概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲 乙 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹 设事件A B C 分别表示甲 乙 丙击中目标 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ｛事件A,B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E ABC ABC ABC ABC;或 AB U AC U BC;或 ABUAC uBc ；或 A B A C B C ；或 ABC (ABC ABC ABC). (和A B 即并AUB,当A, B 互斥即AB 时AU B 常记为A B ) 2.设M 件产品中含m 件次品 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.1 C Mm 或 C m C m m C m m(2M m 1) C M C MM (M 1) ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只 计算以下事件的概率. A ｛8只鞋子均不成双｝, B ｛恰有2只鞋子成双｝, C ｛恰有4只鞋子成双｝.C 6(C 2)6 32 C 8C 4(C 2)4 80P(A) 5 I ：2丿— 0.2238, P(B) 8 7严丿 竺0.5594, C 66 143 G ；143 C 82CI(C 2)230 6 ——0.2098. G ；143 ★ 4.设某批产品共50件 其中有5件次品 现从中任取3件 求(1)其中无次品的概率(2)其中恰有一件次品的概率“'CL 1419 C 45C 5 99⑴今---------- 0.724.——0.2526. C 50 1960 ' ' C 50 3925. 从1〜9九个数字中 任取3个排成一个三位数 求 (1)所得三位数为偶数的概率(2)所得三位数为奇数的概率 4 P ｛尾数为偶数｝-,P ｛尾数为奇数｝ £, 1 P ｛三位数为偶数｝ 1 - 5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率记事件A ｛最小号码为5｝, B ｛最大号码为5｝. C 2 1 C 2 1(1) P(A)話-；(2) P(B) 4C 10 12 7. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球 记下颜色后放回 共取球三次求下列事件的概率 ：A =｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全P(C) (1) P ｛三位数为偶数 (2) P ｛三位数为奇数 或P ｛三位数为奇数C o 20同｝ E=｛无黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.1 1 1 A 3 P(A) 4 丄,P(B) 3P(A)丄，卩(0 企3 27 9 33 238 1 1 P (E) F 方P(F) F -HG) 2P(A) 3 -, P(D) 1 P(B)33 9 9 27. ☆.某班n 个男生m 个女生(m n 1)随机排成一列 计算任意两女生均不相邻的概率. ☆.在［0 1线段上任取两点将线段截成三段 1 4 第二次作业 1.设A B 为随机事件P(A)(1) 0.85 P(B| A) P(AB) P(A) 计算三段可组成三角形的概率. P (AB) P(A|B) (2) P(AU B) 0.92 P(B) 0.93 鵜,P (A B )P(A) P(AB) P(A) P(B) ■更翌0.83. P(B) 1 0.93 P(A) P(B) P (AB) 0.92 P(B|A) 0.85 求(1)P(A|B) (2)P(A U B)0.85 0.08 0.068, P(AB) 0.92 0.93 0.068 0.058, 0.93 0.862 0.988. 2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为 记事件 A ｛(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)｝ P(B| A)2 1^'^63 ★.在1—2000中任取一整数 求取到的整数既不能被 记事件A ｛能被5除尽｝, B ｛能被7除尽｝. 400 1 弟曲2000 P(A) ---------- ----- 取整—— 2000 5 - P(AB) P(AU B) 1 d 1 57 57 5 400 2000 3. 由长期统计资料得知 表示)的概率为7/15既刮风又下雨的概率为P(AB) 1/103P(A| B) ' -丿 -------------- —,P(B|A)P(B) 7/15 144 7 P(AUB) P(A) P(B) P (AB) — —15 157求其中有一颗为1点的概率. ,B {(1,6),(6,1)}. 5除尽又不能被7除尽的概率285, P(B)285 2000 旦，迴0 57, P(AB)亠匚, 400 5 72000 P(AU B) 1 P(A) 0.686.P(B) P (AB)某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15刮风(用B 1/10 求 P(A| B)、P(B|A)、P(A B) P (AB) 1/10 P(A) 4/15 11910 3。

