陕西师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期数学大练习(一)

陕西师大附中2020学年度第一学期期中考试高三年级数学（理）试题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.设全集U =R ,集合{|1}M x x =>,2{|1}P x x =>,则下列关系中正确的是( )A.M P =B.M P ⊂≠C.P M ⊂≠D.()U M P =∅I ð2.命题“对任意的x ∈R ，都有2240x x -+≤”的否定为( )A.存在x ∈R ，使2240x x -+≥B.对任意的x ∈R ，都有2240x x -+> C.存在x ∈R ,使2240x x -+> D.存在x ∉R ,使2240x x -+> 3.已知向量(,)a b =m ,向量⊥m n ,且||||=m n ,则n 的坐标可以为( ) A.(,)a b - B.(,)a b - C.(,)b a -- D.(,)b a - 4.方程lg 0x x +=的根所在的区间是( )A.1(0,)4B.11(,)42C.31(,)24D.3(,1)45．“2a b c +>”的一个充分条件是( )A.a c >且b c >B.a c >且b c <C.a c >或b c >D.a c >或b c < 6.由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形面积为( ) A.12B.14C.13D.7127.已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是( )A.)+∞B.)+∞C.[3,)+∞D.(3,)+∞8.已知(cos 23,cos 67)AB =︒︒u u u r ,(2cos 68,2cos 22)BC =︒︒u u u r,则ABC ∆的面积为( )C.2 D.39.对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，如此 反复操作，则第2020次操作后得到的数是 ( )2-3π712πO xyA.25B.250C.55D.133 10.若函数()(01)xxf x ka aa a -=->≠且在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是( )A. B. C. D.二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知函数22log (2),0(),026x x f x x x x +>⎧⎪=⎨≤⎪+⎩,()2f a =，则a =_______.12.函数()sin()f x A x ωϕ=+，（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>） 的部分图像如图，则(0)f =_______.13.如果实数,x y 满足条件202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩,那么2z x y =-的最小值为_______.14.函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点M ,且点M 在直线y mx n =+ 上，其中0mn >，则11m n+的最小值为_______. 15.一科研人员研究A 、B 两种菌.已知在任何时刻A 、B 两种菌的个数乘积为定值1010.为便于研究,科研人员用lg A A P n =来记录A 菌个数的资料,其中A n 为A菌的个数,则下列说法： ①1A P ≥；②若今天的A P 值比昨天的A P 值增加1，则今天 的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10个；③假设科研人员将B 菌的个数控制为5 万个,则此时5 5.5A P <<.其中正确的序号为_______.陕西师大附中2020学年度第一学期期中考试高三年级数学（理）答题纸一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.______________. 12.______________. 13.______________. 14.______________. 15.______________. 三、解答题（本题共6小题，共75分） 16.(本题满分12分)已知集合{|42}A x x =-<<-，{|11,0}B x m x m m =--<<->.求分别满足下列条件的m 的取值范围. (Ⅰ)A B ⊆； (Ⅱ)A B =∅I .17.(本题满分12分)已知tan()24πα+=,1tan 2β=. (Ⅰ)求tan α值； (Ⅱ)求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值.18.(本题满分12分)已知函数21,0()21,1x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩，满足29()8f c =．(Ⅰ)求常数c 的值； (Ⅱ)解不等式()18f x >+．19.(本题满分12分)某单位在抗雪救灾中,需要在A 、B 两地之间架设高压电线,测量人员在相距 6000米的C 、D 两地(A 、B 、C 、D 在同一平面上),测得45ACD ∠=︒,75ADC ∠=︒,30BCD ∠=︒,15BDC ∠=︒（如图）,假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍,问施工单位至少应该准备多长的电线？(精确到小数点后1位；参考数据6.4807≈)20.(本题满分13分)已知不等式230x x a -+<的解集为(1,)b . (Ⅰ)求实数a 、b 的值；(Ⅱ)若函数2log (31)(0,1)c y bx x a c c =-++->≠在区间23[,]34的值恒小于1，求c 的取值范围.21.(本题满分14分)ο30ο7515︒DCB45︒A已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+. (Ⅰ)求函数()F x 的单调区间；(Ⅱ)若以函数(),(0,3]y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立,求实数a 的最小值；(Ⅲ)是否存在实数m ,使得函数22()11ay g m x =+-+的图像与函数2(1)y f x =+的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在,说明理由.陕西师大附中2020学年度第一学期期中考试高三年级数学（理）答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCDBAADCDC二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11._______2±_______. 12._____6_______. 13.______6-________. 14._______ 322+_______. 15._______③_______. 三、解答题（本题共6小题，共75分） 16.(本题满分12分)已知集合{|42}A x x =-<<-，{|11,0}B x m x m m =--<<->.求分别满足下列条件的m 的取值范围. (Ⅰ)A B ⊆； (Ⅱ)A B =∅I . 解：(Ⅰ)如图16-1可知，14312m A B m m --≤-⎧⊆⇔⇔≥⎨-≥-⎩，∴ m 的取值范围为[3,)+∞.………………………………………………6分 (Ⅱ)如图16-2可知,121A B m m =∅⇔--≥-⇔≤I ,∴ m 的取值范围为(,1]-∞.………………………………………………12分17.(本题满分12分) 已知tan()24πα+=,1tan 2β=. (Ⅰ)求tan α值；16-116-2(Ⅱ)求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值.解:(Ⅰ)tan()tan21144tan tan[()]441231tan()tan 44ππαππααππα+--=+-===+++. ………6分 (Ⅱ)sin()2sin cos sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos()2sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-=+++-cos sin sin cos sin()sin sin cos cos cos()αβαββααβαβαβ--==+-tan()βα=-11tan tan 12311tan tan 716βααβ--===++.………………………………………………12分 18.(本题满分12分)已知函数21,0()21,1x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩，满足29()8f c =．(Ⅰ)求常数c 的值； (Ⅱ)解不等式()18f x >+． 解：(Ⅰ)01c <<0⇒<2c c <；由29()8f c =，即3918c +=，∴ 12c =.……4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得4111,22()211.x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<，……………………8分 当112x ≤<时，解得1528x ≤<，∴()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．………………………………12分 19.(本题满分12分)某单位在抗雪救灾中,需要在A 、B 两地之间架设高压电线,测量人员在相距 6000米的C 、D 两地(A 、B 、C 、D 在同一平面上),测得45ACD ∠=︒,75ADC ∠=︒,30BCD ∠=︒,15BDC ∠=︒（如图）,假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍,问施工单位至少应该准备多长的电线？(精确到小数点后1位；参考数据6.4807≈) 解:在ACD ∆中,18060CAD ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒6000CD =,45ACD ∠=︒,根据正弦定理sin 45sin 60CD AD ︒==︒,……4分在BCD ∆中,180135CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒6000CD =,30BCD ∠=︒,根据正弦定理sin 30sin1352CD BD ︒==︒,……8分 又在ABD ∆中,90ADB ADC BDC ∠=∠+∠=︒.根据勾股定理有AB ===实际所需电线长度约为1.27776.8AB ≈(米). ………………………12分 20.(本题满分13分)已知不等式230x x a -+<的解集为(1,)b . (Ⅰ)求实数,a b 的值；(Ⅱ)若函数2log (31)(0,1)c y bx x a c c =-++->≠在区间23[,]34的值恒小于1，求c 的取值范围. 解：(Ⅰ)2(1)1302,3202f a a x x b =-+=⇒=-+=⇒=，∴ 2a b ==.………4分ο30ο7515︒DCB45︒A(Ⅱ)22233111,2312(),344898x u x x x ⎡⎤⎡⎤∈=-+-=--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，，…………………8分 当1c >时，恒成立； 当01c <<时，只需11log 1099cc <⇔<<； ∴ c 的取值范围是 ()10,1,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U .……………………………………13分21.(本题满分14分) 已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+. (Ⅰ)求函数()F x 的单调区间；(Ⅱ)若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立,求实数a 的最小值；(Ⅲ)是否存在实数m ,使得函数22()11ay g m x =+-+的图像与函数2(1)y f x =+的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在,说明理由. 解:(Ⅰ)()()()ln (0)a F x f x g x x x x =+=+>,221()(0)a x aF x x x x x-'=-=>. ∵ 0a >,由()0(,)F x x a '>⇒∈+∞,∴ ()F x 在(,)a +∞上单调递增； 由()0(0,)F x x a '<⇒∈，∴ ()F x 在()0,a 上单调递减.∴ ()F x 的单调递减区间为(0,)a ,单调递增区间为(,)a +∞.……………4分 (Ⅱ)()2()03x a F x x x -'=<≤,()()000201'032x a k F x x x -==≤<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时,20012x x -+取得最大值12,∴ 12a ≥,∴ min 12a =.……………8分 (Ⅲ)若222111122a y g m x m x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭的图象与()()221ln 1y f x x =+=+的图象恰有四个不同得交点，即()2211ln 122x m x +-=+有四个不同的根,亦即()2211ln 122m x x =+-+有四个不同的根.令()()2211ln 122G x x x =+-+,则()()()32221122'111x x x x x x x G x x x x x -+---=-==+++, 当x 变化时,()'G x 、()G x 的变化情况如下表: x (,1)-∞-(1,0)- (0,1) ()1,+∞ ()'G x ＋ － ＋ － ()G xZ ] Z ] 由表格知:1()(0)2G x G ==极小值,()()()11ln 20G x G G ==-=>极大值. 又∵ ()()1122ln5222G G =-=-+<可知,当1,ln 22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()y G x =与y m = 恰有四个不同的交点.∴当1,ln 22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 222111122a y g m x m x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭的图象 与()()221ln 1y f x x =+=+的图象恰有四个不同的交点. ………………14分。

