最大值，则应有2x1＝3π，2x2＝﹣3π，故x1﹣2x2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A．B．C．2D．2【分析】化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，得：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，∴圆心坐标C（1，2），半径r＝．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．10．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．21【分析】由y＝2x2（x＞0），求出x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x﹣a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1＝a i，所以{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．【解答】解：∵y＝2x2（x＞0），∴y′＝4x，∴x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x﹣a i），整理，得4a i x﹣y﹣2a i2＝0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1＝a i，∴{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，∴a2+a4+a6＝32+8+2＝42．故选：B．【点评】本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx ﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A．B．2C．D．5【分析】求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【解答】解：F2（c，0），直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|＝＝b，即有|OP|＝＝a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|＝2|OP|＝2a，|MF2|＝2b，可得|MF2|﹣|MF1|＝2a，即为2b﹣2a＝2a，即b＝2a，可得e＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x）＝，根据条件作出函数f（x）与h（x）＝的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【解答】解：由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有4个交点，即函数g（x）的零点个数为4个，故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【解答】解：由y＝2x2，得x2＝，则p＝；由x＝1得y＝2，由抛物线的性质可得|PF|＝2+＝2+＝，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为[0，11]．【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15．（5分）在的展开式中，常数项为﹣40．【分析】根据＝，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【解答】解：∵＝（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•+6•+）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．（5分）如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为2π．【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【解答】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【解答】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，利用正弦定理得：a2﹣b2＝c2﹣bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A＝．（2）由于，所以：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，整理得：12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，所以：＝3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB 于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处．（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【解答】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2﹣x，OE＝，∴B（2，2﹣x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2﹣x，0），＝（﹣2，2﹣x，﹣x），＝（﹣2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴＝+8＝0，解得x＝（舍）或x＝＝，∴＝，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量＝（0，1，0），＝（，0，﹣x），＝（﹣2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点评】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k 的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【解答】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝，2a＝＝12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|＝，由|AB|＝＝6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由|AB|＝＝6，整理得：，原点O到AB的距离d＝．∴＝＝＝．当时，△AOB面积有最大值为＜9．综上，△AOB面积的最大值为9．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x﹣有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a＝，令g（x）＝，（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．x1+x2＞2⇔x2＞2﹣x1＞1⇔＞，由＝，因此即证明：＞．构造函数h（x）＝﹣，0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a＝，令g（x）＝，（x≠0）．g′（x）＝，可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：x1+x2＞2⇔x2＞2﹣x1＞1⇔＞，由＝，因此即证明：＞．构造函数h（x）＝﹣，0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）＝﹣＝（x﹣1），令函数u（x）＝，（0＜x）．u′（x）＝．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）＝﹣在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴＞．因此x1+x2＞2成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|＝即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n＝4，变形7a+4b＝，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b＝＝＝，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a＝时取等号．∴7a+4b的最小值为．【点评】本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

