非线性控制系统精品PPT课件
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自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
EXIT
第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
非线性控制系统分析教学课件
总结词
详细描述
智能控制
要点一
总结词
智能控制是一种基于人工智能的控制方法，通过模拟人类 的决策和推理过程来实现对系统的优化和控制。
要点二
详细描述
智能控制采用人工智能技术，如专家系统、神经网络、模 糊逻辑等，实现对系统的优化和控制。智能控制具有自学 习、自适应和自组织能力，能够处理复杂的非线性系统和 不确定性问题。
03
状态观测是非线性控制 系统的重要技术，用于 估计系统状态变量的值。
04
通过观测系统的输出信 号，可以估计系统状态 变量的值，用于控制和 观测目的。
CHAPTER
非线性控制系统的分析与设 计
描述函数法
总结词
详细描述
相平面法
总结词 详细描述
反馈线性化方法
总结词 详细描述
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
CHAPTER
非线性控制系统的应用实例
无人机控制系 统
机器人控制系 统
机器人控制系统是另一个重要的非线 性控制系统应用，它涉及到机器人的 运动学、动力学和轨迹规划等方面。
汽车控制系统需要处理各种非线性特性和耦合效应，如发动机的燃烧过 程、底盘的悬挂系统和转向系统等，以确保汽车的安全性、稳定性和舒
适性。
汽车控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如状态反馈控制、 鲁棒控制等，以提高汽车的动态性能和燃油经济性。
航天器控制系 统
详细描述
智能控制
要点一
总结词
智能控制是一种基于人工智能的控制方法，通过模拟人类 的决策和推理过程来实现对系统的优化和控制。
要点二
详细描述
智能控制采用人工智能技术，如专家系统、神经网络、模 糊逻辑等，实现对系统的优化和控制。智能控制具有自学 习、自适应和自组织能力，能够处理复杂的非线性系统和 不确定性问题。
03
状态观测是非线性控制 系统的重要技术，用于 估计系统状态变量的值。
04
通过观测系统的输出信 号，可以估计系统状态 变量的值，用于控制和 观测目的。
CHAPTER
非线性控制系统的分析与设 计
描述函数法
总结词
详细描述
相平面法
总结词 详细描述
反馈线性化方法
总结词 详细描述
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
CHAPTER
非线性控制系统的应用实例
无人机控制系 统
机器人控制系 统
机器人控制系统是另一个重要的非线 性控制系统应用，它涉及到机器人的 运动学、动力学和轨迹规划等方面。
汽车控制系统需要处理各种非线性特性和耦合效应，如发动机的燃烧过 程、底盘的悬挂系统和转向系统等，以确保汽车的安全性、稳定性和舒
适性。
汽车控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如状态反馈控制、 鲁棒控制等，以提高汽车的动态性能和燃油经济性。
航天器控制系 统
非线性控制系统PPT课件
32
1. 210时
z2 cz12 1
●当t→∞时， e1t 0,e2t 0
● e2t比 e1t较 快 趋 于 零 ， 称λ2为快特征值，λ1为慢特征值
称V2为快特征向量，V1为慢特征向量
●当z1>1时，z2变化快，曲线斜率>1，当z1<1时，z2变化慢， 曲线斜率<1.
dz2 dz1
c2 1
z1(2
第一种情况 两个特征值都为实数，1 2 0
线性坐标变换： zM1x
z1 z2
1
z1
2
z2
z1 1z1 z2 2z2
zz1 2eJrt zz1 20 0e1t
z10 e2tz20
z1 (t ) z10e1t z2 (t) z20e2t
z 2 c z 1 2 1 , c z 2 0(z 1 0 )2 1
● 以上模型有一组平衡点 ● 以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。
当x2>0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
当x2<0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
20
1.2.4 负阻振荡器
h ( ) 满足以下条件： h (0 )0 , h '(0 )0 h (v) 当 v , h (v) 当 v
无摩擦单摆系统：
x1 x2 x2 10 sin x1
所有轨线或解的曲线称为系统的相图。 30
2.1 线性系统的特性
线性系统： xAx
解：
x(t)M exp(Jrt)M 1x0
1. 210时
z2 cz12 1
●当t→∞时， e1t 0,e2t 0
● e2t比 e1t较 快 趋 于 零 ， 称λ2为快特征值，λ1为慢特征值
称V2为快特征向量，V1为慢特征向量
●当z1>1时，z2变化快，曲线斜率>1，当z1<1时，z2变化慢， 曲线斜率<1.
