测量南通电视塔的高度

第八节解三角形的综合应用1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α.(如图(b))3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．[小题体验]1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为______ m.答案：5022．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________ n mile.答案：56易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．[小题纠偏]1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案：130°2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°考点一测量高度问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·昆山模拟)如图，为了测量河对岸的塔高AB，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20 m，则塔高AB＝________m.解析：设塔高AB＝h，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝h，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴BD＝3h，在△BCD中，∠BCD＝60°，CD＝20，由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos 60°，即3h2＝400＋h2－20h，解得h＝10.答案：10[由题悟法]求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[即时应用]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD ＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________m.解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC ＝CD ·sin∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6. 所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan∠AEF＝206×33＝202， 所以AB ＝AF ＋BF ＝(202＋1)m.答案：202＋1考点二 测量距离问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．[题点全练]角度一：两点都不可到达1．(2019·苏州调研)要测量河对岸两个建筑物A ，B 之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为________km.解析：在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3. 在△BCD 中，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝60°，∴由正弦定理，CDsin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，解得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝3＋8＋434－2×3×6＋22×6－24＝5，∴AB ＝ 5. 答案：5角度二：两点不相通的距离2．如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，所以AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.所以AB ＝200 7 (m)． 即A ，B 两点间的距离为200 7 m.答案：200 7角度三：两点间可视但有一点不可到达3．如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m.解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsin C ＝AC sin B ，所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.答案：206[通法在握]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[演练冲关]1．(2019·如东中学测试)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O 沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.解析：连结OC(图略)，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.答案：5072．(2018·常州调研)一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2. 答案：302考点三 测量角度问题 重点保分型考点——师生共研[典例引领]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsi n 120°， 解得sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. [由题悟法]解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．[即时应用]如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，解得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上．解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：南偏西80°2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为________m.解析：设山高CD为x，在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，＝3x.在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD而AB＝AD－BD＝(3－1)x＝100.解得x＝1003－1＝50(3＋1)．答案：50(3＋1)3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40 2 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里．解析：根据题意画出图形，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝400(8＋43)＝400(6＋2)2，∴AC＝20(6＋2)．故所求航行的路程为20(6＋2)海里．答案：20(6＋2)4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km则由余弦定理知9＝x2＋4－4x cos 120°，因为x＞0，所以x＝6－1.答案：6－15.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：326．(2018·天一中学检测)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．解析：如图所示，设过x h 后两车距离为y ，则BD ＝200－80x ，BE ＝50x ，所以y 2＝(200－80x )2＋(50x )2－2×(200－80x )·50x ·cos 60°整理得y 2＝12 900x 2－42 000x ＋40 000(0≤x ≤2.5)，所以当x ＝7043时y 2最小． 答案：7043二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里． 解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里)．答案：1022．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：623．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A ，B两处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿的距离为________海里．解析：由题意可知CD ＝40，∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠ADC ＝105°，∴∠CAD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得AD sin 30°＝40sin 45°， ∴AD ＝202，在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BD ＝2CD ＝40 2.在△ABD 中，由余弦定理，得AB ＝ 800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6. 故A ，B 两处岛屿的距离为206海里．答案：2064．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m. 解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案：505．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为________．解析：由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0， 因为0＜A ＜π，所以0＜A ＜π2. 又a 为最大边，所以A ＞π3. 因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 6. (2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船间的距离是________km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min 时，甲船到达M 点，乙船到达N 点，由题意知AM ＝8×14＝2(km)，BN ＝12×14＝3(km)，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos 120°＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以MN ＝13(km)．答案：137．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ， 所以AC ＝CEsin ∠EAC·sin∠CEA ＝20 3 m. 所以在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30 m. 因为国歌时长为50 s ，所以升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案：0.68．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝________.解析：在△ABC 中，由正弦定理可知BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin 45°－15°＝50(6－2)(m)． 在△BCD 中，由正弦定理可知sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD＝506－2sin 45°50＝3－1. 由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.答案：3－19．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3. 在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000， 所以DE ＝1007.答：甲、乙两人之间的距离为1007 m.(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ.在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DEsin ∠DBE， 即200－2y cos θsin θ＝y sin 60°， 所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2， 所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3. 答：甲、乙之间的最小距离为50 3 m.10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C 处，且与岛A 相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B 处追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝10×2＝20，AC ＝12，∠ACB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，解得BC ＝28， 所以该军舰艇的速度为BC 2＝14海里/小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°， 即sin α＝AB sin 120°BC ＝20×3228＝5314. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝AB sin ∠ACB ， 所以BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)． 因为CD ⊥AD ，所以CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350.故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 6502．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l 1，l 2，公园管理中心位于点O 正南方2 km l 1上的A 处，现计划在l 2即点O 北偏东45°方向，观光路l 2路旁B 处修建一公园服务中心．(1)若为方便管理，使AB 两点之间的直线距离不大于2 5 km ，求OB 长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在l 1，l 2上分别选点M ，N ，修建一条小路MN .因环境需要，以O 为圆心，22km 为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M ，N 的位置，使M ，N 之间的距离最短．解：(1)在△ABO 中，OA ＝2，OB ＝x ，∠AOB ＝135°， 根据余弦定理得，AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 135°， ∴22＋x2－2×x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22≤(25)2， 即x 2＋22x －16≤0，解得－42≤x ≤22， ∵x ≥0，∴0≤x ≤22，故OB 长度的取值范围为[0,2 2 ]．(2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连结OC ，则OC ⊥MN .设OM ＝a ，ON ＝b ，MN ＝c ，在△OMN 中，∵12MN ·OC ＝12·OM ·ON ·sin 135°，∴12·22c ＝12·22ab ，即c ＝ab ， 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 135°＝a 2＋b 2＋2ab ≥(2＋2)ab ＝(2＋2)c ，解得c ≥2＋2，当且仅当a ＝b ＝2＋2时，c 取得最小值2＋ 2.∴M ，N 与点O 的距离均为2＋ 2 km 时，M ，N 之间的距离最短，最短距离为(2＋2)km.命题点一 简单的三角恒等变换 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：322．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17－－21＋17×－2＝3. 答案：33．(2017·江苏高考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：754．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－125．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sin α＝13，则cos 2α＝________.解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：796．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解：(1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 7．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.命题点二 解三角形1．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD＝1，则4a ＋c 的最小值为________．解析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac ＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号．故4a ＋c 的最小值为9. 答案：92．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．答案：21733．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析：∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案：2334．(2018·北京高考)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.5．(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60° (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.6．(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ，所以tan B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27 .所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.7．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cosC ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC ＝ACsin B×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．命题点三 三角综合问题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当cos x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－3322．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是 sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12 sin 2B ＝sin B cos B .因为 sin B ≠0，所以 sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.3．(2016·北京高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解：(1)由余弦定理及题设得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0＜∠B ＜π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0＜∠A ＜3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.。

