人教版-选修1-1-1.1命题及其关系

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(4)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0.1.利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈ B ，且A ⊉ B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.[特别警示] 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. ※ 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切； (2) p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3) 设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m ； (4) 设α∈)2,2(ππ-，β∈)2,2(ππ-，p ：α＜β，q ：tan α＜tan β.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.※求证：关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.若关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题p∧p2.全称量词3.1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.2.解决该类问题基本步骤为：(1)弄清构成它的命题p 、q 的真假； (2)弄清它的结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假.※ 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题. 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证p (x )成立.2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.3.要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0有唯一解； (4)存在实数x ，使得2112=+-x x 。

常用逻辑用语
●重点难点
本章重点：命题与量词；基本逻辑联结词 “或”“且”“非”；充分条件、必要条件与命题四种形 式之间的逻辑关系，对含有一个量词的命题进行否定． 本章难点：对一些代数命题真假的判定和对全称命题
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和特称命题的否定，以及对命题的充分条件，必要条件的
判定．
第一章
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C．今天会下雪吗？
D．正方形的四个内角均为直角 [答案] C [解析] 疑问句不是命题，故选C.
第一章
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2．下列命题中，是真命题的是
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集 B．{x∈N||x－1|<3}是无限集 C．空集是任何集合的真子集 D．x2－5x＝0的根是自然数
(
)
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角线相等．”
条件为：“若一个四边形是矩形”； 结论为：“这个四边形的两条对角线相等”．
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第一章
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[例4] 将下面的命题写成“如果p，则q”的形式．
当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加． [误解] “如果p，则q”的形式为：如果a>0，则函数 原命题有两个条件：a>0和x增加，其中a>0是 “如果p，则q”的形式为：当a>0时，如果x
第一章
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本节重点：了解命题的定义．
本节难点：判定一个句子是不是命题以及命题真假的 判断． 关于命题概念的判定 (1)一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其
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次要看能不能判断真假，不能判断真假的语句，就不是命

高中数学选修1-1知识点总结第一章 简单逻辑用语●命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句． ● “若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． ●原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝” ●四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ●若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件； 若A =B ，则A 是B 的充要条件； ●逻辑联结词：⑴且：命题形式p q ∧； ⑵或：命题形式p q ∨； ⑶非：命题形式p ⌝．pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真●⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示．全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃． ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示． 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀．第二章 圆锥曲线●平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． ●椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<●平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距● 双曲线的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程 b y x a=±a y x b=±● 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． ●平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．●抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤●过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p A B =．●焦半径公式：若点()00,x y P在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p Fx P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；第三章 导数及其应用●函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --● 导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000．● 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．●常见函数的导数公式： ①'C0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a xx ln )('=； ⑥xx e e =')(； ⑦ax x a ln 1)(log '=； ⑧x x 1)(ln '=●导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．●在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．●求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．●求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。

