普通物理的数学基础
选自赵凯华老师新概念力学
一、微积分初步
物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。
§1．函数及其图形
本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。
1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量
在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，我们就称y是x的函数，并记作
y=f(x），（A．1）
其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系。有时把y=f（x）也记作y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号，
如 （x）、ψ（x）等等。①
常见的函数可以用公式来表达，例如
e x等等。
在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面
切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。
在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量。
当y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值f（x0）。例如：
（1）若y=f（x）=3+2x，则当x=-2时y=f（-2）=3+2×（-2）=-1．
一般地说，当x=x0时，y=f（x0）=3+2x0．
1．2函数的图形
在解析几何学和物理学中经常用平面
上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，
这种方法对于我们直观地了解一个函数的
特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面
上取一直角坐标系，横轴代表自变量x，纵
轴代表因变量（函数值）y=f（x）．这样一
来，把坐标为（x，y）且满足函数关系y=f
（x）的那些点连接起来的轨迹就构成一条
曲线，它描绘出函数的面貌。图A-1便是上
面举的第一个例子y=f（x）=3+2x的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图A-2是第二个例子
各点连接成双曲线的一支。
1．3物理学中函数的实例
反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。
（1）匀速直线运动公式
s=s0＋vt，（A．2）
此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数。因此我们记作s=s（t）＝s0＋vt，（A．3）
式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。
图A-3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线。下面我们将看到，它的斜率等于v．
（2）匀变速直线运动公式
v=v0＋at，（A．5）
两式中s和v是因变量，它们都是自变量t的函数，因此我们记作
v＝v（t）＝v0t＋at．（A．7）
图A-4a、4b分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线。（A．6）和（A．7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化。例如在讨论自由落体问题时，如果把坐标原点选择在开始运动的地方，则s0＝0，v0＝0，a＝g≈9.8m／s2，这时（A．6）和（A．7）式具有如下形式：
v＝v（t）＝gt．（A．9）
这里的g可看作是绝对常量，式中不再有任意常量了。
（3）玻意耳定律
PV＝C．（A．10）
上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强P和体积V之间的函数关系，式中的C是任意常量。我们可以选择V为自变量，P为因变量，这样，（A．10）式就可写作
它的图形和图A-2是一样的，只不过图中的x、y应换成V、P．
在（A．10）式中我们也可以选择P为自变量，V为因变量，这样它就应写成
由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的。
（4）欧姆定律
U＝IR．（A．13）
当我们讨论一段导线中的电流I这样随着外加电压U而改变的问题时，U 是自变量，I是因变量，R是常量。这时，（A．13）式应写作
即I与U成正比。
应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的。例如，当我们讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一样的，（A．13）式中的电流I成了常量，而R是自变量，U是因变量，于是U＝U（R）＝IR，（A．15）
即U与R成正比。但是，当我们讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各分支两端具有共同的电压，（A．13）式中的U就成了常量，而R为自变量，I是因变量，于是
即I与R成反比。
总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要根据我们所要讨论的问题来具体分析。
§2．导数
2．1极限
如果当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f（x）的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f（x）的极限值，并记作
（A．17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A．17）式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a”。
极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。
考虑下面这个函数：
这里除x＝1外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当
但是若问x＝1时函数值f（1）＝？我们就会发现，这时（A．18）式的
说是没有意义的。所以表达式（A．18）没有直接给出f（1），但给出了x无论如何接近1时的函数值来。下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f（x）值的变化情况：
表A-1 x与f（x）的变化值
x3x2-x-2x-1
0.9-0.47-0.1 4.7
0.99-0.0497-0.01 4.97
0.999-0.004997-0.001 4.997
0.9999-0.0004997-0.0001 4.9997
1.10.530.1 5.3
1.010.5030.01 5.03
1.0010.0050030.001 5.003
1.00010.000500030.0001 5.0003
从上表可以看出，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值——5，这便是x→1时f（x）的极限值。
