线性控制课件 module 9 08-4-11-english_new

第六章 线性空间与线性变换

第一节 线性空间的定义与性质

一 线性空间

定义1 数域 P是数集合，满足以下条件称为数域

1． 包含零元素、单位元素；即

;1,0PP

2． 对以下运算封闭： Pba,

)0(,,,bPbaPabPbaPba

定义2 线性空间

V 非空集合 V,,，

P 数域 P,,，

建立两种运算

加法 ， 数乘 

对于两种运算封闭

VV;

关于定义的两种运算满足以下8条运算规律：

1） 加法交换律 

2） 加法结合律

)()(

3） 存在零元素 ,V

4） 存在负元素

,V

5） 分配律

)(

6） 分配律

)(

7） 结合律 )()(

8） 单位 P1,1

V称为线性空间（向量空间），V,,称为向量。

注意： * 线性空间中的元素不一定是通常意义下的向Tnaaa,,,21但是

统称为向量

* 定义的加法和数与向量的乘法不一定是通常意义下的加法与向量的乘

法。

例1 n 元有序数组构成的向量Tnaaa,,,21的集合，关于通常意义下的加法与向量的乘法，封闭；满足（1）-（8）条性质。这个集合构成向量空间，记为nR。

例2 设 },),({2121RaaaaV和实数域R，定义两种运算

Vbbaa),(),,(2121

Rk

)(2211baba，，

)0,(1kak

显然 第8条性质不满足

)0,(11a

所以，V不能构成线性空间。

线性控制与稳定性

线性控制系统是现代控制理论中的基础概念之一，它在工业控制、自动化系统以及电子设备中都有广泛的应用。线性控制系统的稳定性是保证系统正常运行和性能优良的关键因素之一。本文将介绍线性控制系统的基本原理、稳定性分析方法以及稳定性的影响因素。

一、线性控制系统基本原理

线性控制系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系的控制系统。在线性控制系统中，系统的动态特性可以通过线性微分方程来描述。这些线性微分方程通常可以表示为：

$$

\frac{{d^n y(t)}}{{dt^n}} + a_1\frac{{d^{n-1} y(t)}}{{dt^{n-1}}} +

\ldots + a_n y(t) = b_0\frac{{d^m x(t)}}{{dt^m}} + b_1\frac{{d^{m-1}

x(t)}}{{dt^{m-1}}} + \ldots + b_m x(t)

$$

其中，$x(t)$为系统的输入信号，$y(t)$为系统的输出信号，$a_i$和$b_i$为控制系统的系数，$n$为系统的阶数，$m$为输入信号的阶数。

线性控制系统具有很多重要特性，例如线性叠加性、时不变性和因果性等。这些特性使得线性控制系统在理论分析和实际应用中具有广泛的适用性。

二、稳定性分析方法 稳定性是线性控制系统中最基本的性质之一，它决定了系统是否能够达到预期的控制效果。稳定性分析的目标是确定系统在有界输入条件下的输出是否有界。下面介绍两种常用的稳定性分析方法：传递函数法和状态空间法。

1. 传递函数法

传递函数是描述线性控制系统输入输出关系的一种数学模型。通过分析传递函数的特性，可以判断系统的稳定性。一般情况下，线性控制系统的传递函数可以表示为：

$$

G(s) = \frac{{Y(s)}}{{X(s)}}

$$

其中，$Y(s)$为系统的输出 Laplace 变换形式，$X(s)$为系统的输入

Laplace 变换形式。

164 9 控制系统的非线性问题

9.1概述

在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图9-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u为电机的控制电压，纵坐标为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A1OA2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B1OB2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

μ01A2A1B2B

图9-1 伺服电动机特性

9.1.1控制系统中的典型非线性特性的类型

常见典型非线性特性有饱和非线性、间隙非线性、死区非线性、继电非线性等。

9.1.1.1饱和非线性

控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图9-2所示，其中axa的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特性以限制过载。

MM0xyaaK

图9-2 饱和非线性

9.1.1.2不灵敏区(死区)非线性

控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。如图9-3所示，其特性是输入信号在x区间时，输出信号为零。超出此区间时，呈线性特性。这种只有在输入量超过 165 一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性，其中区域x叫做不灵敏区或死区。

现代控制理论讲义

- 62 - 第四章 线性控制系统的能控性和能观性

在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ-

ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。

能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能力。

能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t)对系统内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输入u(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。

所以，系统的能控性和能观性研究一般都是基于系统的状态空间表达式的。

4-1 线性连续定常系统的能控性

定义 对于单输入n阶线性定常连续系统

若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 ftt,0内把系统从0t时刻的初始状态0tx转移到任意指定的终态ftx，那么就称系统在0t时刻的状态0tx是能控的；如果系统每一个状态0tx都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00t，0ftx，即00t时刻的任意初始状态0x，在有限时间段转移到零状态0ftx（原点）。

4-2线性连续定常系统的能控性判别

4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别

1． 单输入系统

具有约旦标准型系统 现代控制理论讲义

- 63 - n0000000000000000321 n321即为n个互异根

或buJxx

m个重根1

n-m个互异根nmm21

例：分析下列系统的能控性