2020-2021陕西师范大学附属中学分校高中必修一数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>3．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞4．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．5．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]7．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011D ．20228．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10939．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,611．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =I （ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 2．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“22a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：x ∀∈R ，0x x +>；命题q ：0x ∃>，x ，则（ ） A ．p 和q 都是真命题B ．p 和q ⌝都是真命题C ．p ⌝和q 都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞5．函数()2241x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．6．若m 为函数()()()2f x m x m n x =--（其中0m ≠）的极小值点，则（ ） A ．m n > B ．2mn m > C ．m n < D ．2mn m < 7．已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一的零点，则a 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．13D ．13- 8．设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<二、多选题9．氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N 随时间t (单位:年)的衰变规律满足12.4302t N N -=⋅，其中0N 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:lg 20.301≈) A ．2012.43log N t N = B ．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失C ．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的132D ．若x 年后，样本中氚元素的含量为00.4N ，则16x >10．已知函数()3221f x x x x =-++，下列说法正确的是（ ）A ．2222333f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．方程()32f x =有3个解C ．当[]0,2x ∈时，()[]1,3f x ∈D ．曲线()y f x =有且仅有一条过点()0,1的切线11．已知定义在R 上不为常数的函数()f x 满足(2)()()0f x f x y f x y ++-=，则（ ）A ．(0)1f =-B ．3(3)[(1)]f f =C ．()()2f x f x -=D ．()()2f x f x +-≤-三、填空题12．已知函数()5()33x x f x x m -=⋅-是偶函数，则m =．13．已知1a >且8115log log 42a a -=-，则a =． 14．若函数()(ln 2)(ln )f x x ax x =--在(0,e)单调递增，则a 的取值范围为．四、解答题15．已知函数()2ln 2f x x x ax =+++在点()()22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．(1)求a ；(2)求()f x 的单调区间和极值．16．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)解不等式()21(4)0f a f ++->17．已知函数()()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+． 18．已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x=++-- (1)若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19．若函数()f x 在区间I 上有定义，且x I ∀∈，()f x I ∈，则称I 是()f x 的一个“封闭区间”．(1)已知函数()sin f x x x =+，区间[]()0,0I r r =>且()f x 的一个“封闭区间”，求r 的取值集合；(2)已知函数()()33ln 14g x x x =++，设集合(){}P x g x x ==|． （i ）求集合P 中元素的个数；（ii ）用b a -表示区间[](),a b a b <的长度，设m 为集合P 中的最大元素．证明：存在唯一长度为m 的闭区间D ，使得D 是()g x 的一个“封闭区间”．。

2019-2020学年陕西师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.若1i=0a +，i 为虚数单位，则a =（ ） A. 1- B. 0C. iD. i -【答案】C 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由1+ai ＝0，得ai ＝﹣1，即a 21ii i i=-=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.已知集合2{|40}A x x =-<，{}2log 0B x x =，则A B ⋃= （ ） A. ()1,2B. ()2,2-C. ()2,+∞D.()2,-+∞【答案】D 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A B U ．【详解】解：Q 集合2{|40}{|22}A x x x x =-<=-<<，{}{}2|log 0|1B x x x x =>=>， {}()|22,A B x x ∴⋃=>-=-+∞．故选：D ．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 108石B. 169石C. 237石D. 338石【答案】A 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】256Q 粒内夹谷18粒，∴米中含谷的频率为189256128=， 1536∴石中夹谷约为91536129108128⨯=⨯=（石）.故选A. 【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.4.在区间[0,4]上随机地选择一个数p ，则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为（ ）A.13B.23C.12D.14【答案】A方程2380x px p -+-=有两个正根，则有1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即解得8p ≥或843p <≤，又[]0,4p ∈，由几何概型概率公式可得方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为8413403p -==-，故选A. 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A. 3 B. 9C. 18D. 27【答案】D设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()272a a S ⨯+==故选D.6.在101(x的展开式中，2x 的系数是 （ ）A. 45B. 45-C. 90D. 90-【答案】A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 的系数．【详解】解：在101(x的展开式中，通项公式为3102110(1)r r r r T C x -+=⋅-⋅，令31022r -=，求得8r =，可得2x 的系数是81045C =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 7.若(),0,x y ∈+∞，且123y x+=，则yx 的最大值是（ ）A.34 B.94C.98D.916【答案】C 【分析】利用已知条件，用x 表示y ，转化为关于x 函数的最值. 【详解】由题意得：123y x+=，31,22y x =-又()0,y ∈+∞，∴1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则22311139(),22228y x x x x =-=--+ 当23x =时，yx 取得最大值98. 故选:C【点睛】本题考查含有条件等式的最值问题，等价转换是解题的关键，属于基础题. 8.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 （ ）A.3 B.15 C.10 D.3 【答案】C 【分析】设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点，得出1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC 、MQ ，MP 和MNP ∠的余弦值即可． 【详解】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点， 则1//MN AB ，1//NP BC ，则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角(因异面直线所成角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦)，可知1152MN AB ==1122NP BC ==作BC 中点Q ，则PQM V 为直角三角形，1PQ =，12MQ AC =， ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，AC ∴=MQ ∴=2MP ==； 在PMN V 中，由余弦定理得222cos 2MN NP PM MNP MN NP +-∠=⋅⋅222((+-==； 又异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，1AB ∴与1BC所成角的余弦值为5． 故选C ．【点睛】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9.已知抛物线24y x =的一条弦AB 恰好以()1,1P 为中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ） A. 1y x =-B. 21y x =-C. 2y x =-+D.23y x =-+【答案】B 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入抛物线方程，两式作差，运用平方差公式和直线的斜率公式，以及中点坐标公式，可得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程．【详解】由题意得：设()()1122,,,A x y B x y ，都在抛物线上2112224,4y x y x ⎧=⎨=⎩()21212121222144y y y y x x x x y y --=-⇒=-+=2，直线还经过()1,1P ，所以直线方程为21y x =- 故选：B【点睛】本题考查抛物线的方程的运用和点差法求直线方程，考查直线的斜率公式和中点坐标公式的运用，化简运算能力，属于中档题．10.已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 为其渐近线上一点， 1PF x ⊥轴，且2130,PF F ∠=o 则该双曲线的离心率是（ ）A.73B.7 C.733D.21 【答案】D 【分析】由题意可得P 的横坐标为﹣c ，可设P 的纵坐标为bca，由∠PF 2F 1＝30°可得a ，b 的关系，再由离心率公式求解． 【详解】解：如图，PF 1⊥x 轴，可得P 的横坐标为﹣c ， 由双曲线的渐近线方程y b x a =-，可得P 的纵坐标为bc a，由∠PF 2F 1＝30°，可得bc a =， 即b 3=a ， 即有e c a ====． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，是中档题．11.已知函数()x 21,2f x 3,2x 1x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩,若方程()f x a 0-=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()0,1 B. ()0,2C. ()0,3D. ()1,3【答案】A 【分析】画出分段函数()f x 图象，原题意等价于函数()y f x =的图象与y a =有三个不同的交点．由图可解，注意y=1是一条渐近线．【详解】Q 函数()x 21,2f x 3,2x 1x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩，∴作出函数()f x 图象，如图所示，Q 方程()f x a 0-=有三个不同的实数根， 等价于函数()y f x =的图象与y a =有三个不同的交点，根据图象可知，当0a 1<<时，函数()y f x =的图象与y a =有三个不同的交点， 方程()f x a 0-=有三个不同实数根，a 的取值范围是()0,1，故选A ．【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解+析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12.在△ABC 中，cos :2cos :3cos 2:4:21A B C =，则cos C =（ ） A.712B.710C.78D.716【答案】C 【分析】根据cos 1cos A B =得到是等腰三角形，代入方程得到24sin 7sin 1022C C+-=，计算得到答案. 【详解】由已知得：cos 1,cos AB=所以A B =是等腰三角形， cosA 27cos 2cos 3cosC 21A C =∴=∴C 7cos 2cos 2C π-⎛⎫= ⎪⎝⎭整理得：24sin7sin 2022C C +-=解之得：1sin 24C = 所以27cos 12sin28C C =-= 【点睛】本题考查了解三角形，意在考查学生的计算能力.二、填空题（本大题共4小题）13.某正方体外接球的体积为323π，则此正方体的表面积为__________． 