陕西师大附中高2020届考练试题数学(理科)(2020.03.04)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题纸上，满分150分，时间120分钟．2.答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．3.考完试，将作答按要求上传至智学网．第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,1)，则|1|z +=( ).2A B C D2.若{|{|A y y B x y ====，则( ).A A B = .B A B =∅ .C A B ⊆ .D B A ⊆ 3.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是( ) .A 若//,//l m αα，则//l m .B 若,l m αα⊥⊥，则//l m.C 若,l m l α⊥⊥，则//m α .D 若//,l m l α⊥，则m α⊥4.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)递减的函数是（ ）.A cos y x = .B 1()3x y = .C tan y x = .D 3y x -=5.某班有60名学生，一次考试后数学成绩2(110,10)X N ，若(100110)0.35P X ≤≤=，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) .9A .8B .7C .6D6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A 20 .B 24 .C 26 .D 30 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，*1()2n n n S a n N +=∈，则10S 为( ) .A 55 .B 50 .C 110 .D 1008.直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是( ).A b =.B 11b -<<或b = .C 11b -<≤ .D 11b -<≤或b =9.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”；小王说:“丁团队获得一等奖”；小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） .A 甲 .B 乙 .C 丙 .D 丁 10.已知函数()cos (,0)f x x x R ωω=∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象( ).A 向左平移8π个单位长度 .B 向右平移8π个单位长度 .C 向左平移4π个单位长度 .D 向右平移4π个单位长度11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( ) .A 1 .B 12 .C 1- .D 12- 12．已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(1)f x a x +-=的实根个数不可能为（ ）.A 5 .B 6 .C 7 .D 8 第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上．） 13.已知向量,a b 的夹角为45︒，且||1,||2a b ==，则||a b -=__________．14.函数()ln x f x e x =-在点(1,(1))f 处的切线方程是__________．15.已知，满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若(0)z ax y a =+>的最大值为4，则a =__________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色。

-baiduwenku**百度文库baiduwenku**百度文库精品文库---baiduwenku**百度文库baiduwenku**百度文库2019年陕西省西安市陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合M ＝{y|y ＝x ﹣2}，P ＝{y|y ＝}，那么M ∩P ＝（）A ．（1，+∞）B ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）2．（5分）欧拉公式e ix＝cosx+isinx （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i表示的复数在复平面中位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A ．命题“若x 2﹣3x+2＝0，则x ＝2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2﹣3x+2≠0”B ．已知函数f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f （a ）f （b ）＜0，则f （x ）在区间（a ，b ）内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“?x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“?x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”D ．“若x 0为y ＝f （x ）的极值点，则f'（x 0）＝0”的逆命题为真命题4．（5分）函数y ＝的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝1，AB ＝，AB ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．3πC．D．2π6．（5分）设函数y＝f（x）＝a x（a＞0，a≠1），y＝f﹣1（x）表示f（x）的反函数，定义如框图表示的运算，若输入x＝﹣2，输出y＝；当输出y＝﹣3时，则输入x＝（）A．8B．C．6D．7．（5分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A．B．C．D．8．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知（x+1）6（ax﹣1）2的展开式中，x3系数为56，则实数a的值为（）A．6或5B．﹣1或4C．6或﹣1D．4或510．（5分）过抛物线y 2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若＝，则|AB|＝（）A．9B．72C．D．3611．（5分）已知函数f（x）＝（x∈R），若等比数列{a n}满足a1a2019＝1，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+……+f（a2019）＝（）A．2019B．C．2D．12．（5分）若关于x的方程（lnx）2＝x2+axlnx恰有3个不相等实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（，0）D．（，0）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为．一年级二年级三年级女生373C2C1男生377370C214．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为．15．（5分）记S n为数列{a n}的前项和，若S n＝2a n+1，则S10＝．16．（5分）设函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，A＝2B，sinB＝，AB＝23．（1）求sinA，sinC；（2）求?的值．18．