江苏省盐城中学2017届高三全真模拟考试(最后一卷)数学含答案.pdf

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学1、已知集合101,,A ，),(0B，则BA．2、已知复数z 满足21)(i z ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为．3、已知样本数据54321x x x x x ,,,,的方差32s，则样本数据5432122222x x x x x ,,,,的方差为．4、如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是．5、在数字4321,,,中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6、已知实数y x,满足yxyx x2270，则xy 的最小值是．7、设双曲线)(01222a yax 的一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为．8、设数列n a 是等差数列，若21654a a a ，则9S ．9、将函数)sin(323xy的图象向右平移)(2个单位后，所得函数为偶函数，则．10、将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，23BC AB ,，圆柱上底面圆心为O ，EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥EFG O体积的最大值是．11、在ABC 中，已知33CAB ,，则CB CA 的最大值为．12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别在x 轴与直线)(133x y 上从左向右依次取点,,,,21kB A k k ，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A 都是等边三角形，则111010A B A 的边长是．13、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数x yln 2的图象与圆2223r yx M )(:的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数)(x f y 的图象经过点M P O ,,，则函数)(x f y的最大值为．14、在ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若82222cba，则ABC 的面积的最大值为．15、如图，在直三棱柱111C B A ABC 中，AC BC ，E D,分别是AC AB,的中点．（1）求证：//11C B 平面DE A 1；（2）求证：平面DEA 1平面11A ACC ．16、在ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且B c C b sin sin 2．（1）求角C 的值；（2）若533)sin(B，求A sin 的值．17、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222b yxO :经过椭圆14222by xE :)(20b 的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记直线m kx yl :交椭圆E 于Q P,两点，T 为弦PQ 的中点，),(),,(0101N M ，记直线TN TM ,的斜率分别为21k k ,，当12222km时，求21k k 的值．18、如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE 米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过52.米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足43tan ．（1）若设计18AB 米，6AD 米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）19、设函数x x f ln )(，)()(R a xa axx g 31．（1）当2a 时，解关于x 的方程0)(xe g （其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数)()()(x g x f x 的单调增区间；（3）当1a时，记函数)()()(x g x f x h ，是否存在整数，使得关于x 的不等式)(x h 2有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：693102.ln ，098613.ln ）20、若存在常数d q k k k ,),,(2N ，使得无穷数列n a 满足NNkn qa knd a a n nn,,1，则称数列n a 为“段比差数列”，其中常数d q k ,,分别叫做段长、段比、段差．设数列nb 为“段比差数列”．（1）若数列n b 的首项、段长、段比、段差分别为331,,,q ．①当0q 时，求2016b ；②当1q时，设数列n b 的前n 3项和为n S 3，若不等式133n nS 对N n 恒成立，求实数的取值范围；（2）设数列n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的n b ，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD ，4PD ，3PC ，求BD 的长.B .（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵22 3m M的一个特征值对应的特征向量为12，求m 与的值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45xtl t yt 为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.D ．(选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21xy z ，求222xyz 的最小值.ABCPDO ·第21(A)图[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X).23．（本小题满分10分）设*nN ，3n ，*k N .（1）求值：①11kk n n kCnC；②221211k k k nn n k C n n CnC（2k ）；（2）化简：2220212212311kn nnnnnCCC k Cn C .南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.12. 13. 124. 95.566.347.2338. 63 9.51210. 4 11.3212.512 13. 9814.255二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ，...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C 中，11//B C BC ，所以11//B C DE ................4分又11B C 平面1A DE ，DE 平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE ................6分（2）在直三棱柱111ABC A B C 中，1CC 底面ABC ，又DE 底面ABC ，所以1CC DE ................8分又BC AC ，//DE BC ，所以DEAC ，...............10分又1,CC AC 平面11ACC A ，且1CC A CC ，所以DE 平面11ACC A ................12分又DE平面1A DE ，所以平面1A DE平面11ACC A ．...