把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型
【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．
求证：CF DE =
模块一 平移型全等
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夯实基础
全等中的基本模型
F
E
D
C
B
A
【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥
∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD
AE BF =⎧⎨
=⎩
∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =
【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =
求证：AFC DEB △≌△
如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．
图1
F E
D
C B
A
图2
F
E D
(C )
B A
图3
F
E
D
C
B A
常见轴对称模型
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模块二 对称型全等
能力提升
【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD
和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ）
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．
【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．
求证：AM AN =．
常见旋转模型：
夯实基础
能力提升
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模块三 旋转型全等
E D N M C B A 43
2
1
E
D
C
B
A D O F
E C
B
A
【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB △绕点C 逆时
针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．
【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=
∴10
18010018
ACB ∠=︒⨯=︒
∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △
∴100A'CB'∠=︒
∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒
【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三
角形．请你证明：
⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥. 【例4】 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是
等边三角形．
⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
能力提升
夯实基础
A'B'C
B
A
M D N
E
C B
F
A
图2
图3
图1
M
N
M
N N M
A B
C
D
E A
B
C D E A
B
C E
D
【例5】 如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．
⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．
P
H
G G
G
图1
图3
图2
F
A
B
C
E
F A
B
C D
E
A
B
C D
E
F D
辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.
添辅助线的作用：凸显和集散
1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.
2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.
3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.
4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置知识导航
模块四 辅助线添加初步