dz2 dz1
c2 1
z1(2
第一种情况 两个特征值都为实数，1 2 0
线性坐标变换： zM1x
z1 z2
1
z1
2
z2
z1 1z1 z2 2z2
zz1 2eJrt zz1 20 0e1t
z10 e2tz20
z1 (t ) z10e1t z2 (t) z20e2t
z 2 c z 1 2 1 , c z 2 0(z 1 0 )2 1
● 以上模型有一组平衡点 ● 以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。
当x2>0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
当x2<0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
20
1.2.4 负阻振荡器
h ( ) 满足以下条件： h (0 )0 , h '(0 )0 h (v) 当 v , h (v) 当 v
无摩擦单摆系统：
x1 x2 x2 10 sin x1
所有轨线或解的曲线称为系统的相图。 30
2.1 线性系统的特性
线性系统： xAx
解：
x(t)M exp(Jrt)M 1x0
非线性控制系统分析教学课件
航天器控制系统
航天器控制系统是一个高度复杂的非线性控制系统，它涉及到轨道控制、姿态控制和推进系 统控制等多个方面。
航天器控制系统需要处理各种动态特性和非线性特性，如气动力、引力扰动和热效应等，以 确保航天器能够精确地完成预定任务。
航天器控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如自适应控制、鲁棒控制等，以提 高航天器的稳定性和精度。
非线性控制系统分析 教学课件
contents
目录
• 非线性控制系统概述 • 非线性控制系统的基本理论 • 非线性控制系统的分析与设计 • 非线性控制系统的应用实例 • 非线性控制系统的发展趋势与挑战
CHAPTER 01
非线性控制系统概述ห้องสมุดไป่ตู้
非线性控制系统的定义与特点
总结词
非线性、动态、输入与输出关系复杂
详细描述
反馈线性化方法是一种通过引入适当的反馈控制律，将非线性系统转化为线性系统的设 计方法。它通过调整系统的输入和输出，使得系统的动态行为变得线性化，从而可以利
用线性控制理论进行设计和分析。
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
非线性控制系统的基本理论
状态空间模型
状态空间模型是描述非线性控制系统动态特性的数学模型，由状态方程和输出方程 组成。
状态变量是描述系统内部状态的变量，输出变量是描述系统外部输出的变量。
建立状态空间模型需要考虑系统的非线性特性，包括死区、饱和、非线性函数等。
第8章 非线性控制系统分析PPT课件
2.描述函数的求取步骤
1）绘制输入—输出波形图，写出输入为e(t)Asiω nt
时非线性输出表达式
2）由波形图分析 x (t )的对称性，并计算
A1 B1 X 1 1
3）描述函数为 N(A)B1jA1X1ej1
A AA
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
例 非线性元件的静特性方程为
x(t)1e(t)1[e(t)]3 24
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生 一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在物 理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡。
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
非线性系统与线性系统的区别（4）
线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量 也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念 并用它来表示系统固有的动态特性。
有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程, 而 从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的解法, 再由于 第二个特征, 对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设 计的方法, 只能具体问题具体对待.
本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法,
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数，
一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为 N(A, j)