西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低，交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到2×2列联表如下：30岁以下30岁以上合计闯红灯60未闯红灯80合计200近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚，并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：处罚金额x（单位：元）5101520闯红灯的人数y5040200将统计数据所得频率代替概率，完成下列问题：（Ⅰ）将2×2列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关；（Ⅱ）当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少；（Ⅲ）结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d参考数据：20.250.150.100.050.0250.0100.0050.001P（K≥k0）k0 1.132 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB＝，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．20．已知F1、F2分别是椭圆C：+y 2＝1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，?＝﹣，求点P的坐标；（2）若直线l与圆O：x2+y2＝相切，交椭圆C于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得OA⊥OB？21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax 2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b均为实数，且|3a+4b|＝10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，求实数x的取值范围．2019年陕西省西安市陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵＝{y|y ＞0}，＝{y|y ≥0}，∴M ∩P ＝{y|y ＞0}＝（0，+∞），故选：C ．【点评】本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．2．【解答】解：e 2i＝cos2+isin2，∵2∈，∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），∴e 2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B ．【点评】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．【解答】解：命题“若x 2﹣3x+2＝0，则x ＝2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2﹣3x+2≠0”，故A 正确；已知函数f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的，命题“若f （a ）f （b ）＜0，则f （x ）在区间（a ，b ）内至少有一个零点”的逆命题为假命题，比如f （x ）＝x 2在（﹣1，1）内有一个零点0，但f （﹣1）f （1）＞0，故B 正确；命题“?x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“?x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，故C 正确；“若x 0为y ＝f （x ）的极值点，则f'（x 0）＝0”的逆命题为假命题，比如f （x ）＝x 3，有f ′（0）＝0，但x ＝0不为f （x ）的极值点，故D 错误．故选：D ．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是四种命题，以及相互关系和命题的否定，以及函数零点定理和函数的极值点的定义，考查推理能力，属于基础题．4．【解答】解：当x＞0时，y＝xlnx，y′＝1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．5．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC＝＝，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵P A＝PB＝1，AB＝，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2＝（）2+d2＝（）2+（﹣d）2，∴d＝0，R2＝，∴球的表面积为4πR2＝3π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．6．【解答】解：由图可知，该程序的作用是计算分段函y＝的函数值．∵输入x＝﹣2，输出y＝，∴a﹣2＝，a＝2当输出y＝﹣3时，只有：f﹣1（x）＝﹣3?f（﹣3）＝x?x＝2﹣3＝．故选：B．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．【解答】解：∵＝（cosα﹣3，sinα），＝（cosα，sinα﹣3）∴＝（cosα﹣3）?cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1得cos2α+sin2α﹣3（cosα+sinα）＝﹣1∴，故sin（α+）＝（sinα+cosα）＝×＝故选：B．【点评】此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．8．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V＝＝，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．【解答】解：（x+1）6（ax ﹣1）2的展开式中x 3系数是C 63+C 62（﹣1）?a+C 61a 2＝6a 2﹣15a+20∵x 3系数为56∴6a 2﹣15a+20＝56解得a ＝6或﹣1故选：C ．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．10．【解答】解：如图，点B 在第一象限．过B 、A 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作EA 的垂线，垂足为C ，则四边形BDEC 为矩形．由抛物线定义可知|BD |＝|BF |，|AE|＝|AF |，又∵＝，∴|BD|＝|CE|＝2|AE|，即A 为CE 中点，∴|BA|＝3|AC|，在Rt △BAC 中，|BC|＝2|AC |，k AB ＝2，F （1，0），AB 的方程为：y ＝2（x ﹣1），代入抛物线方程可得：2x 2﹣5x+2＝0，x 1+x 2＝，则|AB|＝x 1+x 2+2＝+2＝．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．11．【解答】解：∵函数f （x ）＝（x ∈R ），∴f （x ）+f （）＝+＝＝2，∵数列{a n }为等比数列，且a 1?a 2019＝1．∴a 1a 2019＝a 2a 2018＝a 3a 2017＝…＝a 2019a 1＝1，∴f （a 1）+f （a 2019）＝f （a 2）+f （a 2019）＝f （a 3）+f （a 2017）＝…＝f （a 2019）+f （a 1）＝2，∴f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+……+f （a 2019）＝2019．故选：A ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．【解答】解：由题意知（）2﹣﹣1＝0，令t ＝，t 2﹣at ﹣1＝0的两根一正一负，设f （x ）＝t ＝，则f ′（x ）＝，令f ′（x ）＞0得：0＜x ＜e ，f ′（x ）＜0得：x ＞e ，即函数f （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，故f （x ）max ＝f （e ）＝，且x ＞e 时，f （x ）＞0，若关于x 的方程（lnx ）2＝x 2+axlnx 恰有3个不相等实根，只需令方程t 2﹣at ﹣1＝0的正根满足：0，解得a ，故选：A ．