世界第一高楼The World TallestBuilding “Burj Khalifa”哈利法塔是位于阿拉伯联合酋长国迪拜境内的摩天大楼，是世界第一高楼与人工构造物，高度达828米，楼层总数169层，造价达15亿美元。

哈利法塔于2004年9月21日开始动工，在2007年初开始安装玻璃帷幕，金属外墙于同年6月施装，最后于2010年1月4日正式完工启用，总共用了5年的时间建成。

哈利法塔的架构灵感源自蜘蛛兰花的抽象设计，大体上分为三部分，围绕一个中央核心排列。

从上往下看，哈利法塔沿袭了诸多伊斯兰建筑通常采用的葱形圆顶设计，但其规模要小很多。

名字由来哈利法塔最初的原名叫迪拜塔，完工后改以哈利法塔为正式名称。

兴建时期由于适逢金融海啸，对迪拜的影响比较大，导致哈利法塔资金调度不足，一度停建。

由于迪拜酋长的坚持，得以继续兴建，进而向阿布扎比酋长请求金融协助。

之所以临时改以“哈利法”为迪拜塔重新命名，乃是感念他的支援。

“哈利法塔”ARCHIECTURE建筑风情“哈利法”一名，原为阿拉伯帝国最高统治者与宗教领袖之尊称，在伊斯兰世界中具有崇高地位，故亦有贵族以此为名。

如此命名实为一语双关，气势恢宏。

哈利法塔的总建筑师是芝加哥建筑事务所SOM建筑设计事务所的亚德里恩·史密斯。

主要承建商是承揽吉隆坡双峰塔的韩国三星C&T，以独特的超高大楼兴建工法，每三天就能盖好一层楼；景观部分则由美国SWA进行设计，中国江苏南通六建集团公司承包土建施工，幕墙分别由香港远东、上海力进、陕西恒远三家公司承包。