其实计算f（x）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A．18）式的分子作因式分解：
3x2-x-2＝（3x＋2）（x-1），
并在x≠1的情况下从分子和分母中将因式（x－1）消去：
即可看出，x趋于1时函数f（x）的数值趋于3×1＋2＝5。所以根据函数极限的定义，
2．2几个物理学中的实例
（1）瞬时速度
当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点O的距离s来描述。在运动过程中s是随时间t变化的，也就是说，s是t的函数：
s＝s（t）．
函数s（t）告诉我们的是这个物体什么时刻到达什么地方。形象一些说，假如物体是一列火车，则函数s（t）就是它的一张“旅行时刻表”。但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，我们还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念。例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等。
为了建立速率的概念，我们就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况。假设我们考虑的是从t＝t0到t＝t1的一段时间间隔，则这间隔的大小为
△t＝t1-t0．
根据s和t的函数关系s（t）可知，在t0和t1＝t0+△t两个时刻，s的数值分别为s（t0）和s（t1）＝s（t0+△t），即在t0到t1这段时间间隔里s改变了
△s＝s（t1）－s（t0）＝s（t0+△t）－s（t0）．
在同样大小的时间间隔△t里，若s的改变量△s小，就表明物体运动得慢，
举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A．4）式有
所以
体在t＝t0时刻的瞬时速率v，即
对于匀变速直线运动来说，
这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A．5）。
（2）瞬时加速度
一般地说，瞬时速度或瞬时速率v也是t的函数：
v＝v（t）．
但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，我们还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念。
类似。在直线运动中，首先取一段时间间隔t0到t1，根据瞬时速率v和时间t的函数关系v（t）可知，在t＝t0和t＝t1两时刻的瞬时速率分别为v（t0）和v（t1）＝v（t0+△t），因此在t0到t1这段时间间隔里v改变了
△v=v（t0+△t）-v（t0）．
举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A．5）式有
所以平均加速度为
时的极限，这就是物体在t＝t0时刻的瞬时加速度a：
（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把x坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A-5），于是各处渠底的高度h便是x的函数：
h=h（x）．
知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。
在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度”的概念。譬如说，若逆水渠而上，渠底在100m的距离内升高了20cm，人们就说这水渠的坡度是
大小反映着高度随长度变化的快慢程度。如果用数学语言来表达，我们就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为x0和x1，于是这段水渠的长度为
△x＝x1-x0．
根据h和x的函数关系h（x）可知，在x0和x1=x0+△x两地h的数值分别为h（x0）和h（x1）＝h（x0+△x），所以在△x这段长度内h改变了△h＝h（x0+△x）-h（x0）．
根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为
在前面所举的数字例子里，△x采用了100米的数值。实际上在100米的范围内，水渠的坡度可能各处不同。为了更细致地把水渠在各处的坡度反
就愈能精确地反映出x=x0这一点的坡度。所以在x=x0这一点的坡度k应是△
2．3函数的变化率——导数
前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是t，第三个例子中自变量是x．这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率”概念。
当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示。例如，当自变量x 的数值由x0变到x1时，其增量就是
△x≡x1-x0．（A．25）
与此对应。因变量y的数值将由y0＝f（x0）变到y1=f（x1），于是它的增量为
△y≡y1-y0=f（x1）－f（x0）＝f（x0+△x）－f（x0）．（A．26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。增量比
可以叫做函数在x＝x0到x＝x0+△x这一区间内的平均变化率，它在△x→0时的极限值叫做函数y＝f（x）对x的导数或微商，记作y′或f′（x），
f（x）等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。
应当指出，函数f（x）的导数f′（x）本身也是x的一个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫做函数y＝f（x）
据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。
有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：
2．4导数的几何意义
在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的。如图A-6所示，为了确定曲线在P0点的切线，我们先在曲线上P0附近选另一点P1，并设想P1点沿着曲线向P0点靠拢。P0P1的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐
标轴的夹角α来描述。从图上不难看出，P1点愈靠近P0点，α角就愈接近一个确定的值α0，当P1点完全和P0点重合的时候，割线P0P1变成切线P0T，α的极限值α0就是切线与横轴的夹角。
在解析几何中，我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切tanα叫做这条直线的斜率。斜率为正时表示α是锐角，从左到右直线是上坡的（见图A-7a）；斜率为负时表示α是钝角，从左到右直线是下坡的（见图A-7b）。现在我们来研究图A-6中割线P0P1和切线P0T的斜率。
设P0和P1的坐标分别为（x0，y0）和（x0+△x，y0+△y），以割线P0P1为斜边作一直角三角形△P0P1M，它的水平边P0M的长度为△x，竖直边MP1的长度为△y，因此这条割线的斜率为
