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正态总体参数的区间估计

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1 第19讲 正态总体参数的区间估计

教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。

教学重点：置信区间的确定。

教学难点：对置信区间的理解。

教学时数： 2学时。

教学过程：

第六章 参数估计

§6.3正态总体参数的区间估计

1. 区间估计的概念

我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。因此，对于未知参数，除了求出它的点估计ˆ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数真值的可信程度。

设ˆ为未知参数的估计量，其误差小于某个正数的概率为1(01)，即

ˆ{||}1P

或

1)ˆˆ(P

这表明，随机区间)ˆ,ˆ(包含参数真值的概率（可信程度）为1，则这个区间)ˆ,ˆ(就称为置信区间，1称为置信水平。

定义 设总体X的分布中含有一个未知参数。若对于给定的概率1(01)，存在两个统计量1112(,,,)nXXX与2212(,,,)nXXX，使得

12{}1P 2 则随机区间12(,)称为参数的置信水平为1的置信区间，1称为置信下限，2称为置信上限，1称为置信水平。

注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n），每一组样本值确定一个区间12(,)，每个这样的区间要么包含的真值，要么不包含的真值。按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含真值的约占100(1)%，不包含真值的约仅占100%。例如：若0.01，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含真值的约为10个。

（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。对于置信水平为1的置信区间12(,)，一方面置信水平1越大，估计的可靠性越高；另一方面区间12(,)的长度(2)越小，估计的精确性越好。但这两方面通常是矛盾的，提高可靠性通常会使精确性下降（区间长度变大），而提高精确性通常会使可靠性下降（1变小），所以要找两方面的平衡点。

在学习区间估计方法之前，我们先介绍标准正态分布的分位点概念。

设~0,1XN，若z满足条件,01PXz，则称点z为标准正态分布的分位点。例如求0.01z。按照分位点定义，我们有0.010.01PXz，则0.010.99PXz，即0.01()0.99z。查表可得0.012.327z. 又由()x图形的对称性知1zz。下面列出了几个常用的z值：

 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10

z 3.090 2.576 2.327 1.960 1.645 1.282

2. 正态总体均值的区间估计

设已给定置信水平为1，总体2~,XN，12,,,nXXX为一个样本，2,XS分别是样本均值和样本方差。 3 （1）2已知时，的置信区间

我们知道X是的无偏估计，且有统计量/Xn~0,1N 。由标准正态分布的上分位点的定义，有

/21/XPzn

即

/2/21PXzXznn

这样，我们就得到了的一个置信水平为1的置信区间

/2/2,XzXznn

这样的置信区间常写成

/2Xzn

例1 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：

14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8

若滚珠直径服从正态分布2(,)N，并且已知0.16（mm），求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间。

解 计算样本均值14.92x，置信水平1=0.95，0.05，查表得/20.0251.96zz（可利用()zt查表）。由此得的置信水平为95%的置信区间为

/20.1614.921.9610Xzn

即

14.920.099, 14.920.099(14.821, 15.019)

注：置信水平为1的置信区间并不是唯一的。以例1来说，给定0.05，则又有

0.040.010.95/XPzzn

故 4 0.010.04,XzXznn

也是的置信水平为95%的置信区间，其区间长度为0.040.01()4.08zznn。而在对称区间0.05Xzn上，区间长度为23.92nn, 比非对称区间长度要短，较优。易知，像(0,1)N分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况，当n固定时，以对称区间其长度为最短，我们选用对称区间。

（2）2未知时，的置信区间

此时不能使用/2Xzn，因为其中包含了未知参数。考虑到2S是2的无偏估计，将上述区间中的换成2SS。我们已知统计量/XSn~(1)tn，可得

/2/2(1)(1)1/XPtntnSn

即

/2/2(1)(1)1SSPXtnXtnnn

于是得到的一个置信水平为1的置信区间

/2(1)SXtnn

例2 在例1中，若未知，求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间。

解 计算样本均值14.92x，样本标准差0.193s；置信水平1=0.95，0.05，自由度11019n，查表得/20.025(1)(9)2.26tnt。 由此得的置信水平为95%的置信区间为 5 /20.193(1)14.922.2610SXtnn