.38,1/2若第一次落下未摔破第9/104设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是 二次落下时摔破的概率是 7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是试求落下三次而未摔破的概率. 记事件A =｛第i 次落下时摔破｝ i 1,2,3. P(AA 2A 3)P (A 1)P(A 2|A 1)P(A 3| A 1A 2) 1丄 25设在n 张彩票中有一张奖券 有3个人参加抽奖 概率. 记事件A =｛第i 个人摸到奖券｝ i 1,2,3. 1 P (A 1) P(A 2)P (A 3)-. n - 一 n 1 1 Pg P(A 2|A 1)------------------- n n 1 由古典概率直接得 或 P (A 2) P (A 1A 2)P(A 3)P WA ZA)P(A 1)P( A 2IA 1) P^lAA) 或 第一个人中奖概率为 1 P(A 1)-n 前两人中奖概率为 P(A i 前三人中奖概率为 P(A i 1 Z 1 2 10 10分别求出第一、 3 200.二、三个人摸到奖券2 1 —,解得 P (A?)—, n n3 1 A A 3) P(A) P(A 2)P(A 3)—,解得 P(A 3)—. n n A 2) P(A i ) P(A 2)6甲、乙两人射击 与否是独立的求(1)两人都中靶的概率(2)甲中乙不中的概率(3)甲不中乙中的概率 记事件A=｛甲中靶｝ B=｛乙中靶｝. (1) P(AB) ⑵ P(AB)⑶ P (A B )★ 7 甲击中的概率为0 8乙击中的概率为0 7两人同时射击 假定中靶P(A) P(B) 0.7 0.7 0.56, (1)A (2) B (3) C (1) P(A) P (AB) 0.8 P(B) P(AB) 0.7 a 个红球b 个黑球袋中有 ｛在n 次摸球中有k 次摸到红球｝ ｛第k 次首次摸到红球｝｛第r 次摸到红球时恰好摸了 k _ n kQ kaC n —a P(A) P(B)P(C) b ak 1a» a braa b 8 一射手对一目标独立地射击 次命中目标的概率0.56 0.24, 0.56 0.14.有放回从袋中摸球 计算以下事件的概率 k 次球｝ k. n ka bC n k ( (a ab k1 ； (a b)k ；k rC ；；a rb k r(a b)'4次 已知他至少命中一次的概率为 80.求该射手射击81P(ABC) P(A)P(BC),即 A, BC 独立.☆.证明：若三个事件 A 、B 、C 独立，贝U A U B 、AB 及A — B 都与C 独立. 证明因为P [(AUB)C] P (ACUBC) P (AC) P (BC) P( ABC) P(A) P(C) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) [P (A) P(B) P(A) P(B)] P(C) P(AUB) P(C)P [(AB)C] P( ABC) P(A) P(B) P(C) [P (A) P(B)] P(C) P(AB) P(C)P[(A B)C] P(AC B) P(AC) P (ABC) P(A) P(C) P(A) P(B) P(C) [P(A) P (AB)] P(C) P(A B)P (C)所以A U B 、AB 及A — B 都与C 独立. 第三次作业1在做一道有4个答案的选择题时如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测设射击一次命中目标的概率为p,q 1 9设某种高射炮命中目标的概率为0.6 0.99的概率命中目标 (1 0.6)n 1 0.99, 0.4n 0.01,由 0.45☆.证明一般加法(容斥)公式 n P (u n1A) P(A) P (AA j )i 1 i j证明 只需证分块A’L AkA^L An ，排列k 1,2, L ,n.)分块概率重数为 A 「L , A k 中任取1个任取2个 C k Ck L ( 1)k 1C k1 1 C ： C ： L ( 1)k c ：(1 1)k 将U,l 互换可得对偶加法(容斥)公式 nA80 1 1 , 2p .q1 81 81,q 3,p 1 q 3.问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以 0.01024, 0.46 0.01,得 n 6. P(AA j A k ) L ( 1)n1 P(l ni A i ). i j AjL ,A k 只计算1次概率.(i 1,L ,i n 是1,L ,n 的一个0. P(I M A) P(A) P(AUA j ) i 1 i j ☆.