如果图A-6中的曲线代表函数y=f（x），则割线P0P1的斜率就等于函数在
线P0P1斜率的极限值，即
所以导数的几何意义是切线的斜率。
§3．导数的运算
在上节里我们只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它们可以把常见函数的导数求出来。
3．1基本函数的导数公式
（1）y＝f（x）＝C（常量）
（2）y=f（x）＝x
（3）y＝f（x）=x2
（4）y＝f（x）＝x3
上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当y=x n时，
等等。利用（A．33）式我们还可以计算其它幂函数的导数（见表A-2）。
除了幂函数x n外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数。我们只给出这些函数的导数公式（见表A-2）而不推导，读者可以直接引用。
3．2有关导数运算的几个定理
定理一
证：
定理二
证：
表A-2基本导数公式函数y=f(x)导数y′=f′(x)
c(任意常量)0
x n(n为任意常量)nx n-1
n=1,x1
n=2,x22x
n=3,x33x2
……………………
sinx cosx
cosx -sinx
lnx
e x e x
定理三
证：
定理四
证：
例题1求y=x2±a2（a为常量）的导数。
例题3求y=ax2（a为常量）的导数。
例题4求y=x2e x的导数。
例题6求y＝tanx的导数。
例题7求y＝cos（ax＋b）（a、b为常量）的导数。解：令v＝ax＋b，y＝u（v）＝cosv，则
例题9求y=x2e－ax2（a为常量）的导数。
解：令u＝e v，v＝－ax2，则
§4．微分和函数的幂级数展开
4．1微分
自变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量△x．用dx代表x的微分，则
dx=△x．（A．38）
一个函数y=f（x）的导数f′（x）乘以自变量的微分dx，叫做这个函数的微分，用dy或df（x）表示，即
dy≡df（x）≡f′（x）dx，（A．39）
一个整体引入的。当时它虽然表面上具有分数的形式，但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分。在引入微分的概念之后，我们就可把导数看成微分dy与dx之商（所谓“微商”），即一个真正的分数了。把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四（A．37）
此公式从形式上看就和分数运算法则一致了，很便于记忆。
下面看微分的几何意义。图A-8是任一函数y＝f（x）的图形，P0（x0，y0）和P1（x0+△x，y0+△y）是曲线上两个邻近的点，P0T是通过P0的切线。直角三角形△P0MP1的水平边
的交点为N，则
但tan∠NP0M为切线P0T的斜率，它等于x=x0处的导数f′（x0），因此
所以微分dy在几何图形上相当于线段MN的长度，它和增量
是正比于（△x）2以及△x更高幂次的各项之和[例如对于函数y=f（x）＝x3，△y＝3x2△x＋3x（△x）2＋（△x）3，而dy=f′（x）△x=3x2△x]．当△x很小时，（△x）2、（△x）3、…比△x小得多，
中的线性主部。这就是说，如果函数在x=x0的地方象线性函数那样增长，则它的增量就是dy．
4．2幂函数的展开
已知一个函数f（x）在x＝x0一点的数值f（x0），如何求得其附近的点x ＝x0+△x处的函数值f（x）＝f（x0+△x）？若f（x）为x的幂函数x n，我们可以利用牛顿的二项式定理：
此式适用于任何n（整数、非整数、正数、负数，等等）。如果n为正整数，则上式中的级数在m＝n的地方截断，余下的项自动为0，否则上式为无穷级数。不过当△x< 不要以为数学表达式愈精确愈好。譬如图A-9中A、B两点间的水平距离为l，若将B点竖直向上提高一个很小的距离a(a< 这是个精确的公式，但没有给我们一个鲜明的印象，究竟△l是随a怎样变化的。如果我们用二项式定理将它展开，只保留到最低级的非0项，则有 即△l是正比于a平方增长的，属二级小量。这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法，在物理学里是经常用到的。 4.3泰勒展开 非幂函数(譬如sinx、e x)如何作幂级数展开？这要用泰勒(Taylor)展开。下面我们用一种不太严格，但简单明了的办法将它导出。假设函数f(x)在x=x0处的增量△f=f(x)－f(x0)能够展成△x＝x－x0的幂级数： 则通过逐项求导可得 当x→x0时，m＞1的项都趋于0，于是有 f′(x0)＝a1 再次求导，得 当x→x0时，m＞2的项都趋于0，于是有 f(x0)＝2a2 如此类推，一般地说，对于m阶导数有 f(m)(x0)＝m！a m 于是(A.42)式可以写为 如果定义第0阶导数f(0)(x)就是函数f(x)本身，则上式还可进一步简写为 (A.43)或(A.44)式称为泰勒展开式，它在物理学中是非常有用的公式。 下面在表A-3中给出几个常见函数在x0＝0或1处的泰勒展开式。 表A-3 常见函数的幂级数展开式 函数展开式收敛 范围 |x| ≤1 |x| ≤1 |x| ≤1 |x|< 1 |x|<1 |x|<1 |x|<1 |x|<1 sinx |x|< ∞ 高初中物理衔接，对初中物理的能力要求？ 发表于：2006-11-27 00:32:12阅读：121 中学物理的现状是，物理学在中学生心目中的地位在下降，主要是以前的中考物理占90分占有重要的地位，现将物理与政史地生化并列只有会考，结果只要ABC；在高中也一样，物理化学生物的合卷，尽管物理所占分数比化学生物多，但物理科在高考中要承担起对能力考查，所以在合卷中本来较难理解的物理卷通常较难，但考试的评价是所得总分的多少，又高考特点是一定量的考生无法做完全部试卷，考生在无法完成全卷时多数选择的是先放弃物理题，有的甚至在高一学得不顺心时从高一年开始放弃学习物理。这样物理教师的地位又再度受到影响，其实，物理在科学能力中的作用特别的大，特别是在科学思想、探究精神的形成起到关键性的作用，所以物理教师要自上而下研究自己的学科，提高物理学科在中学业的衔接，确实将学生物理思想培养上来。 认识高中物理教师的困难：多年的高中物理教学生活，我体会要做好高中物理教师的困难，这些困难不是老师自己本身，而是制度起的，来自领导、家长和其他学科的同事们对物理学科的特点认识不足，引起不同的单纯分数的评价。 困难一：第一次考试的成绩解释。学生确实难学，多数学生的思想准备不足，能力要求准备不足，特别是抽象思维形象化，高一年就要用到运用数学工具解决物理问题的能力，甚至于要应用向量计算、三角函数、正余弦定理，相似三角形等数学知识解题的能力。但配套教材中的数学根本还没有接受到，以致在老师上课时认为学生已经会的时候学生仍是一头雾水，在课堂中老师的讲解下一听就懂，但由于数学能力的不同学生在自己做时却无法得到做法。这样的第一次按高中要求的考试成绩一定要让学生接受，但这些家长和领导不一定能理解，这样只用每次考试分数来评价学生，而不看学生的发展趋势，方法是否适应。 困难二：给学生补习语文数学等综合知识。高初中的要求的差距太大，让学生无法很快接受。初中多数要求是知道、了解、定性等而高中物理能力要求是“理解能力、推理能力、应用数学工具处理物理问题的能力、分析综合能力、观察和实验的能力。”这种跨度这么大的要求是不是全体学生都能很快地接受，每个学生是否在进入高一时已经初步具备一定的能力基础呢而能力的培养并不是在短时间内可以完成的，是需要过程的。