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE平面11ACC A ，类似给分）16．解：（1）由sin 2sin b Cc B ，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C CC B ，…………２分因为sin 0,sin 0B C，所以1cos 2C，…………４分又(0,)C，所以3C.…………６分（2）因为3C，所以2(0,)3B，所以(,)333B，又3sin()35B ，所以24cos()1sin ()335BB. …………８分又23AB，即23AB ，所以2sin sin()3A B sin(())sincos()cossin()333333BBB………12分3413433252510.…………14分17．解：（1）因02b，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222:O xyb 经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b ，……………3分所以224b ，即22b ，所以椭圆E 的方程为22142xy.……………6分（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142xyy kx m，消去y ，得222(12)4240k x kmx m，所以122412km x x k，又22221mk ，所以12x x 2k m，所以0k x m，012k y m kmm， 0则1222221111122442(22)211m m k k kkkmmk m m . (4)方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，则22112222142142xyx y ，两式作差，得12121212042x x x x y y y y ，又1202x x x ，1202y y y ，∴01201202x x x y y y ，∴01201202y y y x x x ，又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线ykx m 上，∴1212y y k x x ，∴020x ky ，①又00(,)T x y 在直线y kxm 上，∴0y kx m ，②由①②可得02212km x k，0212m y k. 0以下同方法一. 18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB，6AD ，所以半圆的圆心为(9,6)H ，半径9r ．设太阳光线所在直线方程为34yx b ，即3440x y b ，...............2分则由22|27244|934b ，解得24b 或32b（舍）.故太阳光线所在直线方程为3244yx ，...............5分令30x，得 1.5EG米 2.5米.所以此时能保证上述采光要求................7分（2）设ADh 米，2ABr 米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34yxb ，即3440x y b ，由22|344|34r h b r ，解得2bhr 或2b hr （舍）................9分故太阳光线所在直线方程为324yxhr ，ABEDHGC第17题←南·xy令30x ，得4522EG r h ，由52EG，得252h r ................11分所以222133222(252)222Srhrrhrr r r225550(10)25025022r rr .当且仅当10r时取等号.所以当20AB 米且5AD 米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即341000x y ．...............10分由直线1l 与半圆H 相切，得|34100|5rh r．而点H (r ，h)在直线1l 的下方，则3r ＋4h －100＜0，即341005r h r ，从而252hr ．...............13分又221322(252)22Srh r r r r225550(10)25025022rrr .当且仅当10r 时取等号.所以当20AB 米且5AD 米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分19．解：（1）当2a时，方程()0xg e 即为1230xxee，去分母，得22()310x xe e，解得1xe或12xe，……………2分故所求方程的根为0x或ln 2x . ……………4分（2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x axx x，所以222211(1)((1))(1)()a axx a axa x x axx xx（0x ），……………6分①当0a 时，由()0x ，解得0x ；②当1a 时，由()0x ，解得1a xa；③当01a 时，由()0x ，解得0x ；④当1a 时，由()0x ，解得0x ；⑤当0a时，由()0x ，解得1a xa .综上所述，当0a 时，()x 的增区间为1(0,)a a；当01a 时，()x 的增区间为(0,)；1a时，()x 的增区间为1(,)a a. 0（3）方法一：当1a时，()3g x x ，()(3)ln h x x x ，所以3()ln 1h x x x单调递增，33()ln 12022h ，3(2)ln 2102h ，所以存在唯一03(,2)2x ，使得0()0h x ，即003ln 10x x ，.……………12分当0(0,)x x 时，()0h x ，当0(,)xx 时，()0h x ，所以2min 00(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x ，记函数9()6()r x x x ，则()r x 在3(,2)2上单调递增，.……………14分所以03()()(2)2r h x r ，即031()(,)22h x ，由322，且为整数，得0，所以不等式2()h x 有解时的的最小整数为0..……………16分方法二：当1a时，()3g x x ，所以()(3)ln h x x x ，由(1)0h 得，当0时，不等式2()h x 有解，.……………12分下证：当1时，()2h x 恒成立，即证(3)ln 2x x恒成立.显然当(0,1][3,)x时，不等式恒成立，只需证明当(1,3)x 时，(3)ln 2x x 恒成立. 即证明2ln 03x x.令2()ln 3m x xx，所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x ，由()0m x ，得47x， (14)分当(1,47)x ，()0m x ；当(47,3)x ，()0m x ；所以max 7121()(47)ln(47)ln(42)ln 21033m x m .所以当1时，()2h x 恒成立. 综上所述，不等式2()h x 有解时的的最小整数为0..……………16分20．（1）①方法一：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ，2015201433b b ，2016201536b b .