初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全(初二)

八年级上册数学三角形模型大全
八年级上册数学三角形模型包括以下几种：
1. A字模型：∠1 + ∠2 = ∠c + 180°。

2. 高分角模型：高分角等于底角差的一半。

3. 八字模型：两翼和相等。

4. 飞镖模型：∠d = ∠a + ∠b + ∠c。

5. 镖分分模型：上下之和等于中间两倍。

6. 八字加角分线模型：上下之和等于中间两倍。

7. 双角平分线模型—内内：内内90°+1/2。

8. 双角平分线模型—外外：外外90°-1/2。

9. 双角平分线模型—内外：本质上有某些关联。

10. 一内一外模型：由三角形的一个内角平分线和一个外角平分线产生夹角。

11. 两内模型：两个内角平分线的夹角。

12. 两外模型：两个外角平分线的夹角。

以上内容仅供参考，可以请教数学老师或查看教辅资料，以获取更多有关三角形模型的解题技巧和方法。

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结全等三角形的常见模型总结全等三角形是数学中的一个重要概念，它代表着两个三角形的所有对应部分完全相等。

在八年级数学教材中，全等三角形的学习是一个重要的内容。

本文将对人教版八年级数学中常见的全等三角形模型进行总结。

一、三个已知条件1. SAS（边角边）判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型通常用于根据已知条件构造全等三角形。

例如，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，要求证明△ABC≌△DEF。

2. ASA（角边角）判定法ASA判定法是指如果两个三角形的两角和一边分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型常用于证明两个三角形全等。

例如，已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，要求证明△ABC≌△DEF。

3. SSS（边边边）判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型常用于证明两个三角形全等。

例如，已知△ABC和△PQR，已知AB=PQ，BC=QR，AC=PR，要求证明△ABC≌△PQR。

二、全等三角形的性质1. 对应部分相等对应的顶点、边和夹角都相等。

2. 全等三角形的性质相等全等三角形的各个角、边的性质都相等，比如角平分线和中线相等、高和中线相等等。

三、应用实例1. 建筑几何模型全等三角形在建筑几何中有着广泛的应用。

例如，在建造房屋的过程中，根据所给定的尺寸，可以通过构造全等三角形来确定某些未知尺寸，确保建筑物的稳定性和均衡性。

2. 测量和导航全等三角形在测量和导航中也有着重要的应用。

例如，在测量高楼大厦时，可以通过测量一些已知长度和角度，利用全等三角形模型来计算难以测量的高度。

在导航中，利用全等三角形的性质可以确定船只或飞机的位置和方向。

3. 几何证明全等三角形的模型在几何证明中也是常见的。

许多几何定理的证明需要利用全等三角形构造相等的边或角来推导。

初中数学中考数学常用几何模型及构造方法大全
1.线段和角的构造：
(1)线段的平分线构造：通过线段的两个端点构造出它的平分线；
(2)角的平分线构造：通过角的两条边构造出它的平分线。

2.直线和角的性质：
(1)同位角和内错角的性质：对于两条平行线与同位角以及内错角的
关系给出了详细的构造方法；
(2)顶角与底角的性质：对于两个交角的顶角和底角的关系给出了构
造方法。

3.平面图形的特点与性质：
(1)正方形、矩形、菱形和平行四边形的构造方法：通过给出一些特
定线段的长度构造出相应的平面图形；
(2)三角形的构造方法：根据给定的边长或者角度构造出相应的三角形；
(3)全等三角形的构造方法：利用三个已知条件构造出全等的三角形；
(4)利用三角形的角平分线构造三角形的内心；
(5)利用三角形的垂心、外心和重心的构造方法。

4.圆的构造与性质：
(1)圆的半径的构造方法：通过给出的圆心和一个端点构造出圆的半径；
(2)弦的构造方法：通过给出圆上的两个点构造出相应的圆弦；
(3)弓形的构造方法：通过给出的端点和圆心构造出相应的弓形；
(4)圆的切线的构造方法：通过给出的切点构造出相应的圆的切线。

5.相似与全等的构造：
(1)利用角的平分线构造相似三角形：通过给出的角的平分线构造出相似的三角形；
(2)利用比的性质构造相似三角形：通过给出的比例构造出相似的三角形；
(3)利用比的性质构造全等三角形：通过给出的比例构造出全等的三角形。

以上是初中数学中考常用的几何模型及构造方法的大致内容。

当然，具体的内容还包括一些相关的定义和定理，这些都需要在学习中进一步深入理解和掌握。

三角形全等辅助线构造总结当题中出现等腰三角形的条件但是不好使用时，可以考虑利用旋转构造辅助线，通过构造等腰三角形得到手拉手全等，利用全等转移边角进行解题旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向旋转对象：一般是含已知条件或问题相关的边角所在三角形如何转：确定旋转三角形后，考虑由旋转三角形中的腰旋转至与另一腰重合，整个三角形进行同样的旋转旋转后的图形分析：1、从新构造的全等三角形进行分析；2、从新得到的等腰三角形进行分析板块一、常见旋转相关模型一、邻补模型（∠DAB+∠DCB=180°，AD=AB）条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角。