【答案】96 【分析】根据正方体外接球的半径和正方体棱长的关系可以先求出正方体的棱长,最后求出正方体的表面积.【详解】由已知得：设正方体的棱长为m ，外接球的半径为R，22342m R R =⇒=；所以343V π=⋅=⎝⎭，求得：4m =，所以正方体表面积26S m ==96. 故答案为:96【点睛】本题考查了正方体外接球的半径与正方体棱长的关系,考查了球的体积公式和正方体表面积公式,考查了数学运算能力.14.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为______．【答案】112221n n ++-- 【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等比数列的通项公式可得2q =，求得通项公式，可得()()1111112121n n n n n a a a ++=-----，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：在各项都为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，0q >，12a =，532a =，可得45116a q a ==，即2q =， 则1222n nn a -=⋅=，()()()()1112111121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为22311111112121212121n n +-+-+⋯+------ 11112212121n n n +++-=-=--，故答案为：112221n n ++--．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．15.钝角ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，1c =，3B π=，则a 的取值范围是______． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】由正弦定理可得12csinA a sinC ==，再根据ABC △为钝角三角形求出C 的范围，进一步求出a 的范围．【详解】解：由正弦定理，有2sin 1322C csinA a sinC sinC tanC π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+． ABC QV 为钝角三角形，3B π=，∴当A 为钝角时，22,323A C πππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0,6C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭； 当C 为钝角时，2,23C ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ABC ∴V 为钝角三角形，20,,623C πππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(0,,3tanC ⎛⎫∴∈⋃-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()110,2,222tanC ⎛⎫∴+∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ．【点睛】本题考查了正弦定理和正切函数的图象与性质，关键是根据三角形为钝角三角形求出角的范围，属中档题．16.已知(),a xb yc x y R =+∈r r r，22a b c ===r r r ，()1c a b a b ⋅+=⋅+r r r r r ，则a b r r -的取值范围是______．【答案】1⎤⎦【分析】从所求的结果得所需要的a b ⋅rr 的范围，再从已知条件中寻找它的范围即可，需要用到余弦值的范围．【详解】解：2a b ==Q r r ，∴a b -===r r ，∴只需要求a b⋅rr 的范围即可； ()11cos c a b a b a b c a b c a b ⋅+=⋅+⇒⋅+=⋅+⋅<+>r r r r r r r r r r r r r ，，1a b c a b ⋅+≤⋅+rr r r r ，而1c =r，1a b a b ∴⋅+≤+r r r r ，∴两边平方得，22()2182()71a b a b a b a b a b ⎤⋅+⋅+≤+⋅⇒⋅≤⇒-∈⎦r r r r r r r r r r ；故答案：1⎤⎦．【点睛】本题利用三角函数范围求数量积的范围，属于中难度题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数())0)f x sin x cos x cos x ωωωω=->的图象的一条对称轴为38x π=．（1）求ω的最小值；（2）当ω取最小值时，若3245f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα-<<，求2cos α．【答案】（1）1；（2）2425.(1)把已知函数解+析式变形，取38x π=，再由相位终边落在y 轴上求解ω值；(2)由已知求得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用诱导公式及倍角公式求解．【详解】解：（1）())(0)2f x sin x cos x cos x ωωωω=-+>2xcos x x ωωω=-)212sin x cos x ωω=+ sin 24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题可得()32842k k Z πππωπ⋅-=+∈， 解得()413k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，故ω的最小值为1；（2） 3sin 2445f αππα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02πα-<<Q ，444πππα∴-<+<，4cos 45πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，24222cos 44425cos sin sin πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】（1）本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．（2）运用诱导公式将cos2α转化成sin(2)2πα+，善于运用2=2()24ππαα++转化二倍18.共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率； （2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）2225（2）见解+析试题分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件A，利用概率乘法公式及加法公式得到所求概率；（2）X 的取值为0,1,2,3,明确相应的概率值，得到分布列及相应的数学期望. 试题详细分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件A ，则()7436762210101010101025P A =⨯+⨯+⨯=. （2）显然X 的取值为0,1,2,3,()12341210101025C C P X C C ==⨯=,()111227364412121010101019175C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=,()1111276436121210101010712150C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=,()12761210107330C C P X C C ==⨯=,故随机变量X 的分布列为X 的数学期望()11971719012325751503010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 19.如图，在四面体ABCD 中，BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒．（1）证明：BD AC ⊥；（2）若60ABD ∠=︒，2BA =，四面体ABCD 的体积为2，求二面角B AC D --的正弦值．【答案】（1）证明见解+析；（2）470. 【分析】（1）作Rt △ABD 斜边BD 上的高AE ，连接CE ，推导出CE BD ⊥，从而BD ⊥平面AEC ，由此能证明BD AC ⊥．（2）推导出AE ⊥平面BCD ，以EB u u u r ，EC uuu r ，ED u u u r为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．利用向量法能求出二面角B AC D --的余弦值，进而可得正弦值.【详解】（1）如图，作Rt △ABD 斜边BD 上的高AE ，连接CE ．因为BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒，所以Rt △ABD ≌Rt △BCD ．可得CE BD ⊥． 所以BD ⊥平面AEC ，于是BD AC ⊥．（2）在Rt ABD △中，因为2BA =，60ABD ∠=︒， 所以4BD =，3AE =，3CE =， 3sin 2AEC S AEC =∠V ．因为BD ⊥平面AEC ，四面体ABCD 的体积2， 所以13sin 4232AEC ⨯∠⋅=，则sin 1AEC ∠=，90AEC ∠=︒， 所以AE ⊥平面BCD ．以EB u u u r ，EC uuu r ，EA u u u r为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则3)A ，(1,0,0)B ，3,0)C ，(3,0,0)D -，(1,0,3)AB =-u u u r ，3,3)AC =u u u r，(3,0,3)AD =--u u u r．设111(,,)m x y z =u r 是平面BAC 的法向量，则00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即111130330x z z ⎧=⎪=，可取(3,1,1)m =u r ． 设222(,,)n x y z =r 是平面DAC 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ， 即2222330330z x z =-=⎪⎩，可取(3,3)n =-r ． 因为333105cos ,35||||31+11+3+3m n m n m n ⋅-<>===+⋅u r ru r r u r r ，所以二面角B AC D --470． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查学生计算能力，是中档题．20.已知离心率e =的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为F ，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过原点O 且与坐标轴不垂直的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，且点1(1,)2A ，求MAN ∆面积的最大值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；.【分析】（Ⅰ）根据c c e a ===即可求出椭圆方程． （Ⅱ）由题意知，直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式，求出MN 的值，再利用点到直线距离，求出三角形的高，即可写出面积的表达式，对参数k 讨论求出面积最大值．【详解】（Ⅰ）根据题意得2c c e a ===，∴2a =. ∴2221b a c =-=. 故椭圆C 的方程为2214xy +=.（Ⅱ）根据题意：设直线的方程为()0y kx k =≠，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()()2214400k x k +-=≠． 设()()1122,,,M x y N x y ∴()216140k ∆=+>，1212240,14x xx x k +==-+，∴MN ==()0k ≠MN ==.又∵点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭到直线l的距离d =∴1122MANS MN d ∆=⋅== ()0k ≠，MAN S ∆== ()0k ≠， ① 当0k >时，1MAN S ∆<； ② 当0k <时，MAN S ∆==≤=分综上所述，MAN ∆【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的思想，运算求解的能力．21.函数()22()22ln 4f x x x x x x =--+.（1）求()f x 在x e =处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（2）设32()33()g x x x x f x =-++，若1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：121x x <.【答案】（1）()241340e y e e x ---+=（2）证明见解+析【分析】（1）求出导函数()f x '，切线方程为()'()()y f e f e x e -=-，化简即可；（2）先由导数确定()g x 在(0,)+∞上单调递增，不妨设120x x <<，则()()12g x g x <，又()()128g x g x +=，()14g =，则()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<，这是重要的一个结论，构造函数1()()()G x g x g x=+()01x <<，求出()G x '，可确定()G x 在(0,1)上递减，于是()(1)8G x G >=，于是1()8G x >，下面只要证明211()()g g x x >即可。

