第14章光的衍射
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将上式对整个缝宽积分，就得P点的合振动：
ro dx xsin E Ao cos[ 2 ( 2 t )] a a sin( sin ) ro Ao cos( 2 t ) a sin a A u sin 令 dx
a 2 a 2
x 很小 tgθ sin f
3 f 6 f x3 , d 2 x3 a a
p
x
f
o
da =5000Å 6f
a=0.15mm， f =400mm，=5000Å (2) 中央明纹的线宽度:
2 f =2.67mm x a
p
(3) 第二级暗纹到透镜焦点的距离 第二级暗纹位置： asin =2
B
如果单缝被分成偶数个波带，相邻波带成对相干 相消，结果是单缝上发出的光线全部相干相消，屏幕 上对应点出现暗纹。 如果单缝被分成奇数个波带，相邻波带相干相消 的结果，还剩下一个波带的作用，于是屏幕上对应点 出现亮纹。
是变量吗?
A
a sin
a
• • • • • •
C 2 2 2
2
明纹，k=1,2,3
§14.2 圆孔衍射 仪器的分辨率
一、圆孔衍射
H
L
P
艾 里 斑
d
L
D
f
P
d
d
：艾里斑直径
d 2 1.22 f D
二、 瑞利判据
0 .8 I 0
对于两个强度相等的不相干的点光源(物点)，一 个点光源的衍射图样的主极大刚好和另一点光源衍射 图样的第一极小相重合，这时两个点光源（或物点） 恰为这一光学仪器所分辨。
S
光源
障碍物
有限远 无限远 有限远 无限远
观 察 屏
观察屏
*
障碍物
§14.2 单缝的夫琅和费衍射
设平行单色光垂直入射，当衍射角 =0时，平行 于主轴的光线都会聚于o点，且没有光程差，故它们相 互干涉加强，在o点处形成一平行于缝的明条纹，称为 中央明纹。
p A S
对衍射角 ， 两边缘光线A、B的 光程差是：
三. 光栅光谱
如果用白光照射光栅，由光栅方程 dsin =k，亮纹( k=0,±1, ±2,…) 可知，同一级谱线中，不同波长的谱线出现在不 同的角处(中央零级除外)，由中央向外按波长由短到 长的次序分开排列，形成颜色的光带—光栅光谱。这 就是光栅的色散特性。
k=-3
k=-2 k=-1 k=0 k=1
o C
*
a
B
=BC=asin
f
菲涅耳半波带法
作一系列相距/2且垂直于BC的平面，BC是/2 的几倍，单缝相应就被分成等宽的几个窄带，这 个 窄带称为菲涅耳半波带。 相邻波带上对应点发出的平行
A
a
• • • • • •
C 2 2 2
光线会聚时的光程差都是/2，因而 总是相干相消。 由此得出结论：两个相邻波带 所发出的光线会聚于屏幕上时全部 相干相消。
k=0 k=2 k=3
…...
中央
4000Å 7000Å 4000Å 7000Å
k=2
k=3
四. 光谱级的重叠 如果不同波长1 ，2同时满足： dsin =k11= k22 表明：1 的k1级和2的k2级同时出现在一个 角处， 即1和2的两条谱线发生了重叠，从而造成光谱级的
重叠。 在可见光范围内，第二、三级光谱一定会发生重 叠。级次愈高，重叠愈复杂。 如：dsin =3×4000Å= 2×6000Å
……
即asin ± ( 2k 1) 2
例2-1 波长为的单色光垂直入射到一狭缝上， 若第一级暗纹对应的衍射角为30°， 求狭缝的缝宽及 对应此衍射角狭缝的波阵面可分为几个半波带。 解： 由单缝的暗纹条件： a k k k bsin sinθ θ 2 (2 1) 2 2 k=1， =30°，算得：a=2 ；(半)波带数=2k=2 若不知某处是明纹还是暗纹，则计算波带数的方 法是：
P点的合振动：
K ( ) 2r dE C cos t dS r
K ( ) 2r E dE C cos t dS r S S
P点的合成光强：I = E2
衍射的分类
有限远 菲涅耳衍射： 有限远 无限远 夫琅和费衍射： 无限远
x tgθ 很小 sin f
第二级暗纹到焦点的距离:
x
f
o
2 f x =2.67mm a
当光线斜入射时， i DA 两边缘光线A、B的光程差是：
C
a
B
=BC － DA =asin-asini
a(sin sin i )
2k
2
暗纹，k=1,2,3
a (sin sin i ) (2k 1)
三、 光学仪器的分辨本领 光学仪器的通光孔径 D