【点评】本题考查了二次方程区间根问题及利用导数研究函数的单调性，属中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19＝380人，所以三年级的学生数为；2000﹣373﹣377﹣380﹣370＝500人，所占比例为所以应在三年级抽取的学生人数为64×＝16故答案为：16【点评】本题考查分层抽样知识，抓住各层抽取的比例一致是解决分层抽样问题的关键．14．【解答】解：画出不等式组，表示的可行域，由图可知，当直线y＝﹣过A（0，）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【解答】解：由于S n＝2a n+1，①当n＝1时，解得：a1＝﹣1．当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1+1，②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以﹣1为首项，2为公比的等比数列．所以：．所以：．故答案为：﹣1023【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．【解答】解：函数f（x）＝的图象如下图所示：若存在互不相的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝k，则k∈（﹣3，4），不妨令x1＜x2＜x3，则x1∈（，0），x2+x3＝6，故x1+x2+x3∈（，6），故答案为：（，6）【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象后，数形结合分析出x1∈（，0），x2+x3＝6，是解答的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵sinB＝，B为锐角，∴cosB＝＝，∵A＝2B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB＝2××＝，cosA＝cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣＝，则sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsin B＝×+×＝；（2）由正弦定理＝＝，AB＝23，sinC＝，sinB＝，sinA＝，∴AC＝＝9，BC＝＝12，又cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sin AsinB＝﹣×+×＝﹣，∴?＝CA×CB×cosC＝9×12×（﹣）＝﹣80．【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．【解答】解（Ⅰ）30岁以下30岁以上合计闯红灯206080未闯红灯8040120合计100100200∵k2＝＝≈33.333＞10.828∴有99.9%的把握说闯红灯与年龄有关，（Ⅱ）∵未进行处罚前，行人闯红灯的概率为0.4；进行处罚10元后，行人闯红灯的概率为＝0.2，∴降低了0.2；（Ⅲ）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，可以进行适当处罚来降低行人闯红灯的概率．【点评】本题考查了独立性检验，属中档题．19．【解答】（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴，又∵，∴MN∥EF且MN＝EF．∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，故EM∥平面ADF．法二、∵EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．∵AB＝2，EB＝，∴B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0），，，，设平面ADF的一个法向量是．由，令y＝3，得．又∵，∴，又EM?平面ADF，故EM∥平面ADF．（2）解：由（1）可知平面ADF的一个法向量是．，，设平面BFD的一个法向量是，由，令z＝1，得，∴cos＜＞＝＝，又二面角A﹣FD﹣B为锐角，故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．20．【解答】解：（1）由椭圆方程为+y 2＝1，可知：a＝2，b＝1，c＝，∴F1（﹣，0），F2（，0），设P（x，y），（x，y＞0），则?＝?＝x2+y2﹣3＝﹣，又+y2＝1，联立解得：，∴P．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若l的斜率不存在时，l：x＝，代入椭圆方程得：y2＝，容易得出＝x1x2+y1y2＝﹣＝﹣≠0，此时OA⊥OB不成立．②若l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，则由已知可得＝，即k2+1＝4m2．由，可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．要OA⊥OB，则＝0，即x1?x2+（kx1+m）（kx2+m）＝km（x1+x2）+（k2+1）x1?x2+m2＝0，即5m2﹣4k2﹣4＝0，又k2+1＝4m2．∴k2+1＝0，此方程无实解，此时OA⊥OB不成立．综上，不存在这样的直线l，使得OA⊥OB．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21．【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax 2+bx+1的导数为：f′（x）＝﹣ax+b，可得图象在x＝1处的切线l的斜率为k＝1﹣a+b，切点为（1，1+b﹣a），由切线经过点（，），可得1﹣a+b＝，化简可得，b＝0，则f（x）＝lnx﹣ax2+1，g（x）＝lnx﹣ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），g′（x）＝﹣ax﹣（a﹣1）＝﹣，当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得g（x）max＝g（）＝﹣lna﹣+1﹣1+＝﹣lna；（2）证明：a＝﹣4时，f（x）＝lnx+2x2+1，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2＝2，化为2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），即有2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，h′（t）＝1﹣，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）递增；当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）递减．即有h（t）在t＝1取得最小值1，则2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，则2x1+2x2﹣1≥0，可得x1+x2≥．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化和变形，以及构造函数的方法，考查运算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．【解答】解：（Ⅰ）C1：（x+4）2+（y﹣3）2＝1，C2：+y2＝1C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆（Ⅱ）当t＝时，P（﹣4，4），Q（cosθ，sinθ），故M（﹣2+cosθ，2+）C3为直线x﹣y﹣5＝0，M到C3的距离d＝＝|sin（θ﹣）+9|，从而当sin（θ﹣）＝﹣1时，d取得最小值4．【点评】（Ⅰ）椭圆的参数方程、圆的参数方程化为普通方程时，一般要利用同角三角函数的平方关系sin2α+cos2α＝1消参得到普通方程（Ⅱ）曲线上的点，到直线上一点的距离的最小值的求法：在求点到直线最小距离时，先用参数形式写出点Q的直角坐标，代入点到直线的距离公式结合辅助角公式得到距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（I）∵|3a+4b|＝10，∴100＝（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）＝25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，∴|x+3|﹣|x﹣2|≤4，∴或或解可得，x＜﹣3或﹣3∴实数x的取值范围（﹣∞，]【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．赠送—物理解题中的审题技巧审题过程，就是破解题意的过程，它是解题的第一步，而且是关键的一步，通过审题分析，能在头脑里形成生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程。