陕西师大附中高2020届考练试题数学(理科)(2020.03.04)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题纸上，满分150分，时间120分钟．2.答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．3.考完试，将作答按要求上传至智学网．第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,1)，则|1|z +=( ).2A B C D2.若{|{|A y y B x y ====，则( ).A A B = .B A B =∅ .C A B ⊆ .D B A ⊆ 3.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是( ) .A 若//,//l m αα，则//l m .B 若,l m αα⊥⊥，则//l m.C 若,l m l α⊥⊥，则//m α .D 若//,l m l α⊥，则m α⊥4.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)递减的函数是（ ）.A cos y x = .B 1()3x y = .C tan y x = .D 3y x -=5.某班有60名学生，一次考试后数学成绩2(110,10)X N ，若(100110)0.35P X ≤≤=，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) .9A .8B .7C .6D6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A 20 .B 24 .C 26 .D 30 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，*1()2n n n S a n N +=∈，则10S 为( ) .A 55 .B 50 .C 110 .D 1008.直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是( ).A b =.B 11b -<<或b = .C 11b -<≤ .D 11b -<≤或b =9.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”；小王说:“丁团队获得一等奖”；小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） .A 甲 .B 乙 .C 丙 .D 丁 10.已知函数()cos (,0)f x x x R ωω=∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象( ).A 向左平移8π个单位长度 .B 向右平移8π个单位长度 .C 向左平移4π个单位长度 .D 向右平移4π个单位长度11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( ) .A 1 .B 12 .C 1- .D 12- 12．已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(1)f x a x +-=的实根个数不可能为（ ）.A 5 .B 6 .C 7 .D 8 第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上．） 13.已知向量,a b 的夹角为45︒，且||1,||2a b ==，则||a b -=__________．14.函数()ln x f x e x =-在点(1,(1))f 处的切线方程是__________．15.已知，满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若(0)z ax y a =+>的最大值为4，则a =__________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色。

2020-2021陕西师范大学锦园中学高中必修一数学上期末模拟试卷带答案一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0 D ．正负都有可能2．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<4．若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞5．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－156．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．1 7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 BC ．14，2 D ．14，49．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣112．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 15．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.16．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 17．函数()()()310310xx x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．19．已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________. 20．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.三、解答题21．已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.22．设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.23．已知函数31()31x x f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数.（1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式()21cos sin 32f x a x --<对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 24．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅--25．已知函数()224x x a f x =-+，()()log 0,1a g x x a a =>≠.（1）若函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性，求实数m 的取值范围； （2）若()()11f g =，设()112t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小. 26．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．C解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．5．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于6．B解析：B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =， 因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．9．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.11．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．12．D解析：D 【解析】 【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：()0,1【解析】 【分析】令()0f x =，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两个交点. 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的 解析：3【解析】 【分析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】当x a =-时，()0f x =， 当x a ?时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，221()2212a x a a a a x a+++-≥++ 当且仅当21x a a =+时，等号成立，2210()212a af x a a++∴<≤=+-同理x a <-时，21()0a af x -++≤<，2211()a a a af x -++++≤≤， 即()f x 的最小值和最大值分别为2211,22a a a a++， 212a +=，解得3a =.故答案为:【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.16．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】 因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-； 又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I .故答案为：()1,2-.【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.17．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.18．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析：(][)22-∞-⋃+∞，， 【解析】【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围.【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数， ∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤Q()()2f x f ∴≤2x ∴≥2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞U故答案为：(][),22,-∞-+∞U【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型. 19．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点 解析：4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果.【详解】设()2f x ax bx c =++ ()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+ 44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+ ()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++ 设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩ 即240m m m --+=，解得：0m =或3m =-①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=--- ()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+- ()h x ∴的所有零点为1,3,2综上所述：()h x 的最大零点为4故答案为：4【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值.由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-， 所以由()()01032f f a a =-=， 解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题21．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.22．（1）4,2a b ==（2）2log x =（3）()[]0,240g x ∈【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可（2）令()0f x =得421x x -=，即()22210x x --=，然后解出即可 （3）()42x xg x =-，令2x t =，转化为二次函数 【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42x x f x =-，令()0f x =得421x x -=，即()22210x x --=，解得2x =，又120,22x x >∴=，解得21log 2x =； （3）由（1）知()42x x g x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增 所以()[]0,240g x ∈，23．（1）证明见解析（2）44a -≤≤【解析】【分析】（1）先由函数()f x 为奇函数，可得1m =，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可.【详解】解：（1）∵函数31()31x x f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数， ()()f x f x ∴-=-31313131x x x x m m ----∴=-⋅+⋅+3131331x x x x m m --∴=+⋅+，()(1)310x a ∴--=，等式()(1)310x m --=对于任意的x ∈R 均恒成立，得1m =，则31()31x x f x -=+， 即2()131x f x =-+， 设12,x x 为任意两个实数，且12x x <，()()()()()121212122332231313131x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭， 因为12x x <，则1233x x ≤，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，因此函数()f x 在R 上是增函数;（2）由不等式()21cos sin 32f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立， 则()2cos sin 3(1)f x a x f --≤.由（1）知，函数()f x 在R 上是增函数， 则2cos sin 31x a x --≤，即2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立.令sin x t =，[1,1]t ∈-，则222()33024a a g t t at t ⎛⎫=++=++-≥ ⎪⎝⎭在[1,1]-上恒成立. ①当12a ->时，即2a <-，可知min ()(1)40g t g a ==+≥，即4a ≥-， 所以42a -≤<-； ②当112a -≤-≤时，即22a -≤≤，可知2min ()3024a a g t g ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭.即a -≤≤22a -≤≤； ③当12a -<-时，即2a >，可知min ()(1)40g t g a =-=-≥，即4a ≤， 所以24a <≤，综上，当44a -≤≤时，不等式()21cos sin 32f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立. 