专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1 点关于点的对称问题】【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为（）A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0【变式2-1】（2020·山东·高考真题）直线2x+3y−6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（）A．3x−2y−10=0B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0D．2x+3y−2=0【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9D．a=1，b=9【例3】（2022·全国·高二课时练习）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（）A．(1,−2)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−1,2)【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（）A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2B．3C．5D．7【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点A(1,0)射入，经直线y=−x+3反射到直线y=x+3上的点B，再经直线y=x+3反射后经过点C(−1,0)，则点B的坐标为（）A．(−2,1)B．(0,3)C．(−1,2)D．(−1,1)【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A(2,4)射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−1,−4)，若将军从点A(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（）A．√13B．√17C．2√17D．10【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−4,−4)，若将军从点A(−2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=2，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√13B．5C．2√10D．10【变式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为(x+1)2+(y−1)2≤1，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y−5=0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）A．12x+5y−12=0B．21x+2y−21=0C．4x+y−4=0D．11x+2y−11=0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(13,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√1453B．5C．√1353D．163。
〔导学与探究〕2.2.1向量加法运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.知识点一向量加法的定义及其运算法则分析以下实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.思考1 从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？表达了向量的什么运算？ 答 后面的一次位移叫前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC → 表示的力是OA →与OB →表示力的合力.表达了向量的加法运算.思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ 答 三角形法则和平行四边形法则.求 的运算，叫做向量的加法.非零向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量 叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝ . 这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则. 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝ ＝以同一点O 为起点的两个向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 法则知识点二 向量加法的运算律思考 实数的运算律有哪些？向量的加法是否也有相似的运算律？ 答 交换律和结合律；有.类型一 向量加法运算律的应用例1 (1)设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则以下结论正确的有______.(将正确答案的序号填在横线上)①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |.(2)在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝______，|AB →＋AC →|＝________.反思与感悟 1.根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.2.向量求和的多边形法则：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n -1A n ——→＝A 1A n →.特別地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n -1A 1——→＝0.例2 正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________.§2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义〔梳理与作业〕课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则 (1)三角形法则如下图，非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量________叫做a与b 的和(或和向量)，记作__________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法则如下图，两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝______________.(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝______________________.一、选择题1．向量a 表示“向东航行1 km 〞，向量b 表示“向南航行1 km 〞，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，以下结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形 D ．四边形ABCD 一定是平行四边形4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可5. 如下图，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A. BD →B. DB →C. BC →D. CB →6. 如下图，在正六边形ABCDEF 中，假设AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．237．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.8．在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________． 9．|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____． 10. 设E 是平行四边形ABCD 外一点，如下图，化简以下各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.三、解答题11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12. 如下图，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE ＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．能力提升13．点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.14．在水流速度为4 3 km /h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的根本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．。