在这样的过程中就需要补充全面知识，如语文的审题、数学的计算，还有一部分物理先用而数学还没教的，如三角函数、向量（物理中的矢量）等。本来物理课时就不足，要再停下来补充一些其他科的知识确实是难上难。 困难三：学生不学物理怎么办。高考的合卷，理化生的合卷出发点是好的，但物理在当中承担的任务是让学生钻空子的可能，也造成对物理的忽视。物理在小综合卷中承担起能力要求的考查和区分学生程度的任务，能完成这种任务是题是中档是最好，而大量中档是的出现使物理试卷的难度加大，学生在做题时时效性不好，很多学生针对性地将物理题放在最后做，并在时间不够时首选放弃的是物理科的题目。新课程中的物理可能会好些，省对会考要求已经出台，这个出台必定引来高考仍要文理分科，有可能理科中的理化生分开考试，这样特别是理科学生就不能不学物理了。 专题六 动量 【扩展知识】 1．动量定理的分量表达式 I 合x =mv 2x -mv 1x , I 合y =mv 2y -mv 1y , I 合z =mv 2z -mv 1z . 2．质心与质心运动 2.1质点系的质量中心称为质心。若质点系内有n 个质点，它们的质量分别为m 1,m 2,……m n ,相对于坐标原点的位置矢量分别为r 1,r 2,……r n ,则质点系的质心位置矢量为 r c=n n n m m m r m r m r m ++++++ 211211=M r m n i i i ∑=1 若将其投影到直角坐标系中，可得质心位置坐标为 x c =M x m n i i i ∑=1, y c =M y m n i i i ∑=1, z c =M z m n i i i ∑=1. 2.2质心速度与质心动量 相对于选定的参考系，质点位置矢量对时间的变化率称为质心的速度。 v c=t r c ??=M p 总=M v m n i i i ∑=1, p c =Mv c =∑=n i i i v m 1 . 作用于质点系的合外力的冲量等于质心动量的增量 I 合= ∑=n i i I 1=p c －p c0=mv c －mv c0 . 2.3质心运动定律 作用于质点系的合外力等于质点总质量与质心加速度的乘积。Ｆ合＝Ma c.。 对于由n 个质点组成的系统，若第i 个质点的加速度为a i ，则质点系的质心加速度可表示为 a c =M a m n i i i ∑=1 . 【典型例题】 1．将不可伸长的细绳的一端固定于天花板上的C点，另一端系一质量为m的小球以以角速度ω绕竖直轴做匀速圆周运动，细绳与竖直轴之间的夹角为θ，如图所示。已知A、B为某一直径上的两点，问小球从A点运动到B点的过程中细绳对小球的拉力T的冲量为多少？ 2．一根均匀柔软绳长为l=3m，质量m=3kg，悬挂在天花板的钉子上，且下端刚好接触地板，现将软绳的最下端拾起与上端对齐，使之对折起来，然后让它无初速地自由下落，如图所示。求下落的绳离钉子的距离为x时，钉子对绳另一端的作用力是多少？ 3．一长直光滑薄板AB放在平台上，OB伸出台面，在板左侧的D点放一质量为m1的小铁块，铁块以速度v向右运动。假设薄板相对于桌面不发生滑动，经过时间T0后薄板将翻倒。现让薄板恢复原状，并在薄板上O点放另一个质量为m2的小物体，如图所示。同样让m1从D点开始以速度v向右运动，并与m2发生正碰。那么从m1开始经过多少时间后薄板将翻倒？ 高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。 分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中 由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。 初高中衔接教材. 生物 第一章细胞 学习目标： 1.细胞的形态、细胞的结构、细胞各部分的功能 2.细胞的分裂、细胞的分裂和分化 学习过程： 一.细胞的形态： 细胞的形态多种多样，如下图所示： 二．细胞的结构 生物几乎都是由细胞构成的。动物和植物的差异很大，那么动物细胞和植物细胞到底一样吗？仔细观察下图，认识细胞的各种结构。 比较动物和植物细胞的结构图，总结它们的异同： 相同点： 不同点： 【知识链】 动物细胞和植物细胞的基本结构包括细胞膜（cellmembrane）、细胞质（cytoplasm）、细胞核（nucleus），细胞质里有线粒体等。（细胞质中的这些能行使一定功能的结构叫细胞器）。植物细胞的细胞膜外面有细胞壁（cell wall），细胞质里面有大的液泡和叶绿体等。液泡内有细胞液，细胞液中溶解有很多种物质。 【小辞典】 细胞壁是一层透明的薄壁，所有植物细胞都有，动物细胞则没有细胞壁。其主要成分是果胶和纤维素，对植物细胞具有保护和支持作用。 细胞膜极薄，植物细胞的细胞膜紧贴细胞壁。 细胞质是细胞膜以内细胞核以外的粘稠物质。 细胞核近似球形。 线粒体呈圆柱形。（进行呼吸作用的细胞器） 叶绿体呈椭球形（进行光合作用的细胞器）。 【实际用】 纤维素是细胞壁的主要成分。人类食物中的纤维素被称为“第七营养素”，有清理肠道的作用。 细胞液中的单宁有涩味，柿和石榴的果实中单宁，单宁在制革业中有重要作用，能使动物的皮革变成柔软的皮革。 细胞液中的植物碱各类很多，有些植物碱在医药上十分重要。如玛啡、麻黄碱等植物碱是很多药物的有效成分。 甘蔗、甜菜的细胞液里含糖量很高，因此，人们用甘蔗、甜菜来榨糖。 【想一想】 高中物理竞赛练习7 热学一08.5 1．证明理想气体的压强p ＝ k n ε32，其中n 为单位体积内的分子数，k ε是气体分子的平均动能． 2．已知地球和太阳的半径分别为R 1＝6×106m 、R 2＝7× 108m ，地球与太阳的距离d ＝1．5×1011m ．若地球与太阳均可视为黑体，试估算太阳表面温度． 3．如图所示，两根金属棒A 、B 尺寸相同，A 的导热系数是B 的两倍，用它们来导热，设高温端和低温端温度恒定，求将A 、B 并联使用与串联使用的能流之比．设棒侧面是绝热的． 4．估算地球大气总质量M 和总分子数N ． 5．一卡诺机在温度为27℃和127℃两个热源之间运转．(1)若在正循环中，该机从高温热源吸热1．2×103 cal ， 则将向低温热源放热多少?对外作功多少?(2)若使该机反向运转(致冷机)，当从低温热源吸热1．2×103cal 热量，则将向高温热源放热多少?外界作功多少? 6．一定质量的单原子理想气体在一密闭容器中等压膨胀到体积为原来的1．5倍，然后又被压缩，体积和压强均减为1／3，且过程中压强与体积始终成正比，比例系数不变，在此压缩过程中气体向外放热Q o ，压缩后气体重新等压膨胀到原体积(气体在第一次等压膨胀前的状态)，为使气体等容回到上面提到的原状态(第一次膨胀前的状态)，需要传递给气体的热量Q 1是多少? 7．1 moI单原子理想气体初始温度为T o，分别通过等压和绝热(即不吸热也不放热)两种方式使其膨胀，且膨胀后末体积相等．如果已知两过程末状态气体的压强相比为1．5，求在此两过程中气体所做的功之和． 8．如图所示，两块铅直的玻璃板部分浸入水中，两板平行，间距d＝0．5 mm，由于水的表面张力的缘故，水沿板上升一定的高度h，取水的表面张力系数σ =7．3×10-2N·m-1，求h的大小． 9．内径均匀的U形玻璃管，左端封闭，右端开口，注入水银后；左管封闭的气体被一小段长为h1＝3．0cm 的术银柱分成m和n两段．在27℃时，L m＝20 cm，L n＝10 cm，且右管内水银面与n气柱下表面相平，如图所示．现设法使n上升与m气柱合在一起，并将U形管加热到127℃，试求m和n气柱混合后的压强和长度．（p o＝75cmHg） 10．