陕西师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期数学大练习(一)

陕西师大附中2020学年度第一学期期中考试高三年级数学（理）试题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.设全集U =R ,集合{|1}M x x =>,2{|1}P x x =>,则下列关系中正确的是( )A.M P =B.M P ⊂≠C.P M ⊂≠D.()U M P =∅I ð2.命题“对任意的x ∈R ，都有2240x x -+≤”的否定为( )A.存在x ∈R ，使2240x x -+≥B.对任意的x ∈R ，都有2240x x -+> C.存在x ∈R ,使2240x x -+> D.存在x ∉R ,使2240x x -+> 3.已知向量(,)a b =m ,向量⊥m n ,且||||=m n ,则n 的坐标可以为( ) A.(,)a b - B.(,)a b - C.(,)b a -- D.(,)b a - 4.方程lg 0x x +=的根所在的区间是( )A.1(0,)4B.11(,)42C.31(,)24D.3(,1)45．“2a b c +>”的一个充分条件是( )A.a c >且b c >B.a c >且b c <C.a c >或b c >D.a c >或b c < 6.由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形面积为( ) A.12B.14C.13D.7127.已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是( )A.)+∞B.)+∞C.[3,)+∞D.(3,)+∞8.已知(cos 23,cos 67)AB =︒︒u u u r ,(2cos 68,2cos 22)BC =︒︒u u u r,则ABC ∆的面积为( )C.2 D.39.对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，如此 反复操作，则第2020次操作后得到的数是 ( )2-3π712πO xyA.25B.250C.55D.133 10.若函数()(01)xxf x ka aa a -=->≠且在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是( )A. B. C. D.二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知函数22log (2),0(),026x x f x x x x +>⎧⎪=⎨≤⎪+⎩,()2f a =，则a =_______.12.函数()sin()f x A x ωϕ=+，（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>） 的部分图像如图，则(0)f =_______.13.如果实数,x y 满足条件202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩,那么2z x y =-的最小值为_______.14.函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点M ,且点M 在直线y mx n =+ 上，其中0mn >，则11m n+的最小值为_______. 15.一科研人员研究A 、B 两种菌.已知在任何时刻A 、B 两种菌的个数乘积为定值1010.为便于研究,科研人员用lg A A P n =来记录A 菌个数的资料,其中A n 为A菌的个数,则下列说法： ①1A P ≥；②若今天的A P 值比昨天的A P 值增加1，则今天 的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10个；③假设科研人员将B 菌的个数控制为5 万个,则此时5 5.5A P <<.其中正确的序号为_______.陕西师大附中2020学年度第一学期期中考试高三年级数学（理）答题纸一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.______________. 12.______________. 13.______________. 14.______________. 15.______________. 三、解答题（本题共6小题，共75分） 16.(本题满分12分)已知集合{|42}A x x =-<<-，{|11,0}B x m x m m =--<<->.求分别满足下列条件的m 的取值范围. (Ⅰ)A B ⊆； (Ⅱ)A B =∅I .17.(本题满分12分)已知tan()24πα+=,1tan 2β=. (Ⅰ)求tan α值； (Ⅱ)求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值.18.(本题满分12分)已知函数21,0()21,1x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩，满足29()8f c =．(Ⅰ)求常数c 的值； (Ⅱ)解不等式()18f x >+．19.(本题满分12分)某单位在抗雪救灾中,需要在A 、B 两地之间架设高压电线,测量人员在相距 6000米的C 、D 两地(A 、B 、C 、D 在同一平面上),测得45ACD ∠=︒,75ADC ∠=︒,30BCD ∠=︒,15BDC ∠=︒（如图）,假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍,问施工单位至少应该准备多长的电线？(精确到小数点后1位；参考数据6.4807≈)20.(本题满分13分)已知不等式230x x a -+<的解集为(1,)b . (Ⅰ)求实数a 、b 的值；(Ⅱ)若函数2log (31)(0,1)c y bx x a c c =-++->≠在区间23[,]34的值恒小于1，求c 的取值范围.21.(本题满分14分)ο30ο7515︒DCB45︒A已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+. (Ⅰ)求函数()F x 的单调区间；(Ⅱ)若以函数(),(0,3]y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立,求实数a 的最小值；(Ⅲ)是否存在实数m ,使得函数22()11ay g m x =+-+的图像与函数2(1)y f x =+的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在,说明理由.陕西师大附中2020学年度第一学期期中考试高三年级数学（理）答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCDBAADCDC二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11._______2±_______. 12._____6_______. 13.______6-________. 14._______ 322+_______. 15._______③_______. 三、解答题（本题共6小题，共75分） 16.(本题满分12分)已知集合{|42}A x x =-<<-，{|11,0}B x m x m m =--<<->.求分别满足下列条件的m 的取值范围. (Ⅰ)A B ⊆； (Ⅱ)A B =∅I . 解：(Ⅰ)如图16-1可知，14312m A B m m --≤-⎧⊆⇔⇔≥⎨-≥-⎩，∴ m 的取值范围为[3,)+∞.………………………………………………6分 (Ⅱ)如图16-2可知,121A B m m =∅⇔--≥-⇔≤I ,∴ m 的取值范围为(,1]-∞.………………………………………………12分17.(本题满分12分) 已知tan()24πα+=,1tan 2β=. (Ⅰ)求tan α值；16-116-2(Ⅱ)求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值.解:(Ⅰ)tan()tan21144tan tan[()]441231tan()tan 44ππαππααππα+--=+-===+++. ………6分 (Ⅱ)sin()2sin cos sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos()2sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-=+++-cos sin sin cos sin()sin sin cos cos cos()αβαββααβαβαβ--==+-tan()βα=-11tan tan 12311tan tan 716βααβ--===++.………………………………………………12分 18.(本题满分12分)已知函数21,0()21,1x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩，满足29()8f c =．