即

(14.92-0.138，14.92+0.138)=(14.782，15.058)

注 比较例1和例2中的置信区间，可以发现当2未知时，的置信区间区间长度要比2已知时的置信区间区间长度大，这表明当未知条件增多时，估计的精确程度变差，这也符合我们的直观感觉。

3. 正态总体方差2的区间估计

（1）已知时，2的置信区间

已知2211()niiX2~()n 但是2分布的概率密度图形不是对称的，对于已给的置信水平1，要想找到最短的置信区间是困难的。因此，习惯上仍然取对称的分位点21/2和2/2可得

2221/2/2211()()()1niiPnXn

即

2221122/21/2()()1()()nniiiiXXPnn

于是得到方差2的一个置信水平为1的置信区间

221122/21/2()(), ()()nniiiiXXnn

例3 在例1中，若已知14.9（mm），求滚珠直径方差2的置信水平为95%的置信区间。

解 已知14.9，置信水平1=0.95，0.05，自由度10n，查表得 6 22/20.025()(10)20.5n，221/20.975()(10)3.25n。

则方差2的置信水平为95%的置信区间为

10102222111122/21/2()()(14.9)(14.9), , ()()20.53.25nniiiiiiiiXXxxnn

即

0.340.34, (0.0166, 0.1046)20.53.25

（2）未知时，2的置信区间

2的无偏估计为2S，且统计量22(1)nS2~(1)n。选取分位点21/2和2/2可得

2221/2/22(1)(1)(1)1nSPnn

即

22222/21/2(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn

于是得到方差2的一个置信水平为1的置信区间

2222/21/2(1)(1), (1)(1)nSnSnn

由此，我们还可以得到标准差的一个置信水平为1的置信区间

222222/21/2/21/2(1)(1)(1)(1), , (1)(1)(1)(1)nSnSnSnSnnnn

注 在实际问题中，对2做估计的时候，一般均是未知的情况。因此，我们重点掌握未知条件下求2的置信区间问题。

例4 在例1中，若未知，求滚珠直径方差2的置信水平为95%的置信区间。

解 未知，计算样本方差20.0373s，置信水平1=0.95，0.05，自由度 7 19n，查表可得22/20.025(1)(9)19.0n，221/20.975(1)(9)2.70n。

则方差2的置信水平为95%的置信区间为

2222/21/2(1)(1)90.037390.0373, , (1)(1)19.02.70nSnSnn

即

(0.0177，0.1243)

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总体参数的区间估计必须具备的三个要素

总体参数的区间估计必须具备的三个要素

一、概述

总体参数的区间估计是统计学中一个重要的概念，在实际应用中具有广泛的应用。区间估计的目的是利用样本数据对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。在进行区间估计时，需要考虑三个重要的要素，以确保估计结果的准确性和可靠性。

二、总体参数的定义

在统计学中，总体参数指的是对整个总体的某一特征进行描述的指标。例如总体均值、总体比例等。总体参数通常是未知的，需要通过样本数据来进行估计。区间估计就是利用样本数据对总体参数进行估计，给出一个区间，以确定参数的取值范围。

三、区间估计的三个要素

1. 置信水平

置信水平是区间估计中非常重要的一个要素。它指的是对总体参数估计的准确程度的度量，通常用1-α来表示，其中α称为显著性水平，通常取0.05或0.01。置信水平越高，说明对总体参数的估计越可信。在实际应用中，常用的置信水平为95或99。

2. 样本容量

样本容量是另一个影响区间估计结果的重要要素。样本容量的大小直接影响了估计结果的精确度。通常来说，样本容量越大，估计结果越精确。在进行区间估计时，一般需要根据置信水平和总体参数的方差来确定合适的样本容量。