……………３分方法二：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b ，24b ，37b ，4300b b ，5433b b ，6536b b ，7600b b ，…∴当4n 时，n b 是周期为3的周期数列.∴201666b b .……………３分②方法一：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴32313131331313126n nnnn nnnb b b d b qb d b q b d d b d ，∴31n b 是以24b 为首项、6为公差的等差数列，又32313313131313n n n nnn n b b b b d b b d b ，312345632313nnnnS b b b b b b b b b 2253113346932n n n b b b nn n ，……………６分133n nS ，313n n S ，设313n nn S c ，则maxnc ，又2221112322913193333n nnn n nn n n n n c c ，当1n 时，23220nn，12c c ；当2n 时，23220nn ，1nn c c ，∴123c c c ，∴2max14nc c ，……………９分∴14，得14,.……………10分方法二：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b ，∴333333126nnnnb b b b d，∴3n b 是首项为37b 、公差为6的等差数列，∴2363176342nn n b b b nnn ，易知n b 中删掉3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，21245323122121362n nn n b b b b b b n nn ，222334693nS nnnn nn ，………………６分以下同方法一. （2）方法一：设n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列n b 的公比为1k kb q b ，由等比数列的通项公式有1n nb bq，当m N 时，21k m kmb b d ，即11k m kmkmbq bqbqq d 恒成立，……………12分①若1q ，则0d ，nb b ；②若1q，则1kmdqq b，则kmq 为常数，则1q，k 为偶数，2d b ，11n nb b ；经检验，满足条件的n b 的通项公式为n b b 或11n nb b .……………16分方法二：设n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k ，则1b b ，2b b d ，3b b d q ，4b b d q d ，由2132bb b ，得b dbq ；由2243b b b，得2b d qb d q d ，联立两式，得01d q 或21d b q，则nb b 或11n n b b ，经检验均合题意.…………13分②若3k ，则1b b ，2b b d ，32b b d ，由2132bb b ，得22b d b bd ，得0d，则nb b ，经检验适合题意.综上①②，满足条件的n b 的通项公式为n b b 或11n n b b .……………16分附加题答案21. A 、解：由切割线定理得：PD PA PC PB 则4(24)3(3)BC ，解得5BC ，…………４分又因为AB 是半圆O 的直径，故2ADB,…………６分则在三角形PDB 中有34166422PD PB BD .…………10分B 、解：由题意得2112 322m，…………4分则4262m ，…………8分解得0m ，4. …………10分C 、解：直线35:(45xtl t yt 为参数)化为普通方程为034y x ，…………２分圆C 的极坐标方程2cos 化为直角坐标方程为1122yx ，…………４分则圆C 的圆心到直线l 的距离为5434422d，…………６分所以56122dAB . …………10分D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x yz xyz ，即2222222121xy z xyz ，…………５分又因为21x y z ，所以61222zy x ，当且仅当121x y z ，即11,63x zy时取等号.综上，61min222zyx.…………10分22．解：（1）这两个班“在星期一综合实践课节次不同”的概率为321333P . …………４分（2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533kkk P X k Ck .…………６分所以X 的概率分布表为：X 012345P32243802438024340243102431243…………８分所以，X 的数学期望为15()533E X . …………10分23.解：（1）①111!!!!1!!kk nn n n kCnCknk n k k n k!!01!!1!!n n k n k k n k .……………2分②2212212!!11!!2!!k k k nn n n n k Cn n C nC kn n k n k k n k 1!1!!n nk n k !!!1!!2!!1!!n n n kk n k kn k k n k !1102!!11n kkn k k k .………………４分（2）方法一：由（1）可知当2k 时2221212k k k k k nn n nnk C kk Ck CkCC21121211211213k k k k k k k n n n nn n nn n CnC nC Cn n C nCC .……………６分故2220212212311k n n n nnnCCCkC n C 20210121212221111213n n nnn n n n n n C C n n C CCn CC CLL 23n nnnC CCL 21141232121n n nn n n n n22254n nn.……………10分方法二：当3n时，由二项式定理，有12211nk kn nnnnnx C xC x C x C x ，两边同乘以x ，得1223111n k k n n nnnnxx x C xC x C xC x ，两边对x 求导，得11221112311nn kkn nn n n n xn xxC x C xkC x n C x ，……………６分两边再同乘以x ，得12122311112311nn k k n n nnnnxx n xxx C xC xk C xn C x ，两边再对x 求导，得1212111121nn n n xn x x n n xx n xx222122212311k k n nnnnnC xC xkC xn C x . ……………８分令1x ，得121221222n n n n n n n n 22212212311k n n nnnCC k Cn C ，即2220212212311k n nnnnnCC C k C n C22254n nn .…………10分。