(Ⅰ)求常数c 的值； (Ⅱ)解不等式()18f x >+． 解：(Ⅰ)01c <<0⇒<2c c <；由29()8f c =，即3918c +=，∴ 12c =.……4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得4111,22()211.x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<，……………………8分 当112x ≤<时，解得1528x ≤<，∴()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．………………………………12分 19.(本题满分12分)某单位在抗雪救灾中,需要在A 、B 两地之间架设高压电线,测量人员在相距 6000米的C 、D 两地(A 、B 、C 、D 在同一平面上),测得45ACD ∠=︒,75ADC ∠=︒,30BCD ∠=︒,15BDC ∠=︒（如图）,假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍,问施工单位至少应该准备多长的电线？(精确到小数点后1位；参考数据6.4807≈) 解:在ACD ∆中,18060CAD ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒6000CD =,45ACD ∠=︒,根据正弦定理sin 45sin 60CD AD ︒==︒,……4分在BCD ∆中,180135CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒6000CD =,30BCD ∠=︒,根据正弦定理sin 30sin1352CD BD ︒==︒,……8分 又在ABD ∆中,90ADB ADC BDC ∠=∠+∠=︒.根据勾股定理有AB ===实际所需电线长度约为1.27776.8AB ≈(米). ………………………12分 20.(本题满分13分)已知不等式230x x a -+<的解集为(1,)b . (Ⅰ)求实数,a b 的值；(Ⅱ)若函数2log (31)(0,1)c y bx x a c c =-++->≠在区间23[,]34的值恒小于1，求c 的取值范围. 解：(Ⅰ)2(1)1302,3202f a a x x b =-+=⇒=-+=⇒=，∴ 2a b ==.………4分ο30ο7515︒DCB45︒A(Ⅱ)22233111,2312(),344898x u x x x ⎡⎤⎡⎤∈=-+-=--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，，…………………8分 当1c >时，恒成立； 当01c <<时，只需11log 1099cc <⇔<<； ∴ c 的取值范围是 ()10,1,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U .……………………………………13分21.(本题满分14分) 已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+. (Ⅰ)求函数()F x 的单调区间；(Ⅱ)若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立,求实数a 的最小值；(Ⅲ)是否存在实数m ,使得函数22()11ay g m x =+-+的图像与函数2(1)y f x =+的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在,说明理由. 解:(Ⅰ)()()()ln (0)a F x f x g x x x x =+=+>,221()(0)a x aF x x x x x-'=-=>. ∵ 0a >,由()0(,)F x x a '>⇒∈+∞,∴ ()F x 在(,)a +∞上单调递增； 由()0(0,)F x x a '<⇒∈，∴ ()F x 在()0,a 上单调递减.∴ ()F x 的单调递减区间为(0,)a ,单调递增区间为(,)a +∞.……………4分 (Ⅱ)()2()03x a F x x x -'=<≤,()()000201'032x a k F x x x -==≤<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时,20012x x -+取得最大值12,∴ 12a ≥,∴ min 12a =.……………8分 (Ⅲ)若222111122a y g m x m x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭的图象与()()221ln 1y f x x =+=+的图象恰有四个不同得交点，即()2211ln 122x m x +-=+有四个不同的根,亦即()2211ln 122m x x =+-+有四个不同的根.令()()2211ln 122G x x x =+-+,则()()()32221122'111x x x x x x x G x x x x x -+---=-==+++, 当x 变化时,()'G x 、()G x 的变化情况如下表: x (,1)-∞-(1,0)- (0,1) ()1,+∞ ()'G x ＋ － ＋ － ()G xZ ] Z ] 由表格知:1()(0)2G x G ==极小值,()()()11ln 20G x G G ==-=>极大值. 又∵ ()()1122ln5222G G =-=-+<可知,当1,ln 22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()y G x =与y m = 恰有四个不同的交点.∴当1,ln 22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 222111122a y g m x m x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭的图象 与()()221ln 1y f x x =+=+的图象恰有四个不同的交点. ………………14分。

2020-2021陕西师范大学附属中学分校高中必修一数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>3．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞4．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．5．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]7．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011D ．20228．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10939．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,611．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =I （ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 2．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“22a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：x ∀∈R ，0x x +>；命题q ：0x ∃>，x ，则（ ） A ．p 和q 都是真命题B ．p 和q ⌝都是真命题C ．p ⌝和q 都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞5．函数()2241x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．6．若m 为函数()()()2f x m x m n x =--（其中0m ≠）的极小值点，则（ ） A ．m n > B ．2mn m > C ．m n < D ．2mn m < 7．已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一的零点，则a 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．13D ．13- 8．设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<二、多选题9．氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N 随时间t (单位:年)的衰变规律满足12.4302t N N -=⋅，其中0N 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:lg 20.301≈) A ．2012.43log N t N = B ．