弹塑性力学读书笔记-

弹塑性力学读书笔记

弹塑性力学是固体力学的一个重要分支学科，是从宏观尺度研究可变形固体受到外载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中，产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学，是研究固体在外力作用下产生变形、流动和断裂的一门科学。

弹塑性力学分析解决问题的基本思路是：

（1）静力平衡受力分析：受力处于平衡状态的物体，应当满足什么条件？（静力平衡条件）

（2）几何协调变形分析：材料受力变形前是连续的，变形后仍然是连续的。在小变形的前提条件下，固体内既不出现“空隙”，也不产生“重叠”。材料的变形应满足什么协调条件？（几何相容条件）

（3）力与变形间物理关系分析：对固体材料不同的变形形式，受力与变形之间应满足不同的物理关系。这些物理关系是什么？（本构关系）

弹塑性力学的基本研究方法：首先在物体（即研究对象）内任选一点（单元体）为研究对象；然后对单元体根据基本思路进行：（1）受力分析；（2）几何变形分析；（3）受力与变形的物理分析；经过这三方面分析，从而建立起普遍适用的弹塑性基本理论，并根据不同的边值问题提出不同的解法，最终使问题得以解决。

弹塑性力学的研究对象和基本假设：弹塑性力学研究对象是可变形固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。弹塑性力学对其研究对象所做的基本假设是：

（1）连续性假设：是基本假设，是利用数学工具研究力学问题的前提；

（2）均匀性假设：有利于材料力学性质的测试和本构关系的简化；

（3）各向同性的假设：有利于材料力学性质的测试和本构关系的简化；

（4）小变形假设（或小变形前提条件）：限制了力学问题的研究范围，有利于力学问题分析计算过程的简化；

应力的概念：一点的应力状态·应力分量转换方程，由于在同一截面上各点处的分布内力有强弱之分和方向之别，因此当谈及一个应力时，不仅要说明该应力分量是受力物体内哪一点处的应力，而且还要表明该应力是作用在该点的哪一个截面上，其指向又同那个方向平行。为了表明以上情况，我们给应力分量符号两个下脚标字母记号，第一个字母表示该应力作用截面的外法线方向同那一个坐标轴相平行，第二字母表示该应力的指向同那个坐标轴相平行。由于表示正应力分量符号的两个下脚标字母总是相同的，故缩记为一个字母表示这两层含意。

图1-1

在图一中，和，就分别表示受力物体内C点处外法线为n的K截面上的，且指向与外法线n相平行的正应力分量和指向与t方向相平行的剪应力分量。

图1-2

受力物体内某点处所取无穷多截面上的应力情况的总和，就显示和表明了该点的应力状态。如图1-2所示，建立oxyz坐标系，在P点处参照x，y，z轴截取一微小的正交平行六面体，其六个截面的外法线方向分别平行于x，y，z轴，由于该六面体各棱边长分别取为无限小量dx，dy，dz，因此该六面体单元（也称单元体）就反映和代表了P点。只要dx，dy，dz尺寸得足够小，就可近似地认为单元体各截面上的应力是均匀分布的，且相互平行的两截面上的应力相同，于是各面上的应力便可用作用在各截面中心的一个应力矢量来表示。而每个面上的应力矢量又可参照x，y，z轴方向分解为一个正应力分量和两个剪应力分量。单元体截面外法线的指向与坐标轴正方向一致的面为正截面，与坐标轴负向一致的面为负截面。正截面上应力分量指向同坐标轴正方向一致者为正，反之为负；负截面上应力分量指向同坐标轴负方向一致者为正，反之为负。按此规定，图2-2中单元体所有各截面上所标明的应力分量都为正。

表面P点的应力状态只需一组应力分量，即三个正应力和六个剪应力（根据剪应力互等定理知：共计六个独立的应力分量。

但若再参照另一坐标系围绕P点截取另一微小六面体单元表示该点，则该点的应力状态也可用另一组六个独立应力分量来表示。我们认识到，物体内任一点的应力状态，可用一组九个应力分量来表示，在给定受力情况下，各应力分量的大小与坐标轴方位的选择有关，但它们作为一组应力分量这样一个整体，用来表示一点的应力状态这一物理量，则与坐标的选择无关。数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力互等定理已知，应力张量是一个二阶对称张量。应力张量通常表示为或，即：

