物理竞赛中的数学知识 一、重要函数 1．指数函数 2．三角函数 1 -1 y=sinx -3π 2 -5π 2 -7π 2 7π 2 5π 2 3π 2 π 2 - π 2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x 1 -1 y=cosx -3π 2 -5π 2 -7π 2 7π 2 5π 2 3π 2 π 2 - π 2 -4π -3π -2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π 2 π π 2 - 3π 2 -π- π 2 o y x 3．反三角函数 反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。 二、数列、极限 1．数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。 数列的一般形式可以写成
a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），… 简记为｛an ｝， 通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2． 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和11(1) 22 n n a a n n S n na d +-= =+ 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同 一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。通项公式a n =a 1q (n-1)，前n 项和11 (1)(1)11n n n a a q a q S q q q --= =≠-- 所有项和1 (1)1n a S q q =<- 3． 求和符号
例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ， 抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度. 解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运 动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动. 根据平抛运动的规律：?? ? ??==2 021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：h g s y g x v 2320 == 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ. 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有 ? ??==?? ???-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ 代入可解得2 202arcsin 2122sin v dg v dg == θθ 所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬 想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于 三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得 a s 3 3 = 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为 v v v 2330cos = =' 由此可知三角形收缩到中心的时间为 v a v s t 32='= 此题也可以用递推法求解，读者可自己试解. 例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v . 解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动。设槽中心沿x 轴正方向运动的速度变为0v ，两小球相对槽心做角速度大小为ω的圆周运动，A 球处于
最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题3－-物态变化 一．选择题 １. （２０13全国初中应用物理知识竞赛)在严寒的冬季，小明到 滑雪场滑雪,恰逢有一块空地正在进行人工造雪。他发现造雪机在工作 过程中，不断地将水吸入,并持续地从造雪机的前方喷出“白雾”，而 在“白雾”下方,已经沉积了厚厚的一层“白雪”,如图１所示。对于 造雪机在造雪过程中,水这种物质发生的最主要的物态变化,下列说法 图1 中正确的是（） A.凝华Ｂ.凝固Ｃ.升华Ｄ.液化 答案:B 解析:造雪机在造雪过程中,水这种物质发生的最主要的物态变化是凝固,选项B正确。 2.(２0１2全国初中应用物理知识竞赛预赛)随着人民生活水平的提高，饭桌上的菜肴日益丰富，吃饭时发现多油的菜汤与少油的菜汤相比不易冷却。这主要是因为【】A、油的导热能力比较差Ｂ、油层阻碍了热的辐射 C、油层和汤里的水易发生热交换 D、油层覆盖在汤面，阻碍了水的蒸发 答案:D 解析：多油的菜汤不易冷却的原因是油层覆盖在汤面,阻碍了水的蒸发，选项D正确。 ３.（2012全国初中应用物理知识竞赛）我国不少地区把阴霾天气现象并入雾，一起作为灾害性天气,统称为“雾霾天气”。关于雾和霾的认识，下列说法中正确的是（) A．霾是大量的小水滴或冰晶浮游在近地面空气层中形成的 B．雾和霾是两种不同的天气现象 C.雾是由悬浮在大气中的大量微小尘粒、烟粒或盐粒等颗粒形成的 D．雾和霾是同一个概念的两种不同说法 解析:雾是大量的小水滴或冰晶浮游在近地面空气层中形成的,霾是由悬浮在大气中的大量微小尘粒、烟粒或盐粒等颗粒形成的,雾和霾是两种不同的天气现象，选项B正确。 答案:.Ｂ 4（20１１全国初中应用物理知识竞赛河南预赛)如图所示的4种物态变化中，属于放热过程的是，