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失C ．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的132D ．若x 年后，样本中氚元素的含量为00.4N ，则16x >10．已知函数()3221f x x x x =-++，下列说法正确的是（ ）A ．2222333f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．方程()32f x =有3个解C ．当[]0,2x ∈时，()[]1,3f x ∈D ．曲线()y f x =有且仅有一条过点()0,1的切线11．已知定义在R 上不为常数的函数()f x 满足(2)()()0f x f x y f x y ++-=，则（ ）A ．(0)1f =-B ．3(3)[(1)]f f =C ．()()2f x f x -=D ．()()2f x f x +-≤-三、填空题12．已知函数()5()33x x f x x m -=⋅-是偶函数，则m =．13．已知1a >且8115log log 42a a -=-，则a =． 14．若函数()(ln 2)(ln )f x x ax x =--在(0,e)单调递增，则a 的取值范围为．四、解答题15．已知函数()2ln 2f x x x ax =+++在点()()22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．(1)求a ；(2)求()f x 的单调区间和极值．16．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)解不等式()21(4)0f a f ++->17．已知函数()()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+． 18．已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x=++-- (1)若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19．若函数()f x 在区间I 上有定义，且x I ∀∈，()f x I ∈，则称I 是()f x 的一个“封闭区间”．(1)已知函数()sin f x x x =+，区间[]()0,0I r r =>且()f x 的一个“封闭区间”，求r 的取值集合；(2)已知函数()()33ln 14g x x x =++，设集合(){}P x g x x ==|． （i ）求集合P 中元素的个数；（ii ）用b a -表示区间[](),a b a b <的长度，设m 为集合P 中的最大元素．证明：存在唯一长度为m 的闭区间D ，使得D 是()g x 的一个“封闭区间”．。

2019-2020学年陕西师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.若1i=0a +，i 为虚数单位，则a =（ ） A. 1- B. 0C. iD. i -【答案】C 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由1+ai ＝0，得ai ＝﹣1，即a 21ii i i=-=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.已知集合2{|40}A x x =-<，{}2log 0B x x =，则A B ⋃= （ ） A. ()1,2B. ()2,2-C. ()2,+∞D.()2,-+∞【答案】D 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A B U ．【详解】解：Q 集合2{|40}{|22}A x x x x =-<=-<<，{}{}2|log 0|1B x x x x =>=>， {}()|22,A B x x ∴⋃=>-=-+∞．故选：D ．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 108石B. 169石C. 237石D. 338石【答案】A 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】256Q 粒内夹谷18粒，∴米中含谷的频率为189256128=， 1536∴石中夹谷约为91536129108128⨯=⨯=（石）.故选A. 【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.4.在区间[0,4]上随机地选择一个数p ，则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为（ ）A.13B.23C.12D.14【答案】A方程2380x px p -+-=有两个正根，则有1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即解得8p ≥或843p <≤，又[]0,4p ∈，由几何概型概率公式可得方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为8413403p -==-，故选A. 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A. 3 B. 9C. 18D. 27【答案】D设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()272a a S ⨯+==故选D.6.在101(x的展开式中，2x 的系数是 （ ）A. 45B. 45-C. 90D. 90-【答案】A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 的系数．【详解】解：在101(x的展开式中，通项公式为3102110(1)r r r r T C x -+=⋅-⋅，令31022r -=，求得8r =，可得2x 的系数是81045C =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 7.若(),0,x y ∈+∞，且123y x+=，则yx 的最大值是（ ）A.34 B.94C.98D.916【答案】C 【分析】利用已知条件，用x 表示y ，转化为关于x 函数的最值. 【详解】由题意得：123y x+=，31,22y x =-又()0,y ∈+∞，∴1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则22311139(),22228y x x x x =-=--+ 当23x =时，yx 取得最大值98. 故选:C【点睛】本题考查含有条件等式的最值问题，等价转换是解题的关键，属于基础题. 8.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 （ ）A.3 B.15 C.10 D.3 【答案】C 【分析】设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点，得出1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC 、MQ ，MP 和MNP ∠的余弦值即可． 【详解】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点， 则1//MN AB ，1//NP BC ，则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角(因异面直线所成角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦)，可知1152MN AB ==1122NP BC ==作BC 中点Q ，则PQM V 为直角三角形，1PQ =，12MQ AC =， ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，AC ∴=MQ ∴=2MP ==； 在PMN V 中，由余弦定理得222cos 2MN NP PM MNP MN NP +-∠=⋅⋅222((+-==； 又异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，1AB ∴与1BC所成角的余弦值为5． 故选C ．【点睛】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9.已知抛物线24y x =的一条弦AB 恰好以()1,1P 为中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ） A. 1y x =-B. 21y x =-C. 2y x =-+D.23y x =-+【答案】B 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入抛物线方程，两式作差，运用平方差公式和直线的斜率公式，以及中点坐标公式，可得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程．