概率论与数理统计总结

概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B nk p p C k X P k n k k n,,1,0,)1()(Λ=-==- 泊松定理 0lim >=∞→λnn np有Λ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk nn λλ(3) 泊松分布 )(λP =Λ,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1Λ dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。

（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。

3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a Uf (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f（2）基本二维连续型随机向量分布均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布：+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律：3、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X⎰∞+∞-= dx y x f y f Y⎰∞+∞-=),()(F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律： （3）条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布 （1）条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x YX du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成，（2）条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x fY Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).泊松分布：若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。

2、连续型随机变量函数分布： （1）Z=X+Y ⎰∞+∞--=dy y y z f z f Z),()(或⎰∞+∞--=dxx z x f z fZ ),()(若X 和Y 相互独立时，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-=dxx z f x f z f dy y f y z f z f Y X Z Y X Z )()()()()()(；正态分布的特点：a 设X,Y 相互独立且X ~N(μ1，σ12)，Y ~N(μ2，σ22经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且有Z ~N(μ1+μ2，σ12+σ22).b 若X ~N(µ,σ2)，则)1,0(~*N X Xσμ-=c 若X ~N(µ,σ2)，则()),(~212121σμk k k N kX k Y ++=（2）M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布 设X,Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x )和F Y (y ) M=max(X,Y)：)()()(maxz F z F z F YX=N=min(X,Y)：)](1)][(1[1)(minz F z F z FY X ---=(2)几种常见分布的数学期望i. X 服从参数为p 的(0,1)分布：E (X )=0×(1-p )+1×p=pii. 若X ~b (n,p ),则E (X )=np iii.若X ~π(λ)，则 E (X )=λ 2、连续型随机变量的数学期望 (1)定义：.d )()(.)(,d )(,d )(,)(⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=x x f x X E X E X x x f x xx f x x f X 即记为的数学期望的值为随机变量则称积分绝对收敛积分若的概率密度为设连续型随机变量(2)几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若X ~U(a,b),则E(X)=(a+b)/2 ii. 若X ~N(µ,σ2)，则E(X)=μ iii.若X 服从指数分布 ⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x αα ，则E(X)=1/α3、函数 Y = g (X ) 的数学期望(1)离散型：离散型变量X 的概率分布为Λ,2,1,)(===i p x X P i i 若无穷级数∑∞=1)(i iip x g 绝对收敛，则∑∞==1)()(i ii p x g Y E 。

(2)连续型：连续型随机变量X 的 概率密度为f(x )，若广义积分⎰+∞∞-dx x f x g )()(绝对收敛，则⎰+∞∞-=dxx f x g Y E )()()(。

4、数学期望的性质： i C 为常数,则有E(C)=C ；ii 设X 是一个随机变量，C 常数，则有E(CX)=CE(X)；iii 设X ，Y 是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况:)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ΛΛiv 设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y)这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况)()()()(2121n n X E X E X E X X X E ΛΛ=⋅⋅⋅二、方差1、定义：设X 是一个随机变量，若}])([{2X E X E -存在，则称}])([{2X E X E -为X 方差，记为D(X)或Var(X).称它的平方根为标准差，记作(X) 2、计算方法：(1)用定义：离散型：,)]([)(12k k kp X E xX D ∑+∞=-= 连续型：,d )()]([)(2x x f X E x X D ⎰+∞∞--=(2)用公式：.)]([)()(22X E X E X D -=3、方差的性质(1) 设C 是常数，则D(C)=0；(2) 设X 是随机变量，a 是常数，则D(a X)=a 2D(X),从而 D(a X+b)=a 2D(X)；(3) 设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，则有D(X ±Y)=D(X)+D(Y)；(4) 对任意常数C, D (X ) ≤ E (X – C )2 , 当且仅当C = E (X )时等号成立(5) D (X ) = 0 则P (X = E (X ))=1称为X 依概率 1 等于常数 E (X ) 4、常见分布的方差(1) (0-1)分布，其分布律为P{X=0}=1-p ，P{X=1}=p,则D(X)=p(1-p)(2)二项分布 X ~b (n ,p ),，其分布律为.,....,2,1,0}{n k qp C k X P kn k k n ===-则E(X)=n p ,D(X)=n pq(3)泊松分布 X ~π(λ),其分布律为,.....2,1,0!}{===-k k e k X P k λλ 则E(X)=λ,D(X)=λ(4)均匀分布 X 在区间(a ，b)均匀分布E(X)=(a+b)/2，.12)()(2a b X D -=(5)正态分布X ~N(µ,σ2)，(),21)(222σμσπ--=x ex f E(X)=μ，D(X)=σ2.5、契比雪夫不等式：设随机变量X 的期望和方差都存在，且 E(X)=μ,D(X)=σ2，则对任意的ε>0,有.}|{|22εσεμ≤≥-X P6、矩的概念：(1)设X 和Y 是随机变量，若)(kX E 存在，Λ,2,1=k 称为k 阶原点矩，简称k 阶矩。

(2)若Λ,3,2,})]({[=-k X E X E k存在，称为k 阶中心矩。

(3)若Λ,2,1,,)(=l k Y X E lk存在，称为k+l 阶混合矩。

(4)若Λ,2,1,,})]([)]({[=--l k Y E Y X E X E lk存在，称为k+l 阶混合中心矩。

7、标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E (X )、方差D (X )都存在, 且D (X ) ≠ 0, 则称)()(X D X E X X -=*为 X 的标准化随机变量，显然，1)(,0)(==**X D X E三、协方差和相关系数 1、协方差(1)定义：E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X 与Y 的协方差，记为Cov(X ，Y)，即 Cov(X ，Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。

离散型：ijii j ip Y E y X E x Y X Cov ⋅--=∑∑∞=∞=)]([)]([),(11连续型：ijii j ip Y E y X E x Y X Cov ⋅--=∑∑∞=∞=)]([)]([),(11(2)关系公式: i协方差与方差的关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X ，Y)ii 协方差与数学期望的关系：Cov(X ，Y)= E(XY)-E(X)E(Y)iii 若X ，Y 独立，则Cov(X ，Y)=0,但反之不成立。

(3)协方差的性质 Cov(X ，Y)= Cov(Y ，X)；Cov(a X ，b Y)= ab Cov(X ，Y)；Cov(X 1+X 2，Y)= Cov(X 1，Y)+ Cov(X 2，Y) 2、相关系数(1)定义：若Cov(X ，Y)存在，并且D(X)、D(Y)存在且不为零，则称)()(),(Y D X D Y X Cov XY ⋅=ρ为随机变量X 与Y 的相关系数。