物理知识整理 知识点睛 一．惯性力 先思考一个问题:设有一质量为m 的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？ 地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律； 车上的观察者觉得：小球以－a s 相对于小车作加速运动； 我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有 -a s 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为 - ma s ；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。 惯性力的理解 ： (1) 惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。 (2)惯性力的大小等于研究对象的质量m 与非惯性系的加速度a s 的乘积，而方向与 a s 相反，即 s a m f -=* （3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为a s ，物体受相对此参考系 加速度为a',牛顿定律可以写成：a m f F '=+* 其中F 为物理受的“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。 （4）如果研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处， 说明：关于真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。所以质疑和争论的人比较多。不过笔者建议初学的时候不必较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。在这个问题的思考中培养出爱因斯坦2.0版本的概率很低（因为现有的迷惑都被1.0版本解决了），在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空间的概念清晰起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。 极其不建议想不明白这问题的同学Baidu 这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦呓，很容易对不懂的人产生误导。 二．惯性力的具体表现（选讲） 1.作直线加速运动的非惯性系中的惯性力 这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与恒定重力相类似的特性，即与惯性质量正比。记为： s a m f -=* 2.做圆周运动的非惯性系中的惯性力 这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力： 1）离心力为背向圆心的一个力： r m f 2ω=*
高中奥林匹克物理竞赛解题方法 十、图像法 方法简介 图像法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易，化繁为简的目的，图像法在处理某些运动问题，变力做功问题时是一种非常有效的方法。 赛题精讲 例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A 地驶向B 地，并停止在B 地。AB 两地相距s ，火 车做加速运动时，其加速度最大为a 1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a 2，由此可可以判断出该火车由A 到B 所需的最短时间为 。 解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图像法来解。 根据题意作v —t 图，如图11—1所示。 由图可得1 1t v a = vt t t v s t v a 21)(21212 2=+== 由①、②、③解得2 121)(2a a a a s t += 例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v 0，若前车突然以恒定 的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s ，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为 （ ） A ．s B ．2s C ．3s D ．4s 解析：物体做直线运动时，其位移可用速度——时间图像 中的面积来表示，故可用图像法做。 作两物体运动的v —t 图像如图11—2所示，前车发 生的位移s 为三角形v 0Ot 的面积，由于前后两车的刹车 加速度相同，根据对称性，后车发生的位移为梯形的面积 S ′=3S ，两车的位移之差应为不相碰时，两车匀速行驶 时保持的最小车距2s. 所以应选B 。 ① ② ③ 图11—2
数学方法在物理学中的应用（一） 物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。 1．利用三角函数求极值 y ＝acos θ＋bsin θ ＝ ( + ) 令sin φ＝，cos φ＝ 则有：y ＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ)＝ sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2 时，y 有最大值，且y max ＝。 【典例1】在倾角θ=30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ=3 3,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?
解得:F =α μαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin ) = (sin cos + cos sin ) = sin(+ ) 其中 sin = ，cos =，即 tan = 。 当+ = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值 。 F 最小值为 ,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60。 带入数据得 F min = 100 N,此时 = 30 。 【答案】 100 N 与斜面夹角为30 【名师点睛】 根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。 2．利用二次函数求极值 二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2 ＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (其中a 、b 、c 为实常数)，