【详解】由题意得：设()()1122,,,A x y B x y ，都在抛物线上2112224,4y x y x ⎧=⎨=⎩()21212121222144y y y y x x x x y y --=-⇒=-+=2，直线还经过()1,1P ，所以直线方程为21y x =- 故选：B【点睛】本题考查抛物线的方程的运用和点差法求直线方程，考查直线的斜率公式和中点坐标公式的运用，化简运算能力，属于中档题．10.已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 为其渐近线上一点， 1PF x ⊥轴，且2130,PF F ∠=o 则该双曲线的离心率是（ ）A.73B.7 C.733D.21 【答案】D 【分析】由题意可得P 的横坐标为﹣c ，可设P 的纵坐标为bca，由∠PF 2F 1＝30°可得a ，b 的关系，再由离心率公式求解． 【详解】解：如图，PF 1⊥x 轴，可得P 的横坐标为﹣c ， 由双曲线的渐近线方程y b x a =-，可得P 的纵坐标为bc a，由∠PF 2F 1＝30°，可得bc a =， 即b 3=a ， 即有e c a ====． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，是中档题．11.已知函数()x 21,2f x 3,2x 1x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩,若方程()f x a 0-=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()0,1 B. ()0,2C. ()0,3D. ()1,3【答案】A 【分析】画出分段函数()f x 图象，原题意等价于函数()y f x =的图象与y a =有三个不同的交点．由图可解，注意y=1是一条渐近线．【详解】Q 函数()x 21,2f x 3,2x 1x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩，∴作出函数()f x 图象，如图所示，Q 方程()f x a 0-=有三个不同的实数根， 等价于函数()y f x =的图象与y a =有三个不同的交点，根据图象可知，当0a 1<<时，函数()y f x =的图象与y a =有三个不同的交点， 方程()f x a 0-=有三个不同实数根，a 的取值范围是()0,1，故选A ．【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解+析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12.在△ABC 中，cos :2cos :3cos 2:4:21A B C =，则cos C =（ ） A.712B.710C.78D.716【答案】C 【分析】根据cos 1cos A B =得到是等腰三角形，代入方程得到24sin 7sin 1022C C+-=，计算得到答案. 【详解】由已知得：cos 1,cos AB=所以A B =是等腰三角形， cosA 27cos 2cos 3cosC 21A C =∴=∴C 7cos 2cos 2C π-⎛⎫= ⎪⎝⎭整理得：24sin7sin 2022C C +-=解之得：1sin 24C = 所以27cos 12sin28C C =-= 【点睛】本题考查了解三角形，意在考查学生的计算能力.二、填空题（本大题共4小题）13.某正方体外接球的体积为323π，则此正方体的表面积为__________． 【答案】96 【分析】根据正方体外接球的半径和正方体棱长的关系可以先求出正方体的棱长,最后求出正方体的表面积.【详解】由已知得：设正方体的棱长为m ，外接球的半径为R，22342m R R =⇒=；所以343V π=⋅=⎝⎭，求得：4m =，所以正方体表面积26S m ==96. 故答案为:96【点睛】本题考查了正方体外接球的半径与正方体棱长的关系,考查了球的体积公式和正方体表面积公式,考查了数学运算能力.14.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为______．【答案】112221n n ++-- 【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等比数列的通项公式可得2q =，求得通项公式，可得()()1111112121n n n n n a a a ++=-----，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：在各项都为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，0q >，12a =，532a =，可得45116a q a ==，即2q =， 则1222n nn a -=⋅=，()()()()1112111121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为22311111112121212121n n +-+-+⋯+------ 11112212121n n n +++-=-=--，故答案为：112221n n ++--．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．15.钝角ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，1c =，3B π=，则a 的取值范围是______． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】由正弦定理可得12csinA a sinC ==，再根据ABC △为钝角三角形求出C 的范围，进一步求出a 的范围．【详解】解：由正弦定理，有2sin 1322C csinA a sinC sinC tanC π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+． ABC QV 为钝角三角形，3B π=，∴当A 为钝角时，22,323A C πππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0,6C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭； 当C 为钝角时，2,23C ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ABC ∴V 为钝角三角形，20,,623C πππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(0,,3tanC ⎛⎫∴∈⋃-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()110,2,222tanC ⎛⎫∴+∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ．【点睛】本题考查了正弦定理和正切函数的图象与性质，关键是根据三角形为钝角三角形求出角的范围，属中档题．16.已知(),a xb yc x y R =+∈r r r，22a b c ===r r r ，()1c a b a b ⋅+=⋅+r r r r r ，则a b r r -的取值范围是______．【答案】1⎤⎦【分析】从所求的结果得所需要的a b ⋅rr 的范围，再从已知条件中寻找它的范围即可，需要用到余弦值的范围．【详解】解：2a b ==Q r r ，∴a b -===r r ，∴只需要求a b⋅rr 的范围即可； ()11cos c a b a b a b c a b c a b ⋅+=⋅+⇒⋅+=⋅+⋅<+>r r r r r r r r r r r r r ，，1a b c a b ⋅+≤⋅+rr r r r ，而1c =r，1a b a b ∴⋅+≤+r r r r ，∴两边平方得，22()2182()71a b a b a b a b a b ⎤⋅+⋅+≤+⋅⇒⋅≤⇒-∈⎦r r r r r r r r r r ；故答案：1⎤⎦．【点睛】本题利用三角函数范围求数量积的范围，属于中难度题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数())0)f x sin x cos x cos x ωωωω=->的图象的一条对称轴为38x π=．（1）求ω的最小值；（2）当ω取最小值时，若3245f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα-<<，求2cos α．【答案】（1）1；（2）2425.(1)把已知函数解+析式变形，取38x π=，再由相位终边落在y 轴上求解ω值；(2)由已知求得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用诱导公式及倍角公式求解．