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入的正弦振 荡的振幅A有关，这是非线性特性本质的反映。它与线性环 节的情况正好相反，线性环节的幅相特性（频率特性）与正 弦输入的幅值无关。
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
具有死区的单值继电器特性
功能：改善系统性能的切换元件
具有滞环的继电器特性
控制工程基础第九章控制系统非线性问题精品PPT课件
当短倾线倾角为45°时，其斜率k为1, 有
x2
x1
该0式.2表1示x12的曲1 线上的每一点斜率均为1。
如上可做其它斜率的倾线，形成如下图
的斜率分布场。画每根相轨迹时，先找
式中，
n1
2
An
1
ytconstdt
0
2
B n
1
y t sin n td t
0
Yn
A
2 n
B
2 n
n arctan
An Bn
如果非线性环节输出的直流分量等于零， 即 A0 0 ，则
y t A1 cos t B 1 sin t Y1 sin t 1
其描述函数为
x1 x2
x2 0.2x121x2x1
因此
d d 1 2 x x 0 .2 x 1 2 x 2 1 x 2 x 1 0 .2 x 1 2 1 x x 1 2
即
k0.2x12
1x1 x2
所以
x2
x1
0.21x12
k
当短倾线倾角为0°时，其斜率k为0，有
x2 该0式.21表x1 示x12的曲线上的每一点斜率均为0。
X Xoijj 1NNG jG j
9.3 相轨迹法
9.3.1 相轨迹的作图法 9.3.2 奇点 9.3.3 非线性系统的相平面分析
9.3.1 相轨迹的作图法
二阶系统状态空间方程为
dx 1
dt dx 2
dt
f1x1, x2 f2 x1, x2
（1）
将式（1）的两式相除，得 解式（2）可得
（3）自持振荡的相轨迹是封闭曲线。
（4）相轨迹若穿过x轴，必然垂直穿过。
在作相轨迹时，考虑对称性往往能使作图简
非线性控制系统(1)页PPT文档
一阶常微分方程组：
x1 f1 (t, x1, , xn , u1, x2 f2 (t, x1, , xn , u1,
,up) ,up)
xn fn (t, x1, , xn , u1, , u p )
时间变量 状态变量 输入变量
x1
x
x
2
x
n
u1
M1AMJr
M为实满秩矩阵 Jr为实Jordan型
1 0
0
2
k
0
第一种情况 两个特征值都为实数， 1 2 0
线性坐标变换： zM1x z1 1z1 z2 2z2
z1 (t ) z10e1t z2 (t) z20e2t
非线性控制系统
硕士研究生课程 2019年5月
参考书目：
《非线性系统》（第三版），Hassan K. Khalil ，电子工业出版社
《非线性控制系统理论与应用》，胡跃明 编 著，国防工业出版社
《非线性系统的分析与控制》，洪奕光 程代 展 著，科学出版社
第一章 绪论
1.1 非线性模型和非线性现象
dv
dv d2v d2v
d
CL , dt
d2CLdt2
v dv d
vh'(v)vv0, LC
v f( v ) v g ( v ) 0L i e n a r d 方 程
当 h(v)v1 3v3时v(1v2)vv0 Van der Pol方程
x1v, x2 v
•特性的多模式：同一非线性系统显示出两种或多种模式。
第十三讲-非线性控制系统分析(2)共51页PPT资料
x2
r
x1
x1<r区
x1>r区
(2) 等倾线法
由式（8－41）有 dx2 Q(x1, x2) dx1 P(x1, x2)
如果令 dx 2
dx 1
为一常数。
则 Q(x1, x2 )
P(x1, x2 )
（8-44）
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹
通过这条线上的各点时，其切线的斜率都相
同，我们称之为等倾线。如果取不同的 值，1,2 …… 则可在相平面上绘制一系列 的等倾线。如图8－27所示。
（1 x10,x20)
2
3
4
图8－27 用等倾线法绘制相轨迹
原理：
x f (x, x)
因
x xdx
dx
故有
dx f (x, x) dx x
式中 dx为相轨迹在某一点的切线的斜率
dx
令
dx dx
，则
f (x, x) （I）
x
满足此方程的点 (x, x) 处的斜率必为 ，有上式确定的 x x关系曲线称为
半稳定极限环
二、非线性环节的描述函数
1．典型非线性环节的描述函数
1．典型非线性环节的描述函数
例8-5 设含理想继电器特性的系统方框图如图所 式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。
解：该继电特性的描述函数为N(A) 4M ，这里M=1，其负倒特性为
A 1 A
N(A) 4
b
2
a
s(0.5s1)(s1)
解：带死区的继电特性的描述函数为
1 A
N(A) 4b 1 a 2 A