证明若A B 独立A C 独立则A 证明 P (A(BUC)) P(A) P(B) 充分性：P (A(BUC)) P(A)( P(B) 必要性：P(A(BUC)) P(A) P(B)P(ABU AC) P(AB) P(A) P(C) P( ABC) (1)k 1任取k 个即 P(A i UA j UA k ) L i j k B UC 独立的充要条件是 P( AC) P( ABC) P(ABC),代入 P(ABC) (1)n1 卩口就). A BC 独立. P(A) P(B) P(A) P(C) P(C) P (BC)) P(A) P(BUC),即 A,BUC 独立. P(A) P(BC) P(A) P(BUC) P(A)( P(B) P(C) P (BC))P(A) P(C) P (A) P(BC) P(A) P(B) P(A) P(C) P (ABC)设他知道问题的正确答案的概率为 P 分别就P 0.6和P 0.3两种情形求下列事件概率 (1)学生答对该选择题(2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率 记事件A=｛知道问题正确答案｝ B=｛答对选择题｝.☆.为防止意外 在矿内同时设有两种报警系统 A 与B 每种系统单独使用时 其有效的 概率系统A 为0 92系统B 为0.93在A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85求：(1)发 生意外时 两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下 A 有效的概率 3设有甲、乙两袋 甲袋中有n 只白球 m 只红球 乙袋中有N 只白球 M 只红球 从甲袋中任取一球放入乙袋 在从乙袋中任取一球 问取到白球的概率是多少 记事件A=｛从甲袋中取到白球｝ B=｛从乙袋中取到白球｝. 由全概率公式得其中两个袋子每袋有 还有一个袋子有4个白球1个黑球(1)从五个袋子中任挑一袋 并从由全概率公式得P(B)P(A)P(B I A) P(A)P(B |A) 3p 41 0.6 时 P(B)-4 1 0.3 时 P(B)—4 3p 4 3p41 4 1 4由贝叶斯公式得 P(A|B)3 0.6 43 0.3 4P(AB) P(B)7 10 19 40P 0.7, 0.475.4p 1 39’0.6 时 P(A| B) 0.3 时 P(A| B)4p 1 3p 4p 1 3p4 0.6 1 3 0.6 4 0.3 1 3 0.31 3p 4 T6 J712 19.当报警系统A 单独使用时 某单位同时装有两种报警系统 A 与B0.70当报警系统B 单独使用时其有效的概率为0.80在报警系统A 有效的条件下报 警系统B 有效的概率为0.84计算以下概率(1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系 统B 有效的条件下报警系统A 有效的概率(3)两种报警系统都失灵的概率.P(A) 0.7, P(B) 0.8, P(B|A) 0.84. P(A) P(B|A) 0.7 0.84 0.588,P (AB) 0.588-- ---- ----------- 0.735, P(B) 0.8P(AU B) 1 P(AU B) 1 P(A) P(B) P(AB)0.8 0.588 0.088.其有效的概率为(1) P (AB) ⑵ P(A|B) ⑶P(AB)1 0.7P(B) P(A) P(B|A)n N 1P(A) p (B| A)m Nn N(n m) (n m)(N M 1)☆.设有五个袋子 个白球4个黑球 2个白球3个黑球 另外两个袋子 每袋有1这袋中任取一球求此球为白球的概率(2)从不同的三个袋中任挑一袋并由其中任取一球结果是白球问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★ 4发报台分别以概率06和04发出信号“•”及“” 由于通信系统受到于扰当发出信号“•”时收报台分别以概率08及02收到信息“•”及发出信号“”时收报台分别以概率0 9及0l收到信号“”及“ 收报台收到“•”的概率(2)收报台收到“ ”的概率(3)当收报台收到发报台确系发出信号“•”的概率⑷收到“”记事件B=｛收到信号“ •” ｝A1=｛发出信号“•” ｝A2=｛发出信号“ ”(1) P(B) P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)0.6 (1 0.2) 0.4 0.1 0.52;⑵P(B) 1 P (B) 1 0.52 0.48;⑶P(A|B) P (AB) P(A1)P(B| A) 0.6 0.8 —0.923;P (B) P (B) 0.52 13⑷P(A2|B)P(A2B) P(A)P (B|A2)0.4 0.9 30.75.P(B) P(B) 0.48 4时确系发出“”“” 又当”求:(1)“ •”时的概率｝.5对以往数据分析结果表明故障时产品合格率为30%(1) 求机器产品合格率(2) 已知某日早上第一件产品是合格品求机器调整良好的概率记事件B=｛产品合格｝ A=｛机器调整良好｝.(1)由全概率公式得P(B) P(A) P(B|A) P(A) P(B|A)⑵由贝叶斯公式得P(A|B) △色P (B)当机器调整良好时每天早上机器开动时产品合格率为90%而机器发生某一机器调整良好的概率为75%0.75 0.9 0.25 0.3 0.75,P(A)P(B| A) 0.75 0.9 盹P(B)0.75 ..(C)☆.