普通物理的数学基础 选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。 §1．函数及其图形 本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。 1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，我们就称y是x的函数，并记作 y=f(x），（A．1） 其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系。有时把y=f（x）也记作y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号， 如 （x）、ψ（x）等等。① 常见的函数可以用公式来表达，例如 e x等等。 在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面 切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。
在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量。 当y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值f（x0）。例如： （1）若y=f（x）=3+2x，则当x=-2时y=f（-2）=3+2×（-2）=-1． 一般地说，当x=x0时，y=f（x0）=3+2x0． 1．2函数的图形 在解析几何学和物理学中经常用平面 上的曲线来表示两个变量之间的函数关系， 这种方法对于我们直观地了解一个函数的 特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面 上取一直角坐标系，横轴代表自变量x，纵 轴代表因变量（函数值）y=f（x）．这样一 来，把坐标为（x，y）且满足函数关系y=f （x）的那些点连接起来的轨迹就构成一条 曲线，它描绘出函数的面貌。图A-1便是上 面举的第一个例子y=f（x）=3+2x的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图A-2是第二个例子 各点连接成双曲线的一支。 1．3物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。 （1）匀速直线运动公式 s=s0＋vt，（A．2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数。因此我们记作s=s（t）＝s0＋vt，（A．3） 式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。
例11：如图13—11所示，用12根阻值均为r的相同的电阻丝构成正立方体框架。试求AG两点间的等效电阻。 解析：该电路是立体电路，我们可以将该立体电路“压扁”，使其变成平面电路，如图13—11—甲所示。 考虑到D、E、B三点等势，C、F、H三点等势，则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图，所以AG间总电阻为
r r r r R 6 5363=++= 例12：如图13—12所示，倾角为θ的斜面上放一木 制圆制，其质量m=0.2kg ，半径为r ，长度L=0.1m ，圆柱 上顺着轴线OO ′绕有N=10匝的线圈，线圈平面与斜面 平行，斜面处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度 B=0.5T ，当通入多大电流时，圆柱才不致往下滚动？ 解析：要准确地表达各物理量之间的关系， 最好画出正视图，问题就比较容易求解了。如 图13—12—甲所示，磁场力F m 对线圈的力矩 为M B =NBIL ·2r ·sin θ，重力对D 点的力矩为： M G =mgsin θ，平衡时有：M B =M G 则可解得：A NBL mg I 96.12== 例13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图13—13 所示，每段电阻丝的电阻均为r ，试求A 、B 间的等效 电阻R AB 。 解析：设想电流A 点流入，从B 点流出，由对称 性可知，网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电 势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效为图13—13—甲所示的电路。
（1）其中竖直线电阻r ′分别为两个r 串联和一个r 并联后的电阻值， 所以 r r r r r 3 232=?=' 横线每根电阻仍为r ，此时将立体网络变成平面网络。 （2）由于此网络具有左右对称性，所以以AB 为轴对折，此时网络变为如图13—13—乙所示的网络。 其中横线每根电阻为21r r = 竖线每根电阻为32r r r ='= '' AB 对应那根的电阻为r r 32 =' 此时由左右无限大变为右边无限 大。 （3）设第二个网络的结点为CD ，此后均有相同的网络，去掉AB 时电路为图13—13—丙所示。再设R CD =R n －1（不包含CD 所对应的竖线电阻） 则N B A R R ='，网络如图13—13—丁所示。