【详解】解：（1）())(0)2f x sin x cos x cos x ωωωω=-+>2xcos x x ωωω=-)212sin x cos x ωω=+ sin 24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题可得()32842k k Z πππωπ⋅-=+∈， 解得()413k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，故ω的最小值为1；（2） 3sin 2445f αππα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02πα-<<Q ，444πππα∴-<+<，4cos 45πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，24222cos 44425cos sin sin πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】（1）本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．（2）运用诱导公式将cos2α转化成sin(2)2πα+，善于运用2=2()24ππαα++转化二倍18.共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率； （2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）2225（2）见解+析试题分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件A，利用概率乘法公式及加法公式得到所求概率；（2）X 的取值为0,1,2,3,明确相应的概率值，得到分布列及相应的数学期望. 试题详细分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件A ，则()7436762210101010101025P A =⨯+⨯+⨯=. （2）显然X 的取值为0,1,2,3,()12341210101025C C P X C C ==⨯=,()111227364412121010101019175C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=,()1111276436121210101010712150C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=,()12761210107330C C P X C C ==⨯=,故随机变量X 的分布列为X 的数学期望()11971719012325751503010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 19.如图，在四面体ABCD 中，BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒．（1）证明：BD AC ⊥；（2）若60ABD ∠=︒，2BA =，四面体ABCD 的体积为2，求二面角B AC D --的正弦值．【答案】（1）证明见解+析；（2）470. 【分析】（1）作Rt △ABD 斜边BD 上的高AE ，连接CE ，推导出CE BD ⊥，从而BD ⊥平面AEC ，由此能证明BD AC ⊥．（2）推导出AE ⊥平面BCD ，以EB u u u r ，EC uuu r ，ED u u u r为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．利用向量法能求出二面角B AC D --的余弦值，进而可得正弦值.【详解】（1）如图，作Rt △ABD 斜边BD 上的高AE ，连接CE ．因为BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒，所以Rt △ABD ≌Rt △BCD ．可得CE BD ⊥． 所以BD ⊥平面AEC ，于是BD AC ⊥．（2）在Rt ABD △中，因为2BA =，60ABD ∠=︒， 所以4BD =，3AE =，3CE =， 3sin 2AEC S AEC =∠V ．因为BD ⊥平面AEC ，四面体ABCD 的体积2， 所以13sin 4232AEC ⨯∠⋅=，则sin 1AEC ∠=，90AEC ∠=︒， 所以AE ⊥平面BCD ．以EB u u u r ，EC uuu r ，EA u u u r为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则3)A ，(1,0,0)B ，3,0)C ，(3,0,0)D -，(1,0,3)AB =-u u u r ，3,3)AC =u u u r，(3,0,3)AD =--u u u r．设111(,,)m x y z =u r 是平面BAC 的法向量，则00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即111130330x z z ⎧=⎪=，可取(3,1,1)m =u r ． 设222(,,)n x y z =r 是平面DAC 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ， 即2222330330z x z =-=⎪⎩，可取(3,3)n =-r ． 因为333105cos ,35||||31+11+3+3m n m n m n ⋅-<>===+⋅u r ru r r u r r ，所以二面角B AC D --470． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查学生计算能力，是中档题．20.已知离心率e =的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为F ，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过原点O 且与坐标轴不垂直的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，且点1(1,)2A ，求MAN ∆面积的最大值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；.【分析】（Ⅰ）根据c c e a ===即可求出椭圆方程． （Ⅱ）由题意知，直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式，求出MN 的值，再利用点到直线距离，求出三角形的高，即可写出面积的表达式，对参数k 讨论求出面积最大值．【详解】（Ⅰ）根据题意得2c c e a ===，∴2a =. ∴2221b a c =-=. 故椭圆C 的方程为2214xy +=.（Ⅱ）根据题意：设直线的方程为()0y kx k =≠，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()()2214400k x k +-=≠． 设()()1122,,,M x y N x y ∴()216140k ∆=+>，1212240,14x xx x k +==-+，∴MN ==()0k ≠MN ==.又∵点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭到直线l的距离d =∴1122MANS MN d ∆=⋅== ()0k ≠，MAN S ∆== ()0k ≠， ① 当0k >时，1MAN S ∆<； ② 当0k <时，MAN S ∆==≤=分综上所述，MAN ∆【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的思想，运算求解的能力．21.函数()22()22ln 4f x x x x x x =--+.（1）求()f x 在x e =处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（2）设32()33()g x x x x f x =-++，若1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：121x x <.【答案】（1）()241340e y e e x ---+=（2）证明见解+析【分析】（1）求出导函数()f x '，切线方程为()'()()y f e f e x e -=-，化简即可；（2）先由导数确定()g x 在(0,)+∞上单调递增，不妨设120x x <<，则()()12g x g x <，又()()128g x g x +=，()14g =，则()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<，这是重要的一个结论，构造函数1()()()G x g x g x=+()01x <<，求出()G x '，可确定()G x 在(0,1)上递减，于是()(1)8G x G >=，于是1()8G x >，下面只要证明211()()g g x x >即可。