江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷(2)设, 在ABD ∆中,π,6,34ABC AD BD ∠===.由=πsin sin 4AD BD a ,解得sin a 8分 因为BD AD <，所以π(0,)4a ∈，所以cos 4a =. 10分因此πππsin sin()sin coscos sin =)444244ADC a a a ∠=+=++= 12分 所以ADC ∆的面积113sin 62(1222S AD DC ADC =⨯⨯⋅∠=⨯⨯=+ 14分 16.(本小题满分14分)证明：(1)因为AD ⊥平面,PAB AP ⊂平面PAB ,所以AD AP ⊥ 2分 又因为,,AP AB AB AD A AB ⊥=⊂I 平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以AP ⊥平面ABCD . 4分 因为CD ⊂平面ABCD ,所以CD AP ⊥. 6分 (2)因为,CD AP CD PD ⊥⊥,且,PD AP P PD =⊂I 平面,PAD AP ⊂平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD .① 8分 因为AD ⊥平面PAB ,AB ⊂平面PAB , 所以AB AD ⊥.又因为,,AP AB AP AD A AP ⊥=⊂I 平面PAD ,AD ⊂平面PAD .所以AB ⊥平面PAD .② 10分 由①②得CD AB ∥, 12分 因为CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD ∥平面PAB . 14分 17.(本小题满分14分)解：(1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3600,故当90a =时，40b =, 从而包装盒的侧面积22(902)2(402)=8260,(0,20)S x x x x x x x =⨯-+⨯--+∈, 3分 因为226542258260=8()42S x x x =-+--+, 故当654x =时，侧面积最大，最大值为42252平方厘米. 6分 (2)包装盒的体积2(2)(2)[2()4],(0,)2bV a x b x x x ab a b x x x =--=-++∈, 8分22222[2()4](4)(36002404)=42403600V x ab a b x x x ab x x x x x x x =-++≤-+=++-+当且仅当60a b ==时等号成立. 10分 设32()42403600,(0,30)f x x x x =-+∈. 则()12(10)(30)f x x x '=--.于是当010x <<时,()0f x '>,所以()f x 在(0,10)上单调递增；当1030x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(10,30)上单调递减.因此当=10x 时,()f x 由最大值(10)=16000f . 12分 此时60,10a b x ===.答：当60,10a b x ===时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米. 14分 18.(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆222=18x y b +经过点(,2)b c ,所以2224=18b c b +. 因为22228c c e a ==,所以2228182b b b -+=. 因为222a b c =+,所以2228182b b b-+=. 2分 整理得2212320b b -+=,解得2=4b 或2=8b （舍）.所以椭圆C 的方程为22184x y +=. 4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,因为(1,0)T ,则直线l 的方程为(1)y k x =-.联立直线l 与椭圆方程22(1),184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222(21)4280k x k x k +-+-=,所以212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩6分 因为MN l ∥,所以直线MN 方程为y kx =,联立直线MN 与椭圆方程22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得22(21)=8k x +,解得22821x k =+.因为MN l ∥,所以1222(1)(1)()M N x x AM BT MN x x --=-g g . 8分因为12121227(1)(1)=[()1]21x x x x x x k ----++=+g ,所以212222(1)(1)7217()213232M N x x AM BT k MN x x k --+===-+g g g . 10分 (3)在(1)y k x =-中,令0x =,则y k =-,所以(0,)P k -. 从而25AP TB =u u u ru u r ,所以22(1)5x x -=-,即122255x x +=. 12分 由(2)知,212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由2122124,2122,55k x x k x x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩解得22122242162,3(21)3(21)k k x x k k -+-==++. 14分 因为21222821k x x k -=+,所以2222224216228=3(21)3(21)21k k k k k k -+--⨯+++, 整理得42508334=0k k --,解得2=2k 或21750k =-（舍）. 又因为0k >,所以k 16分 19.(本小题满分16分)解：(1)当a e =时,()1x f x e ex =--,①()()()21,()2x x h x f x g x e x h x e '=-=--=-. 由()0h x '>得ln 2x >,由()0h x '<得ln 2x <.所以函数()h x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞,单调递减区间为(,ln 2)-∞. 3分 ②()x f x e e '=-.当1x <时,()0f x '<,所以()f x 在区间(,1)-∞上单调递减； 当1x >时,()0f x '>,所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.1*当1m ≤时,()f x 在(,]m -∞上单调递减,值域为[1,]m e em --+∞,()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-, 因为()F x 的值域为R ,所以1(2)m e em e m --≤-, 即10m e em --≤.(*)由①可知当0m <时,()21(0)0m h m e m h =-->=,故(*)不成立.因为()h m 在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,且(0)0,(1)30h h e ==-<,所以01m <≤时,()0h m ≤恒成立,因此01m <≤. 6分 2*当1m >时,()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,]m 上单调递增, 所以函数()=1x f x e ex --在(,]m -∞上的值域为[(1),]f +∞,即[1,)-+∞. ()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-,因为()F x 的值域为R ,所以1(2)e m -≤-,即112m e <≤-. 综上1*,2*可知,实数m 的取值范围是1[0,]2e -. 9分 (1)()xf x e a '=-.若0a ≤时,()0f x '>,此时()f x 在在R 上单调递增. 由12()=()f x f x 可得12=x x 与12||1x x -≥相矛盾,所以0a >,且()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,在[ln ,)a -∞上单调递增. 