专题2 物理中常用的数学特殊方法 考点1. 利用数学方法求极值 1.利用三角函数求极值 (1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=A 2 sin 2θ,当θ=45°时,y 有最大值,y max =A 2 。 (2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过辅助角公式转化为y=√a 2+b 2sin (θ+φ),当 θ+φ=90°时,y 有最大值y max =√a 2+b 2。 2.利用二次函数求极值 二次函数y=ax 2 +bx+c (a 、b 、c 为常数,且a ≠0),当 x=-b 2a 时,y 有极值 y m =4ac -b 2 4a (a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m 为极大值)。 3.利用均值不等式求极值 对于两个大于零的变量a 、b ,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当a=b 时,其和 a+b 有极小值。 1.(2019年衡水二调)(多选)如图甲所示,位于同一水平面上的两根平行导电导轨,放置在斜向左上方、与水平面成60°角足够大的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程中,金属棒始终保持匀速运动,则磁感应强度B 的大小变化可能是( )。 A .始终变大 B .始终变小 C .先变大后变小 D .先变小后变大 2.一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动,如图所示。此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中( )。 A .它们做圆周运动的万有引力保持不变 B .它们做圆周运动的角速度不断变大 C .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大 D .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小 3.(2019年湖北省宜昌市高三模拟)(多选)如图所示,斜面底端上方高h 处有一小球以水平初速度v 0抛出, 恰好垂直打在斜面上,斜面的倾角为30°,重力加速度为g ,下列说法正确的是( )。 A .小球打到斜面上的时间为 √3v 0 g B .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0成正比 C .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0的平方成正比 D .若高度h 一定,现小球以不同的初速度v 0平抛,落到斜面上的速度最小值为√(√21-3)gh 考点2.函数图象及应用 图象问题是高考命题的高频考点,年年皆有。不管怎么考,我们只要深刻理解图象中的基本要素便可应对,具体为图 象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等。 图象 函数形式 特例及物理意义 y=c 匀速直线运动的v-t 图象。“面积”表示位移 y=kx ①匀速直线运动的x-t 图象。斜率表示速度 ②初速度v 0=0的匀加速直线运动的v-t 图象。斜率表示加速度,“面积”表示位移
八、作图法 方法简介 作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理 问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便。 赛题精析 例1 如图8—1所示，细绳跨过定滑轮，系住一个 质量为m 的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球 匀速上升时，球对墙的压力将（ ） A ．增大 B ．先增大后减小 C ．减小 D ．先减小后增大 图8—1 解析 球在三个力的作用下处于平衡，如图8—1—甲所示.当球上升时，θ角 增大，可用动态的三角形定性分析，作出圆球的受力图（如图8—1—甲）.从图可见，当球上升时，θ角增大，墙对球的支持力增大，从而球对墙的压力也增大. 故选A 正确. 图8—1—甲 图8—2 图8—2—甲 例2 用两根绳子系住一重物，如图8—2所示.绳OA 与天花板间夹角θ不变，
当用手拉住绳子OB ，使绳OB 由水平方向转向竖直方向的过程中，OB 绳所受的拉力将（ ） A ．始终减小 B ．始终增大 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小 解析 因物体所受重力的大小、方向始终不变，绳OA 拉力的方向始终不变，又 因为物体始终处于平衡状态，所受的力必然构成一个三角形，如图8—2—甲所示，由图可知OB 绳受的拉力是先减小后增大. 可知答案选C 例3 如图8—3所示，质量为m 的小球A 用细绳拴在天花板上， 悬点为O ，小球靠在光滑的大球上，处于静止状态.已知：大球的球心 O ′在悬点的正下方，其中绳长为l ，大球的半径为R ，悬点到大球最 高点的距离为h.求对小球的拉力T 和小球对大球的压力. 解析 力的三角形图和几何三角形有联系，若两个三角形相似， 则可以将力的三角形与几何三角形联系起来，通过边边对应成比例求解. 图8—3 以小球为研究对象，进行受力分析，如图8—3—甲所示，小球 受重力mg 、绳的拉力T 、大球的支持力F N ，其中重力mg 与拉力T 的 合力与支持力F N 平衡.观察图中的特点，可以看出力的矢量三角形 ABC 与几何三角形AOO ′相似，即： R h mg l T += R h mg R F N += 图8 —3—甲 所以绳的拉力：T= mg R h l + 小球对大球的压力mg R h R F F N N +==' 例4 如图8—4所示，质点自倾角为α的斜面上方定点O 沿
初中物理中常用的数学方法简介 江苏省南通市第三中学：江宁 数学计算是指人们根据利用已有的知识，对一定的现象、规律进行数学计算，发现各个量之间的数学关系，从深一层次去认识新的事物的方法。 数学计算是研究性学习中必备的手段，是初中物理研究性学习中进一步认识事物中最可靠的工具。通过数学计算，学生可以从定性认识事物发展到定量认识事物，使感性认识上升到理性认识，从而更准确地认识事物各个量之间的内在规律。 以下所列是初中物理中常用的一些数学方法： 1、代入法 “代入法”是指在研究物理问题中，已知因变量与自变量之间关系公式，将物理量直接代入公式进行计算的方法。学会利用公式直接进行计算是学生解决问题的基本能力之一，它可以促进学生掌握物理量之间的来龙去脉，熟悉物理量在日常生活中的应用。 例：质量为的水，温度从 60℃降至40℃，会放出______J 的热量。若将这部分热量全部被初温为10℃、质量为的酒精吸收，则酒精的温度将上升______℃。[酒精的比热容为×103 J ／（kg ·℃），水的比热容为 ×103 J ／（kg ·℃）] 解：物体升、降温时吸、放的热量计算公式为：Q=c ·m ·Δt 应用“代入法”进行解题时，可以根据公式用自变量求因变量，也可以根据公式用因变量求自变量，但要注意在计算过程中，物理单位必统一。 2、比例法 “比例法”是指用两个已知的物理量的比值来表示第三个物理量的方法。