人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1 / 9 人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结

人教版八年级数学全等三角形常见模型总结要点梳理 全等三角形的判定与性质判 定性 质备 注一般三角形直角三角形边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS）两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）判定三角形全等必须有一组对应边相等模型应用 1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质）类型一：角平分线辅助线：过点 G 作 GE⊥射线 AC例题解析 例：（1）如图 1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.（2）如图 2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠BAC.图1图2【答案】①2 （提示：作 DE⊥AB 交 AB 于点 E）②??1 ? ?2 ，? PM ? PN ，? ?3 ? ?4 ，?PN ? PQ，?PM ? PQ,?PA平分?BAC .类型二：角平分线模型应用 2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)1两个图形的辅助线都是在射线 OA 上取点 B，使 OB=OA，从而使△OAC≌△OBC. 例题解析 例 1：在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交 BC 于 P，BQ 平分∠ABC 交 AC 于 Q，求证： AB+BP=BQ+AQ。 证明：如图（1）， 过 O 作 OD∥BC 交 AB 于 D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°， 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ， 又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB， 又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD， 又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°， ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考： （1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法”。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： ①如图（2），过 O 作 OD∥BC 交 AC 于 D，则△ADO≌△ABO 从而得以解决。 2---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------

3 / 9 ④如图（5），过 P 作 PD∥BQ 交 AC 于 D，则△ABP≌△ADP 从而得以解决。 小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。 而 不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中 的作用。 从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个 以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。 例 2：如图所示，在 ?ABC 中， AD 是 ?BAC 的外角平分线， P 是 AD 上异于点 A 的任意一点， 试比较 PB ? PC 与 AB ? AC 的大小，并说明理由．PB ? PC ? AB ? AC ，理由如下． 如图所示，在 AB 的延长线上截取 AE ? AC ，连接 PE ． 因为 AD 是 ?BAC 的外角平分线， 故 ?CAP ? ?EAP ． 在 ?ACP 和 ?AEP 中， AC ? AE ， ?CAP ? ?EAP ， AP 公用， 因此 ?ACP≌?AEP ， 从而 PC ? PE ． 在 ?BPE 中， PB ? PE ? BE ， 而 BE ? BA ? AE ? AB ? AC ， 故 PB ? PC ? AB ? AC ．例 3：在 ?ABC 中， AB ? AC ， AD 是 ?BAC 的平分线． P 是 AD 上任意一点．求证： AB ? AC ? PB ? PC ．AAPPEBDCBDC在 AB 上截取 AE ? AC ，连结 EP ，根据 SAS 证得 ?AEP ≌ ?ACP ，∴ PE ? PC ， AE ? AC 又?BEP 中， BE ? PB ? PE ， BE ? AB ? AC ，∴ AB ? AC ? PB ? PC类型三：等腰直角三角形模型1、在斜边上任取一点的旋转全等：3---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 5 / 9 操作过程：（1）将△ABD 逆时针旋转 90°，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM 为等腰直角三角 形.（但是写辅助线时不能这样写）（2）过点 C 作 MC⊥BC，连 AM 导出上述结论. 2、定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连 AD. （1）. 使 BF=AE（AF=CE），导出△BDF≌△ADE. （2）. 使∠EDF+∠BAC=180°，导出△BDF≌△ADE. 例题解析 例 1：两个全等的含 30°，60°的三角板 ADE 和三角板 ABC，如图所示放置，E、A、C 三点在一 条直线上，连接 BD，取 BD 得中点 M，连接 ME，MC，试判断△EMC 的形状，并证明。 证明：连接 AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.例 2：已知：如图所示，Rt△ABC 中，AB=AC， ?BAC ? 90? ，O 为 BC 中点，若 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM. （1）是判断△OMN 的形状，并证明你的结论. （2）当 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动时，四边形 AMON 的面积如何变化？4思路：两种方法：类型四：三垂直模型（弦图模型）由△ABE≌△BCD 导出ED=AE-CD 例题解析由△ABE≌△BCD 导 出 EC=AB-CD由△ABE≌△BCD 导出 BC=BE+ED=AB+CD例 1：已知：如图所示，在△ABC 中，AB=AC，?BAC ? 90? ，D 为 AC 中点，AF⊥BD 于 E，交 BC 于 F，连接 DF。 求证：∠ADB=∠CDF.思路： 方法一: 过点 C 作 MC⊥AC 交 AF 的延长线于点 M.先证△ABD≌△CAM，再证 △CDF ≌△CMF 即 可.（一）（二）（三）方法二：过点 A 作 AM⊥BC 分别交 BD、BC 于 H、M.先证△ABH≌△CAF， 再证 △CDF ≌△ADH即可.方法三：过点 A 作 AM⊥BC 分别交 BD、BC 于 H、M.先证 Rt△AMF ≌Rt△BMH，得出HF∥AC. 由 M、D 分别为线段 AC、BC 的中点，可得 MD 为△ABC 的中位线从而推出 MD∥AB，又 由于 ?BAC ? 90? ，故而 MD⊥AC，MD⊥HF，所以 MD 为线段 HF 的中垂线. 所以∠1=∠2.再由∠ ADB+∠1=∠CDF+∠2 ，则∠ADB=∠CDF .5---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------

7 / 9 类型五：手拉手模型 1.△ABE 和△ACF 均为等边三角形结论：（1）. △ABF≌△AEC （2）.∠BOE=BAE=60°（“八字模型证明”）（3）.OA 平分∠EOF拓展： 条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形（4）、PQ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明） 2.△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD 3.ABEF 和 ACHD 均为正方形结论：（1）、BD⊥CF （2）、BD=CF四、半角模型条件：?? 1 ?, 且?+?=180?，? 两边相等 . 2思路：1、补短（旋转）6辅助线：①延长 CD 到 E，使 ED=BM，连 AE 或延长 CB 到 F，使 FB=DN，连 AF ②将△ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ABF，注意：旋转需证 F、B、M三点共线 结论：（1）MN＝BM＋DN；（2） C?CMN =2AB ； （3）AM、AN 分别平分∠BMN、∠MND . 2、翻折（对称） 辅助线：①作 AP⊥MN 交 MN 于点 P②将△ADN、△ABM 分别沿 AN、AM 翻折，但一定要证明 M、P、N 三点共 线.7---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------

9 / 9 例 1、在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD 上移动，且满足 MN＝BM＋ DN， 求证：（1）∠MAN＝45°；（2） C?CMN =2AB ； （3）AM、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .变式：在正方形 ABCD 中，已知∠MAN＝45°，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线 上移动， AH⊥MN，垂足为 H， （1）试探究线段 MN、BM、DN 之间的数量关系； （2）求证：AB＝AH