陕西师大附中高2020届考练试题数学(理科)(2020.03.04)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题纸上，满分150分，时间120分钟．2.答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．3.考完试，将作答按要求上传至智学网．第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,1)，则|1|z +=( ).2A B C D2.若{|{|A y y B x y ====，则( ).A A B = .B A B =∅ .C A B ⊆ .D B A ⊆ 3.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是( ) .A 若//,//l m αα，则//l m .B 若,l m αα⊥⊥，则//l m.C 若,l m l α⊥⊥，则//m α .D 若//,l m l α⊥，则m α⊥4.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)递减的函数是（ ）.A cos y x = .B 1()3x y = .C tan y x = .D 3y x -=5.某班有60名学生，一次考试后数学成绩2(110,10)X N ，若(100110)0.35P X ≤≤=，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) .9A .8B .7C .6D6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A 20 .B 24 .C 26 .D 30 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，*1()2n n n S a n N +=∈，则10S 为( ) .A 55 .B 50 .C 110 .D 1008.直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是( ).A b =.B 11b -<<或b = .C 11b -<≤ .D 11b -<≤或b =9.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”；小王说:“丁团队获得一等奖”；小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） .A 甲 .B 乙 .C 丙 .D 丁 10.已知函数()cos (,0)f x x x R ωω=∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象( ).A 向左平移8π个单位长度 .B 向右平移8π个单位长度 .C 向左平移4π个单位长度 .D 向右平移4π个单位长度11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( ) .A 1 .B 12 .C 1- .D 12- 12．已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(1)f x a x +-=的实根个数不可能为（ ）.A 5 .B 6 .C 7 .D 8 第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上．） 13.已知向量,a b 的夹角为45︒，且||1,||2a b ==，则||a b -=__________．14.函数()ln x f x e x =-在点(1,(1))f 处的切线方程是__________．15.已知，满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若(0)z ax y a =+>的最大值为4，则a =__________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色。

2020-2021陕西师范大学锦园中学高中必修一数学上期末模拟试卷带答案一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0 D ．正负都有可能2．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<4．若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞5．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－156．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．1 7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 BC ．14，2 D ．14，49．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣112．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 15．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.16．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 17．函数()()()310310xx x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．19．已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________. 20．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.三、解答题21．已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.22．设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.23．已知函数31()31x x f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数.（1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式()21cos sin 32f x a x --<对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 24．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅--25．已知函数()224x x a f x =-+，()()log 0,1a g x x a a =>≠.（1）若函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性，求实数m 的取值范围； （2）若()()11f g =，设()112t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小. 26．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．C解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．5．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于6．B解析：B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =， 因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．9．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.11．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．12．D解析：D 【解析】 【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：()0,1【解析】 【分析】令()0f x =，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两个交点. 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的 解析：3【解析】 【分析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】当x a =-时，()0f x =， 当x a ?时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，221()2212a x a a a a x a+++-≥++ 当且仅当21x a a =+时，等号成立，2210()212a af x a a++∴<≤=+-同理x a <-时，21()0a af x -++≤<，2211()a a a af x -++++≤≤， 即()f x 的最小值和最大值分别为2211,22a a a a++， 212a +=，解得3a =.