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专题：命题及其关系与充分、必要条件※知识要点1．命题(1)概念：用语言、符号或式子表达的，可以叫做命题，其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做．(2)一般形式：若/如果，则/那么.2．四种命题及其关系(1)四种命题若用p和q分别表示原命题的条件和结论，四种命题的形式是：①原命题：若则或；①逆命题：若则或；①否命题：若则或；①逆否命题：若则或．注意：命题p的否定是指，记作；(2)四种命题间的关系：(3)四种命题的真假性关系①两个命题互为逆否命题，它们的真假性；①两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性．3．充分条件与必要条件(1)若p①q，则p是q的条件，q是p的条件；(2)若p①q，则p是q的条件，q是p的条件；(3)若p①q，q /p，则p是q的条件，同时，q是p的条件；(4)若p q，q /p，则p是q的条件，同时，q是p的条件；注意：充分条件与必要条件的具备以下两个特征：①对称性：若“p⇒q”，则“”；②传递性：若“p⇒q且q⇒r”，则p与r的关系是．※题型讲练【例1】判断下列命题的正误：(1)“x2＋2x－3<0”是命题()(2)“sin 45°＝1”是真命题()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真()变式训练1：1．按要求写出下列命题的相关命题并判断其真假：(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题；(2)命题“若x＝4，则x2＋3x－4≥0”的否命题；(3)命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；(4)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题；【例2】在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．变式训练2：1．给下列命题选择合适的条件：A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC①BD”的；(2)若命题p：φ＝π2＋kπ，k①Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的；(3)已知命题p：m<－2，命题q：方程x2－x－m＝0无实根，则命题p是q的；(4)给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则命题p是¬q的．2．已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；①p是q的充分条件而不是必要条件；①r是q的必要条件而不是充分条件；①￢p 是￢s 的必要条件而不是充分条件； ①r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是 ．【例3】设x ，y ①R ，求证：|x +y |=|x |+|y |的充要条件是xy ≥0．变式训练3：1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)， 求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.【例4】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，根据下列条件，分别求实数m 的取值范围： (1)若x ①P 是x ①S 的必要条件；(2)若¬P 是¬S 的必要不充分条件． 变式训练4：1．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1 D ．a ≤0或a >12．若命题“x <m －1或x >m ＋1”是命题“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．3．设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． ※课后练习1．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x <y ，则x 2<y 2” B ．“若x >y ，则x 2>y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2” 2．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则命题“m ＝－3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．给定两个命题p 、q ，若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p的必要而不充分条件，则a 的取值范围是( )A ．(4,＋∞)B ．(－∞,－4)C ．(－∞,－4]D ．[4,＋∞) 5．命题“任意x ①[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤56．命题“如果x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是 ． 7．给下列命题选择合适的条件：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (1)“a ＝2”是“{1，2}⊆{1，a ，b }”的 ；(2)“m <14”是“方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的_______；(3)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的_______； (4)“a ＝1”是“直线x －2ay ＝1和ax －2y ＝1平行”的_____； 8．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是 ____ ．9．已知集合A ＝{x |12<2x <8，x ∈R}，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________．10．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.11．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．。