2019年陕西省西安市陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={y|y=x−2}，P={y|y=√x−1}，则M∩P=()A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (0,+∞)D. [0,+∞)【答案】C}={y|y>0}，P={y|y=√x−1}={y|y≥0}，【解析】解：∵M={y|y=1x2∴M∩P={y|y>0}=(0,+∞)，故选：C．先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．2.欧拉公式e ix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解：e2i=cos2+isin2，,π)，∵2∈(π2∴cos2∈(−1,0)，sin2∈(0,1)，∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．,π)，即可判断出．e2i=cos2+isin2，根据2∈(π2本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.下列关于命题的说法错误的是()．A. 命题“若x2−3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2−3x+2≠0”B. 已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”D. “若x0为y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0”的逆命题为真命题【答案】D【解析】【分析】本题考查命题的真假判断，主要是四种命题，以及相互关系和命题的否定，以及函数零点定理和函数的极值点的定义，考查推理能力，属于基础题．由命题的逆否命题可判断A；由命题的逆命题和函数零点存在定理可判断B；由命题的否定形式可判断C ；由命题的逆命题和函数极值点的定义可判断D ． 【解答】 解：命题“若x 2−3x +2=0，则x =2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2−3x +2≠0”，故A 正确；已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，命题“若f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a,b) 内至少有一个零点”的逆命题为假命题， 比如f(x)=x 2在(−1,1)内有一个零点0，但f(−1)f(1)>0，故B 正确；命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”，故C 正确；“若x 0为y =f(x)的极值点，则”的逆命题为假命题，比如f(x)=x 3， 有f′(0)=0，但x =0不为f(x)的极值点，故D 错误． 故选：D ．4. 函数y =x 2ln|x||x|的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】解：当x >0时，y =xlnx ，y′=1+lnx ，即0<x <1e 时，函数y 单调递减，当x >1e ，函数y 单调递增，因为函数y 为偶函数， 故选：D ．根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．5. 已知在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =BC =1，AB =√2，AB ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为( )A. √3π2B. 3πC. √2π3D. 2π【答案】B【解析】【分析】求出P 到平面ABC 的距离，AC 为截面圆的直径，由勾股定理可得R 2=(√32)2+d 2=(12)2+(√22−d)2，求出R ，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题． 【解答】解：由题意，AC 为截面圆的直径，AC =√AB 2+BC 2=√3， 设球心到平面ABC 的距离为d ，球的半径为R ， ∵PA =PB =1，AB =√2，∴PA ⊥PB ，∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴P 到平面ABC 的距离为√22．由勾股定理可得R 2=(√32)2+d 2=(12)2+(√22−d)2，∴d =0，R 2=34，∴球的表面积为4πR 2=3π．故选：B ．6. 设函数y =f(x)=a x (a >0,a ≠1)，y =f −1(x)表示f(x)的反函数，定义如框图表示的运算，若输入x =−2，输出y =14；当输出y =−3时，则输入x =( )A. 8B. 18C. 6D. 16【答案】B【解析】解：由图可知，该程序的作用是计算分段函y ={f(x),x ≤0f −1(x),x >0的函数值．∵输入x =−2，输出y =14， ∴a −2=14，a =2 当输出y =−3时，只有：f −1(x)=−3⇔f(−3)=x ⇒x =2−3=18．故选：B ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y ={f(x),x ≤0f −1(x),x >0的函数值．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7. 已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα,sinα)，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则sin(α+π4)的值为( ) A. 23B. √23 C. √22D. 12【答案】B【解析】【分析】本题考查学生掌握平面向量的数量积的运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．由A ，B ，C 的坐标求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin(α+π4)的值．【解答】解：∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−3,sinα)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα−3) ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−3)⋅cosα+sinα(sinα−3)=−1 得cos 2α+sin 2α−3(cosα+sinα)=−1 ∴sinα+cosα=23， 故sin(α+π4)=√22(sinα+cosα)=√22×23=√23故选：B ．8. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 73B.8−π3C. 83D.7−π3【答案】B【解析】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P −ABCD 中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2， 圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V =13×2×2×2−12×13π×12×2=8−π3，故选：B ．由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9. 已知(x +1)6(ax −1)2的展开式中，x 3系数为56，则实数a 的值为( )A. 6或5B. −1或4C. 6或−1D. 4或5 【答案】C【解析】解：(x +1)6(ax −1)2的展开式中x 3系数是 C 63+C 62(−1)⋅a +C 61a 2=6a 2−15a +20 ∵x 3系数为56∴6a 2−15a +20=56解得a =6或−1 故选：C ．利用多项式的乘法法则得到x 3系数由三部分组成，利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出a 的值．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．10. 过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=( )A. 9B. 72C. 92D. 36【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．当点B 在第一象限，通过抛物线定义及AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知A 为CE 中点，通过勾股定理可知|BC|=2√2|AC|，利用直线与抛物线联立，通过弦长的性质计算可得结论． 【解答】解：如图，点B 在第一象限．过B 、A 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作EA 的垂线，垂足为C ，则四边形BDEC 为矩形．由抛物线定义可知|BD|=|BF|，|AE|=|AF|，又∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|BD|=|CE|=2|AE|，即A 为CE 中点， ∴|BA|=3|AC|，在Rt △BAC 中，|BC|=2√2|AC|，k AB =2√2，F(1,0)，AB的方程为：y=2√2(x−1)，代入抛物线方程可得：2x2−5x+2=0，x1+x2=52，则|AB|=x1+x2+2=52+2=92．故选：C．11.已知函数f(x)=21+x2(x∈R)，若等比数列{a n}满足a1a2019=1，则f(a1)+f(a2)+ f(a3)+⋯…+f(a2019)=()A. 2019B. 20192C. 2 D. 12【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=21+x2(x∈R)，∴f(x)+f(1x )=21+x2+21+(1x)2=21+x2+2x2x2+1=2，∵数列{a n}为等比数列，且a1⋅a2019=1．∴a1a2019=a2a2018=a3a2017=⋯=a2019a1=1，∴f(a1)+f(a2019)=f(a2)+f(a2019)=f(a3)+f(a2017)=⋯=f(a2019)+f(a1)= 2，∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯…+f(a2019)=2019．故选：A．由函数f(x)=21+x2(x∈R)，求出f(x)+f(1x)=2，由数列{a n}为等比数列，且a1⋅a2019=1.得a1a2019=a2a2018=a3a2017=⋯=a2019a1=1，从而f(a1)+f(a2019)=f(a2)+ f(a2019)=f(a3)+f(a2017)=⋯=f(a2019)+f(a1)=2，由此能求出f(a1)+f(a2)+ f(a3)+⋯…+f(a2019).本题考查函数值的求法，考查函数性质、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.若关于x的方程(lnx)2=x2+axlnx恰有3个不相等实根，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1−e2e ) B. (−∞,1−ee2) C. (1−ee2,0) D. (1−e2e2,0)【答案】A【解析】解：由题意知(lnxx )2−alnxx−1=0，令t=lnxx，t2−at−1=0的两根一正一负，设f(x)=t=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)>0得：0<x<e，f′(x)<0得：x>e，即函数f(x)在(0,e)为增函数，在(e,+∞)为减函数，故f(x)max=f(e)=1e，且x>e时，f(x)>0，若关于x的方程(lnx)2=x2+axlnx恰有3个不相等实根，只需令方程t2−at−1=0的正根满足：0<a+√a2+42<1e，解得a<1−e2e，故选：A．由利用导数研究函数的单调性得：设f(x)=t=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx2，则函数f(x)在(0,e)为增函数，在(e,+∞)为减函数，故f(x)max=f(e)=1e，且x>e时，f(x)>0，由二次方程区间根问题得：若关于x的方程(lnx)2=x2+axlnx恰有3个不相等实根，只需令方程t2−at−1=0的正根满足：0<a+√a2+42<1e，解得a<1−e2e，得解．本题考查了二次方程区间根问题及利用导数研究函数的单调性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则______【答案】【解析】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，所以三年级的学生数为；2000−373−377−380−370=500人，所占比例为5002000=14所以应在三年级抽取的学生人数为64×14=16故答案为：16由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数．本题考查分层抽样知识，抓住各层抽取的比例一致是解决分层抽样问题的关键．14.设变量x，y满足约束条件{x≥0x+3y≥43x+y≤4，则目标函数z=x+2y的最小值为______．【答案】83【解析】【分析】本题主要考查线性规划求最值，属于基础题．由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求解即可．【解答】解：画出不等式组{x≥0x+3y≥43x+y≤4表示的可行域，z=x+2y，即y=−12x+12z过A(0,43)时，在y轴上的截距最小，此时z最小，∴z的最小值为83．故答案为：83．15.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n+1，则S10=______．【答案】−1023【解析】【分析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式的应用求出结果．【解答】解：由于S n=2a n+1，①当n=1时，a1=−1．当n≥2时，S n−1=2a n−1+1，②①−②得：a n=2a n−2a n−1，所以a na n−1=2(常数)，故数列{a n}是以−1为首项，2为公比的等比数列，所以a n=−2n−1，所以S10=−1(210−1)2−1=−1023．故答案为：−1023．16.设函数f(x)={x 2−6x+6,x≥03x+4,x<0，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)= f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是______．【答案】(113,6)【解析】解：函数f(x)={x 2−6x +6,x ≥03x +4,x <0的图象如下图所示：若存在互不相的实数x 1，x 2，x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=k ，则k ∈(−3,4)，不妨令x 1<x 2<x 3， 则x 1∈(−73,0)，x 2+x 3=6， 故x 1+x 2+x 3∈(113,6)， 故答案为：(113,6)画出函数f(x)={x 2−6x +6,x ≥03x +4,x <0的图象，令x 1<x 2<x 3，由图象可得x 1∈(−73,0)，x 2+x 3=6，进而得到x 1+x 2+x 3的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象后，数形结合分析出x 1∈(−73,0)，x 2+x 3=6，是解答的关键．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17. 在△ABC 中，A =2B ，sinB =13，AB =23．