Im
1
Re
N (A)
G( j)
第7章-非线性系统PPT课件
重合的，因此沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨
迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可
绘出系统的相轨迹了。
xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序
，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘
制相轨迹子程序的使用方法。
-
11
xoBox
例7-1 非线性系统如图7－7所示，绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
要更复杂些，也可能是各种典型特性的组合，改变上述五种
非线性特性的特征参数可以得到几十种不同形状的非线性特
性，但利用典型特性作为例子来分析讨论非线性系统的问题
是比较方便而又不失一般性。
三、非线性系统的工作特点
描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程，它
不能使用叠加原理，因而设有一个通用的方法来处理所有非
究非线性系统的重要内容之一。-
7
xoBox
(4)线性系统在正弦输入下的输出是同频率的正弦函数。而
非线性系统在正弦输入下的输出是比较复杂的，它可以包含
高次谐波，系统可能产生除与输入频率相同的振荡外，还会
产生其它频率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其幅频
的数值可能会发生跳跃式的突变，出现所谓跳跃谐振和多值
响应。非线性系统还有许多其它奇特现象，在此不再一一列
举。
本章首先讨论非线性系统的相平面法的基本思想、特点和应
用情况。然后介绍非线性系统的描述函数法及其在分析非线
性系统稳定性问题中的应用，最后结合xoBox软件对各典型
非线性环节进行分析。
§7－2 相平面法
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非线
5．变增益特性 变增益特性的输入输出 关系如图7－5所示。这种特性表明，在 输入信号不同范围时，元件或系统的增益 也不同，小信号时增益低，大信号时增益 高(当然也可以相反)。
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非线性特性是静态的、定常的，不涉及动态特性， 即不涉及微分关系。
20
7.2.1 饱和特性
x(t)
b
a
0a
b
a k
e(t)
线性区宽度
线性区特性 的斜率
ke(t )
e(t) a
x(t) kasigne(t) e(t) a
21
7.2.2 死区特性
x(t)
a k
k 0a
a k
e(t)
死区宽度
线性输出 的斜率
可以直观准确地反映非线性系统的稳定性、平衡
状态和稳态精度； 可以反映初始条件对系统运动轨迹的影响；
无需求解非线性微分方程，用图解法即可分析。30
相平面分析法的缺点： 相平面分析法不适用于三阶以上的系统。
31
7.3.1 相平面方法的基本概念
设二阶系统由下述微分方程描述：
x f (x, x) 0 其解 x 及 x 均为时间 t 的函数， 即：
2 极限环（limit cycles）
在非线性系统中，往往有这样的现象：即使无外部 激励，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的 等幅振荡，叫做极限环或自激振荡。
极限环是非线性系统特有的一种重要现象， 在工程实践中经常会遇到。
8
[例7-3] 研究Van der Pol方程
mx 2c(x2 1)x kx 0
ma a e(t)
b
0
x(t) b0signe(t)
b b
ma e(t) a, e(t) 0 a e(t) ma, e(t) 0 e(t) a e(t) ma, e(t) 0 e(t) ma, e(t) 0 24
继电器饱
x(t)
和输出
b
a ma 0 ma
b
a e(t)
继电器吸 上电压
其中 m 、c 、k 为正常数，它相当于描述一个含有
相关组尼系数 2c(x2 1) 的质量-弹簧-阻尼器系统，
或者说描述一个含有非线性电阻的RLC电网络。
9
Van der Pol方程的物理背景
mx mg f x k x x0 0
k
m
f
x(t)
mx f x kx 0
对照
mx 2c(x2 1)x kx 0
0
t
线性化系统 x x 4
x(t)
1
0
t
非线性系统 x x x2
5
结论 非线性系统的稳定性除了与其结构形式及参数
有关以外，还与初始条件有关。当系统存在外部输入 时，稳定性也可能与其输入有关。
6
[例7-2] 研究非线性系统
x xu 当输入u 1时，
x x 当输入 u 1 时，
xx
7
x(t) b
a
0a
e(t)
b
28
7.2.5 变增益特性 x(t)
a a
k1
k2 e(t)
x(t) kk12ee((tt))
e(t) a
e(t) a
29
ห้องสมุดไป่ตู้
7.3 相平面法的基本概念 及相轨迹的绘制
庞卡莱于1885年提出相平面分析法。主要用于研究 二阶系统的运动特性。
相平面分析法的优点： 不但适用于平滑非线性，而且适用于本质非线性；
2
7.1.2 非线性系统的特点
1 多平衡点与系统的稳定性 在线性系统中，系统的稳定性只与其结构形式及
参数有关，而与初始条件无关。其稳定性只取决于其 特征值在s平面上的分布。
而非线性系统的情况要复杂得多，非线性系统往往 有多个平衡点。
3
[例7-1] 研究一阶非线性系统
x x x2
其初始条件为 x(0) x0 x(t)
继电器释 放电压
25
若 a 0 ，则继电器的吸上电压与释放电压均为零，
称为理想继电器特性，如图： x(t)
b
0
e(t)
b
26
若 m 1，则继电器的吸上电压与释放电压相等，
称为含死区无滞环继电器特性，如图： x(t)
b
a
0a
e(t)
b
27
若m 1，则继电器的正向释放电压等于反向吸上
电压，称为仅含有滞环的继电器特性，如图：
无阻尼的质量-弹簧系统的传递函数为
G(s)
s2
2
其极点位于复平面的虚轴上，这是临界稳定系统。
在一定的初始条件下，系统的输出为
y(t) Y sin t
系统的输出也是一种等幅振荡。
13
临界稳定线性系统 的等幅振荡输出
两者之间 完全不同！
非线性系统的 等幅振荡极限环
14
不同点
极限环自激振荡的幅值与初始条件无关； 而临界稳定线性系统的等幅振荡幅值由初始条件 决定。 临界稳定线性系统对于参数的变化十分敏感， 参数的微小变化可能导致收敛或不收敛； 而非线性系统的极限环不易受参数变化的影响。
10
R ui
L C uo x
LCx RCx x ui 当输入为零时 LCx RCx x 0
对照
mx 2c(x2 1)x kx 0 11
4
Van der Pol方程的状态响应曲线
3
mx 2c(x2 1)x kx 0
2
x
1
0
-1
x
-2
-3
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 12 50
第七章 非线性控制系统
7.1 引言
非线性系统在实际物理系统中大量存在。 本章主要讨论两种经典的方法：
描述函数法
1
7.1.1 非线性系统
非线性系统 运动规律要用非线性代数方程或 非线性微分方程、非线性差分方程来描述，不能用 线性方程描述的系统。
另外，控制系统中若含有非线性环节，则称为 非线性系统。
非线性系统一般不满足叠加原理。
经
典 方
4 描述函数法 5 李雅普诺夫直接法
法
18
较为现代的方法
1 逆系统方法（或称为动态逆方法） 2 自适应控制方法 3 变结构控制方法 4 微分几何方法 5 微分代数方法 6 神经网络方法
19
7.2 控制系统中的典型非线性特性
典型非线性的共同特点 不能应用小偏差线性化方法将其线性化， 一般称这类非线性特性为本质非线性。
x(t
)
0 k
e(t
)
asigne(t
)
e(t) a
e(t) a
22
7.2.3 间隙特性
x(t)
b
2
a
0
k
a e(t)
b
间隙宽度
间隙特性 的斜率
k e(t) x(t) 0
x(t)
k
e(t)
x(t) 0
bsigne(t)
x(t) 0
23
x(t)
7.2.4 继电器特性 b
a ma 0
15
3 非线性控制系统的频率响应
正弦输入信号
非线性系统
含有高次谐波分量 的非正弦周期函数
不能用频率特性或传递函数方法来分析和综合 非线性系统。
16
4 非线性控制系统的其他特性 跳跃共振 次谐波振荡 异步抑制 分形现象 混沌现象
17
7.1.3 非线性系统的分析方法
1 线性近似方法
小偏差线性化
2 分段线性化方法 3 相平面方法
20
7.2.1 饱和特性
x(t)
b
a
0a
b
a k
e(t)
线性区宽度
线性区特性 的斜率
ke(t )
e(t) a
x(t) kasigne(t) e(t) a
21
7.2.2 死区特性
x(t)
a k
k 0a
a k
e(t)
死区宽度
线性输出 的斜率
可以直观准确地反映非线性系统的稳定性、平衡
状态和稳态精度； 可以反映初始条件对系统运动轨迹的影响；
无需求解非线性微分方程，用图解法即可分析。30
相平面分析法的缺点： 相平面分析法不适用于三阶以上的系统。
31
7.3.1 相平面方法的基本概念
设二阶系统由下述微分方程描述：
x f (x, x) 0 其解 x 及 x 均为时间 t 的函数， 即：
2 极限环（limit cycles）
在非线性系统中，往往有这样的现象：即使无外部 激励，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的 等幅振荡，叫做极限环或自激振荡。
极限环是非线性系统特有的一种重要现象， 在工程实践中经常会遇到。
8
[例7-3] 研究Van der Pol方程
mx 2c(x2 1)x kx 0
