PERIODICAL PRESSURE-DRIVEN FLOWS IN MICROCHANNEL WITH WALL SLIP VELOCITY AND ELECTRO-VISCOUS EFF
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Ａｖａｉｌａｂｌｅ ｏｎｌｉｎｅ ａ ｗ＇ｗｗ．ＳＣ ｎｃｅｄｉ删．ｏｏｍ ～ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｄｉｒｅｃｔ
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＨｙｄｒＯｄｙｎａｌ１１ ｅｓ ２０１０，２２（６）：８２９—８３７ ＤＯＩ：１０．１０１６／Ｓ１００１—６Ｏ５８（０９）６０１２３—２
＠ ８２９ ｌ｜ｌＩ‘ｌｌ ｓｃｉｅｎｃｅｄｉｒｅｃ！．ｃｏｒｎ，＂ ｓｃｉｅｎｃｅ／ｊｏｍ－ｎ￣／１㈣Ｉ６０５８
ＰＥＲＩｏＤＩＣＡＬ ＰＲＥＳＳＵＲＥ．ＤＩＵＶＥＮ ＦＬｏＷＳ ＩＮ ＭＩＣＲｏＣＨＡＮＮＥＬ ＷＩＴＨ ＷＡＬＬ ＳＬＩＰ ＶＥＬｏＣＩＴＹ ＡＮＤ ＥＬＥＣＴＲｏ ＶＩＳＣｏＵＳ ＥＦＦＥＣＴＳ
ＷＡＮＧ Ｌｅｉ．ＷＵ Ｊｉａｎ—ｋａｎｇ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｆｏｒ Ｏｐｔｏｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，Ｗｕｈａｎ ４３００７４，Ｃｈｉｎａ，Ｅ—ｍａｉｌ：ｗａｎｇｌｅｉｓａｂｒｉｎａ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ
（Ｒｅｃｅｉｖｅｄ Ｏｃｔｏｂｅｒ ２７，２００９，Ｒｅｖｉｓｅｄ Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２５，２００９） Ａｂｓｔｒａｅｔ：Ｉｎ ａ ｍｉｃｒｏｆｌｕｉｄｉｃ ｓｙｓｔｅｍ．ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｎ ａ ｓｏｌｉｄ ｗａｌｌ ｃａｎ ｂｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ａｓ ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅ１．Ｔｈｅ ｆｌｏｗ—ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｎ ａ ｃｏｍｐｌｅｘ ｍｉｃｒｏｆｌｕｉｄｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ ｔｏ ａ ｉｏｉｎｔ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｌ】ｓｌｉｐ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏ—ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏｐｉｃ．Ａｎ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌ ｐｒｅｓｓｕｒｅ—ｄｒｉｖｅｎ ｆｌｏｗ ｉ１１ ａ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｕｎｉｆｏｒｍ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅ１．ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｌｌ ｓｌｉｐ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏ．ｖｉｓｃｏｕｓ ｅｆｆｅｃｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｐｏｉｓｓｏｎ—Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｄｏｕｂｌｅ Ｌａｙｅｒ ｆＥＤＬ、ａｎｄ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｑｕｉｄ ｆｌｏｗ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｇｒｅｅ ｗｅｌｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌ ｆｌｏｗ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ Ｆｌｏｗ—Ｉｎｄｕｃｅｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｆｉｅｌｄ（ＦＩＥＦ） ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ（Ｒｅ：（ｏｈ ／ １，ｔｈａｔ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｓｉｚｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｋｉｎｅｔｉｃ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｏｆ ｆｌｕｉｄｓ．Ｆｏｒ Ｒｅ＜１．ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ＦＩＥＦ ｂｅｈａｖｅ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｉｎ ａ ｓｔｅａｄｙ ｆｌｏｗ．ｗｈｅｒｅａｓ ｔｈｅｙ ｄｅｃｒｅａｓｅ ｒａｐｉｄｌｙ ｗｉｔｈ Ｒｅ ａｓ Ｒｅ＞１．Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ．ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏ—ｖｉｓｃｏｕｓ ｅｆｆｅｃｔ ｇｒｅａｔｌｙ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓ ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌ ｆｌｏｗ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ＦＩＥＦ．ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ。ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｋｉｎｅｔｉｃ ｒａｄｉｕｓ Ｈ ｉｓ ｓｍａｌ１．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ ｗａｌｌ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｍｐｌｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ＦＩＥＦ ａｎｄ ｅｎｈａｎｃｅｓ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏ—ｖｉｓｃｏｕｓ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｃｔｒｏｋｉｎｅｔｉｃ ｆｌｏｗ，ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ，ｗａｌｌ ｓｌｉｐ，ｅｌｅｃｔｒｏ—ｖｉｓｃｏｕｓ ｅｆｆｅｃｔｓ，Ｆｌｏｗ—Ｉｎｄｕｃｅｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｆｉｅｌｄ（ＦＩＥＦ）