在密度为ρ＝7．8 g·cm-3的钢针表面上涂一薄层不能被水润湿的油以后，再把它轻轻地横放在水的表面，为了使针在0℃时不掉落水中，不考虑浮力，问该钢针的直径最大为多少? 11．已知水的表面张力系数为σ1=7．26×10-2N·m-1，酒精的表面张力系数为σ2=2．2×10-2N·m-1．由两个内径相等的滴管滴出相同质量的水和酒精，求两者的液滴数之比． 7.1简谐振动 一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F k x =- 二、简谐运动的性质 F kx =- ''mx kx =- 取试探解（解微分方程的一种重要方法） cos()x A t ω?=+ 代回微分方程得： 2m x kx ω-=- 解得： 22T π ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 cos()x A t ω?=+ sin()v A t ωω?=-+ 2cos()a A t ωω?=-+ 由以上三个方程还可推导出： 222()v x A ω += 2a x ω=- 三、简谐运动的几何表述 一个做匀速圆周运动的物体在一条直径 上的投影所做的运动即为简谐运动。 因此ω叫做振动的角频率或圆频率， ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫 做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心 角，也叫做初相位。 四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） sin F mg mg θθ=-≈- x l θ≈ 因此： F k x =- 其中： mg k l = 周期为：222T π ω=== 例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？ 例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架 ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动? 高中物理竞赛热学教程 第五讲机械振动和机械波 第一讲 温度和气体分子运动论 第一讲 温度和气体分子运动论 §1。1 温度 1．1．1、平衡态、状态参量 温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种普遍现象。 热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。 系统处于平衡态，所有宏观物理都具有确定的值，我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态，这几个量称为状态参量。P 、V 、T 就是气体的状态参量。 气体的体积V 是指盛放气体的容器的容积，国际单位制中，体积的单位是m 3 。 1m 3 =103L=106 cm 3 气体的压强P 是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力，单位是p a 。 1atm=76cmHg=1.013?105 p a 1mmHg=133.3p a 1．1．2、 温标 温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是： 1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。 2、规定固定点，即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前，规定冰点为0℃，汽点为100℃，其间等分100份，从而构成旧摄氏温标。1954年以后，国际上选定水的三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K 。这样0℃与冰点，100℃与汽点不再严格相等，百分温标的概念已被废弃。 3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同，因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。 1．1．3、理想气体温标 定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。 T(P)=αP α是比例系数，对水的三相点有 T 3= αP 3=273.16K P 3是273.16K 时定容测温泡内气体的压强。于是 T(P)=273.16K 3P P (1) 同样，对于定压气体温度计有 T(V)=273.16K 3V V (2) 3V 是273.16K 时定压测温泡内气体的体积。 用不同温度计测量同一物体的温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有)()(V T P T ≠。但是当测温泡内气体的压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式的还是定压式的，所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值，这个极限值就是理想气体温标的值，单位为K ，定义式为 T=lim 0 →p T(V)=lim 0 →p T(P) =273.16K lim →p 3V V =273.16K lim 0→p 3P P (3) 1．1．4、热力学温标 理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K ～1000℃)，T ＜1K ，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。 国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质的性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”的意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的，因而可以不去区分它们，统一用T(K)表示。 国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是： t=T-273.15o (4) 这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为5?108 -K ， 但是绝对零度是不可能达到的。 例1、定义温标t *与测温参量X 之间的关系式为t * =ln(kX),k 为常数 试求：(1)设X 为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点 16.273*3=T ，试确定t *与热力学温标之间的关系。(2)在温标t * 中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t * 中，是否存在零度？ 解：(1)设在水三相点时，X 之值是3X ，则有273．16o =In(kX 3)将K 值代入温标t * 定义式，有 3316.273*16.273X X In X X e In t +=? ???? ?