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分；（2）函数232y x x =-+有两个零点.二、讲授新课：（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（学生自练→个别回答→教师点评）2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系.②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+；（3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；（5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页第2（2）题P10页第3（1）题。
1.1充分条件与必要条件【知识要点】1、命题的定义与结构（1）定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
（2）命题的结构：具有“若p ，则q ”这种形式的命题是常见的。
我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
2. 四种命题（1）互逆命题：a. 定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫原命题，另一个叫原命题的逆命题。
b. 形式：如果原命题为“若p ，则q ”，那么逆命题为“若q ，则p ”（2）互否命题：a. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫互否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
b. 形式：如果原命题为“若p,则q ”，那么它的否命题为“若,p q ⌝⌝则。
（3）互为逆否命题：a. 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
b. 形式：如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“q,p ⌝⌝则”（注意：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价） 3、 充分条件和必要条件的定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p q ⇒，即p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
4、 充要条件：一般地，如果既有p q ⇒，且q p ⇒，那么就记作：p q ⇔5、 从逻辑推理关系上看：① 若,q >p p q ⇒≠，则p 是q 的充分而不必要条件；② 若,p >q q p ⇒≠，则p 是q 的必要而不充分条件；③ 若,q p q p ⇒⇒，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）；④ 若>,q >p q p ≠≠，则p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件。
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互第二课时 1.1.2-1.1.3 四种命题及其关系教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系. 教学难点：四种命题的相互关系. 教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 二、讲授新课：1. 教学四种命题的概念：（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例 2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+； （3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题。
新课标人教Ａ版高中数学选修2-1教案第一章常用逻辑用语1、1命题及其关系１.1.１命题(一)教学目标1、知识与技能:理解命题得概念与命题得构成,能判断给定陈述句就是否为命题,能判断命题得真假；能把命题改写成“若p,则q”得形式;２、过程与方法：多让学生举命题得例子,培养她们得辨析能力；以及培养她们得分析问题与解决问题得能力;3、情感、态度与价值观：通过学生得参与,激发学生学习数学得兴趣。
（二）教学重点与难点重点:命题得概念、命题得构成难点:分清命题得条件、结论与判断命题得真假教具准备：与教材内容相关得资料。
教学设想：通过学生得参与，激发学生学习数学得兴趣。
(三)教学过程学生探究过程:１.复习回顾初中已学过命题得知识,请同学们回顾:什么叫做命题?２.思考、分析下列语句得表述形式有什么特点？您能判断她们得真假吗？(1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点．(2）2+4＝7.(3）垂直于同一条直线得两个平面平行.(４)若x2＝1,则ｘ=1.(５)两个全等三角形得面积相等．(６)3能被２整除.3.讨论、判断学生通过讨论,总结：所有句子得表述都就是陈述句得形式,每句话都判断什么事情。
其中(1）(3)（5)得判断为真,(２）(４)（6)得判断为假。
教师得引导分析:所谓判断,就就是肯定一个事物就是什么或不就是什么,不能含混不清。
