高中数学1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义学案 新人教A版必修1

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第1课时 集合的含义

学习目标：1.通过实例了解集合的含义．(难点)2.掌握集合中元素的三个特性．(重点)3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．元素与集合的相关概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．

(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．

(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．

(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．

思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？

(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？

[提示] (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．

(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．

2．元素与集合的关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.

3．常见的数集及表示符号

数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号 N N*或N＋ Z Q R

[基础自测]

1．思考辨析

(1)接近于0的数可以组成集合．( )

(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )

(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)×

2．用“book中的字母”构成的集合中元素个数为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“o”、“k”三个元素．]

3．用“∈”或“”填空：

12________N；－3________Z；2________Q；0________N*；5________R. ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 【导学号：37102009】

[答案] ∈ ∈

4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.

3 [由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

集合的基本概念

考察下列每组对象，能构成集合的是( )

【导学号：37102010】

①中国各地最美的乡村；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④2016年第31届奥运会金牌获得者．

A．③④ B．②③④

C．②③ D．②④

B [①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]

[规律方法] 判断一组对象能否组成集合的标准

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

[跟踪训练]

1．判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合．

(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合．

(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．

[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．

(2)不正确．“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．

(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．

元素与集合的关系

(1)下列所给关系正确的个数是( )

①π∈R；②2Q；③0∈N*；④|－5|N*.

A．1 B．2

C．3 D．4 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 (2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )

A．2 B．2或4

C．4 D．0

(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确；

②2是无理数，所以2Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|N*错误．故选B.

(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，

所以a＝2，

或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，

所以a＝4，

综上所述，a＝2或4.故选B.]

[规律方法]

判断元素与集合间关系的方法

判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征.

[跟踪训练]

2．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1A,2∈A，则( )

【导学号：37102011】

A．a>－4

B．a≤－2

C．－4

D．－4

D [由题意可知

 2×1＋a≤0，2×2＋a>0，解得－4

集合中元素的特性及应用

[探究问题]

1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？

提示：a≠b

2．若1∈A，则元素1与集合中的元素a，b存在怎样的关系？

提示：a＝1或b＝1.

已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．

思路探究：A中含有元素：1和a2――→a∈Aa＝1或a2＝a―――→求a的值检验集合中元素的互异性 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 [解] 由题意可知，a＝1或a2＝a，

(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.

(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．

综上可知，实数a的值为0.

母题探究：1.(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．

[解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.

2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．

[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时，集合A有重复元素，

所以a≠1；

当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.

[规律方法] 1.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.

2.本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分.

提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形.

[当 堂 达 标·固

双 基]

1．下列结论不正确的是( )

A．0∈N B.2Q

C．0Q D．－1∈Z

C [0是有理数，故0∈Q，所以C错误．]

2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )

【导学号：37102012】

A．3∈A B．1∈A

C．0∈A D．－1A

C [∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]

3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )

A．不超过20的非负实数

B．方程x2－9＝0在实数范围内的解

C.3的近似值的全体

D．某校身高超过170厘米的同学的全体

C [A.不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B.方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C.3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成

一个集合．D.某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 个集合．故选C.]

4．a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )

【导学号：37102013】

A．矩形 B．平行四边形

C．菱形 D．梯形

D [由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. ]

5．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

若－3＝a－3，

则a＝0，

此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，a＝0或a＝－1.