= (2) 热力学温标可采用理想气体温标定义式，X 是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有 30 lim 16.273X X K T x →= (3) 因测温物质是定容稀薄气体，故满足X →0的要求，因而(2)式可写成 ) lim ln(16.273lim 30 *X X t x x →→+= (4) 16.27316.273*T In t += 这是温标* t 与温标T 之间关系式。 (2)在热力学温标中，冰点K T i 15.273=，汽点K T s 15.373=。在温标* t 中其值分别为 16.27316.27315 .27316.273*=+=In t 47.27315.27315 .37316.273*=+=In t (3)在温标*t 中是否存在零度？令* t =0，有 K e T 116.27316.273<<=- 低于1K 任何气体都早已液化了，这种温标中* t =0的温度是没有物理意义的。 §1-2 气体实验定律 1．2．1、玻意耳定律 目录 中学生全国物理竞赛章程 (2) 全国中学生物理竞赛内容提要全国中学生物理竞赛内容提要 (5) 专题一力物体的平衡 (10) 专题二直线运动 (12) 专题三牛顿运动定律 (13) 专题四曲线运动 (16) 专题五万有引力定律 (18) 专题六动量 (19) 专题七机械能 (21) 专题八振动和波 (23) 专题九热、功和物态变化 (25) 专题十固体、液体和气体的性质 (27) 专题十一电场 (29) 专题十二恒定电流 (31) 专题十三磁场………………………………………………………………………… 33 专题十四电磁感应 (35) 专题十五几何光学 (37) 专题十六物理光学原子物理 (40) 中学生全国物理竞赛章程 第一章总则 第一条全国中学生物理竞赛（对外可以称中国物理奥林匹克，英文名为Chinese Physic Olympiad，缩写为CPhO）是在中国科协领导下，由中国物理学会主办，各省、自治区、直辖市自愿参加的群众性的课外学科竞赛活动，这项活动得到国家教育委员会基础教育司的正式批准。竞赛的目的是促使中学生提高学习物理的主动性和兴趣，改进学习方法，增强学习能力；帮助学校开展多样化的物理课外活动，活跃学习空气；发现具有突出才能的青少年，以便更好地对他们进行培养。第二条全国中学生物理竞赛要贯彻“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”的精神，竞赛内容的深度和广度可以比中学物理教学大纲和教材有所提高和扩展。 第三条参加全国中学生物理竞赛者主要是在物理学习方面比较优秀的学生，竞赛应坚持学生自愿参加的原则．竞赛活动主要应在课余时间进行，不要搞层层选拔，不要影响学校正常的教学秩序。 第四条学生参加竞赛主要依靠学生平时的课内外学习和个人努力，学校和教师不要为了准备参加竞赛而临时突击，不要组织“集训队”或搞“题海战术”，以免影响学生的正常学习和身体健康。学生在物理竞赛中的成绩只反映学生个人在这次活动中所表现出来的水平，不应当以此来衡量和评价学校的工作和教师的教学水平。 第二章组织领导 第五条全国中学生物理竞赛由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会（以下简称全国竞赛委员会）统一领导。全国竞赛委员会由主任1人、副主任和委员若干人组成。主任和副主任由中国物理学会常务理事会委任。委员的产生办法如下： 1．参加竞赛的省、自治区、直辖市各推选委员1人； 2．承办本届和下届决赛的省。自治区、直辖市各推选委员3人。 3．由中国物理学会根据需要聘请若干人任特邀委员。 在全国竞赛委员会全体会议闭会期间由主任和副主任组成常务委员会，行使全国竞赛委员会职权。 第六条在全国竞赛委员会领导下，设立命题小组、组织委员会和竞赛办公室等工作机构。命题小组成员由全国竞赛委员会聘请专家和高等院校教师担任。组 前言 三十余年前，编者初上讲台教高一物理时，一位从事高中物理教学三十多年的老前辈对我讲，初高中物理关联不大，许多中考物理拿高分的学生，学不好高中物理。调至深圳后，编者除中途改教了几年初中科学，一直从事初中物理教学。这么多年来，教过的学生反馈回来的信息都是高中物理，特别高一物理难学。为什么初高中物理反差如此之大呢？ 与高中物理相比，初中物理总体上过于“直观”。初中物理的概念、规律，基本上都是简简单单地“从现象中来，到现象中去”，很少引导学生深入细致地思考为什么。如“透镜”一节，只要求学生通过实验总结出凸透镜对光有会聚作用，不要求学生了解为什么凸透镜对光会有会聚作用。如此“直观”、蜻蜓点水式教学训练出来的学生，遇到对抽象逻辑思维要求很高的高中物理，自然会觉得好难好难。 然而，物理又是理科生无法绕开的一门基础学科。为了帮助学生更好地适应高中物理的教学，编者在人教版初中物理教材的基础上编写了这本书。 本书一至十二章的总体编排顺序与人教版八年级物理教材大致相同，所选内容也紧密依托教材，但侧重点与教材不同。初中物理教师，单从第一章机械运动的5个小主题——测量实质与单位换算、计时原理、坐标系与运动的相对性、路程时间图像和伽利略论运动的相对性，即能看出本书的定位与现行教材有很大的不同。 虽然学生在小学就学习了测量，但很少有学生想过测量是怎么一 回事。“测量实质与单位换算”一节不仅明确地介绍了测量是怎么一回事，而且以此为基础阐述了单位换算的实质和方法。 转换法是物理学中具有战略意义的常用研究方法，与之密切相关的函数是对物理学发展有着深远影响的数学思想，二者都是学习研究物理必须理解和掌握的内容。“计时原理”一节特别强调了函数和转换在计时工具中的应用。 物理学是一门高度定量化的科学，“自然这一巨著是用数学符号写成的”（伽利略语）。要清晰准确地描述物体的运动，就需引入坐标系。坐标系也是学习物理必须掌握的数学工具。“坐标系与运动的相对性”一节就是应用坐标系研究运动和静止的相对性。 图像在物理学中应用极为广泛。“路程时间图像”一节不仅详细地介绍看图方法，而且还通过“拓展题”介绍了更为重要的“位置时间图像”。 虽然抛体运动很多高中生都很难弄懂，但正如著名物理学家杨振宁先生所说的，“即使不懂，也要看看。这种学习方法，我叫它‘渗透法'。中国传统的学习方法是一种‘透彻法'。懂得透彻很重要，但若对不能透彻了解的东西就抗拒，这不好。‘渗透法'的好处，一是可以吸收更多知识；二是对整个的动态，有所掌握。不是在小缝里，一点一点地学习。”编者有感如此，在“伽利略论运动的相对性”一节不仅引用了伽利略对运动相对性的经典表述，而且还以此为基础分析探讨了抛体运动。 力学是高中物理很难很难的“冤大头”。“隔离体法”和“整体法” 高中物理竞赛热学习题 热学2 姓名： 班级： 成绩： 1. 如图所示，一摩尔理想气体，由压强与体积关系的p-V 图中的状态A 出发，经过一缓慢的直线过程到达状态B ，已知状态B 的压强与状态A 的压强之比为1/2 ，若要使整个过程的最终结果是气体从外界吸收了热量，则状态B 与状态A 的体积之比应满足什么条件？已知此理想气体每摩尔的内能为 23RT ，R 为普适气体常量，T 为热力学温度. 2.有一气缸，除底部外都是绝热的，上面是一个不计重力的活塞，中间是一块固定的导热隔板，把气缸分隔成相等的两部分A 和B ，上、下各有1mol 氮气（52 U RT = ），现由底部慢慢地将350J 热量传送给缸内气体，求 （1）A 、B 内气体的温度各改变了多少？ （2）它们各吸收了多少热量。 3. 使1mol 理想气体实行如图所示循环。求这过程气体做的总功。仅用T 1，T 2和常数R 表示。 （在1-2过程，12P T α= ） 4.如图所示，绝热的活塞S 把一定质量的稀薄气体（可视为理想气体）密封在水平放置的绝热气缸内．