在弹塑性力学中的边界条件如下所示

A．静力边界条件 在外力作用下处于平衡状态的物体，其表面各点处的应力分量应当与作用在该点处的面力相平衡。这种关系构成了变形固体内的应力场所必须满足的边界条件，称为静力边界条件（也称应力边界条件）。

在物体边界面上的某一点处相应的静力边界条件为：

B．位移边界条件

若物体一部分边界面上的点的位移已给定，则由该物体单值连续的位移分量函数，在到达该边界上对应各点所确定的位移分量，应与对应点的约束条件所给定的位移相等，故位移边界条件可表达为：

此处，则知与相对应。

C．混合边界条件

混合边界条件有两种情形：一种情形是在物体全部边界上，一部分边界是已知应力边界条件，而其余部分边界上则是已知位移边界条件；另外一种情形则是，在同一部分边界上既知部分位移边界条件又知部分应力边界条件，也即给定位移与应力混合边界条件。如图1-3给出的由一组连杆支承的深梁就是这种情况，已知AB面上方向的位移及方向剪应力均等于零，即在边界上，

图1-3

在弹塑性力学中一般来说，物体在外力作用下产生变形后，物体内各点的位置都会发生变化，即产生位移。在研究物体的变形时，必须从一点的位移开始。

在位移的讨论中，我们应当区分两种情形：一种是物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变，物体仅仅是整体位置产生了变动，而无形状和尺寸的变化，即无变形产生。产生这种情形的位移就称之为刚性位移；另一种则是物体内任意两点之间的相对距离发生了改变，从而使其形状和尺寸发生了变化，即物体产生了变形，产生这种情形的位移就称之为变形位移。显然，要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究变形位移。

由于物体内各点的位移不同，故位移分量应是点的位置坐标函数，即：

设物体在变形过程中，始终保持连续性而元任何重叠和开裂现象产生，则式中所示的函数应是位置坐标的单值连续函数，称为位移函数。

在一物体内任取一点 A ，建立 oxy 坐标，沿 x、y 两方向分别取微线段，。该物体受外力作用产生变形，A、B、C 三点变形后位移到 A′、B′、C′处，且变形后长度为：，，且方位也发生了改变，则由线应变和剪应变定义知：

上式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西几何关系。

C．应变张量的概念

在点处参照坐标系截取出微单元体，如图1-2所示。当单元体各棱边无限缩短而趋于点时，分析可知，该点处的变形程度可以通过六个应变分量来直接表明。因此，物体内一点处的应变状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应变张量。应变张量通常表示为，写成矩阵的形式则为：

应变张量也是一个二阶对称张量。并可表示为：

应变状态可以用应变莫尔圆表示。如果已知一点应变状态的三个主应变，且。我们只需建立如图图1-4所示坐标系，分别以点为圆心，该三纵坐标为零，而横坐标为：

图1-4

再以为半径，即：

便可绘制得到反映一点空间应变状态的应变莫尔圆。按第二章中有关应力莫尔圆的证明方法，可以证明过一点任何方向的线应变和剪应变的大小都将由图3-8中阴影面积内的一点的两个坐标反映。由图可见，一点应变状态的分别为：

在弹性变形时，物体的体积也要产生改变，我们定义单位体积的体积改变为体积应变，以符号表示。体积应变为：

由此可知，一点处的体积应变为第一应变不变量，是不随坐标系的选择而变化的，故也用三个主应变来表示。显然，当时，表示体积膨胀；当时，则表示体积压缩

固体材料弹性变形具有以下特点：

（1）弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复。

（2）无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系。

（3）对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。

而固体材料的塑性变形具有以下特点：

（1）塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆。塑性变形的产生过程，必定要消耗能量（称耗散能或形变功）。

（2）在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。因此，不能应用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变也不再存在一一对应的关系，也即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载的路径（即加载历史）。

（3）当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。

弹塑性力学中常用的简化力学模型如下：（1）理想弹塑性力学模型；（2）理想线性强化弹塑性力学模型；（3）理想刚塑性力学模型；（4）理想线性强化刚塑性力学模型；（5）幂强化力学模型。

弹性本构方程：

A弹性应变能函数

根据功能原理认为：产生此变形的外力在加载过程中所作的功将以一种能的形式被积累在物体内，此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能，并且物体的弹性应变能在数值上等于外力功。从零应变状态到达某一应变状态的过程中，积累在弹性体单位体积内的应变能，称为应变能密度或应变比能，记为

的全微分：

即