11分 若12,(,ln ]x x a ∈-∞,则由12()=()f x f x 可得12=x x ,与12||1x x -≥相矛盾, 同样不能有12,[ln ,)x x a ∈+∞,不妨设1202x x ≤≤≤,则有120ln 2x a x ≤<<≤.因为()f x 在1(,ln )x a 上单调递减,在2(ln ,)a x 上单调递增,且12()=()f x f x , 所以当12x x x ≤≤时,12()()=()f x f x f x ≤. 由1202x x ≤≤≤,且12||1x x -≥,可得121[,]x x ∈,故12(1)()=()f f x f x ≤. 14分 又()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,且10ln x a ≤≤,所以1()=(0)f x f , 所以(1)(0)f f ≤,同理(1)(2)f f ≤.即210,122,e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩解得211e a e e -≤≤--,所以211e a e e -≤≤--. 16分 20.(本小题满分16分)(1)因为{}n a 是公差为2的等差数列.所以11=2(1),1n n S a a n a n n+-=+-. 2分从而11122(1)(2)(1)22nc a n a n n a n n +++++=-+-=+,即1n c =. 4分(2)由1(1)n n n S n b a n++=-,得1(1)n n n n n b na S ++=-,121(1)(2)(1)n n n n n b n a S +++++=+-,两式相减,并化简得211=(2)n n n n a a n b nb +++-+-. 6分 从而12121(2)[(1)]22n n n n n n n n a a S a a n c a n b n++++++++=-=--+21(1)2n n n a a n b +++=++1(2)(1)2n n n n b nb n b ++-=++11(2)()2n n n b b +=++因此11()2n n n c b b +=+. 9分因为对一切*n ∈N ,有n n b c λ≤≤,所以11=()2n n n n c b b λλ+≤+≤,故==n n b c λλ,. 11分 所以1(1)=n n S n a nλ++-,①121(2)=()2n n n S n a a nλ++++-②②-①,得211()=2n n a a λ++-,即21=2n n a a λ++-故1=2(2)n n a a λλ+-≥. 14分 又2212=1n S a a a λ-=-,则1=2(1)n n a a λλ+-≥,所以数列{}n a 是等差数列. 16分 21.【选做题】在A B C D 、、、四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.A .选修41-：几何证明选讲解：(1)因为BC 是圆O 的切线,故由切割线定理得2=BC BM BA ⋅. 2分 设AM t =,因为8,4AB BC ==,所以24=8(8)t -,解得=6t ,即线段AM 的长度为6.. 4分 (2)因为四边形AMNC 为圆的内接四边形,所以A MNB ∠=∠. 6分 又B B ∠=∠,所以MNB BCA ∆∆:. 8分 所以=BN MNBA CA.因为2AB AC =,所以2BN MN =. 10分 B .选修42-：矩阵与变换 解：（方法一）在直线:70l ax y +-=取点(0,7),(1,7)A B a -. 因为30003003,17717(7)1b b b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 4分 所以(0,7),(1,7)A B a -在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(0,7),(3,(7)1)A b B b a ''--. 由题意知,A B ''在直线:9910l x y '+-=上,所以7910,27(7)1910b b a -=⎧⎨+---=⎩. 8分解得2,13a b ==. 10分 （方法二）设在直线l 上任意一点取点(,)P x y ,点P 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(,)Q x y '''.因为30017x b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以=3,.x x y x by '⎧⎨'=-+⎩4分 又因为点(,)Q x y '''在直线l '上,所以9910x y ''+-=即27()910x x by +-+-=,也即26910x by +-=,又点(,)P x y 在直线l 上,所以有70ax y +-=. 8分所以269117b a -==-,解得2,13a b ==. 10分 C .选修44-：坐标系于参数方程 解：（方法一）在直线l 的参数方程式为普通方程得434x y -=.将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 4分联立方程组2434,4,x y y x -=⎧⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩或1,41,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以1(4,4),(,1)4A B -. 8分所以254AB . 10分（方法二）设将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得243()4(1)55t t =+,即2415250t t --=, 所以12121515,44t t t t +==-. 6分所以221212121525||()4()2544AB t t t t t t =-=+-=+=. 10分D .选修45-：不等式选讲证明：4224222222222222464()()4()4=(2)()a a b b ab a b a b ab a b a b a b ab a b ++-+=+-+++-=-. 5分 因为a b ≠,所以4()0a b ->,所以42242264()a a b b ab a b ++>+. 10分 【必做题】第22题、第22题,每小题10分,共20分.22.（本小题满10分）解：因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD . 又AE ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以11,AA AE AA AD ⊥⊥.在菱形ABCD 中π=3ABC ∠,则ABC ∆是等边三角形. 因为E 是BC 中点,所以BC AE ⊥. 因为BC AD ∥,所以AE AD ⊥. 以1,,AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立空间执教坐标系,则131(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(,,1)2A C D A E F(1)31(0,2,0),(,,1)2AD EF ==-u u u r u u u r 所以1AD EF ⋅=u u u r u u u r .从而2cos ,||||AD EF AD EF AD EF <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g .故异面直线,EF AD 所成的余弦值为2. 