(1)求sin A ，sin C ；(2)求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【答案】解：(1)∵sinB =13，B 为锐角， ∴cosB =√1−sin 2B =2√23， ∵A =2B ，∴sinA =sin2B =2sinBcosB =2×13×2√23=4√29，cosA =cos2B =cos 2B −sin 2B =89−19=79， 则sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =4√29×2√23+79×13=2327；(2)由正弦定理ABsinC =ACsinB =BCsinA ，AB =23，sinC =2327，sinB =13，sinA =79，∴AC =ABsinB sinC=9，BC =ABsinA sinC=12√2，又cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−79×2√23+4√29×13=−10√227， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ×CB ×cosC =9×12√2×(−10√227)=−80．【解析】(1)由sin B 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos B 的值，再由A =2B ，得到sinA =sin2B ，利用二倍角的正弦函数公式化简，将sin B 与cos B 的值代入求出sin A 的值，同理求出cos A 的值，利用诱导公式得到sinC =sin(A +B)，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；(2)利用正弦定理列出关系式，将sin C ，sin B ，sin A ，AB 的值代入求出CA 与CB 的值，由cosC =−cos(A +B)，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos C 的值，利用平面向量的数量积运算法则化简所求式子，即可求出值． 此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18. 西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张西安“名片”．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低．交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的频率约为0.4.并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到2×2列联表如下：近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚．并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：将统计数据所得频率代替概率，完成下列问题．(Ⅰ)将2×2列联填写完整(不需写出填写过程)，并根据表中数据分析，在末试行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关； (Ⅱ)当处罚金额定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少； (Ⅲ)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． 参考数据：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 1.132 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】解(Ⅰ)30岁以下30岁以上合计闯红灯206080未闯红灯8040120合计100100200∵k2=200×(60×80−40×20)100×100×80×120=1003≈33.333>10.828∴有99.9%的把握说闯红灯与年龄有关，(Ⅱ)∵未进行处罚前，行人闯红灯的概率为0.4；进行处罚10元后，行人闯红灯的概率为40200=0.2，∴降低了0.2；(Ⅲ)①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，可以进行适当处罚来降低行人闯红灯的概率．【解析】本题考查了独立性检验，属中档题．(Ⅰ)利用已知条件填写列联表，并计算出k2的观测值，即可确定有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关．(Ⅱ)计算得出进行处罚10元后，行人闯红灯的概率，再与未进行处罚前，行人闯红灯的概率，比较可得降低了0.2．(Ⅲ)有列联表可得，30岁以上的闯红灯的人数较多，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；由(Ⅱ)可知，适当的处罚有利于降低闯红灯的概率．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF//AB，AB=2，EB=√3，EF=1，BC=√13，且M是BD的中点．(Ⅰ)求证：EM//平面ADF；(Ⅱ)求二面角A−FD−B的余弦值的大小．【答案】(1)证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN//AB,MN=12AB，又∵EF//AB,EF=12AB，∴MN//EF且MN=EF．∴四边形MNFE为平行四边形，则EM//FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，故E M//平面ADF．法二、∵EB ⊥平面ABCD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ．∵AB =2，EB =√3,EF =1,BC =√13，∴B(0,0，0)，D(3,0，0)，A(0,2，0)，E(0,0，√3)，F(0,1，√3)，M(32,0，0)，EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,−√3)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)， 设平面ADF 的一个法向量是n⃗ =(x,y,z)． 由{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −2y =0n ⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +√3z =0，令y =3，得n ⃗ =(2,3,√3)．又∵EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3−3=0，∴n ⃗ ⊥EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又EM ⊄平面ADF ，故E M//平面ADF ． (2)解：由(1)可知平面ADF 的一个法向量是n ⃗ =(2,3,√3)． BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)， 设平面BFD 的一个法向量是m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3a =0m ⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +√3c =0，令c =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√32×4=−√34， 又二面角A −FD −B 为锐角，故二面角A −FD −B 的余弦值大小为√34．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．(1)法一、取AD 的中点N ，连接MN ，NF ，由已知及三角形中位线定理可得MN//EF 且MN =EF.得到四边形MNFE 为平行四边形，则EM//FN ，由线面平行的判定可得EM//平面ADF ．法二、由EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz.再由已知求得所用点的坐标，求出EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面ADF 的一个法向量，由数量积为0可得n ⃗ ⊥EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由EM ⊄平面ADF ，可得EM//平面ADF ． (2)由(1)可知平面ADF 的一个法向量是n ⃗ =(2,3,√3).再求出平面BFD 的一个法向量是m⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −FD −B 的余弦值．