４．抽象、归纳定义：一般地,我们把用语言、符号或式子表达得，可以判断真假得陈述句叫做命题．命题得定义得要点:能判断真假得陈述句．在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题得例子. 教师再与学生共同从命题得定义，判断学生所举例子就是否就是命题,从“判断”得角度来加深对命题这一概念得理解. 5．练习、深化判断下列语句就是否为命题？(1)空集就是任何集合得子集. （２)若整数a就是素数，则就是a奇数.（３)指数函数就是增函数吗? (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行．(5）=-2. (6)ｘ＞１5．让学生思考、辨析、讨论解决,且通过练习,引导学生总结：判断一个语句就是不就是命题,关键瞧两点:第一就是“陈述句”,第二就是“可以判断真假”,这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、感叹句均不就是命题.解略。
1.1 四种命题-人教A版选修2-1教案一、教学目标1.了解命题的概念和分类；2.掌握命题的四种基本形式及其互相转换的方法；3.能够正确地进行命题的判断。
二、教学内容及方法1. 命题的概念和分类1.命题的概念：最基本、最简单的陈述句；2.根据真假性分类：真命题、假命题、无法确定真假性的命题（悬命题）；3.根据范畴分类：普通命题、特殊命题、疑问命题、祈使命题。
2. 命题的四种基本形式及其互相转换的方法1.命题的基本形式：命题符号（P、Q、R……）代表命题句，真命题用T 表示，假命题用 F 表示；2.命题的四种基本形式：简单命题、合取命题、析取命题、条件命题；3.命题的互相转换方法：–反命题：∼P → ~Q，即命题的否定；–逆命题：Q → P，即条件命题交换其前后命题的位置；–等值命题：P ↔ Q，即两个命题具有相同的真值；–合取式和析取式的转换：(P ∧ Q) ↔ (P∨~Q)，(P ∨ Q) ↔ (P∧~Q);3. 命题的判断1.命题的判断：确定命题的真假性；2.命题的判断方法：–直接判断法：通过对命题的实际情况进行判断；–非正式推理法：根据命题的特性进行推理；–矛盾判定法：如果一组命题同时成立，那么这组命题就是矛盾的；–反证法：先假设所要证明的结论不成立，证明这个假设是错误的，然后得出该结论的正确性。
三、教学时间安排时间内容10min课堂导入：展示几个常见命题，并引导学生思考命题的概念和分类。
15min介绍命题的分类，讲解每种类型的特征和应用。
30min介绍命题的四种基本形式及其互相转换的方法，举例说明。
20 min 给学生布置练习题，由学生用不同的方法进行命题的判断，并互相交流和研讨。
25min对练习题进行讲解和答疑，解释出错的地方和学生的不解之处。
5 min 课堂总结：回顾当天的学习内容，强调注意事项和易错点。
四、教学评估1.练习题的完成和交流情况；2.知识点的掌握情况和运用能力；3.学生的参与度和表现情况；4.反馈问卷的结果及建议。
§1.4. 四种命题及其关系学习目标：1.了解命题的概念和命题的构成；2．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；基础热身：(1)命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） .A 若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1- .B 若11x -<<，则21x <.C 若1x >或1x <-，则21x > .D 若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥1(2)命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在定义域内是减函数,则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 知识梳理：1．命题的四种形式：如果, 原命题：若P ， 则q ．那么, 逆命题：若 ,则 ． 否命题：若 ，则 ．逆否命题：若 ，则 ．2. 四种命题间的关系：1° 原命题与逆否命题总是具有 的真假性，逆命题与否命题也总是具有 的真假性．互为逆否的两个命题 的真假性．2°互逆命题或互否命题，它们的真假性 ． 3°原命题与它的逆否命题, 是等价. 叫做等价命题.因此, 证原命题为真, 与证它的逆否命题为真等效.于是, 为了证明原命题为真, 有时考虑证明 为真, 叫做 法. 案例分析：例1：把命题“负数的平方是正数”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
2019-2023学年高中数学《四种命题》说课稿新人教A版选修2-12019年至2023年是高中阶段学习的关键时期，对于学生而言，数学作为一门重要的学科，其重要性不言而喻。
而本篇文章将围绕新人教版选修2-1《四种命题》这个话题展开，为大家进行一次详细的说课。
一、本课内容概述本篇课程的主要内容是四种常用的命题方式：肯定命题、否定命题、条件命题和命题联结词。
通过学习这些命题方式，学生可以更好地理解数学问题的表达方式，提高解题能力。
二、教学目标1. 知识与能力目标：学生能够熟练掌握肯定命题、否定命题、条件命题和命题联结词的相关知识，并能够正确运用于解题中。
2. 过程与方法目标：培养学生的逻辑思维能力，提高分析和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观目标：培养学生的科学思维、观察问题的能力和分析问题的能力，增强学生对数学的兴趣和自信心。
三、教学重难点1. 教学重点：梳理转换命题的思路和方法，帮助学生掌握相关的知识点。
2. 教学难点：培养学生的逻辑思维能力，让学生能够熟练应用命题方式进行解题分析。
四、教学准备1. 教师准备：教师需要提前准备好教学课件，以清晰、简洁的方式展示知识点。
同时还需要准备一些课堂练习和案例来辅助教学。
2. 学生准备：学生需要提前预习课本相关内容，并准备好课堂笔记和练习题。
五、教学过程本课程的教学过程主要包括引入、知识点讲解、例题演练、课堂练习和作业布置五个环节。
1. 引入环节：通过引入一些日常生活中的例子，激发学生对命题的兴趣。
例如，如果"今天下雨"是一个命题P，则其否定命题为"今天不下雨"。
2. 知识点讲解：介绍肯定命题、否定命题、条件命题和命题联结词的定义和概念。
结合具体的例子，帮助学生理解各种命题的不同表达方式。
3. 例题演练：通过几个具体的例题，让学生自己进行思考和解答。
例如，若已知命题P为"今天下雨"，命题Q为"我带伞"，那么当P 为真，Q为真时，两个命题P→Q的真值是真。