１．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｔｈｅ ｒａｐｉｄ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｍｉｃｒｏｆｌｕｉｄｉｃｓ ｉｎ ＭＥＭＳ，Ｂｉｏｃｈｉｐｓ ａｎｄ Ｌａｂ—Ｏｎ．ａ．Ｃｈｉｐ ｆＬ０Ｃ１ ｄｅｖｉｃｅｓ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ａ ｇｏｏｄ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｆｌｏｗ ｂｅｈａｖｉｏｒｓ【 ．Ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｂｅｈａｖｉｏｒｓ ｉｎ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅｌｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ ａｆｆｅｃｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃａ１ ｃｈａｒｇｅｓ ｗｈｅｔｈｅｒ ｏｎ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗａｌｌ ｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄｓＬ ’ ．Ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ．ｍｏｓｔ ｓｏｌｉｄ ｓｕｒｆａｃｅｓ ｗｏｕｌｄ ｃａｒｒｙ ｅｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃ ｃｈａｒｇｅｓ ｗｈｅｎ ｉｎ ｃｏｎｔａｃｔ ｗｉｔｈ ｅｌｅｃｔｒｏｌｙｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｉｎｔｅｒａｃｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒ ｉｏｎｓ ｉｎ ｌｉｑｕｉｄｓ．Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ．ａｎ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｄｏｕｂｌｅ Ｌａｙｅｒ（ＥＤＬ）ｃａｎ ｂｅ ｆｏｒｍｅｄ ｎｅａｒ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ ｓｕｒｆａｃｅ ａｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｏｌｉｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｃｈａｒｇｅｓ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒ ｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄｓ． Ｐｒｏｊｅｃｔ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．５０８０５０５９） Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＷＡＮＧ Ｌｅｉ（１ ９８３一），Ｆｅｍａｌｅ，Ｐｈ．Ｄ．Ｃａｎｄｉｄａｔｅ Ｃ０ｒｒｅｓｐ０ｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ：ＷＵ Ｊｉａｎ—ｋａｎｇ， Ｅ—ｍａｉｌ：ｗｕｊｋａｎｇ＠ｍａｉｌ．ｈｕｓｔ．ｅｄｕ．ｃｎ Ｍｏｒｅｏｖｅｒ．ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒ ｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｆｆｕｓｅ ｌａｙｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ＥＤＬ ｃａｎ ｍｏｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄｓ ｍｏｖｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅｌ ｕｎｄｅｒ ａｎ ａｐｐｌｉｅｄ ｈｙｄｒｏｓｔａｔｉｃ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ．Ｔｈｉｓ ｃｒｅａｔｅｓ ａｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｆｌｏｗ．Ｉｎｄｕｃｅｄ Ｅｌｅｃ仃ｉｃ Ｆｉｅｌｄ ｒＦＩＥＦ） Ｊ．Ｔｈｅ ＦＩＥＦ ｂｕｉｌｄｓ ｕｐ ｉｎ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅ１ｓ ａｎｄ ｄｒｉｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒ ｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｆｆｕｓｅ ｌａｙｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ＥＤＬ ｔｏ ｍｏｖｅ ｉｎ ａ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｔｏ ｔｈｅ ｆｌｏｗ．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ。ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｆｌｏｗ ｒａｔｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｉｑｕｉｄ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ａ ｈｉｇｈｅｒ ａｐｐａｒｅｎｔ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ，ａｓ ｉｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏ—ｖｉｓｃｏｕｓ ｅｆｆｅｃｔ＿ｏＪ｜Ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏ—ｖｉｓｃｏｕｓ ｅｆｆｅｃｔ ｉｎ ａ ｓｔｅａｄｙ ｆｌｏｗ ｗａｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｏｔｈ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｌｙ ’ ． Ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌ ｐｒｅｓｓｕｒｅ—ｄｒｉｖｅｎ ｆｌｏｗ ａｎｄ ｔｈｅ ＦＩＥＦ ｉｎ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅｌｓ ｗｅｒｅ ａｌｓｏ ｓｔｕｄｉｅｄ Ｉｎ ａｌｌ ｔｈｅｓｅ ｓｔｕｄｉｅｓ ，ｔｈｅ ｎｏｎ—ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｗａｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗａｌ１．ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ｎｏｔ ｂｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｉｎ ｓｏｍｅ ｃａｓｅｓ ｏｆ ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｆｌｏｗｓ．Ｉｎ ｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｆｌｏｗｓ，ｔｈｅ ｎｏｎ—ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ｗａｌｌ ｉｓ ｗｉｄｅｌｙ ａｃｃｅｐｔｅｄ．Ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｒｅｃｅｎｔ ｓｔｕｄｉｅｓ ’ Ｊ ｆｏｕｎｄ ｅｖｉｄｅｎｃｅｓ ｏｆ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ ｆｏｒ