ma a e(t)
b
0
x(t) b0signe(t)
b b
ma e(t) a, e(t) 0 a e(t) ma, e(t) 0 e(t) a e(t) ma, e(t) 0 e(t) ma, e(t) 0 24
继电器饱
x(t)
和输出
b
a ma 0 ma
b
a e(t)
继电器吸 上电压
其中 m 、c 、k 为正常数，它相当于描述一个含有
相关组尼系数 2c(x2 1) 的质量-弹簧-阻尼器系统，
或者说描述一个含有非线性电阻的RLC电网络。
9
Van der Pol方程的物理背景
mx mg f x k x x0 0
k
m
f
x(t)
mx f x kx 0
对照
mx 2c(x2 1)x kx 0
0
t
线性化系统 x x 4
x(t)
1
0
t
非线性系统 x x x2
5
结论 非线性系统的稳定性除了与其结构形式及参数
有关以外，还与初始条件有关。当系统存在外部输入 时，稳定性也可能与其输入有关。
6
[例7-2] 研究非线性系统
x xu 当输入u 1时，
x x 当输入 u 1 时，
xx
7
x(t) b
a
0a
e(t)
b
28
7.2.5 变增益特性 x(t)
a a
k1
k2 e(t)
x(t) kk12ee((tt))
e(t) a
e(t) a
29
ห้องสมุดไป่ตู้
7.3 相平面法的基本概念 及相轨迹的绘制
庞卡莱于1885年提出相平面分析法。主要用于研究 二阶系统的运动特性。
相平面分析法的优点： 不但适用于平滑非线性，而且适用于本质非线性；
2
7.1.2 非线性系统的特点
1 多平衡点与系统的稳定性 在线性系统中，系统的稳定性只与其结构形式及
参数有关，而与初始条件无关。其稳定性只取决于其 特征值在s平面上的分布。
而非线性系统的情况要复杂得多，非线性系统往往 有多个平衡点。
3
[例7-1] 研究一阶非线性系统
x x x2
其初始条件为 x(0) x0 x(t)
继电器释 放电压
25
若 a 0 ，则继电器的吸上电压与释放电压均为零，
称为理想继电器特性，如图： x(t)
b
0
e(t)
b
26
若 m 1，则继电器的吸上电压与释放电压相等，
称为含死区无滞环继电器特性，如图： x(t)
b
a
0a
e(t)
b
27
若m 1，则继电器的正向释放电压等于反向吸上
电压，称为仅含有滞环的继电器特性，如图：
无阻尼的质量-弹簧系统的传递函数为
G(s)
s2
2
其极点位于复平面的虚轴上，这是临界稳定系统。
在一定的初始条件下，系统的输出为
y(t) Y sin t
系统的输出也是一种等幅振荡。
13
临界稳定线性系统 的等幅振荡输出
两者之间 完全不同！
非线性系统的 等幅振荡极限环
14
不同点
极限环自激振荡的幅值与初始条件无关； 而临界稳定线性系统的等幅振荡幅值由初始条件 决定。 临界稳定线性系统对于参数的变化十分敏感， 参数的微小变化可能导致收敛或不收敛； 而非线性系统的极限环不易受参数变化的影响。
10
R ui
L C uo x
LCx RCx x ui 当输入为零时 LCx RCx x 0
对照
mx 2c(x2 1)x kx 0 11
4
Van der Pol方程的状态响应曲线
3
mx 2c(x2 1)x kx 0
2
x
1
0
-1
x
-2
-3
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 12 50
第七章 非线性控制系统
7.1 引言
非线性系统在实际物理系统中大量存在。 本章主要讨论两种经典的方法：
描述函数法
1
7.1.1 非线性系统
非线性系统 运动规律要用非线性代数方程或 非线性微分方程、非线性差分方程来描述，不能用 线性方程描述的系统。
另外，控制系统中若含有非线性环节，则称为 非线性系统。
非线性系统一般不满足叠加原理。
经
典 方
4 描述函数法 5 李雅普诺夫直接法
法
18
较为现代的方法
1 逆系统方法（或称为动态逆方法） 2 自适应控制方法 3 变结构控制方法 4 微分几何方法 5 微分代数方法 6 神经网络方法
19
7.2 控制系统中的典型非线性特性
典型非线性的共同特点 不能应用小偏差线性化方法将其线性化， 一般称这类非线性特性为本质非线性。
x(t
)
0 k
e(t
)
asigne(t
)
e(t) a
e(t) a
22
7.2.3 间隙特性
x(t)
b
2
a
0
k
a e(t)
b
间隙宽度
间隙特性 的斜率
k e(t) x(t) 0
x(t)
k
e(t)
x(t) 0
bsigne(t)
x(t) 0
23
x(t)
7.2.4 继电器特性 b
a ma 0
15
3 非线性控制系统的频率响应
正弦输入信号
非线性系统
含有高次谐波分量 的非正弦周期函数
不能用频率特性或传递函数方法来分析和综合 非线性系统。
16
4 非线性控制系统的其他特性 跳跃共振 次谐波振荡 异步抑制 分形现象 混沌现象
17
7.1.3 非线性系统的分析方法
1 线性近似方法
小偏差线性化
2 分段线性化方法 3 相平面方法