除此之外，也分包给比利时团队Besix 和阿联酋的阿拉伯技术建筑公司。

结构设计哈利法塔由SOM所设计，此公司出名在于它的超高楼计划如芝加哥的西尔斯大楼与纽约市的自由塔。

哈利法塔是全球最高的自力支撑架构，哈利法塔全靠一根由地下伸延至156楼的“585米”核心柱及三组扶壁式核心支撑塔楼，再于上层采用传统钢筋结构，而横切面选取Y型设计，也有助稳固建筑物。

迪拜哈利法塔结构设计与施工撰文 赵西安 中国建筑科学研究院1 工程概况迪拜哈利法塔是目前世界上最高的建筑，其高度为828m，其中混凝土结构高度为601m。

基础底面埋深-30m，桩尖深度达-70m。

全部混凝土用量330000m3；总用钢量104000t(高强钢筋65000t；型钢39000t）。

有效租售楼层162 层，建筑面积526700m2，塔楼建筑面积344000m2。

塔楼建筑重量50万t。

居住和工作人数12000人，总造价为15亿美元。

工期自2004年9月至 2010年1月，共1325天，用工2200万工时。

哈利法塔是一座综合性建筑，37层以下是阿玛尼高级酒店；45~108层是高级公寓，78层是世界最高楼层的游泳池；108~162层为写字楼；124层为世界最高的观光层，透过幕墙的玻璃可以看到80公里外的伊朗；158层是世界最高的清真寺；162层以上为传播、电信、设备用楼层，一直到206层；顶部70m是钢桅杆（图1，2）。

为保持世界最高建筑的地位，钢结构顶部设置了直径为1200mm的可活动的中心钢桅杆，可由底部不断加长，用油压设备不断顶升，其预留高度为200m（图3）。

为此哈利法塔始终不宣布建筑高度。

到2009年底，确认五年内世界各国都不可能建成更高的建筑，才最后确定828m的最终高度。

2010年1月4日，哈利法塔举行了开幕式，正式宣布建成。

2 建筑设计哈利法塔的建筑理念是“沙漠之花”，平面是三瓣对称盛开的花朵（图4）；立面通过21个逐渐升高的退台形成螺旋线，整个建筑物像含苞待放的鲜花（图5~8）。

这朵鲜花在沙漠耀眼的图2 哈利法塔平面图3 顶部可升高的钢桅杆图4 三瓣盛开的沙漠之花总高度/混凝土结构高度：828m/601m基础底面埋深/桩尖深度：30m/70m全部混凝土用量：330 000m3总用钢量：104 000t（高强钢筋65 000t，型钢39 000t）有效租售楼层：162层总建筑面积/塔楼建筑面积：526 700m2/344 000m2塔楼建筑重量：50万t可容纳居住和工作人数：12 000人总造价：15亿美元工期：2004年9月~2010年1月，总计1 325天工程总包：韩国三星土建承包：江苏南通六建幕墙承包：香港远东、上海力进、陕西恒远建筑设计、结构设计：SOM图1 哈利法塔——世界最高建筑图5 用21个退台构成立面的螺旋线图6 一朵含苞待放的花图7 三叉形平面有利于抵抗风力2阳光下，幕墙与蓝天一色，21个退台熠熠生辉（图9）。

上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 ˚ ′ ″ 键即可显示 以“度、分、秒”为单位的结果.
根据上述方法你能求出问题1中∠A的大小吗？
sin A = 1 = 0.25. 按键顺序和显示结果为
4
SHIFT sin 0 · 2 5 = 14.477 512 19°
再按 ° ′ ″ 键可显示14˚28′39″，所以∠A=14˚28′39″.
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
知识点1 利用计算器求锐角三角函数值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器 求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( D )
D 39°
E
45°
C
A
【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610 米.
（2）DE＝AC＝610米，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ BE ，
DE
故BE＝DEtan39°． 因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan 39°
＝610－610×tan 39°≈116（米）. 答：大楼的高度CD约为116 米．
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
•2. 已知sin α＝1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒
2
”为单位，最后按键(D )
•A．AC/ON
B. SHIFT
C．MODE
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.