一 ８３０ ｌｉｑｕｉｄ ｆｌｏｗｓ ｏｖｅｒ ｈｙｄｒｏｐｈｏｂｉｃ ｗａｌｌｓ（ｓａｙ ＰＤＭＳ ｐｏｌｙｍｅｒ ｍａｔｅｒｉａｌｓ）．Ｔｈｅ ｗａｌＩ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｆｏｒ ｌｉｑｕｉｄ ｆｌｏｗｓ ｗａｓ ｆｉｒｓｔ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｙ Ｎａｖｉｅｒ ｊｎ １ ８２３．ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ ｕ 一 “／ ．Ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ｔｈｅ ｓｌｉｐ ｌｅｎｇｔｈ ｒａｎｇｉｎｇ ｆｒｏｍ ｓｅｖｅｒａｌ ｍｉｃｒｏｍｅｔｅｒｓ ｔｏ ｓｅｖｅｒａｌ ｍｉｃｒｏｎｓ，ａｎｄ ｉｓ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｂｅ ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｌ１ ｍａｔｅｒｉａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｗｏｒｋｉｎｇ ｆｌｕｉｄ． Ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｌｌ ｓｌｉｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｔｏ ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ａｂｏｕｔ ０（ ／ ）Ｌｌ ３Ｊ，ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｉｐ ｌｅｎｇｔｈ ｔｏ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｌｅｎｇｔｈ ｓｃａｌｅ ｆｓａｙ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｗｉｄｔｈ）．Ｔｈｅ ｗａｌｌ ｓｌｉｐ ｍａｙ ｐｌａｙ ａ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗ－ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｎ ａ ｍｉｃｒｏｆｌｕｉｄｉｃ ｓｙｓｔｅｍ．Ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅｌ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｌｌ ｓｌｉｐ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏ—ｖｉｓｃｏｕｓ ｅｆｆｅｃｔｓ【Ｊ／１．Ｔｈｅ ｅｆｌｆｅｃｔ ｏｆ ｗａｌｌ ｓｌｉｐ ｏｎ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｋｉｎｅｔｉｃ ｅｎｅｒｇＹ ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ ｉｎ ａ ｍｉｃｒｏｆｌｕｉｄｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｅｘａｍｉｎｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａ１ Ｏｎｓａｇｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎＬ“Ｊ．Ｈｏｗｅｖｅｒ．ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｃｌｅａｒ ｈｏｗ ｔｈｅ ｗａｌ１ ｓｌｉｐ ａｆｆｅｃｔｓ ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌ ｆｌｏｗ．ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｎ ａ ｍｉｃｒｏｆｌｕｉｄｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｅｌｅｃｔｒｏ— ｖｉＳＣＯＵＳ ｅｆ．ｆｅｃＣ．上ｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｂｅｔｔｅｒ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｆ１ｏｗ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ａ ｍｉｃｒｏｆｌｕｉｄｉｃ ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌ ｐｒｅｓｓｕｒｅ－－ｄｒｉｖｅｎ ｆｌｏｗｓ ｉｎ ａ ｔｗｏ－－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｕｎｉｆｏｒｍ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅｌ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｌｌ ｓｌｉｐ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏ—ｖｉｓｃｏｕｓ ｅｆｆｅｃｔｓ． ２．Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ Ａ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｕｎｉｆｏｒｍ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅ１ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｓｏｌａｔｅｄ ｗａｌｌ ｊｓ ｓｃｈｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ．１． ｗｈｅｒｅ Ｈ ｉｓ ｔｈｅ ｈａｌｆ ｗｉｄｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅ１．Ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｈａｌｆ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅｌ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ． Ｆｉｇ．１ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｕｎｉｆｏｒｍ ｍｉｃｒｏｃｈａｎｎｅｌ ２．１ Ｇｏｖｅｒｎｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ Ｆｏｒ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｂｉｎａｒｙ ｅｌｅｃｔｒｏｌｙｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｅｔ ｃｈａｒｇｅ ｄｅｎｓｉｔｙ Ｐｅ ａｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ Ｐｏｉｓｓｏｎ－Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｖ ——２ｎｏｚｅ ｓｉｎｎ（ ］ （１） 一占 。 ２ ｚｅ ｓｉｎｈ （ｚ ｅ ￣／・） （２） ｗｈｅｒｅ ａｎｄ ｚ ａｒｅ ｔｈｅ ｂｕｌｋ ｉｏｎｉｃ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｉｏｎｓ．ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．ｅ ｉｓ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｃｈａｒｇｅ． ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ， ｉｓ ｔｈｅ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ ｃｏｎｓｔａｎｔ，ａｎｄ Ｔ ｉｓ ｔｈｅ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ．Ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ Ｅｑ．ｆ１）ａｒｅ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ
