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物理竞赛中的数学知识

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物理竞赛中的数学知识 一、重要函数 1． 指数函数

2． 三角函数 1-1

y=sinx

-32-52-727252322-2-4-3-2432-

oyx

1-1

y=cosx

-3

2

-5

2-727252322-2-4-3-2432

-oyx

y=tanx3

2

2-

3

2-

-

2o

yx 3． 反三角函数 反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

二、数列、极限 1． 数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，a（n+1），… 简记为｛an｝， 通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2． 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和11(1)22nnaannSnnad 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

通项公式an=a1q (n-1)，前n项和11(1)(1)11nnnaaqaqSqqq 所有项和1(1)1naSqq 3． 求和符号

4． 数列的极限： 设数列na,当项数n无限增大时,若通项na无限接近某个常数A,则称数列na收敛于A,或称A为数列na的极限,记作Aannlim 否则称数列na发散或nnalim不存在.

三、函数的极限：在自变量x的某变化过程中，对应的函数值f(x)无限接近于常数A，则称常数A是函数f(x)当自变量x在该变化过程中的极限。 设f(x)在x>a(a>0)有定义,对任意>0,总存在X>0,当x>X时，恒有| f(x)A|<，则称常数

A是函数f(x)当x+时的极限。记为xlimf(x)=A，或f(x)  A(x+)。

运算法则

0limxx[f(x) g(x)]=0limxxf(x) 0limxxg(x)

0limxx[f(x)  g(x)]=0limxxf(x) 0limxxg(x)

)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx

，其中0limxxg(x) 0.

四、无穷小量与无穷大量 1．若0)(lim0xfxx，则称)(xf是0xx时的无穷小量。 （若,)(lim0xgxx则称)(xf是0xx时的无穷大量）。 或：若0limxx(x)=0 ,则称(x)当x x0时为无穷小。 在自变量某变化过程中，|f(x)|无限增大，则称f(x)在自变量该变化过程中为无穷大。记为 lim().fx

2．无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。 3．无穷小量的运算性质 （i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。 （ii）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。 （iii）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。 4．无穷小的比较

定义：设0limx (x)=0，0limx (x)=0，

1)若)()(lim0xxx=0，则称当x x0时 (x)是比 (x)高阶无穷小。 2)若)()(lim0xxx=，则称当x x0时 (x)是比 (x)低阶无穷小。 3)若)()(lim0xxx=C(C0)，则称当x x0时 (x)与 (x)是同阶无穷小， 4)若)()(lim0xxx=1,则称当x x0时 (x)与 (x)是等价无穷小。 5．常用的等价无穷小为： 当x0时： sin xx，tan xx，arcsin xx，arctan xx，1cos x221x， 11nxxn1。 等价无穷小可代换

五、二项式定理 1． 阶乘： n!=1×2×3×……×n 2． 组合数：从m个不同元素中取出n（n≤m）个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数

3． 二项式定理 即 六、常用三角函数公式 sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝—sinα tan（π/2＋α）＝－cotα sin()sincoscossinABABAB sin()sincoscossABABAB

cos()coscossinsinABABAB cos()coscossinsABABAB sin22sincosAAA 2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA

22tantan21tanAAA

1cossin22AA 1coscos22AA 1cossintan21cos1cosAAAAA



和差化积公式 sinsin2sincos22ababab sinsin2cossin22ababab

coscos2coscos22ababab coscos2sinsin22ababab sintantancoscosababab



积化和差公式 1sinsincoscos2ababab 1coscoscoscos2ababab



1sincossinsin2ababab 1cossinsinsin2ababab



万能公式

22tan2sin1tan2aaa 221tan2cos1tan2aaa 22tan2tan1tan2aaa

 典型物理问题 数列极限等应用 1． 蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心距离L1=1m的A点处时，速度是V1=2cm/s。 试问蚂蚁继续由A点到距巢中心L2=2m的B点需要多长时间？

2． m1m2

m3a1a2a3

常见近似处理 1． 人在岸上以v0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？

2． 如图所示，顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速度ω转动.在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触，法线n与OA之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆AB的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题) 3．三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点A,B,C出发，速率都是v，运动方向始终保持着A朝着B,B朝着C,C朝着A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？

4． 如图所示，半径为R2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R1的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳定平衡时，R1与R2应满足什么条件?