故答案为:【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.16．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】 因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-； 又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I .故答案为：()1,2-.【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.17．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.18．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析：(][)22-∞-⋃+∞，， 【解析】【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围.【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数， ∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤Q()()2f x f ∴≤2x ∴≥2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞U故答案为：(][),22,-∞-+∞U【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型. 19．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点 解析：4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果.【详解】设()2f x ax bx c =++ ()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+ 44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+ ()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++ 设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩ 即240m m m --+=，解得：0m =或3m =-①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=--- ()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+- ()h x ∴的所有零点为1,3,2综上所述：()h x 的最大零点为4故答案为：4【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值.由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-， 所以由()()01032f f a a =-=， 解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题21．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.22．（1）4,2a b ==（2）2log x =（3）()[]0,240g x ∈【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可（2）令()0f x =得421x x -=，即()22210x x --=，然后解出即可 （3）()42x xg x =-，令2x t =，转化为二次函数 【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42x x f x =-，令()0f x =得421x x -=，即()22210x x --=，解得2x =，又120,22x x >∴=，解得21log 2x =； （3）由（1）知()42x x g x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增 所以()[]0,240g x ∈，23．（1）证明见解析（2）44a -≤≤【解析】【分析】（1）先由函数()f x 为奇函数，可得1m =，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可.【详解】解：（1）∵函数31()31x x f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数， ()()f x f x ∴-=-31313131x x x x m m ----∴=-⋅+⋅+3131331x x x x m m --∴=+⋅+，()(1)310x a ∴--=，等式()(1)310x m --=对于任意的x ∈R 均恒成立，得1m =，则31()31x x f x -=+， 即2()131x f x =-+， 设12,x x 为任意两个实数，且12x x <，()()()()()121212122332231313131x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭， 因为12x x <，则1233x x ≤，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，因此函数()f x 在R 上是增函数;（2）由不等式()21cos sin 32f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立， 则()2cos sin 3(1)f x a x f --≤.由（1）知，函数()f x 在R 上是增函数， 则2cos sin 31x a x --≤，即2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立.令sin x t =，[1,1]t ∈-，则222()33024a a g t t at t ⎛⎫=++=++-≥ ⎪⎝⎭在[1,1]-上恒成立. ①当12a ->时，即2a <-，可知min ()(1)40g t g a ==+≥，即4a ≥-， 所以42a -≤<-； ②当112a -≤-≤时，即22a -≤≤，可知2min ()3024a a g t g ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭.即a -≤≤22a -≤≤； ③当12a -<-时，即2a >，可知min ()(1)40g t g a =-=-≥，即4a ≤， 所以24a <≤，综上，当44a -≤≤时，不等式()21cos sin 32f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立. 【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题.24．（1）99；（2）3-.【解析】【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；（2）直接利用对数运算性质即可得出.【详解】（1）原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 7351001442=++-- 99=. （2）原式323log 313=--- 31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.25．（1）()1,+∞；（2）12t t >【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性得到答案.（2）计算得到2a =，再计算()2110x t ->=，22log 0t x =<，得到答案.【详解】（1）函数()224x x a f x =-+的对称轴为1x =， 函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性，故1m >，即()1,m ∈+∞.（2）()()11f g =，即24log 10a a -+==，故2a =.当()0,1x ∈时，()()212212110x x x t f x -+=-=>=；()22log 0t g x x ==<. 故12t t >【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.26．（1）()g x 为奇函数；（2）20【解析】【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值.【详解】 （1）12()12xx g x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈.因为11112212()()112212x x x x x x g x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=. 所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.。