活塞可在气缸内无摩擦地滑动．气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加热．气缸处在大气中，大气压强为p0．初始时，气体的体积为V0、压强为p0．已知1 摩尔该气体温度升高1K 时其内能的增量为一已知恒量。，求以下两种过程中电热丝传给气体的热量Q1与Q2之比． 1 ．从初始状态出发，保持活塞S 位置固定，在电热丝中通以弱电流，并持续一段时间，然后停止通电，待气体达到热平衡时，测得气体的压强为p1 . 2 ．仍从初始状态出发，让活塞处在自由状态，在电热丝中通以弱电流，也持续一段时间，然后停止通电，最后测得气体的体积为V 2 ． 5. 图示为圆柱形气缸，气缸壁绝热，气缸的右端有一小孔和大气相通，大气的压强为p0。用一热容量可忽略的导热隔板N和一绝热活塞M将气缸分为A、B、C三室，隔板与气缸固连，活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气，气缸的左端A室中有一电加热器Ω。已知在A、B室中均盛有1摩尔同种理想气体，电加热器加热前，系统处于平衡状态，A、B两室中气体的温度均为T0，A、B、C三室的体积均为V0。现通过电加热器对A室中气体缓慢加热，若提供的总热量为Q0，试求B室中气体末态体积和A室中气体的末态温度。设A、B 两室中气体1摩尔的内能 5 2 U RT 。R为普适恒量，T为热力学温度。 镜像法 思路 用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 使用范围 界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 步骤 确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。 平面镜像1 点电荷对平面的镜像 (a) 无限大接地导体平面上方有点电荷q （b）用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷 图4.4.1 点电荷的平面镜像 在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。 用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。 去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。 电位： (4.4.2.1 ) 电场强度： (4.4.2.2) 其中， 感应电荷：=> (4.4.2.3) 电场力： (4.4.2.4) 图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像 无限长单导线对平面的镜像 与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。 用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。 将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为） 电位： (4.4.2.5) 对地电容 ： (4.4.2.6 平面镜像2 无限长均匀双线传输线对平面的镜 像 与地面平行的均匀双线传输线， 半径为a，离地高度为h，导线间距离为d， 导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。 用位于地面下方h处的镜像双 导线代替地面上的感应电荷，边界条件维 持不变。 将地面取消而代之以镜像双导线。 图 4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像 求解电位： (4.4.2.8) (4.4.2.9) 高中物理《竞赛辅导》力学部分 目录 ：力学中的三种力 【知识要点】 （一）重力 重力大小G=mg，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。 （二）弹力 1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定． 3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x为弹簧的拉伸或压缩量)来计算． 在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k1,k2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：，即弹簧变软；反之．若 以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力 一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2．滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3．静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4．摩擦角 将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线 的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。 【典型例题】 【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=的水平面上，用一个与水平方 向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？ 【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为 m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起 来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面 上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑 动摩擦因数（g 取10m/s 2 ）。 【练习】 1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A 、 B 间的滑动 θ F P θ F A B F C N F f m f 0 α φ 河北保定市（15份合集）初高中化学衔接教材word 文档可编辑共129 第1讲人类对原子结构的认识 初中教材要求在初中化学中，只要求学生了解分子、原子、离子都是构成物质教材分析的一种微粒，了解原子是由原子核和核外电子构成，以及相对原子质量和相对分子质量的概念和意义。高中教材要求在高中化学中，要加深对原子结构的认识，掌握原子、电子、质子、中子之间的定量关系，理解核外电子的运动规律，能用原子结构示意图、电子式来表示原子核外电子排布特点，推断元素性质。学会计算原子、原子团的电子数。 1．原子 原子的英文名(Atom)是从?τομοζ(atomos，“不可切分的”)转化而来。很早以前，希腊和印度的哲学家就提出了原子的不可切分的概念。17和18世纪时，化学家发现了物理学的依据：对于某些物质，不能通过化学手段将其继续的分解。19世纪晚期和20世纪早期，物理学家发现了亚原子粒子以及原子的内部结构，由此证明原子并不是不能进一步切分。