比值法可以充分体现出在两个物理量同时变化的条件下影响物理过程的真正因素。 例：现有两杯质量不同的液体酒精和水，若两者的质量之比为2∶3，求两种液体的体积比？（ρ酒 精 = ×103kg/m 3，ρ水= ×103kg/m 3） 解：6 58.0132=?=?==酒水水酒水 水酒酒 水酒ρρρρm m m m V V 另外，初中物理中的许多物理量是通过比值来介绍的，如：速度、密度、热值、电阻等等。是中学生在初中物理学习中学到的第一个数学方法。 3、近似法 “近似法”是指在数学计算过程中，当个别量的微小变化并不影响整体结果时，为了计算与分析的方便，将个别量进行一定程度的近似代换或取舍的方法。利用近似法可以降低复杂的数学计算，帮助学生用最根本的数据去认识事物的内在规律，从而抓住各种物理现象中最本质的特征。 例：一位同学从一楼跑到三楼用了10s 时间，他的功率大概是多少？ 解：根据生活经验，一位中学生的质量约为50kg ，一层楼的高度约为3m ，g 取10N/kg 。 事实上，只要在误差允许范围内，任何一种测量和计算都是对所求物理量的实际情况的一个近似。运用近似法可以帮助学生理解物理研究中绝对性与相对性的真正含义。 4、方程法 “方程法”是指在求解某个物理量时，根据因变量与自变量之间的因果对应关系，列出方程，通过求解方程从而求出物理量的方法。方程法可以减少学生的数学过程思维，解决问题简捷明了，方便于学生发现因变量与自变量的因果关系。 W s m kg N kg t Gh t W P 300106/1050=??===
物理竞赛中的数学知识 一、重要函数 1． 指数函数 2． 三角函数 3． 反三角函数 反正弦Arcsin x ，反余弦Arccos x ，反正切Arctan x ，反余切Arccot x 这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。 二、数列、极限 1． 数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。 数列的一般形式可以写成 a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），… 简记为｛an ｝， 通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2． 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和11(1) 22 n n a a n n S n na d +-= =+ 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。通项公式a n =a 1q (n-1) ，前n 项和11(1) (1)11n n n a a q a q S q q q --= =≠--
所有项和1 (1)1n a S q q =<- 3． 求和符号 4． 数列的极限： 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作A a n n =∞ →lim 否则称数列{}n a 发散或n n a ∞ →lim 不存在. 三、函数的极限：在自变量x 的某变化过程中，对应的函数值f (x )无限接近于常数A ，则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。 设f (x )在x>a (a >0)有定义,对任意ε>0,总存在X >0,当x>X 时，恒有| f (x )-A |<ε，则称常数A 是函数f (x )当x →+∞时的极限。记为+∞ →x lim f (x )=A ，或f (x ) → A (x →+∞)。 运算法则 lim x x →[f (x )± g (x )]=0 lim x x →f (x ) ±0 lim x x →g (x ) lim x x →[f (x ) ? g (x )]=0 lim x x →f (x ) ?0 lim x x →g (x ) ) (lim )(lim )()(lim 0 0x g x f x g x f x x x x x x →→→=，其中0lim x x →g (x )≠ 0. 四、无穷小量与无穷大量 1．若0)(lim 0 =→x f x x ，则称)(x f 是0x x →时的无穷小量。
高中物理竞赛方法集锦微元法针对训练 例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的 电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同 一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻能够忽略不计， 两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的平均磁场 中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面 向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒， 质量分不为m 1和m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动 时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻 相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向 1，然后合向2.求： 〔1〕两根小棒最终速度的大小； 〔2〕在整个过程中的焦耳热损耗.〔当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计〕 解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大. 〔1〕设两小棒最终的速度的大小为v ，那么分不为L 1、L 2为研究对象得： 111 1v m v m t F i i -'=? ∑=?v m t F i i 111 ① 同理得： ∑=?v m t F i i 222 ② 由①、②得：v m m t F t F i i i i )(212211+=?+?∑∑ 又因为 11Bli F i = 21i i t t ?=? 22Bli F i = i i i =+21 因此 ∑∑∑∑?=?+=?+?i i i i t i BL t i i BL t BLi t BLi )(212211 v m m q Q BL )()(21+=-= 而Q=CE q=CU ′=CBL v 因此解得小棒的最终速度 2221)(L CB m m BLCE v ++= 〔2〕因为总能量守恒，因此热Q v m m C q CE +++=22122)(2 12121 即产生的热量 22122)(2 12121v m m C q CE Q +--=热