【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题.24．（1）99；（2）3-.【解析】【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；（2）直接利用对数运算性质即可得出.【详解】（1）原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 7351001442=++-- 99=. （2）原式323log 313=--- 31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.25．（1）()1,+∞；（2）12t t >【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性得到答案.（2）计算得到2a =，再计算()2110x t ->=，22log 0t x =<，得到答案.【详解】（1）函数()224x x a f x =-+的对称轴为1x =， 函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性，故1m >，即()1,m ∈+∞.（2）()()11f g =，即24log 10a a -+==，故2a =.当()0,1x ∈时，()()212212110x x x t f x -+=-=>=；()22log 0t g x x ==<. 故12t t >【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.26．（1）()g x 为奇函数；（2）20【解析】【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值.【详解】 （1）12()12xx g x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈.因为11112212()()112212x x x x x x g x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=. 所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.。

2020-2021学年陕西师大附中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.复数的虚部是( )A. 1B. −1C. 2D.2.若集合M ={(x,y)|3x −y =0}，N ={(x,y)|x 2+y 2=0}，则( )A. M ∩N =MB. M ∪N =MC. M ∪N =ND. M ∩N =⌀3.为了普及垃圾分类的知识，某宣传小组到小区内进行宣传．该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张．为了检验宣传成果，该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是( )A. C 4010C 10020B.C 4010⋅C 6010C 10020C. C 2010(25)10(35)10 D. C 2010(25)10 4. 若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x =2√2a −2b x有不等实数根的概率为( )A. 14B. 12C. 34D. 255.已知数列{a n }满足a n+2−a n =2，a 1=1，a 2=2，则{a n }的前20项和为( )A. 120B. 210C. 400D. 4406.(x −1√x)8的二项展开式中，x 2的系数是( ) A. 70B. −70C. 28D. −287.半径为R 的球的内接正四棱柱的侧面积的最大值是( )A. 8√2R 2B. 8R 2C. 4√2R 2D. 4R 28.三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是边长为2√3的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若球O 与三棱柱ABC −A 1B 1C 1各侧面、底面均相切，则侧棱AA 1的长为( )A. 1B. √3C. 2D. 2√39.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x =−4，则该椭圆的方程为( )A.B.C.D.10. 已知F 1，F 2是双曲线E 的左、右焦点，点P 在E 上，∠F 1PF 2=π6且(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则E的离心率e =( )A. √3−1B. √3+1C. √3−12D. √3+1211. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0x 2−2x +1,x >0，则方程f 2(x)−3f(x)+2=0的根的个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 在观察点C 处测得C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，∠ACB =120°，则A ，B 间的距离为( )A. 4kmB. √19kmC. 7kmD. 8km二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)在如图所示的堑堵ABC −A 1B 1C 1中，BB 1=BC =AB =2且有鳖臑C 1−ABB 1和鳖臑C 1−ABC ，现将鳖臑C 1−ABC 的一个面ABC 1沿BC 1翻折180°，使A 点翻折到E 点，求形成的新三棱锥C 1−AB 1E 的外接球的表面积是______．14. 若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q 的值为______． 15. 在△ABC 中，B =，AC =1，AB =，则BC 的长为 _____ ．16. 如图所示，在▱ABCD 中，已知AB =3，AD =2，∠BAD =120°.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在△ABC 中，已知tanAtanB =43， (1)求tan C 的取值范围；(2)若△ABC 边AB 上的高CD =2.求△ABC 面积S 的最小值．18.出于“健康、养生”的生活理念.某地的M炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.M炊具有限公司下辖甲、乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为[50,100])划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元．(1)记X为生产一口T型双耳平底锅和一口L型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X的数学期望：(2)M炊具有限公司生产的T和L型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中[70,80)为三级品，[80,90)为二级品，[90,100]为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由．19.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC，E为棱BB1上一点．(Ⅰ)证明：AC⊥D1E；(Ⅱ)是否存在一点E，使得B1D//平面AEC？若存在，求B1E的值；若不存在，BE说明理由．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上任意一点，当∠F 1MF 2=60°时，△F 1MF 2的面积为√3，且2b =√3a. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点N(2,3)与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =485，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=x(|x|+2a)，g(x)=x 2+a x+1，a ∈[−2,2]．(Ⅰ)当a =−1时，求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若∀x 1∈[−1,1]，∃唯一的x 2∈[0,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，求实数a 的取值范围．22. 如图，在极坐标系中，点O 为极点，已知M(4√3,π6)，以OM 为直径作圆C.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 为圆C 左上半圆弧OM ⏜的三等分点，求P 点的极坐标．23. 选修4−5：不等式选讲 设f(x)=2|x|−|x +3|． (1)求不等式f(x)≤7的解集S ；(2)若关于x 的不等式f(x)+|2t −3|≤0有解，求参数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：因为，所以虚部为2．考点：复数的定义、复数的运算．2.答案：B解析：解：∵集合M ={(x,y)|3x −y =0}，N ={(x,y)|x 2+y 2=0}={(0,0)}， ∴M ∩N ={(x,y)|{3x −y =0x 2+y 2=0}={(0,0)}=N ，M ∪N =M ， 故选：B ．利用交集、交集的定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张． 该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，基本事件总数n =C 10020，这20张中恰有10张可回收垃圾包含的基本事件个数m =C 4010⋅C 6010，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是p =m n=C 4010⋅C 6010C 10020．故选：B ．基本事件总数n =C 10020，这20张中恰有10张可回收垃圾包含的基本事件个数m =C 4010⋅C 6010，由此能求出这20张中恰有10张可回收垃圾的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：∵方程x =2√2a −2b x有不等实数根∴方程x 2−2√2ax +2b =0有不等实数根 ∴△=8a −8b >0 ∴a >b。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 【答案】C【解析】因为复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，所以2230,310x x x x ⎧+-==-⎨-≠⎩解得，因此选C 。

2．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．21-B ．23-C ．21D ．23【答案】A【解析】因为1598a a a π++=，所以55838,3a a ππ==即，所以285161cos()cos 2coscos 332a a a ππ+===-=-，因此选A 。

3．若椭圆22221(0)x y ab a b +=>>的离心率为32，则双曲线12222=-bx a y 的离心率为A ．3B ．5C ．7 D ．2【答案】B【解析】因为若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，所以22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2214b a =，所以双曲线12222=-b x a y 的离心率为222551,42b e e a =+==所以。

4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像 A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位【答案】A【解析】法一：由图像易知：721,4,2123A T T ππππω⎛⎫==-===⎪⎝⎭所以，所以()sin(2)f x x ϕ=+，把点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入， 得7sin(2)1,,1223πππϕϕϕ⨯+=-<=因为所以，所以()sin(2)3f x x π=+，把函数 ()sin(2)3f x x π=+向右平移6π个长度单位得到函数sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，因此选A 。

陕西省师大附中高三数学上学期第一次模拟考试试题 文新人教A 版第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 2．已知,αβ为不重合的两个平面，直线m 在平面α内，则“m β⊥”是“αβ⊥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知集合{12}A x x =-<，{}B x x m =≥，且A B A =，则实数m 的取值范围是A ．3m ≥B ．3m ≤C ．1m ≤-D ．1m ≥-4．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．21-B ．23-C ．21D ．235．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，则双曲线12222=-bx a y 的离心率为A ．3B ．5C ．7 D ．26．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像， 则只需将()f x 的图像 A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位7．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为 A.2B.6C.2或2-D.6或6-8.已知数列{}n a 中，11=a ，n a a n n +=+1，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项的值， 则判断框内的条件是 A ．8≤nB ．9≤nC ．10≤nD ．11≤n 9.22a <<，则函数22()2f x a x x =--的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2013)f =A ．2B ．3C ．4D ．0 第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上. 11．曲线()y f x =在点(5,(5))P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=____.12.设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是_____________.13.223＋223338＋3384415＋4415….8at＋8a t ,a t 均为正实数），类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t +＝ .14.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是 360的菱形，俯视图为正 方形，那么这个几何体的表面积为____________.15.在ABC ∆中，D 为BC 中点，5,3,,,AB AC AB AD AC ==成等比数列，则ABC ∆的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题12分）已知函2()2sin()cos()23()3222f x x x x ααα=++++为偶函数， 且[]πα,0∈. （Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）若x 为三角形ABC 的一个内角，求满足()1f x =的x 的值.17.（本小题12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AC BC ⊥,1BC BB =,D 为AB 的中点.(1) 求证：⊥1BC 平面C AB 1； (2) 求证：1BC ∥平面CD A 1.18．（本小题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设1(1)n nb n a =+⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本题满分12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2,AD PA CD ===，E 、F 分别是AB 、PD 的中点.（Ⅰ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求三棱锥P-EFC 的体积．20．（本小题满分13分）设函数2()2xk f x e x x =--. （Ⅰ）若0k =，求()f x 的最小值； （Ⅱ）若1k =，讨论函数()f x 的单调性.21．（本小题共14分）A11E PDCBAF已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程 为360x y --=,(20)M ，满足=,点(11)T -，在AC 所在直线上且0=⋅． （Ⅰ）求ABC ∆外接圆的方程；（Ⅱ）一动圆过点(20)N -，，且与ABC ∆的 外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹Γ的方程；（Ⅲ）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的,P Q 两点，满足6OP OQ ⋅>，求k 的取值范围．数学一模（文科）参考答案 一、选择题：二、填空题:11．三、解答题：16．解：（Ⅰ）2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++- sin(2))2sin(2)3x x x πααα=++=++由()f x 为偶函数得,32k k Z ππαπ+=+∈,6k k Z παπ∴=+∈ 又 [0,]6παπα∈∴=（Ⅱ）由()1f x = 得 1cos 22x =,又 x 为三角形内角，(0,)x π∈ 566x x ππ∴==或17.解：（1）因为在直三棱柱111C B A ABC -中，所以⊥1CC 平面ABC ,因为AC ⊂平面ABC ，所以ACCC ⊥1， 又BC AC ⊥，C BC CC = 1,所以⊥AC 平面CB C B 11, 因为111B C B C C B ⊂平面，所以ACBC ⊥1 又因为1B C B B =，所以C C BB 11是正方形，所以C B BC 11⊥， B ACDA 1C 1G又C AC C B = 1，所以⊥1BC 平面C AB1， (2)在正方形CA C A 11中，设G C A AC =11 ，则G 为1AC 中点,D 为AB 的中点，结DG ,在1ABC ∆中，1BC ∥DG ，因为DG ⊂平面CD A 1，1BC ⊄平面CD A 1，所以1BC ∥平面CD A 1，18.解：（Ⅰ）由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①-②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1,∴n a n =.(*N n ∈)(Ⅱ) 解：由（1）可知 111(1)1n b n n n n ==-+⋅+11111(1)()()22311n nT n n n ∴=-+-++-=++19. 解（Ⅰ）2,PA AD AF PD ==∴⊥PA ABCD CD ABCD ∴⊥⊆平面，平面,PA CDAD CD PAAD A CD PAD AF PAD AF CD PD CD D AF PCD GE PCD GE PEC PCE PCD ∴⊥⊥=∴⊥⊆∴⊥=∴⊥∴⊥⊆∴⊥，平面，平面，，平面，平面，平面，平面平面；（Ⅱ）由（2）知GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高，//12122133PCF PCF GF CD GF PDEG AF GF CD S PD GF PEFC V S EG ∆∆⊥=====⋅==⋅=又，所以得四面体的体积20．解：（Ⅰ）0k =时，()xf x e x =-，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加 故()f x 的最小值为(0)1f = （Ⅱ）若1k =，则21()2x f x e x x =--，定义域为R . '()1x f x e x ∴=--，()1x f x e ''=-由()0 f x ''≥得0x ≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增， 由()0 f x ''<得0x <，所以()f x '在(),0-∞上递减， 所以，min ()(0)0f x f ''==，故()0f x '≥. 所以()f x 在R 上递增.21．解：（Ⅰ） 0=⋅AT AB ∴⊥,从而直线AC 的斜率为3-． 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=． 由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，得点A 的坐标为(02)-，，(2,0)BM MCM Rt ABC =∴∆为外接圆的圆心又r AM === 所以ABC ∆外接圆的方程为: 22(2)8x y -+=． （Ⅱ）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N ，且与ABC ∆外接圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为2c =的双曲线的左支．从而动圆圆心的轨迹方程Γ为221(0)22x y x -=<． (Ⅲ)PQ 直线方程为：2y kx =-,设1122(,),(,)P x y Q x y由222(0)2x y x y kx ⎧-=<⎨=-⎩得22(1)460(0)k x kx x -+-=< 222122122212122101624(1)04016012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ⎧⎪⎪-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪∴+=<⎨-⎪⎪=>⎪-⎪+⎪⋅=+=>⎪-⎩解得：1k <<-故k的取值范围为(1)-。

一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3 D 4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．165．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．设函数f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对于任意正数x,y 有f (xy )=f (x )+f (y )，已知f (12)=−1，若一个各项均为正数的数列{a n }满足f (S n )=f (a n )+f (a n +1)−1(n ∈N ∗)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }中第18项a 18=（ ） A ．136B ．9C ．18D ．368．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．139．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +10．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n11．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-312．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14± D ．1413．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2314．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S15．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题16．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．17．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 18．已知数列{ a n }的前n 项和S n =n 2+n(n ∈N ∗)，则limn→∞na n S n=_______．19．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．20．点D 在ABC 的边AC 上，且3CD AD =，BD =，sin23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.21．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．22．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 23．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 24．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．25．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.三、解答题26．在ABC 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC 的面积．27．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 28．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =；（2）若6A π=，ABC ，求ABC 的周长．29．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC 面积的最大值．30．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．B4．C5．A6．A7．C8．D9．A10．B11．D12．A13．A14．D15．D二、填空题16．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC构成其中作出直线显然点A到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区17．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是18．2【解析】【分析】【详解】由Sn＝n2+n（n∈n*）当n＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2-（n﹣1）＝2n当n＝1时a1＝2×1＝2成立∵an＝2n19．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以120．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】21．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公22．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析23．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误24．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为25．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<<所以3A π=故选B【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-，01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+ 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈ 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

2020-2021陕西师范大学附属中学分校高中必修三数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（）A．40（8）B．45（8）C．50（8）D．55（8）2．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A．85B．84C．83D．813．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）A．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B．该校只有50名学生不喜欢阅读C．该校只有50名学生喜欢阅读D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸4．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A．45B．47C．48D．635．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（）A．没有白球B．2个白球C．红、黑球各1个D．至少有1个红球6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A ．1B ．-1C ．0D ．-2 7．在R 上定义运算：A ()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 8．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2B ．3C ．4D ．59．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <10．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41311．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③12．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为______． 14．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．15．某程序框图如图所示，若输入的4t =，则输出的k =______．16．我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，问一开始输入的x =______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．17．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________18．某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40100]，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为___．19．投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是2的倍数的概率是_________，20．已知AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则AOC ∆为锐角三角形的概率_________．三、解答题21．为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元，具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定，可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召，通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.（1）若该高中学校有2000名在校学生，编号分别为0001，0002，0003，…，2000，请用系统抽样的方法，设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.（写出必要的步骤） （2）该校根据助学金政策将助学金分为3档，1档每年3000元，2档每年2000元，3档每年1000元，某班级共评定出3个1档，2个2档，1个3档，若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想，求这2名同学不在同一档的概率.22．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．23．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[]185,195（单位:cm ）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[)145,155和[]185,195（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm 的概率．24．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.P A的估计值；（1）记事件A：“全市家庭月均用水量不低于6t”，求()（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.25．某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].（1）求直方图中x的值；（2）现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人，若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查，求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.26．在最强大脑的舞台上，为了与国际X战队PK，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A1,A2,A3，三名擅长数独的选手B1,B2,B3，两名擅长魔方的选手C1,C2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.(Ⅰ)求A1被选中的概率；(Ⅱ)求A1,B1不全被选中的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案.【详解】∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案选D．【点睛】本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可. 2．A解析：A【解析】【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【详解】由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：1++++=．(7581858995)855故选：A．【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．A解析：A【解析】【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.【详解】根据频率分布直方图可列下表：故选A.【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.4．A解析：A【解析】【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可.【详解】各数据为：122031323445454547474850506163，最中间的数为：45，所以，中位数为45．本题选择A选项.【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C【解析】分析：写出从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案详解：从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共五种情况则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是红球，黑球各一个包括1红1白，1黑1白两种情况．故选C点睛：本题主要考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题，只要理解其概念，结合本题列举出所有情况即可得出结果．6．B解析：B【解析】【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可.【详解】结合流程图可知程序运行过程如下：首先初始化数据：1,2i S ==，此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S =-=-=+=； 此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=； 此时满足5i >，输出1S =-.本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题. 7．C解析：C【解析】【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】 Q A ()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦ Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<< 故选：C【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键8．B解析：B【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==.循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==；第二次：121,1,3S a k =-+==-=；第三次：132,1,4S a k =-=-==；第四次：242,1,5S a k =-+==-=；第五次：253,1,6S a k =-=-==；第六次：363,1,7S a k =-+==-=，结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.9．C解析：C【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;a=4a+1=5,k=k+1=3;a=4a+1=21,k=k+1=4;a=4a+1=85,k=k+1=5;a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.10．C解析：C【解析】【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEFABCS P S =V V ，即可得解. 【详解】由题意易知120ADB ∠=o ，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABC S FD P S AB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭V V .故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，①、恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；③、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；④、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件. 故选C.12．A解析：A 【解析】 【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解 【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况,则概率为51102P ==, 故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题二、填空题13．【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球白球若从袋中任意摸出2个球共有10种没有得到白球的概率为设白球个数为x 黑球个数为5-x 那么可知白球共有3个黑球有2个因此可知填写为 解析：310【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为14．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为1解析：1 【解析】 【分析】设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())69101010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯ ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，由此能求出这组数据的标准差． 【详解】现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ， 则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，∴这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())691011010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯= ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，∴这组数据的标准差1S =．故答案为1． 【点睛】本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【解析】【分析】根据题意执行循环结构的程序框图逐次计算即可得到答案【详解】由题意执行程序框图：可得；第一循环不满足条件；第二次循环不满足条件；第三次循环不满足条件；第四次循环不满足条件；第五次循环不解析：【解析】 【分析】根据题意，执行循环结构的程序框图，逐次计算，即可得到答案． 【详解】由题意执行程序框图：可得0S =， 8k =； 第一循环，不满足条件，8S =，7k =； 第二次循环，不满足条件，1S =，6k =； 第三次循环，不满足条件，5S =，5k =； 第四次循环，不满足条件0S =，4k =； 第五次循环，不满足条件4S =，3k =， 第六次循环，满足条件，输出3k =． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，逐次计算，注意把握判定条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件输出令即可得结果【详解】第一次输入执行循环体执行循环体执行循环体输出的值为0解得：故答案为【点睛】本题主要考查程 解析：78【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件输出87x -，令870x -=即可得结果. 【详解】第一次输入x x =，1i =执行循环体，21x x =-，2i =，执行循环体，()221143x x x =--=-，3i =， 执行循环体，()243187x x x =--=-，43i =>， 输出87x -的值为0，解得：78x =， 故答案为78． 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析：18 【解析】 【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，即可解得. 【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，解得18x =. 