11一元二次方程复习课

微专题11二次函数根的分布问题

【方法技巧与总结】

1、实系数一元二次方程20(0)axbxca的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

12,xx2

12

1240

0

0bac

b

xx

a

c

xx

a























（2）方程有两个不等负根

12,xx2

12

1240

0

0bac

b

xx

a

c

xx

a























（3）方程有一正根和一负根，设两根为

12,xx

120c

xx

a

2、一元二次方程20(0)axbxca的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴

2b

x

a与区间端点的关系；（4）区间端点

函数值的正负．

设

12,xx为实系数方程20(0)axbxca的两根，则一元二次20(0)axbxca的

根的分布与其限定条件如表所示．

根的分布图像限定条件

12mxx0

2

()0b

m

a

fm

















12xmx()0fm

12xxm0

2

()0b

m

a

fm

















在区间(,)mn内

没有实根0

12

120

xxm

xxm



或

0

2

()0b

m

a

fm

















0

2

()0b

n

a

fn

















()0

()0fm

fn









在区间(,)mn内

有且只有一个实根()0

()0fm

fn









()0

()0fm

fn









在区间(,)mn内

有两个不等实根0

2

()0

()0b

mn

a

fm

fn

























【题型归纳目录】

题型一：正负根问题

题型二：根在区间的分布问题

题型三：整数根问题

题型四：范围问题

【典型例题】

题型一：正负根问题

例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m

为实数，命题甲：关于x

的不

等式2

40mxmx的解集为R；命题乙：关于x

的方程22200xmxm有两个不相等

的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m

一元二次方程优秀教案

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一元二次方程优秀教案（通用11篇）

作为一名默默奉献的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？以下是小编整理的一元二次方程优秀教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

一元二次方程优秀教案 篇1

教学目标

1．了解整式方程和一元二次方程的概念；

2．知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，一元二次方程。

3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点：

重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：

1．教材分析：

1）知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2）重点、难点分析

理解一元二次方程的定义：

是一元二次方程的重要组成部分。方程，只有当时，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：

（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。 （2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

教学目的

1.了解整式方程和一元二次方程的概念；

2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

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十一 一元二次方程

知识梳理：

一、根与系数之间的关系

设1x和2x是一元次方程20(0)axbxca的两个根，则1212,bcxxxxaa•（其中abc、、均为实数）

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)axbxca而知其根的正负性质：

一元二次方程20(0)axbxca在240bac的条件下：

(1)0ca时，方程的两根必然一正一负；

(2)0ba时，方程的正根不小于负根的绝对值；

(3)0ba时，方程的正根小于负根的绝对值；

(4)0ca时，方程的两根同正或同负.

例题精讲：

例1、如是,ab关于x的方程的()()1xcxdg两个根，求()()acbcg的值

例2、方程22320xx的实数根为、，求的值。

例3、如果正整数,ab是关于x的方程229x1056520552013axbb的两个根，求,ab的值。

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例4、已知实数,ab满足条件：423240aa，42230bb--=，求代数式444ab的值。

二、一元二次方程整数根问题

1、当含有某个参数k的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k的分式形式的解。然后利用其根是整数的要求来解不定2、一元二次方程02cbxax在042acb时有实数根abx2，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须acb42为完全平方数，并且b为a2的整数倍。故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类：

（1）先求参数范围。可由不等式0求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k（k是整数）。当2k为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

第11讲 一元二次方程的应用（7种题型）

【知识梳理】

1、数字问题：

对于数的应用题主要是要知道数的表示．

例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x 、y、 z，那么这个三位数则可以表示为

10010xyz．

2、增长率问题

基本公式：21axb，

a表示增长前的数，x表示增长率，b表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、b．如果是降低率，则为21axb．

3、利润问题：

总利润=单件利润总件数；

总利润=总售价总成本价．

根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．

4、几何面积问题：

对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用x表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．

5、双循环问题

送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了1x张，总共有x个人所以列式为1930xx；

6、单循环问题

握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为(1)1052xx．

这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．

7、利率问题：

利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；

本利和＝本金+利息

＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）

＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ． 【考点剖析】

题型一：数字问题

例1.有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．

【变式1】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．

【变式2】已知两个连续奇数的积是323，求这两个数．

【变式3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．

题型二：增长率问题