5.一只狐狸以不变的速度1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小. 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度rra,22为猎犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于2大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度

aR

22

其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t时间内，设狐狸与猎犬分别 到达DF与，猎犬的速度方向转过的角度为2t/R

而狐狸跑过的距离是：1t≈L 因而2t/R≈1t/L，R=L2/1

所以猎犬的加速度大小为aR22=12/L 6．如图所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？ 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式.sin 若取绳圈上很短的一小段绳AB=L为研究对象，设这段绳所对应

的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为AT和BT（方向见图14

—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以AT和BT的大小相等，均等于T. AT和B

T

在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m，根据牛顿第二定律有：RmT22sin2；

因为L段很短，它所对应的圆心角很小所以22sin 将此近似关系和22mRmRm 代入上式得绳中的张力为22RmT

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2023-2024高中物理竞赛：量子力学

2023-2024高中物理竞赛：量子力学


Planck 辐射定律：
式中： d是黑体内频率在到 d之间的辐 射能量密度，C 是真空 中光速，k 是波尔兹 曼常数,T 是黑体的绝对温度。该式称为 Planck 辐射定律
Planck 常数：h 是普朗克常数，数值为 h=6.62559(16)×10-34 焦耳·秒
de Broglie 波：描写自由粒子的平面波Ψ
上，提出了他的原子的量子论。
波尔假定：电子在原子中不可能沿着经典理论所允许的每一个轨道运动，而只能沿着
其中一组特殊的轨道运动。波尔假设沿这一组特殊轨道运动的电子处于稳定状态（简称定态）。 当电子保持在这种状态时，他们不吸收也不发出辐射。只有当电子由一个定态跃迁到另一个 定态时，才能产生辐射的吸收或发射现象。电子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定 态时所吸收或发射的辐射频率ν，满足下列关系： 为了确定电子运动的可能轨道，波尔提出量子化条件：在量子理论中，角动量必须是 h 的整 数倍。
平方可积：由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间
找到粒子的几率应为一，即：C∫∞|Ψ (r,t)|2 dτ= 1，从而得常数 C 之值为：C = 1/∫∞| Ψ(r,t)|2dτ
粒子产生和湮灭： 归一化：由于粒子在全空间出现的几率等于 1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决
Compton 散射：X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
电子的 Compton 波长：
Planck 假定：1900 年，普朗克提出黑体以 为能量单位不连续地发射和吸收频率为
的辐射,而不是像经典物理所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 能量单位称为能量子，h 是普朗克常数，数值为 h=6.62559(16)×10-34 焦耳·秒
初中物理竞赛教师指导

初中物理竞赛教师指导

第一讲：运动的基本概念、匀变速直线运动【知识要点】平均速度：ts t x x v =-=0 瞬时速度：t sv t ∆=→∆0lim 平均加速度：tv a ∆∆= 瞬时加速度：t va t ∆∆=→∆0lim速度公式：at v v t +=0 位移公式：2021at t v s +=推论公式：as v v t 222+= 平均速度：20tv v t s v +== 【例题选讲】例1、如图所示，相距L=20m 的两个小球A 、B 沿同一直线同时向右运动，A 球以速度v0=2.0m/s 匀速运动，B 球以加速度a=－2.5m/s 2减速运动，B 球初速度多大时，恰能赶上A 球。

例2、一点有物体甲，在甲的正上方距地面H 高处有物体乙，在从静止开始释放乙的同时，给甲一个初速度竖直上抛，问（1）为使甲在上升阶段与乙相遇，初速度v 0为多大？（2）为使甲在下落阶段与乙相遇，初速度v 0又为多大？例3：一质点沿直线运动，其速度随时间变化的关系图像恰好是与坐标轴相切的14圆弧，如图所示，则质点在这20S 内的位移x 为多少？质点在10s 的加速度a例4：已知一质点做变加速直线运动，初速度为v 0，其加速度随位移线性减小的关系即加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=a 0－ks ，式中a 为任一位置处的加速度，s 为位移，a 0、k 为常量，求当位移为s 0时质点的瞬时速度。