课堂讲义数学选修1－1第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1命题[学习目标]1．了解命题的概念．2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式．[知识链接]在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？答：判断一件事情的句子叫命题．如：有两边相等的三角形是等腰三角形．[预习导引]1．命题的定义(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)判断为真的语句叫做真命题．(3)判断为假的语句叫做假命题．2．命题的结构从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．要点一命题的判断例1下列语句是命题的是()A．x－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树答案 B解析A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．跟踪演练1判断下列语句是否是命题．(1)求证3是无理数．(2)x2＋2x＋1≥0.(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．(5)一个正整数不是质数就是合数．(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0.(7)x＋3>0.解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题．要点二命题真假的判断例2判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．解(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．规律方法要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．跟踪演练2下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④解析①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．要点三命题的结构例3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当ac>bc时，a>b；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．(3)若ac>bc，则a>b.假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．规律方法把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一．跟踪演练3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)负数的立方是负数；(3)对顶角相等．解(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题．(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．1．下列语句不是命题的有()①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题中的真命题是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案 C解析由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是______________．答案函数为y＝2x＋1该函数是增函数4．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．答案 4解析①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直．矩形的对角线不一定垂直．1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p中．第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1命题一、基础达标1．下列语句是命题的是()A．2012是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？D．a≤15答案 B解析A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．2．下列命题是真命题的是()A．{∅}是空集B．{x∈N||x－1|<3}是无限集C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数答案 D解析x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．3．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是正确的．如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有()A．0个B．1个C ．2个D ．3个答案 C解析 把α、β换成直线a 、b 时，则该命题可改写为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，由直线与平面平行的判定定理可知，该命题是正确的；把α、γ换成直线a 、b 时，则该命题可改写为“a ∥β，且a ⊥b ⇒β⊥b ”，它是判断直线与平面的位置关系的，显然是错误的；把β、γ换成直线a 、b ，则该命题改为“a ∥α，b ⊥α⇒a ⊥b ”，显然成立． 4．(2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等． ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③答案 C解析 ①是真命题；②标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，假命题；③圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切，是真命题．5．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是________． (1)若a ∥b ，则α∥β (2)若α⊥β，则a ⊥b(3)若a 、b 相交，则α、β相交 (4)若α、β相交，则a 、b 相交 答案 (4)解析 (4)中如果α、β相交，a 和b 可以相交，也可以异面． 6．下列命题，是真命题的是________． (1)若ab ＝0，则a 2＋b 2＝0 (2)若a >b ，则ac >bc (3)若M ∩N ＝M ，则N ⊆M(4)若M⊆N，则M∩N＝M答案(4)解析(1)中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；(2)中，c≤0时不成立；(3)中，M∩N＝M说明M⊆N.故(1)、(2)、(3)皆错误．7．把命题“a>0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增加而增加”改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．解a>0时，若x增加，则函数y＝ax＋b的值也随之增加，它是真命题．二、能力提升8．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案 B解析①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．9．命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为________．答案若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称10．给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的是________(填序号)．答案②④解析命题①是假命题，“两条直线”应改为“两条相交直线”；命题②是面面垂直的判定定理，是真命题；命题③是假命题，垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交；命题④是面面垂直的性质定理的另一种说法，是真命题．11．判断下列命题的真假．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)函数y＝1x的图象关于原点对称．解(1)假命题．当a>0时，抛物线开口向上，有最小值．(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20,17,14,11,8,5,2，它的公差是－3.(3)真命题．y＝1x是奇函数，所以其图象关于原点对称．12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当x＋y＝5时，x＝2且y＝3；(2)当m>14时，mx2－x＋1＝0无实根；(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.解(1)若x＋y＝5则x＝2且y＝3.∵x＝1，y＝4时，x＋y＝5.∴是假命题．(2)若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根．∵Δ＝1－4m<0，∴是真命题．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，真命题．三、探究与创新13．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得由A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．解若A，则B，即“若x>1＋a5，则x>1”，由命题为真命题可知1＋a5≥1，解得a≥4；若B，则A，即“若x>1，则x>1＋a5”，由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a≤4.1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系[学习目标]1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．3．会利用逆否命题的等价性解决问题．[知识链接]下列四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？答：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．[预习导引]1．四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真．原命题为真，它的逆否命题一定为真．要点一四种命题的概念例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数；(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．解(1)原命题是真命题．逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)原命题是真命题．逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题．否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．跟踪演练1写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线．否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面．逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10.否命题：如果x≤10，那么x≤0.逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2.否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0.逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.要点二四种命题的关系例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪演练2有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案 1解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”是假命题．要点三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．解法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：∵抛物线y＝x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．法二先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．规律方法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪演练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A答案 B解析命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()A．若A∪B＝B，则A∩B＝AB．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠AD．若A∪B≠B，则A∩B＝A答案 C解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．答案①③解析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”．真命题．②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系一、基础达标1．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案 B解析否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．4．有下列四个命题，其中真命题有：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．5．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________．答案若x，y不全为零，则xy≠0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．6．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．答案②和③①和③①和②7．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．”(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．二、能力提升8．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是() A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．真命题有2个．9．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：(1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；其中所有正确叙述的序号是________．答案(1)(2)解析原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．10．已知：A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b⊄α，若b∥α，则b⊥a；②a⊥α，若a⊥β，则α∥β；③a⊂α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，若a⊥c，则a⊥b；④a⊥α，若b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.其中逆命题为真的是________．答案①②③解析④的逆命题：“a⊥α，若a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b、c可以在α内，故不正确．11．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.∵原命题是假命题，∴逆否命题也是假命题．∵逆命题是假命题，∴否命题也是假命题．12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．三、探究与创新13．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”为真命题．因为a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，为真命题．因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真命题．1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件[学习目标]1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．3．通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．[知识链接]判断下列两个命题的真假，并思考命题中条件和结论之间的关系：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若|x|＝1，则x＝1.答：(1)为真命题，(2)为假命题．命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab，即x>a2＋b2⇒x>2ab.命题(2)中，由|x|＝1，可得x＝1或－1，即|x|＝1D x＝1.结论：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．[预习导引]充分条件与必要条件命题真假“若p，则q ”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q pD q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件要点一充分条件、必要条件例1指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：sin α>sin β，q：α>β.解(1)∵x2＝2x＋1x＝2x＋1，x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．规律方法要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p.跟踪演练1下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；(2)若f(x)＝x，则f(x)为增函数；(3)若x为无理数，则x2为无理数；(4)若x＝y，则x2＝y2；(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(6)若a＞b，则ac＞bc.解(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3 ＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3 ＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；(2)∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件．(5)∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件．(6)∵p q，而q p，∴p是q的既不充分也不必要条件．要点二充分条件、必要条件与集合的关系例2是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．解由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，令A＝{x|x>2，或x<－1}，由4x ＋p <0，得B ＝{x |x <－p4}，当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4， 此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．规律方法 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值． 跟踪演练2 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围． 解 由(x －a )2<1得，x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0， ∴a －1<x <a ＋1.又由x 2－5x －24<0得，－3<x <8. ∵M 是N 的充分条件， ∴M ⊆N ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8， 解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是－2≤a ≤7.1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．既不是充分条件，也不是必要条件 D ．既是充分条件，也是必要条件。