20. 已知F 1、F 2分别是椭圆C ：x 24+y 2=1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54，求点P 的坐标；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ？【答案】解：(1)由椭圆方程为x 24+y 2=1，可知：a =2，b =1，c =√3，∴F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解得：{x =1y =√32，∴P(1,√32)． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=14−1516=−1116≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 则由已知可得√k 2+1=12，即k 2+1=4m 2．由{y =kx +m x 2+4y 2=4，可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1⋅x 2=4(m 2−1)4k 2+1．要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0， 即5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2．∴k 2+1=0，此方程无实解，此时OA ⊥OB 不成立． 综上，不存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ．【解析】(1)设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解出即可得出．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516， 容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，则由已知可得√k 2+1=12.直线方程与椭圆方程联立可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0，把根与系数的关系代入可得5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2.解出即可判断出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2+bx +1的图象在x =1处的切线l 过点(12,12).(1)若函数g(x)=f(x)−(a −1)x(a >0)，求g(x)最大值(用a 表示)； (2)若a =−4，f(x 1)+f(x 2)+x 1+x 2+3x 1x 2=2，证明：x 1+x 2≥12．【答案】解：(1)函数f(x)=lnx −12ax 2+bx +1的导数为： f′(x)=1x −ax +b ，可得图象在x =1处的切线l 的斜率为k =1−a +b ， 切点为(1,1+b −12a)， 由切线经过点(12,12)， 可得1−a +b =1+b−12a−121−12，化简可得，b =0，则f(x)=lnx −12ax 2+1，g(x)=lnx −12ax 2+1−(a −1)x(x >0,a >0)， g′(x)=1x −ax −(a −1)=−(x+1)(ax−1)x，当0<x <1a 时，g′(x)>0，g(x)递增；当x >1a 时，g′(x)<0，g(x)递减． 可得g(x)max =g(1a )=−lna −12a +1−1+1a =12a −lna ； (2)证明：a =−4时，f(x)=lnx +2x 2+1， f(x 1)+f(x 2)+x 1+x 2+3x 1x 2=2，可得lnx 1+2x 12+1+lnx 2+2x 22+1+x 1+x 2+3x 1x 2=2，化为2(x 12+x 22+2x 1x 2)+(x 1+x 2)=x 1x 2−ln(x 1x 2)， 即有2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2−ln(x 1x 2)， 令t =x 1x 2，t >0，设ℎ(t)=t −lnt ，ℎ′(t)=1−1t ，当t >1时，ℎ′(t)>0，ℎ(t)递增；当0<t <1时，ℎ′(t)<0，ℎ(t)递减． 即有ℎ(t)在t =1取得最小值1， 则2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1，可得(x 1+x 2+1)(2x 1+2x 2−1)≥0， 则2x 1+2x 2−1≥0， 可得x 1+x 2≥12．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得b =0，得到f(x)和g(x)的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；(2)求得f(x)的解析式，由条件化简可得2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2−ln(x 1x 2)，令t =x 1x 2，t >0，设ℎ(t)=t −lnt ，求得导数和单调区间，可得ℎ(t)的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化和变形，以及构造函数的方法，考查运算能力，属于难题．22. 已知曲线C 1：{x =−4+costy =3+sint (t 为参数)，C 2：{x =√3cosθy =sinθ(θ为参数)(Ⅰ)将C 1，C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(Ⅱ)若C 1上的点对应的参数为t =π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：{x =3+t y =−2+t(t 为参数)距离的最小值． 【答案】解：(Ⅰ)C 1：(x +1)2+(y −3)2=1，C 2：x 23+y 2=1C 1为圆心是(−4,3)，半径是1的圆C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是√3，短半轴长是1的椭圆 (Ⅱ)当t =π2时，P(−4,4)，Q(√3cosθ,sinθ)，故M(−2+√32cosθ,2+12sinθ)C 3为直线x −y −5=0，M 到C 3的距离 d =|√32cosθ−12sinθ−9|√2=√22|sin(θ−π3)+9|， 从而当sin(θ−π3)=−1时，d 取得最小值4√2．【解析】(Ⅰ)根据 sin 2α+cos 2α=1消参即可得到 C 1，C 2的普通方程，由普通方程可知C 1为圆心是(−4,3)，半径1的圆，C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是√3，短半轴长是1的椭圆．(Ⅱ)根据题意求出P 坐标，利用C 2的参数方程设出Q 的直角坐标，由题意可得PQ 中点M 坐标，结合点到直线的距离公式、辅助角公式求出最小距离(Ⅰ)椭圆的参数方程、圆的参数方程化为普通方程时，一般要利用同角三角函数的平方关系sin 2α+cos 2α=1消参得到普通方程(Ⅱ)曲线上的点，到直线上一点的距离的最小值的求法：在求点到直线最小距离时，先用参数形式写出点Q 的直角坐标，代入点到直线的距离公式结合辅助角公式得到距离的最小值．23. 已知a ，b 均为实数，且|3a +4b|=10．(Ⅰ)求a 2+b 2的最小值；(Ⅱ)若|x +3|−|x −2|≤a 2+b 2对任意的a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】解：(I)∵|3a +4b|=10，∴100=(3a +4b)2≤(32+42)(a 2+b 2)=25(a 2+b 2)∴a 2+b 2≥4，当且仅当ab =34即{a =65b =85或{a =−65b =−85时取等号即a 2+b 2的最小值4(II)由(I)知|x +3|−|x −2|≤a 2+b 2对任意的a 、b ∈R 恒成立， ∴|x +3|−|x −2|≤4， ∴{x <−3−5≤4或{−3≤x <22x +1≤4或{x ≥25≤4解可得，x <−3或−3≤x ≤32 ∴实数x 的取值范围(−∞,32]【解析】(I)利用柯西不等式即可求解(II)由(I)知|x +3|−|x −2|≤a 2+b 2对任意的a 、b ∈R 恒成立⇔|x +3|−|x −2|≤(a 2+b 2)min ，然后根据绝对值不等式的求解即可 本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。