4分 (2)设(,,)M x y z ,由于点M 在线段1A D 上,且11A MA Dλ=, 则11A M A D λ=u u u u r u u u u r,即(,,2)2(0,2,2)x y z -=-.则(0,2,22),(3,21,22)M CM λλλλ-=---u u u u r. 6分设平面AEF 的法向量为000(,,)n x y z =.因为31(3,0,0),(1)22AE AF ==u u u r u u u r g ,由0,0n AE n AF ==u u u r u u u r g g 得0001=0,02x y z +=.取02y =,则01z =-,则平面AEF 的一个法向量为(0,2,1)n =-. 8分由于CM ∥平面AEF ,则0n CM =u u u u r g ,即2(21)(22)0λλ---=,解得2=3λ. 10分23.（本小题满10分）解：(1)由题意知22223223A p A ==,即2p 的值为23. 3分(2)先排第n 行,则最大数在第n 行的概率为2(1)12n n n n =++； 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数, 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为11(1)2n n n n -=-； 故1212222213(1)3(1)n nn p n n n n n -+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++⨯⨯⋅⋅⋅⨯+. 7分 由于0121212212(11)nnnn n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=+++⋅⋅⋅+≥++>+=,故21112(1)(1)nn n n C n n +++>++,即211(1)n n n C p n ++>+. 10分。

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众 40 10 女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象， 则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，（第5题图）S ←1 I ←1While I ≤8 S ←S ＋I I ←I ＋2 End While Print SA 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ． 9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ．13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ． 14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA（第16题图）PDCBA18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求 AT ·BTMN 2 的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k ．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn ，xyOABPT MN （第18题图）(n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S nn ，其中n ∈N ． （1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N ，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程ACBMOABCOM N（第21(A)图）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． （1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D ＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N ）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：………………… 第1行 ………………… 第2行 ………………… 第3行 …………… …………………………… ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N ．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；D 1C 1 B 1MFEDC B A A 1（第22题图）（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．31 7． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2} 13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分 （2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252， 故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分 （2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分 V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b 2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b 2＝1．因为a 2＝b 2＋c 2，所以 b28＋8－b 22b 2＝1． …………………… 2分整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分 （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750 (舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ，即e m －2m －1≤0． （）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )．因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增．由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)，所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)．由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)，所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分 （2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ] ＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1) b n ＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)．