第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
[最新考纲]
1．了解平面向量的基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
知 识 梳 理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
辨 析 感 悟
1．对平面向量基本定理的理解
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． (×)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√)
(3)(2013·广东卷改编)已知a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c. (√)
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；(√)
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc； (√)
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc. (×)
2．平面向量的坐标运算
坚其志，苦其心，勤其力，事无大小，必有所成。——曾国藩
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平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)， |AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[做一做]
1．若向量BA→＝(2，3)，CA→＝(4，7)，则BC→＝( )
A．(－2，－4) B．(2，4) C．(6，10) D．(－6，－10)
答案：A
2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
A.1，83 B.－133，83 C.133，43 D.－133，－43
答案：D
1．辨明三个易误点
(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．
(2)注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.
(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
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下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 第二节 平面向量的根本定理及坐标表示
[考纲 ] 1.了解平面向量的根本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量根本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向一样的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.
(2)向量坐标的求法
①假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么AB→＝(x2－x1，y2－y1)，
|AB→|＝x2－x12＋y2－y12. .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，设AB→＝a，BC→＝b，那么向量a与b的夹角为∠ABC.( )
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个01不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝02λ1e1＋λ2e2.
2．平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与03x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，04(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝05(1,0)，j＝06(0,1)，0＝ 07(0,0).
3．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝08(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝09(x1－x2，y1－y2)，
λa＝10(λx1，λy1).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB→＝11(x2－x1，y2－y1)，
|AB→|＝12 错误!.
4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔13x1y2－x2y1＝0.
1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．
2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为x1＋x22，y1＋y22.
5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.
6．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)．