【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.18．30【解析】由题意可得：则成绩不低于分的人数为人解析：30 【解析】 由题意可得：()400.0150.0300.0250.0051030⨯+++⨯=则成绩不低于60分的人数为30人19．【解析】分析：先确定总事件数再确定向上的点数是2的倍数的事件数最后根据古典概型概率公式求结果详解：因为投掷一枚均匀的骰子向上的点数有6种情况向上的点数是2的倍数的事件数为3所以概率为点睛：古典概型中 解析：12【解析】分析：先确定总事件数，再确定向上的点数是2的倍数的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为投掷一枚均匀的骰子，向上的点数有6种情况，向上的点数是2的倍数的事件数为3，所以概率为31=62. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20．6【解析】如图过点作垂线垂足为在中故；过点作垂线与因则结合图形可知：当点位于线段上时为锐角三角形所以由几何概型的计算公式可得其概率应填答案点睛：本题的涉及到的知识点是几何概型的计算问题解答时充分借助解析：6 【解析】如图，过点A 作OB 垂线，垂足为H ，在AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，故1OH =；过点A 作OA 垂线，与OB 交于点D ，因60AOB ∠=o ，则4,3OD DH ==，结合图形可知：当点C 位于线段DH 上时，AOC ∆为锐角三角形，所以3,5d HD D OB ====，由几何概型的计算公式可得其概率30.65d P D ===，应填答案0.6．点睛：本题的涉及到的知识点是几何概型的计算问题．解答时充分借助题设条件，运用解直角三角形的有关知识，分别算出几何概型中的3,5d HD D OB ====，然后运用几何概型的计算公式求出其概率为30.65d P D ===． 三、解答题21．（1）见解析；（2）()1115P A = 【解析】【分析】（1）第一步编号分组，第二步抽样；（2）先用枚举法确定从6名学生选2名的总事件数，再从中确定2名同学不在同一档的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）第一步：分组.将2000名学生分成50组，每组40人，编号是0001～0040的为第1组，编号为0041～0080的为第2组，…，编号为1961～2000为第50组；第二步：抽样.在第1组中用简单随机抽样方法（抓阄）抽取一个编号为m 的学生，则在第k 组抽取编号为()401k m -+的学生.每组抽取一人，共计抽取50名学生.（2）记该班3个1档的学生为1A ，2A ，3A ，2个2档的学生为1B ，2B ，1个3档的学生为1C ，从该班获得助学金的同学中选择2名同学不在同一档为事件A .基本事件：12A A ，13A A ，11A B ，11A B ，11A C ，23A A ，21A B ，22A B ，21A C ，31A B ，32A B ，31A C ，12B B ，11B C ，21B C ，共计15个.事件A 包含的基本事件共有11个，则()1115P A = 【点睛】本题考查系统抽样以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．（1）0.4 （2）15人 （3）3∶2 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，用频率估计概率值； （2）计算样本中分数小于50的频率和频数，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； （3）由题意计算样本中分数不小于70的学生人数以及男生、女生人数，求男生和女生人数的比例． 【详解】解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4．所以从总体的300名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4． （2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40，50)内的人数为100×0.1－5＝5． 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为530015100⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=．所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理应用问题，属于中档题． 23．（1）4（2）171.5?cm （3）25【解析】试题分析：（1）根据频率直方图的总面积为1，可求得a 0.010=,n=N*高*组距400.01104⨯⨯=．（2）平均数为，每个区间的中点值与频率乘积和．（3）学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ．所以，身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人．采用枚举可得总共15个基本事件，满足的有6个．()62P M 155==． 试题解析：（Ⅰ）根据题意， ()0.005a 0.0200.0250.040101++++⨯=. 解得 a 0.010=．所以样本中学生身高在[]185,195内（单位:cm ）的人数为400.01104⨯⨯=． （Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则x 1500.051600.21700.41800.251900.1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 7.532684519171.5=++++= ．所以，该校男生的平均身高为171.5cm ．（Ⅲ）样本中男生身高在[)145,155内的人有400.005102⨯⨯=（个），记这两人为A,B ．由（Ⅰ）可知，学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ． 所以，身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人．从这6人中任意选取2人，有b,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB ， 共15种情况．设所选两人的身高都不低于185cm 为事件M ，事件M 包括ab,ac,ad,bc,bd,cd ，共6种情况．所以，所选两人的身高都不低于185cm 的概率为()62P M 155==． 24．（1）0.3；（2）4.92 t .；（3）3.18t 【解析】 【分析】（1）通过频率分布直方图求得[]6,10的频率，由此求得()P A 的估计值.（2）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.（3）通过频率分布直方图，计算出累计频率为0.25的位置，从而求得全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值. 【详解】（1）由直方图可知()P A 的估计值为()(0.090.06)20.3P A =+⨯=.（2）因为0.06210.11230.18250.09270.0629 4.92⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t .（3）频率分布直方图中，用水量低于2 t 的频率为0.0620.12⨯=. 用水量低于4 t 的频率为0.0620.1120.34⨯+⨯=. 故全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为0.250.1222 3.18()0.22t -+⨯≈.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频率、平均数、百分位数，属于基础题. 25．（1）0.0125；（2）25. 【解析】 【分析】（1）利用直方图矩形的面积的和为1，直接求解x 即可.（2）求出基本事件的总数以及符合条件的基本事件的个数，即可求解. 【详解】（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1. 所以 x ＝0.0125.（2）由题意知：[0，20）有2人，设为1，2，[20，40）有4人，设为a ，b ，c ，d ； 则基本事件有：12，1a ，1b ，1c ，1d ，2a ，2b ，2c ，2d ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种 抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的包括：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种.所以抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率P 62155==. 【点睛】本题考查了直方图，考查古典概率的求值，是一道中档题. 26．（Ⅰ）13（Ⅱ） 89【解析】分析：(Ⅰ)利用古典概型概率公式求出A 1被选中的概率； (Ⅱ)利用对立事件概率公式求出求A 1,B 1不全被选中的概率.详解：(Ⅰ)从擅长速算、数独的6名选手中各选出1名与魔方选手C 1组成中国战队的一切可能的结果组成集合Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}，由9个基本事件组成．由题知每一个基本事件被抽取的机会均等，用M表示“A1被选中”，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C1)}，因而.(Ⅱ)用N表示“A1、B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1、B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1) }，∴，从而点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.。

2020-2021陕西师范大学附属中学分校高中必修一数学上期中模拟试题带答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．24．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，5．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U6．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．7．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,49．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞11．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D 212．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<< 时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2 B ．1(,1)2 C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞二、填空题13．下列各式：（1）122[(2)]2--=　（2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x 21mx mx ++的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤；（5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上）14．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.15．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．18．函数的定义域为______________．19．已知()21f x x -=，则()f x = ____.20．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）三、解答题21．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.22．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 23．已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.24．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 25．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．26．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k 剟． （1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且11 4411 221143204411431022f e ef e e⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=->⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．C解析：C【解析】因为对称轴2[0,1]x=∉，所以min max()(0)2()(1)31f x f a f x f a===-∴==+=选C.4．D解析：D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x+<成立，一定会有2021xx x<⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x的图像画出来，观察图像可知会有2021xx x<⎧⎨<+⎩，解得0x<，所以满足()()12f x f x+<的x的取值范围是()0-∞，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.5．A解析：A【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．6．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.11．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题13．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】 （1）(1122212---⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以错误； 所以正确的有（3）。