系统(A) (B) (C)图如下系统(A) (B)由4个元件组成系统(C)由5个元件组成每个(A) (B)记事件A=｛元件5正常｝ B=｛系统正常｝.(A) P(B|A) (1 (1(B) P(B| A) 1 (1(C) 由全概率公式得P(B) P(A) P(B|A) p P2(4 4p p2) 2p2 2p35p4 第四次作业p)(1p2)(1P))2P2)2 2P (4 4 P P ),2— 2,P (2 P ),P(A)P(B| A)(1 P)P 2(2 P2)2p5.1在15个同型零件中有2个次品 从中任取3个 以X 表示取出的次品的个数 求X 的 分布律.☆.经销一批水果 第一天售出的概率是0.5每公斤获利8元 第二天售出的概率是0.4 每公斤获利5元 第三天售出的概率是0.1每公斤亏损3元 求经销这批水果每公斤赢 利X 的概率分布律和分布函数每次出现正面的概率为2/3连续抛掷8次 以X 表示出现4 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1求在同一时刻(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率 (3)至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率在同一时刻刷卡机被使用的个数 X : B(n 4, p 0.1).(1) P(X 2) C ： 0.12 0.920.00486,⑵ P(X 3) P(X 3) P(X 4)C 30.130.9 0.140.0037⑶ P(X 3) 1 P(X 4)1 0.14 0.9999,⑷P(X 1) 1 P(X 0)1 0.941 0.65610.3439.5某汽车从起点驶出时有40名乘客 设沿途共有4个停靠站 且该车只下不上 每个乘 客在每个站下车的概率相等并且相互独立试求(1)全在终点站下车的概率(2)至少有P(X k)Q2 kC 2C 133,k0,1,2. 0,xF( 3) F(x) ' ) F(5)F(8)3,P(X P(X 1,x 8.3) 0.1, 3x5,3) P(X 5)0.1 0.4 0.5,5 x 8, 2抛掷一枚不均匀的硬币 正面的次数求X 的分布律._k X : B(n 8, P 2/3), P(X k) C 88 k1-,k 0,1L ,8.33 一射击运动员的击中靶心的命中率为 次数 写出的分布律 并计算X 取偶数的概率pq k 10.35 0.65k 1,k 1,2L .k2 3 0.35以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的 X : G(p 0.35), P(X k)P(X 奇)+P(X 偶)=1, P(X 奇)=P^,q解得P(X 偶)=丄-0^1 q 1 0.65 13 —B0.394. 332个乘客在终点站下车的概率 (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为 20的概率 求X 的分布函数以及概率 P(3 X 6), P(X 1), P(X 5), P(|X|5).记事件A=｛任一乘客在终点站下车｝乘客在终点站下车人数 40 (1) P(X 40) 18.2718 10 23,4 X : B(n 40, p 1/4).40 C 11 C 40 — 4 39 3 4 1 0.000134088 0.999865912. ｝乘客在后两站下车人数 (2) P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) 1 43 T 403 4 (3)记事件B =｛任一乘客在后两站下车 C 200Y : B(n 40, p 1/2). 1 20 1 P (Y 20)C- - 220 0.1268.(精 确值)应用斯特林公式n!^y2n1 20P(X 20) C4o - (40)J 2 40 40B -------------------CC 202J 2 20 —240ee20c 40 2040!_ 1、2_40(20!) 21B0.1262.2J 5其中 3.1415926536,厂 参贝努利分布的正态近似 6已知瓷器在运输过程中受损的概率是 0.002有2000件瓷器运到求(1)恰有2个受损 的概率(2)小于2个受损的概率(3)多于2个受损的概率(4)至少有1个受损的概率 受损瓷器件数X : B(n 2000, P 0.002),近似为泊松分布P( n p 4). 42 4—e 2! 1.7724538509. (1)8e 4 0.146525, F 24 1! e 4 5e 4 0.0915782, F 3 F 2 1 13e 40.761897, ⑷7某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布 规定表面上疵点的个数不超 过2个为合格品 0.981684. 产品合格品率 ★ 8设随机变量 求产品的合格品率 12 12212 12P 1 —— —— e 1.22.92e 1.2 0.879487. 1! 2! X 的分布律是x1学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位 小时)其密度函数是2f(x) kx x, 0 x 0.5 f(x)0, 其他试求(1)系数k (2)X 的分布函数(3)在 15分钟内完成一道作业的概率 (4)在 10到20分钟之间完成一道作业的概率2设连续型随机变量X 服从区间[a a](a 0)上的均匀分布3设某元件的寿命X 服从参数为 的值 ⑵概率P(25 X 100)0,xF( 3)3, P(X3) 0.2, 3 x 5,F(x)F(5) P(X 3) P(X 5)0.2 0.50.7,5 x8,F(8) 1,x 8.P(3 X 6) P(X 5) 0.5,P(X 1) P(X 5) P(X 8) 0.50.3 0.8,P(X5) P(|X | 5)F(5) P(X3) P(X5) 0.2 0.5 第五次作业随机变量X 的分布函数为0.7,/ 032 0240,x 0⑵F( ：x)P(X xx)/ 021x 2xdx -7 317x -2x 2,0F(0.5) 1,x 0.5.⑶ F1 P(X xx) 021x 2xdx 3711442⑷ P 1X 1F 1F 11?21x 2xdx0.5k xdxx 2617k x 3^x 2 1 4 9643140.52kx 20.5,0.140625, 22 4 108常数a (2)概率P(X 3) a1——dx 12a 1 . 31dx36(1) P(X (2) P(X1) 3)a 1 2a 13 6 1-,a 3, 3 1 3补分布 S(x)@P(X x)x ,x 1e dx e lxe x ,x 0.且已知概率P(X 1) 1求(1)3的指数分布 且已知概率P(X 50) e 4试求(1)参数5⑴ S(50) P(X5°)50eX ,50 4dx e e⑵由S(rx) e rx S r (x), r,x 0,取x 50,依次令 25 og r y,得S(25) P(X 其中 eB2.7182818284. 1 25) S 2(50) e 2,S(100) P(X 100) S 2(50) 8e 0.0003354563,P(X 100) e 2 P(25 X 100) P(X 25)0.13533465 0.0003354563 0.1349991937. 的指数分布 800用时间超过1200小时的概率(2)任取3只灯泡各使用时间都超过 —1200 - 1200) e 800 e 2 0.2231301602,4某种型号灯泡的使用寿命X(小时)服从参数为 求(1)任取1只灯泡使 1200小时的概率(1) P(X 此处辰 1.6487212707001. 9 1200) e " 0.0111089965. ⑵P 3(X 5 设 X~N(0 1)求 P(X(1) ⑵P(X 0.61) (0.61) P( 2.62 X 1.25) 0.89435 99560 1 P(X 1.34) 1 061) P( 2 62 X 1 25) P(X 1 34) P(| X| 0.72907, (1.25) ( 2.62) (1.25) (2.62) 1 0.88995, 2 13)⑶(4)P(|X| 2.13) 2 2 (2.13) 2 (1.34) 1 0.90988 0.09012,2 0.98341 0.03318. 6飞机从甲地飞到乙地的飞行时间飞机下午2 30以后到达乙地的概率 午1 40至2 20之间到达乙地的概率 13 3 4) 4 X~N(4 1)设飞机上午10 10从甲地起飞 求(1) 9 (2)飞机下午2 10以前到达乙地的概率(3)飞机在下 (1) P(X P 7 2 1 213 1 P X — 3 0.5, 25/6 1/ 3 (0) 25 6 32 31/34 占1 (1) 1 O.84134 O.15866, 7/2 4 1/3 0.69146 0.93319 1 0.62465. ★ 7设某校高三女学生的身高 X~N(162 25)求(1)从中任取1个女学生 求其身高超 过165的概率(2)从中任取1个女学生 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率 ⑶从中任取6个女学生求其中至少有2个身高超过165的概率 X 162 165 162 (1) P(X 165) P ------------------- ——:— 0.6 1 (0.6) 1 0.7258 0.2742,5一⑵P(|X 162| 5) P X 162~5~1 2 (1) 1 2 0.84134 1 0.6827, (3)记事件A={任一女生身高超过 随机变量丫 ：贝努利分布B(n P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1) 1 165} p P(A) P(X 165) 0.2742, 6,P 0.2742), (1 P )6 C 6P (1 P )5 0.52257. 第六次作业 ★ 1.设随机变量X 的分布律为(1)求 丫| X|的分布律(2)求 Y X 2 X 的分布律 (1)★.定理(连续型随机变量函数的密度公式) 设连续型变量X 密度为f x (x),y g(x)严 格单调，反函数x x(y)导数连续，则Y g(X)是连续型变量，密度为 f Y (y) f x 其它))|x(y)|, z 0,其它. 