因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N ，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n ， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S n n ， ②②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ．故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)． ……………………… 14分又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列． ……………………… 16分数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM ·BA ． …………… 2分 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8(8－t )，解得t ＝6 ，即线段AM 的长度为6． ………………………… 4分（2）因为四边形AMNC 为圆内接四边形，所以∠A ＝∠MNB ． …………………… 6分 又∠B ＝∠B ，所以△BMN ∽△BCA ， ……………………… 8分所以BN BA ＝MN CA ．因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN ． ……………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（方法一）在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 0 7＝⎣⎡⎦⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 7－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1， …………… 4分 所以A (0，7)，B (1，7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A ′(0，7b )，B ′(3，b (7－a )－1)．由题意，知A ′，B ′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以 ⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．…………… 8分 解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 （方法二）设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ x y ＝⎣⎡⎦⎤ x ′ y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ． …………… 4分 又因为点Q (x ′，y ′)在直线l ′上，所以9x ′＋y ′－91＝0．即27x ＋(－x ＋by )－91＝0，也即26x ＋by －91＝0，又点P (x ，y )在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0． …………… 8分所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)． ……………… 8分所以AB ＝(4－14)2＋(4＋1)2＝254． ……………… 10分 （方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2＝4(1＋35t )，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254． ……………… 6分所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(154)2＋25＝254． ……………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明： a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4． ……………… 5分因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)． …………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ．在菱形ABCD 中∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ．因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ．以{→AE ，→AD ，→AA 1}为正交基底建立空间直角坐标系． xz y D 1C 1 B 1 M F ED C B AA 1 (第22题图)则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，A 1(0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，1)．（1）→AD ＝(0，2，0)，→EF ＝(－32，12，1)，所以→AD ·→EF ＝1．从而cos ＜→AD ，→EF ＞＝→AD ·→EF |→AD |·|→EF |＝24． 故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24． ……………… 4分（2）设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且 A 1M A 1D ＝λ， 则→A 1M ＝λ→A 1D ，即(x ，y ，z －2)＝λ(0，2，－2)．则M (0，2λ，2－2λ)，→CM ＝(－3，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)．因为 →AE ＝(3，0，0)，→AF ＝(32，12，1)，由n ·→AE ＝0，n ·→AF ＝0，得x 0＝0，12y 0＋z 0＝0．取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0，2，－1)． ……………… 8分由于CM ∥平面AEF ，则n ·→CM ＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p 2＝2A 22 A 33＝23， 即p 2的值为 23． ……………… 3分 （2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为n n (n ＋1)2＝2n ＋1； ……………… 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的n (n ＋1)2－n ＝n (n －1)2个数中最大数在第n －1行的概率为n n (n －1)2＝2n ； ……故p n ＝2n ＋1×2n ×…×23＝2n －1(n ＋1)×n ×…×3＝2n(n ＋1)!． ……………… 7分 由于2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2n (n ＋1)!＞C 2n ＋1(n ＋1)!，即p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!． ………………。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。

1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。