例5：将一小球以30m/s 的初速度竖直上抛，以后每隔1s 抛出一小球（空气阻力可以忽略不计），空中各球不会相碰，问： （1） 最多能有几个小球同时在空中？（2） 设在t=0时第一个小球被抛出，那么它应该在哪些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而过？（取g=10m/s 2）t （s ）【练习】1、 在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L 1、L 2和L 3，L 2与L 1相距80m ，L 3与L 1相距120m 。

每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s ，显示红色的时间间隔都是40s 。

2020年高中物理竞赛-热学A(联赛版)05热力学第二定律：卡诺定理(共15张PPT)

2020年高中物理竞赛-热学A(联赛版)05热力学第二定律：卡诺定理(共15张PPT)


C ,
1 Qj 1 Tj
Qi
Ti
Qj Tj Qi Ti
Qj Qi Tj Ti
因为 Q j ' Q j , 则上式可写为
Qi Qj 0 Ti Tj
对所有i 、j 求和，即得 n Qi 0.
T i 1 i
其中等号适用于可逆过程， 不等号适用于不可逆过程。
dQ
若 n ，则 Ti Ti1 Ti 0, Qi dQ, 于是有
于是有
dW
(1
T2 T1
)dQ1
热机工作过程中
工质在高温处吸热 dQ1 C pdT1' 在低温处放热 dQ2 C pdT2 '
能量守恒 dW dQ1 dQ2 C pdT1'C pdT2 '
积分得 W C p (T 'T1) C p (T 'T2 ) C p (T1 T2 2T ')
有一热机，其输出功驱动B与A之间的制 TA ' 100K ,TB ' TC ' 300K
冷机将热量再传输到B或A。设A物体最 后达到的温度最高，则B、C两物体应有
TA ' 900K ,TB ' TC ' 100K
T ’=T ’， 即有 TB ' TC ' TA 解得：
显然，只有第一组解合理。
S TA ' CdT TB ' CdT TC ' CdT 0
T TA
T TB
T TC
即有 ln TA ln TB ln TC 0 于是有 TA 'TB 'TC ' TATBTC
TA
TB
TC
依题意，工作方式可能是A或B与C之间 TA ' 400K ,TB ' TC ' 150K
高中物理学习中常用的数学知识

高中物理学习中常用的数学知识

高中物理学习中常用的数学知识1、角度的单位——弧度（rad ）①定义：在圆中，长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度（1rad ） ②定义式：lrθ=1rad=57.30 ③几个特殊角的弧度值：a. 30 (rad)6π=b. 45 (rad)4π=c. 60 (rad)3π=d. 90 (rad)2π=e. 2120 (rad)3π=f. 5150 (rad)6π= g. 180 (rad)π= h. 3270 (rad)2π= I. 3602 (rad)π= 2、三角函数知识：①几种三角函数的定义：正弦：sin a c θ=余弦：cos b c θ= 正切：tan a b θ= 余切：cot baθ=②关系：22sin cos 1θθ+= sin tan cos θθθ=cos cot sin θθθ= 1tan cot θθ=③诱导公式：sin(-θ)=sin θ cos(-θ)=-cos θ tan(-θ)= -tan θ cot (-θ)= -cot θ sin(900-θ)=cos θ cos(900-θ)=sin θ tan(900-θ)=cot θ cot (900-θ)=tan θ sin(1800-θ)=sin θ cos(1800-θ)=-cos θ tan(1800-θ)= -tan θ cot (1800-θ)= -cot θ ④几个特殊角的三角函数值：θabc⑤二倍角公式：(含万能公式)θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=⑥半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） 2cos 12sinθθ-±= 2cos 12sin 2θθ-= 2cos 12cos θθ+±= 2cos 12cos 2θθ+=2sin 2cos 12θθ=- 2cos 2cos 12θθ=+2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=± θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg⑦和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( )1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i)tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++Ctg B tg C tg A tg B tg A tg ⑧积化和差公式：⑨和差化积公式：⑩)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且abtg =ϕ3、正弦定理：Aa sin =Bb sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 4、余弦定理：a 2=b 2+c2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos bca cb A 2cos 222-+=5、一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式和求根公式；①24b ac ∆=-②x =C6、一次函数y=kx2+b 的图像和斜率k 、截距b 和面积S 。