原子是一种元素能保持其化学性质的最小单位，一个原子包含有一个致密的原子核及若干围绕在原子核周围带负电的电子，原子核由带正电的质子和电中性的中子组成。在原子中，质子数与电子数相同，原子表现为电中性。如果质子数和电子数不相同，就成为带有正电荷或者负电荷的离子。根据质子和中子数量的不同，原子的类型也不同，质子数决定了该原子属于哪一种元素。原子是一个极小的物体，其质量也很微小，原子的99.9%的重量集中在原子核，其中的质子和中子有着相近的质量，目前可用扫描隧道显微镜观察并拨动单个原子，下图为超高真空多功能扫描隧道显微镜，中图为显微镜下的硅原子结构，右图为在扫描隧道显微镜下科学家拨动49个铁 全国中学生物理竞赛真题汇编---热学 1.（19Y4） 四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A 、B 、C ，用带有阀门K 1、K 2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差 1.00m h =．初始时，阀门是关闭的，A 中装有1mol 的氦（He ）,B 中装有1mol 的氪（Kr ）,C 中装有lmol 的氙（Xe ），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K 1、K 2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为 31He 4.00310kg mol μ--=?? 在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K ，所吸收的热量均为 3/2R ，R 为普适气体常量． 2．（20Y3）（20分）在野外施工中，需要使质量m ＝4.20 kg 的铝合金构件升温；除了保温瓶中尚存有温度t ＝90.0oC 的1.200kg 的热水外，无其他热源。试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t 0＝10.0oC 升温到66.0oC 以上(含66.0oC)，并通过计算验证你的方案． 已知铝合金的比热容c ＝0.880×103J ·(k g·oC)－1 ， 水的比热容c ＝ 4.20×103J ·(kg ·oC)－1 ，不计向周围环境散失的热量． 3．（22Y6）(25分)如图所示。两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中。 磁场方向与导轨所在平面垂直．一质量为m 的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂 直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计．导轨的左端与一根阻值为 尺0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计．容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S 的小液柱(质量不计)，液柱将l mol 气体(可视为理想气体)封闭在容器中．已知温度升高1 K 时，该气体的内能的增加量为5R ／2(R 为普适气体常量)，大气压强为po ，现令细杆沿导轨方向以初速V 0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移． 4．（16F1）20分）一汽缸的初始体积为0V ，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡时气体的总压强是3.0atm ，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm 。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时： 1.汽缸中气体的温度； 2.汽缸中水蒸气的摩尔数； 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 5．（17F1）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管 的长度ｌ＝76ｃｍ，管内封闭有ｎ＝1．0×10－3 ｍｏｌ的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气的压强为76ｃｍＨｇ，每摩尔空 气的内能Ｕ＝ＣＶＴ，其中Ｔ为绝对温度，常量ＣＶ＝20．5Ｊ·（ｍｏｌ·Ｋ）－1 ，普适气体常量Ｒ＝8．31Ｊ·（ｍ ｏｌ·Ｋ）－1 31Kr 83.810kg mol μ--=??31Xe 131.310kg mol μ--=?? 高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任 十年真题－热学（复赛） 1．（34届复赛7）如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A 到B 为直线过程，自B 到A 为等温过程．双原子理想气体的定容摩尔热容为52 R ， R 为气体常量． （1）求直线AB 过程中的最高温度； （2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变 化的关系式，说明气体在直线AB 过程各段体积范围内 是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转 变时的温度T c ； （3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循 环过程中气体对外所作的净功． 解析：（1）直线AB 过程中任一平衡态气体的压强p 和体积V 满足方程p －p 0p 0－p 02＝V －V 02V 02 －V 0 此即 p ＝32p 0－p 0V 0 V ① 根据理想气体状态方程有：pV ＝νRT ② 由①②式得： T ＝1νR ????－p 0V 0V 2＋32p 0V ＝－p 0νR ????V －34V 02＋9p 0V 016νR ③ 由③式知，当V ＝34 V 0时， ④ 气体达到直线AB 过程中的最高温度为：T max ＝9p 0V 016νR ⑤ （2）由直线AB 过程的摩尔热容C m 的定义有：dQ ＝νC m dT ⑥ 由热力学第一定律有： dU ＝dQ －pdV ⑦ 由理想气体内能公式和题给数据有：dU ＝νC V dT ＝ν52 RdT ⑧ 由①⑥⑦⑧式得：C m ＝C V ＋p νdV dT ＝52R ＋????32 p 0－p 0V 0V 1νdV dT ⑨ 由③式两边微分得：dV dT ＝2νRV 0p 0(3V 0－4V ) ⑩ 由⑩式带入⑨式得：C m ＝21V 0－24V 3V 0－4V R 2 ? 由⑥⑩?式得，直线AB 过程中， 在V 从V 02增大到3V 04的过程中，C m ＞0，dV dT ＞0，故dQ dV ＞0，吸热 ? 在V 从3V 04增大到21V 024的过程中，C m ＜0，dV dT ＜0，故dQ dV ＞0，吸热 ? 在V 从21V 024增大到V 0的过程中，C m ＞0，dV dT ＜0，故dQ dV ＜0，放热 ?高初中物理衔接 对初中物理的能力要求
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