常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AC平分∠BCD2、AC CD BC 2=+ ②60°相关结论：1、AC 平分∠BCD 2、AC CD BC =+ ③120°相关结论：1、AC 平分∠BCD 2、AC CD BC 3=+补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断变式、不完整的邻补模型条件构成：有邻边相等或者对角互补，角平分线条件改成其中一个半角知道度数常见结论：与邻补模型一样解题方法：利用已知角构造等腰三角形得到手拉手全等二、邻八模型（∠CAD=∠CDB，AB=AC）条件构成：邻边相等、八字形、等腰三角形顶角为特殊角常见结论：1、外角平分线；2、线段的和差倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AD 为外角平分线 2、AD BD CD 2=-②120°相关结论：1、AD 为外角平分线2、AD BD CD 3=-变式、不完整的邻八模型条件构成：有邻边相等或者八字形，角平分线条件改成知道部分角度 常见结论：与邻补模型一样解题方法：利用已知角构造等腰三角形得到手拉手全等④一般角时（∠ADC=∠ABC）（∠ADB+∠ABC=180°）注：当等腰三角形不为等腰直角三角形或等边三角形时，利用作垂和翻折构造等腰三角形，如上第二图中，可过A 作DC 垂线，垂足F ，然后找E 使DF=EF ，连接则可得到目标等腰三角形三、等腰直角三角形相关旋转模型1、条件构成：△ABC 为等腰直角三角形，D 为直线BC 上任意一点常见结论：2222AD CD BD =+解题思路：构造旋转全等补充说明：2、夹半角模型条件构成：△ABC 是等腰直角三角形，且∠DAE 为45°或135°角常见结论：222DE CE BD =+解题思路：构造旋转全等，证两次全等补充说明：1、以上半角模型的辅助线构造思路都是将△ABD 绕A 逆时针转90°，先后证明AFE ADE ACF ABD ∆≅∆∆≅∆,，再用勾股得到结论2、120°等腰三角形相关夹半角也有类似解法，但结论不同，需要用到解三角形四、对角互余模型（BA=BC,∠BAC+∠BDC=90°） ①等边三角形 结论：222AD CD BD =+②等腰直角三角形结论：222BD=+2ADCD③120°等腰三角形结论：222+BD=CD3AD变式：向内时（∠ADC减等腰三角形底角=90°）结论：与相应对角互余模型相同一、拓展一：等腰+对角和为特殊角模型特点：四边形由一个顶角为特殊角的等腰三角形和一个任意三角形构成，其中一组对角和为特殊角。

最新初二数学全等三角形常见几何模型总结归类大全一、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1 图2①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠..求证：︒=∠+∠180C A图3练习二：已知如图4，四边形ABCD 中，..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：图4练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F. (1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ∆的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5 图6练习四：如图7，90A AD BC =︒，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ．图7 练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．图8练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。

求证：BE －AC=AE 。

初二数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全掌握它轻松搞定全等题！全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~全等变换类型：（一）平移全等：平行等线段（平行四边形）（二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角1：角平分线模型；2：对称半角模型；（三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转1.旋转半角模型2.自旋转模型3.共旋转模型4.中点旋转如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE分析：将△ACE平移使EC与BD重合。

B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！1：角平分线模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

2：对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、 45+ °、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折） 30+60+90直角三角形对称（翻折）翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

1.半角：有一个角含1/2角及相邻线段2.自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等3.共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点）4.中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七）1、旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

2、自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称3、共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

（接上------共旋转模型）模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形混用。

n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全，掌握它轻松搞定压轴题！几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i rb e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称.共旋转模型a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i rb e i n g a r e g o o d f o r s o 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

全等三角形经典模型
一、知识梳理
知识点1．角平分线的性质与判定
（1）角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等。

（2）角平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

知识点2．角平分线上的常用模型
（1）点在线，垂两边：
由角平分线上的点向角两边引垂线，构造全等。

（2）边角等，造全等：
在角的两边上都取相等的线段，结合角平分线构造全等。

注：关于第1个90°半角模型的常见结论 ①EF BE DF =+；
② CEF C △是正方形边长的2倍；
③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠；④点A 到EF 的距离等于正方形的边长.。

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结(精选.)人教版八年级数学全等三角形常见模型总结要点梳理：全等三角形的判定与性质：一般三角形：边角边（SAS）、判角边角（ASA）、定角角边（AAS）、边边边（SSS）。

直角三角形：斜边、直角边定理（HL）。

性质：对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的垂高相等）。

备判定：三角形全等必须有一组对应边相等。

注类型一：角平分线模型应用1.角平分性质模型：利用角平分线的性质。

例题解析：例1：如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是多少？答案】作DE⊥XXX于点E，DE=3cm。

例2：如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC。

答案】如图2，由角平分线的性质可知，PM=PN，PN=PQ，故PM=PQ，又因为PA是角BAC的平分线，所以XXX平分∠BAC。

类型二：角平分线模型应用2.角平分线，分两边，对称全等（截长补短构造全等）。

例题解析：例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠XXX于P，BQ平分∠XXX于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

答案】如图1，过O作OD∥BC交AB于D，∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又因为OD∥BP，所以∠PBO=∠DOB，又∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠XXX∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

如图，将△ADE逆时针旋转60°，使△ADE≌△ABC，从而得到△MDE≌△MAC，因为M为BD的中点，所以ME=MC，因此△EMC为等腰三角形，且∠MDE=∠MAC=30°，所以△EMC为等腰直角三角形。

辅助线模型考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。

判断三角形全等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。

典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，Δ ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC交AC 于点D，CE 垂直于 BD，交BD 的延长线于点E。

求证：BD=2CE。

思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：证明：延长BA，CE 交于点F，在ΔBEF 和ΔBEC 中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。