3. 统计分布

在进行区间估计时，需要考虑所使用的统计分布。常用的统计分布包括正态分布、t分布、F分布等。选择合适的统计分布对区间估计的结果具有重要影响。通常在实际应用中，根据样本容量和总体参数的分布情况来选择合适的统计分布。

四、区间估计的计算方法

区间估计的计算方法通常包括以下几个步骤：

1. 确定置信水平，通常取95或99。

2. 根据置信水平和总体参数的分布情况，选择合适的统计分布。

3. 根据样本数据计算得到统计量的值。比如样本均值、样本比例等。

4. 根据统计量的值，计算得到区间估计的上限和下限。通常使用公式：点估计值±临界值×标准误差。

五、实际应用

区间估计在实际应用中具有广泛的应用，比如医学研究、市场调研、经济预测等领域。在这些领域中，通常需要对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。通过区间估计，可以对总体参数的估计结果进行合理的解释和推断，为决策提供依据。

正态总体参数区间估计的MATLAB实现

正态总体参数区间估计的MATLAB实现

２０１０年２月　第１期　吉林师范大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　№．１　

Ｆｅｂ．２０１０　

正态总体参数区间估计的ＭＡＴＬＡＢ实现　

陈少云　

（四川建筑职业技术学院计算机系，四川德阳６１８０００）　

摘　要：本文介绍了ＭＡＴＬＡＢ软件的ｎｏｒｍｆｉｔ（）函数在求解正态总体参数的区间估计中的长处和短处，结合实例　编写了ＭＡ１ＬＡＢ程序求解标准差ｄｒ已知时均值　的置信区间和均值　已知时标准差口的置信区间，弥补了　ｎｏｎｎｔｌｔ（）函数在该方面的不足．　关键词：正态总体；均值；标准差；置信区间　中图分类号：Ｏ２１２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４．３８７３．（２ｍ０）０１．００７６－０３　

０引言　

总体参数的点估计作为待估参数的近似值给出了明确的数量描述，在统计分析中有多方面的应用．但　

点估计没有给出这种近似的精确程度和可信程度，使其在实际应用中受到很大的限制，区间估计却可以弥　

补这一不足．　在工程技术中广泛使用的数学软件ＭＡＴＬＡＢ提供了现成的函数ｎｏｒｍｆｉｔ（）可以很方便地求出正态总体　

标准差盯未知时均值　的置信区间和均值　未知时标准差　的置信区间，与数理统计公式和查相关的临　界值表计算的结果完全吻合．　

其函数调用格式为：［ｍｕｈａｔ，ｓｉｇｍａｈａｔ，ｍｕｃｉ，ｓｉｇｒｎａｃｉ］：ｎｏｎｎｆｉｔ（ｘ，ａｌｐｈａ）．其中ｍｕｈａｔ，ｓｉｇｍａｈａｔ分别为正态　分布的参数　和　的估计值，ｍｕｃｉ，ｓｉｇｒｎａｃｉ分别为它们的置信区间，置信度为（１一ａｌｐｈａ）×１００％，ａｌｐｈａ为　

显著性水平．　例１商店用机器包装某种商品，每包重量　服从正态分布，为检查包装的质量，对机器包装的商品　

抽测８包，其重量为　

５．０８　４．９７　５．１２　５．０５　４．９５　４．９０　５．００　５．０１　试估计机器包装的商品重量的均值　和标准差　的置信度为０．９５的置信区间　

数理统计11：区间估计，t分布，F分布

数理统计11：区间估计，t分布，F分布

数理统计11：区间估计，t分布，F分布

在之前的⼗篇⽂章中，我们⽤了九篇⽂章的篇幅讨论了点估计的相关知识，现在来稍作回顾。⾸先，我们讨论了正态分布两个参数——均值、⽅差的点估计，给出了它们的分布信息，并指出它们是相互独⽴的；然后，我们讨论到其他的分布族，介绍了点