证明 1)若 x x(y) 0,{ Y y} F Y (y) P(Y y) P (g (x )两边对y 求导，f Y (y) f x (x(y))x(y),y 2)若 x x(y) 0,{ Y y} {g(X) g(x)} {X x},F Y (y) P(Y y) P(g(X) g(x)) 两边对y 求导，f Y (y)因此总有 或证明 g(x)极小值 yg(x)极大值,{g(X)g(x)} {X x},g(x)) P(X x) F X (X ),f x (x(y))x(y), y . f Y (y) f x (x(y)) |x(y) |, y P(X x) 1 F x (x),F Y (y) P(Y y) P(g(X) g(x))P(X P(Xx) x) F X (x), g (x) 0,1 F x (x),g(x)0, 两边对y 求导,fx(x)晋， f (x)dx fx(x)dy' f x (x(y))|x(y)|, y .2设随机变量x 的密度函数是 (1)Y tan x(2)丫殳(3)Y|X|(1)反函数x( y) arctan y, x '(y)〔 ,2,由连续型随机变量函数的密度公式得f Y (y) f x (x(y))|x '(y)| f x (arctany).反函数支x i (y)i arctan y, i 为整数，X (y)f Y (y)'(Iny) (In y)(ln y)'1(1 n y), f Y (y)卩 —y0, y 0.f Y (y)dF x (x) dx dxdy , dF x (x) dxdx dy'或两边微分dF Y (y) f Y (y)dydF x (x) dF x (x) f x (x)dx, f x (x)dx,或反函数 X InY, X y In y, f Y (y) (x y )x y(|ny ) ^ex p呼，Y 0.⑵ 当 y 0 时,F Y (y) 0;当 丫 0 时， F Y (y) P (Y y) P(X 2 y) P("两边对y 求导得丫的密度函数为f Y (y)f x (x)求下列随机变量函数的密度函数1 1 y 2'f Y (y)iX 1反函数x y F Y (y) P(Y y)f x (X i (y)) |x(y)| 1/ fY (y )P(|x | y)—f x ( iy 2ix'f x (X y )X y吉 f x (；).P( y X y) F x (y) F x ( y)arcta n y).⑶ 两边对y 求导得丫的密度函数为f Y (y) f x (y)f x ( y), y 0. f Y (y)★ 4设随机变量x 服从参数为1 当y 0时，Y x 2的分布F Y (y)F Y (y) P(Y y) P(X 2 两边对y 求导得 y) P(X 五)F x (7y ),f Y (y) f x (77)(7?)— e 打，y 或反函数 X y j y, f Y (y)f x (X y )X y★ 5设随机变量X~N (0 1)求(1)Y (1)当y 0时，Y e X 的分布F Y (y)F Y (y) P(Y y) P (e X因而丫的密度为< f Y (y) 2j y0, y 0. 斗e期，y 0.e x 的密度函数(2)Y0,当y 0时，y) P(X In y) (Iny),0,X 2的密度函数(Gamma 分布)0,或反函数支 x ,(y ) 7y ，x 2(y) T v ，1袋中装有标上号码1 2 2的3个球 从中任取一个并且不再放回 然后再从袋中任取 一球 以X 丫分别记第一、二次取到球上的号码数 求(1)(X 丫)的联合分布律(设袋中 各球被取机会相等)(2)X 丫的边缘分布律(3)X 与丫是否独立？ (1)(X 丫)的联合分布律为P(X 1,丫1) 0, P(X 1,Y2) P(X 2,Y1) P(X 2,Y2) 13⑵X Y 的分布律相同P(X 1) 1,P(X 2)|.33(3) X 与丫不独立X ⑻1 0, yF X ^Y)ye 2, yF x ( T v)0,0. f Y (y) f x (X 1(y))|x 1(y)| f x (X 2(y))|x 2(y)|J 2 y丄 f x (x) 7'0,f x (e y)e y6设随机变量X 的密度函数是反函数 X y e y , f Y (y) f x (X y )X yy e 2, y0.x 1求丫X 1e y , y 0.InX 的概率密度第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为 数丫为落入2号盒的球的个数 1 2 3 4 5的五个盒子中去 试求X 和丫的联合分布律设X 为落入1号盒的球的个y2e dy Ax , 1 x 1,3x 5y2设二维连续型变量(X, Y)的联合分布函数F(x, y) (1 e )(1 e ), x,y 0,0,其它.求(X, Y)联合密度215e3x 5yx y f (x, y) ---------- F (x, y), f (x,y)…x y0,其它.★ 3设二维随机变量(X Y)服从D 上的均匀分布 区域试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数f (x, y)f x (x) f Y (y),因此 X 与丫 不独立.或f(x,y)非零密度分布范围不是定义在矩形区域上 4.设二维离散型变量(X,Y)联合分布列是问p,q 取何值时X 与丫相互独立.1P(0 X -Y1);(3)边缘概率密度 f x (x) f Y (y)0 f(x,y)dy 0 Ax 2e y dy Ax2。