2020-2021学年陕西师大附中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.复数的虚部是( )A. 1B. −1C. 2D.2.若集合M ={(x,y)|3x −y =0}，N ={(x,y)|x 2+y 2=0}，则( )A. M ∩N =MB. M ∪N =MC. M ∪N =ND. M ∩N =⌀3.为了普及垃圾分类的知识，某宣传小组到小区内进行宣传．该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张．为了检验宣传成果，该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是( )A. C 4010C 10020B.C 4010⋅C 6010C 10020C. C 2010(25)10(35)10 D. C 2010(25)10 4. 若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x =2√2a −2b x有不等实数根的概率为( )A. 14B. 12C. 34D. 255.已知数列{a n }满足a n+2−a n =2，a 1=1，a 2=2，则{a n }的前20项和为( )A. 120B. 210C. 400D. 4406.(x −1√x)8的二项展开式中，x 2的系数是( ) A. 70B. −70C. 28D. −287.半径为R 的球的内接正四棱柱的侧面积的最大值是( )A. 8√2R 2B. 8R 2C. 4√2R 2D. 4R 28.三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是边长为2√3的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若球O 与三棱柱ABC −A 1B 1C 1各侧面、底面均相切，则侧棱AA 1的长为( )A. 1B. √3C. 2D. 2√39.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x =−4，则该椭圆的方程为( )A.B.C.D.10. 已知F 1，F 2是双曲线E 的左、右焦点，点P 在E 上，∠F 1PF 2=π6且(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则E的离心率e =( )A. √3−1B. √3+1C. √3−12D. √3+1211. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0x 2−2x +1,x >0，则方程f 2(x)−3f(x)+2=0的根的个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 在观察点C 处测得C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，∠ACB =120°，则A ，B 间的距离为( )A. 4kmB. √19kmC. 7kmD. 8km二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)在如图所示的堑堵ABC −A 1B 1C 1中，BB 1=BC =AB =2且有鳖臑C 1−ABB 1和鳖臑C 1−ABC ，现将鳖臑C 1−ABC 的一个面ABC 1沿BC 1翻折180°，使A 点翻折到E 点，求形成的新三棱锥C 1−AB 1E 的外接球的表面积是______．14. 若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q 的值为______． 15. 在△ABC 中，B =，AC =1，AB =，则BC 的长为 _____ ．16. 如图所示，在▱ABCD 中，已知AB =3，AD =2，∠BAD =120°.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在△ABC 中，已知tanAtanB =43， (1)求tan C 的取值范围；(2)若△ABC 边AB 上的高CD =2.求△ABC 面积S 的最小值．18.出于“健康、养生”的生活理念.某地的M炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.M炊具有限公司下辖甲、乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为[50,100])划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元．(1)记X为生产一口T型双耳平底锅和一口L型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X的数学期望：(2)M炊具有限公司生产的T和L型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中[70,80)为三级品，[80,90)为二级品，[90,100]为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由．19.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC，E为棱BB1上一点．(Ⅰ)证明：AC⊥D1E；(Ⅱ)是否存在一点E，使得B1D//平面AEC？若存在，求B1E的值；若不存在，BE说明理由．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上任意一点，当∠F 1MF 2=60°时，△F 1MF 2的面积为√3，且2b =√3a. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点N(2,3)与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =485，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=x(|x|+2a)，g(x)=x 2+a x+1，a ∈[−2,2]．(Ⅰ)当a =−1时，求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若∀x 1∈[−1,1]，∃唯一的x 2∈[0,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，求实数a 的取值范围．22. 如图，在极坐标系中，点O 为极点，已知M(4√3,π6)，以OM 为直径作圆C.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 为圆C 左上半圆弧OM ⏜的三等分点，求P 点的极坐标．23. 选修4−5：不等式选讲 设f(x)=2|x|−|x +3|． (1)求不等式f(x)≤7的解集S ；(2)若关于x 的不等式f(x)+|2t −3|≤0有解，求参数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：因为，所以虚部为2．考点：复数的定义、复数的运算．2.答案：B解析：解：∵集合M ={(x,y)|3x −y =0}，N ={(x,y)|x 2+y 2=0}={(0,0)}， ∴M ∩N ={(x,y)|{3x −y =0x 2+y 2=0}={(0,0)}=N ，M ∪N =M ， 故选：B ．利用交集、交集的定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张． 该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，基本事件总数n =C 10020，这20张中恰有10张可回收垃圾包含的基本事件个数m =C 4010⋅C 6010，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是p =m n=C 4010⋅C 6010C 10020．故选：B ．基本事件总数n =C 10020，这20张中恰有10张可回收垃圾包含的基本事件个数m =C 4010⋅C 6010，由此能求出这20张中恰有10张可回收垃圾的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：∵方程x =2√2a −2b x有不等实数根∴方程x 2−2√2ax +2b =0有不等实数根 ∴△=8a −8b >0 ∴a >b。