初中物理竞赛方法指导 我们知道，物理知识生活实际和，是人类在生活、生产、社会实践中获得的的总结。所以学习物理知识若只局限于课堂上书本的学习是不够的，必须到生活、社会实际的大课堂中去学习物理、应用物理，才能把知识学活、用活。 在日常生活和社会实践中存在着大量的各种各样的物理问题，如日、月的东升西落，冰、水的相互转化，水电站、内燃机、轮船、电动机、人造卫星、核能发电、光纤通信、及各种家用电器等等;而应用物理知识就是以生活、生产、社会中常见的现象为背景提出的问题，可见，解答应用物理知识题的基础和关键在于平时生活中要善于观察、勤于思考。如果我们对日常生活中的物理现象熟视无睹，或者虽然观察了，但未深入思考，那就等于脱离了“物”而学“理”，最终只能记住一些物理定律、公式。相反，如果日常生活中善于观察各种物理现象，并自己多问几个“是什么”、“为什么”，并积极利用所学的物理知识去分析、思考，设法得出问题的答案，这样不仅可以为解答应用物理知识题奠定必要的基础，同时这些丰富的感性材料，还有利用于我们透彻解物理概念和规律，这样才能将活、用活，才能不断提高分析解决问题的能力。 总之，应用物理知识题就像在我们周围的生活和社会的一些常见事物上面画了个“?”，给我们提出了具体的观察对象和思考的方
向。事实上我们天天生活在物理世界中，身边到处都有物理问题值得我们去研究。如：为什么水会流动?为什么空调器要装在高处?什么是?天上为什么会打雷?什么是温室效应?等等，这些决不止“?”。只有我们平时多观察，勤思考，才能真正学到有“物”的物理，才能为解答应用物理知识题打下良好的基础。 应用物理知识题都是生活和社会技术中的实际问题。它的显著特点是用生活中的语言来表述实际问题的具体情境，而不是用物理名词、术语直接给出的物理模型。它把物理知识隐蔽在实际事物之中，巳知条件或待求的实质问题常处于隐蔽状态，一般不能直接套用物理公式求解。这些都是与平时的练习题和试题的不同之处。所以，解应用物理知识题，首先要将实际问题转化为物理问题，用物理名词术语显现出它的物理真面目，再找出这个物理问题与哪些物理概念、规律有关系，即找准解题的理论依据，问题就迎刃而解了。例如：夏天，冰棍周围冒“白气”;水缸外壁“出汗”;卫生球日久变小。这些现象是否是升华?冒“白气”、“出汗”等都是生活语言。首先要转化成物理术语，与物理概念、名词联系起来冒“白气”实质是冰棍周围空气中的水蒸气遇冷“液化”成小水珠;水缸“出汗”是水蒸气遇冷“液化”成露。卫生球日久变小，是从固态直接变成气态跑掉了，这就是升华现象。
序言 物理集训队最后一天，宋老师说，“人过留名，雁过留声”，我学了这么多年的竞赛，在心态，学习，考试等方面都有一些心得，要是消逝在记忆之中，未免有些遗憾。所以愿意整理出这样一份心得体会，全都是肺腑之言，希望能对广大竞赛同胞们有所帮助。 那些对竞赛有成见的人就不要喷了。认为我讲的不对的（尤其是各位学长），欢迎在“评论”里面留下自己的看法，给大家更多的帮助。可能有一些措辞失当，还请见谅。 下面讲的会比较多，而且会比较散，有些部分大家可以自行跳过。 〇学习成就大事记（还是简单说一下吧，大家给点面子不要喷） 小学五年级仁华一班一号进入一流奥数圈子 初一数学初联一等 初三数学高联一等 高二数学进北京队，CMO满分金牌，集训队前十 高二物理高联一等 高三数学物理联赛均以第一名进队，随后CMO金牌，CPhO银牌（涉险过关，太幸运了）高三物理进入IPhO国家队 出国方面TOEFL110+，SAT2300+ 课内成绩高中不出年级前十，高二CMO前不出前三 一明心见性，直指本心 是亦不可以已乎？此之谓失其本心。 ——《孟子·告子上》 细细数来，初步接触竞赛，数学是小学三年级进入华校，物理是初二；而进入MO和PhO，那都是高中的事了。 很多人都会有疑问：学这么多年的竞赛，到底是为什么？ 实话实说，小学的时候学习数学竞赛，说的好听点，是出于好胜心和自尊心；说的实在点，就是好面子，听见别人夸奖心里高兴，自得。当然也有“兴趣”。注意，兴趣和自得之心是完全可以一致的。 但是到了中学，尤其是进入高中以后，上述心态固然存在（所谓本性难移是也），但更多的则是真正有求知欲，并且能在数竞中发现乐趣。我记的特别清楚的一次是去年的暑假，在上海旁听国家队培训的时候，有一个数论题。有两个参数m和k，让你证一个结论。我用了一个小时，一直对着m“使劲”，毫无斩获；后来灵机一动，对着k“使劲”，豁然而解。（好吧，没有原题就跟看笑话似的）当时就特别特别高兴，就有一种“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”的感觉。我觉得这就是数学竞赛中的乐趣。 当然了，我学物理竞赛也经历了这样的过程，到了高二的暑假，才渐渐体会到物理的乐趣。
小量近似方法应用两则 小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的。这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有 θθ=sin ，1cos =θ；在研究一个普通量时，可以忽略小量。 一、欧拉公式 十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系： μθe F F 12=，其中F 1代表我们所用的力，F 2代表我们所要对抗的力，e 代表数2.718…（自 然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。 若取2.0=μ，πθ12=，则 200018811 2 ≈=F F 。所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。 下面就欧拉公式作一证明： 取一小段弧l ?为研究对象，受力分析如图所示，F 和F F ?+为小弧两端所受张力， N F 为柱体对绳的压力，f 为静摩擦力。根据平衡方程，得： ()2 sin 2sin θ θ??++?=F F F F N （1） ()f F F F +?=??+2cos 2cos θθ （2） 临界情况 N F f μ= （3） θ?很小，有 22sin θ θ?=?，12 cos =?θ 所以 θ?=F F N f F =? 即 θμ?=?F F 或 θμ?=?F F 两边求和 θμ?∑=?∑ F F θμ∑?=∑?F ln θ ?F f F F ?+N F