估计的评判标准——⽆偏性、相合性、有效性；之后，我们基于⽆偏性和相合性的讨论给出了常⽤分布的参数点估计，并介绍了两种常⽤于寻找点估计量的⽅法——矩法与极⼤似然法；最后，我们对点估计的有效性进⾏了讨论，给出了⼀些验证、寻找UMVUE的⽅法，并介绍了CR不等式，给出了⽆偏估计效率的定义。

以上就是我们在前九篇⽂章中提到的主要内容，还顺便介绍了⼀些常⽤的分布：Γ分布、β分布、χ2分布。

今天开始，我们将进⼊区间估计与假设检验部分。由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！

⽬录

Part 1：什么是区间估计

区间估计同样是参数估计的⼀种⽅法，不同于点估计⽤样本计算出的⼀个统计量直接作为原始参数的估计，区间估计会根据抽取出的样本，计算出⼀个基于样本

观测值的区间。简单说来，如果对总体f(x;θ)中的参数θ作估计，则⾸先从总体中获得样本\boldsymbol{X}=(X_1,\cdots,X_n)，并确定两个具有确定⼤⼩关系的

统计量\hat g_1(\boldsymbol{X})\le \hat g_2(\boldsymbol{X})，根据样本观测值计算出的区间[\hat g_1(\boldsymbol{X}),\hat g_2(\boldsymbol{X})]就是待估参

数\theta的区间估计。

由此，我们可以看出，区间估计依然是依赖于统计量的，并且往往需要不⽌⼀个统计量。区间估计相⽐于点估计的特点是，区间估计给出了⼀个相对“粗糙”的范

围，这就导致你需要使⽤这个参数时，不像点估计⼀样能直接把估计值拿来⽤；但是，区间估计具有涵盖参数真值的可能，因为当参数空间\Theta的取值连续

标准正态分布的置信区间

标准正态分布的置信区间

标准正态分布的置信区间

标准正态分布是统计学中非常重要的一个分布，它是指均值为0，标准差为1的正态分布。在实际的统计分析中，我们经常需要对样本数据进行推断，而置信区间就是用来估计总体参数的范围。在本文中，我们将介绍如何利用标准正态分布来计算置信区间。

首先，我们需要明确什么是置信区间。置信区间是用来估计总体参数的范围，它可以告诉我们总体参数落在一个区间内的概率有多大。在统计学中，常用的置信水平有95%和99%。以95%置信水平为例，如果我们得到一个95%置信区间为（a，b），那么意味着有95%的概率总体参数落在a和b之间。

接下来，我们将介绍如何利用标准正态分布来计算置信区间。首先，我们需要明白标准正态分布的性质。标准正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，均值为0，标准差为1。利用标准正态分布的性质，我们可以计算出给定置信水平下的临界值。在95%置信水平下，临界值为±1.96；在99%置信水平下，临界值为±2.58。

然后，我们可以利用样本数据来计算置信区间。假设我们有一个样本数据，我们可以计算出样本均值和标准差。接着，我们可以利用样本均值和标准差来计算标准误差，标准误差是总体标准差的估计量。最后，我们可以利用标准误差和临界值来计算置信区间。

举个例子来说明，假设我们有一个样本数据，样本均值为10，样本标准差为2，样本容量为100。我们希望计算出95%置信水平下的置信区间。首先，我们可以计算出标准误差，标准误差等于标准差除以样本容量的平方根，即2/√100=0.2。然后，我们可以利用标准误差和临界值来计算置信区间，即10-1.960.2到10+1.960.2，最终得到的置信区间为（9.6，10.4）。 在实际的统计分析中，我们经常需要计算置信区间来估计总体参数的范围。利用标准正态分布来计算置信区间是一种常用且有效的方法。通过本文的介绍，相信读者对于标准正态分布的置信区间有了更深入的理解。

总之，标准正态分布的置信区间是统计学中重要的概念，它可以帮助我们估计总体参数的范围。通过利用标准正态分布的性质和样本数据，我们可以计算出给定置信水平下的置信区间。在实际的统计分析中，我们可以利用置信区间来进行决策和推断，从而更好地理解和解释数据。希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！