s1* s2*
0
f
d2 1.22 f D
d
d2 0 1.22 f D
2
最小分辨角 0 1 . 22 D D 1 1 光学仪器分辨率 D, 0 1 . 22
§14.4 光 栅 衍 射 一. 光 栅
屏上合成光强 =单缝衍射光强×缝间干涉光强
I N2I0单 光栅衍射 光强曲线 单缝衍射 轮廓线 0 4 ( dsin sin /d ) 8 (d
k= -8
-4
光栅衍射的光强分布具有下述特点：亮纹又亮又 细，中间隔着较宽的暗区(即在黑暗的背景上显现明 亮细窄的谱线)。这些谱线的亮度受到单缝衍射因子 的调制。
a
*
二. 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理：媒质中波所传到的各点都可看作是 发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就 决定新的波阵面。 菲涅耳指出：波阵面上各点发出的子波在空间相 遇时会产生干涉。“子波相干叠加”——惠更斯-菲涅耳 原理。 dS
n
dE(p)
Q S(波前) 设初相为零
· p
B
综上所述，单缝衍射明暗纹的中心位置是:
a sin θ 2k 2 a sinθ ( 2k 1) 2 θ0
ห้องสมุดไป่ตู้
暗纹 (k=1,2,3,…) 亮纹 (k=1,2,3,…) 零级(中央)亮纹
p
注意：
1. k=1... 2. 明暗… 3. ... 4. 波带数 直线条纹
波带数 S
E a b p
d k k 4k 4 ,8 a
o
屏上实际呈现：0，±1， ±2，±3，±5，±6，±7， ±9共8级，15条亮纹(±10在无
f
穷远处，看不见)。
例4-2 用白光(=4000Å 7000Å)垂直照射一光 栅常数d=1.2×10-5m的光栅，透镜焦距f =0.6m，求第 2级光谱与第3级光谱的重叠范围。 解：
时，即asin=k (k=1,2...)， I=0，此即暗纹中心的条件。
o
ro P
B
sinu I A Io u
2
2
2
a u sin
d sinu (3) 令 0，可求得各级亮纹的条件为： du u tgu=u
3 asin1=±1.43 ± ，I1=0.0472Io 2 5 asin2=±2.46 ± ， I2=0.0165Io 2
E
x
r
P点合振动的振幅为：
o
ro
sin u A Ao u
B
P
sin u A Ao u
则P点的光强可表示为：
2
a u sin
2
sinu I A Io u (1) 当=0时，u=0，I=Io，光强最大，此即中央 (零级)明纹中心。 E A a (2) u sin k , dx r x
d =10=6×10-6m sin θ2 sin θ1
dsin 2=(k+1)
(2) 因第4级缺级，由缺级公式：
d k k =4，取k =1(因要a最小) a
求得：a=d/4 =1.5×10-6m
(3) 屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数: 由光栅方程： dsin =k 缺级：d=6×10-6m， a=1.5×10-6m 最大k对应 =90°，于是 kmax=d /=10
入射波长变化，衍射效应如何变化？
1 越大，衍射效应越明显. 越大，
入射光非垂直入射时光程差的计算
Δ DB BC
a(sin sin )
a
D
B
A
C
中央明纹向下移动
Δ BC DA a (sin sin )
A
D
C
中央明纹向上移动
13
a
B
3. 用惠更斯-菲涅耳原理求光强分布
k=-3
k=-2 k=-1 k=0 k=1
k=2
k=3
例 4-1 波长=6000Å单色平行光垂直照射光栅， 发现两相邻主极大分别出现在sin 1=0.2和sin 2=0.3 处，而第4级缺级。求：(1) 光栅常数d=？(2) 最小缝宽 a=？(3) 屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。 解：(1) dsin 1 =k , 于是求得光栅常数：
设窄带dx的光振动为： E A dx x B
dx dE Ao cost a
r ro P
坐标为x 处的窄带 (子波源) 在P点产生的光振动为：
o
dx 2r dE Ao cos( t ) a
用ro表示从单缝中心o点到P点的光程，则r=ro+xsin，上式 变为：