μθ=-12ln ln F F 或 μθ=1 2 ln F F 故 μθ e F F 12= 即两张力之比按包角呈指数变化。 儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟。最后，缆索断了。可是这十秒钟时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇，就向前驶了开去。 理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力。 二、重力场中光子频率变化 已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能。若从地面上某处将一束频率为ν的光射向其正上方相距为d 的空间站，d 远小于地球半径，令空间站接收到的光的频率为'ν，则差νν-' =__ ，已知地球表面附近的重力加速度为g 。（第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题第8小题） 参考答案：ν2c gd - 解析：d 远小于地球半径，由能量守恒得 mgd h h +='νν 而 '2 νh mc = 则 gd c h h h 2' 'ννν+ = ''2νννc gd -=- 这与题给参考答案似乎有点矛盾：ννν2 'c gd - =-！ 其实只要注意到 () 1107100.3104.610''12284 2<
高中物理竞赛中的高等数学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联系．这样，微积分这个数学工具就成为必要的了．考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的．所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要．至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成． §1．函数及其图形 1．1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x 和y ，如果每当变量x 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y 的对应值，那么称y 是x 的函数，并记作：y =f (x )，（A ．1）；其中x 叫做自变量，y 叫做因变量，f 是一个函数记号，它表示y 和x 数值的对应关系．有时把y =f (x )也记作y =y (x )．如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如?(x )、ψ(x )等等．① 常见的函数可以用公式来表达，例如()32y f x x ==+，21 2ax bx +，c x ，cos2x π，ln x ，x e 等等． 在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面出现的13 2 2 e π、 、、、和a b c 、、等，它们叫做常量；常量有两类：一类如1 3 2 2 e π、 、、、等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a 、b 、c 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量．在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a 、b 、c ）代表任意常量，最后面几个（x 、y 、z ）代表变量． 当y =f (x )的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0)．例如： （1）若y =f (x )=3+2x ，则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1．一般地说，当x =x 0时，y =f (x 0)=3+2x 0． （2）若()c y f x x ==，则当0x x =时，00()c f x x =． 1．2 函数的图形 在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的．作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量x ，纵轴代表因变量（函数值）y =f (x )．这样一来，把坐标为（x ，y ）且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌．图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形，其中P 1，P 2，P 3，P 4，P 5各点的坐标分别为：（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线．图A -2是 第二个例子()c y f x x ==的图形，其中P 1，P 2，P 3，P 4，P 5各点的坐标分别为： 1(,4)4c 、1 (,2)2 c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ，各点连接成双曲线的一支． 1．3 物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的．下面举几个例子． （1）匀速直线运动公式：s =s 0＋vt ．（A ．2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律，在这里t 相当于自变量x ，s 相当于因变量y ，s 是t 的函数．因此记作：s =s (t )＝s 0＋vt ，（A ．3） 式中初始位置s 0和速度v 是任意常量，s 0与坐标原点的选择有关，v 对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值．图A -3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线．易知它的斜率等于v ．