西南大学初等数论作业答案

《初等数论》试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。

设 d 为 n 的任一个正因数，由 dn 知对每一个 pi，d 的标准分解式中 pi 的指数都
k 1 2 1 （0 i i， 不超过 n 的标准分解式中 pi 的指数，即 d 必可表示成 p1 p2 pk
i k）的形式； (ⅱ) 类似于(ⅰ)可证得。
k k 1 1 2. (ⅰ) 显然对于i = min{i, i}，1 i k， p1 pk | a，p1 pk |b ， 而
案
网
第一章
中的最小正整数， 显然有 Y0 = |m|y0； (ⅲ) 代替 a1, a2, , ak 即可。 3. (ⅰ) = b 可得； (ⅲ)
| a，则(p, a) = 1，从而由 pab 推出 pb； (ⅱ) 若p
(a, b1b2bn) = (a, b2bn) = = (a, bn) = 1。
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i 1
k
Hale Waihona Puke 后然； (ⅳ) 设(p, a) = d，则 dp，da，由 dp 得 d = 1 或 d = p，前者推出(p, a) = 1，后者推出 pa。 2. (ⅰ) 由 dai 推出 dy0 = (a1, a2, , ak)； (ⅱ) 分别以 y0 和 Y0 表示集合
k
答
|a2|, ,|ak| 的公约数的集合相同，所以它们的最大公约数相等；
aw .c o
网

[评注]：[证一]充分体现了 常规方法的特点，而[证二]则表现了较高的技巧。 3． （i）证：由高斯函数[x]的定义有 α = [α ] + r , β = [ β ] + s,0 ≤ r < 1;0 ≤ s < 1 。则
α − β = [α ] − [ β ] + r − s, r − s < 1
pn 使
∴ 存在 n 个整数 p1 , p 2 ,
a1 = p1 m1 , a 2 = p 2 m2 ,
又 q1 , q 2 ,
, a n = p n mn
, q n 是任意 n 个整数 + q n a n = ( p1 q1 + q 2 p 2 + + q n a n 是 m 的整数 + q n p n )m
, a n ] = [| a1 |, | a 2 |,
后
∴| ai || m1 (i = 1,2,
答
2．证：设 [a1 , a 2 ,
3．证：设（1）的任一有理根为
w. ww
p p a n ( ) n + a n −1 ( ) n −1 + q q
∴ a n p n + a n −1 p n −1 q +
4 证： 作序列
课
,− 3b 2
3
证：
a, b 不全为 0
后
从而可知
6 / n( n + 1)( 2n + 1)
答
b 2
∴ 6 / n( n + 1)( n + 2) + (n − 1) n( n + 1)
,− b ,−
案 网
,0, b 间 （区间段）

三、（15分）求125与50的最大公因数。
四、（15分）求不定方程x+9y=1的一切整数解。
五、（10分）设m,n为整数，证明m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数。
1、解释概念
1.答：若a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个整数q及r，使得
a=bq+r，?0<=r<b???成立，而且q及r是唯一的，q叫做a被b除所得的不完全商。
三、解：因为125 = 53，50 = 252，
所以125与50的最大公因数是52，即25。
四、解：因为(1,9) = 1，所以不定方程有整数解。
显然x = 1，y = 0是其一个特解，
所以不定方程的一切整数解为，其中t取一切整数。
五、证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m-n是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m-n是3的倍数，结论成立。
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教专业：数学与应用数学2017年06月
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
大作业满分：分，共30分）
1.叙述整数a被b除的不完全商的概念。
2.叙述整数a，b对模m同余的概念。
二、（30分）给出有关整除的一条性质并加以证明。
2.答：如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a与b对模m同余，记为a≡b（mod m）。
二、答：若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即：若b| a，c| b，则 c|a。
证：由b|a，c|b及整除的定义知存在整数q1,q2 使得a=bq1,b=cq2。因此a=(cq2)q1=c(q1q2)，但q1q2是一个整数，故c|a。

《初等数论》作业第一次作业：一、单项选择题1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a +4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 7、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定 二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=? 三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第二次作业一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(2、不定方程210231525=+y x （A ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解二、求解不定方程 1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， 所以原方程的特解为48,96=-=y x ， 因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、 =-1。

⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

《初等数论》作业.《初等数论》作业第⼀次作业：⼀、单项选择题1、=),0(b （）. A b B b - C b D 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）. A a B b C 1 D b a +4、⼩于30的素数的个数（）. A 10 B 9 C 8 D 75、⼤于10且⼩于30的素数有（）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不⼀定 7、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C ⽆限多D 不⼀定⼆、计算题1、求24871与3468的最⼤公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=? 三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第⼆次作业⼀、单项选择题1、如果( A ),则不定⽅程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(2、不定⽅程210231525=+y x （A ）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解⼆、求解不定⽅程 1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原⽅程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论习题及答案初等数论习题及答案数论作为数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。

它广泛应用于密码学、计算机科学和其他领域。

初等数论是数论的基础，它涉及到一些基本的概念和定理。

本文将介绍一些常见的初等数论习题，并提供相应的答案。

1. 习题：证明任意两个正整数的最大公约数和最小公倍数之积等于这两个正整数的乘积。

答案：设两个正整数分别为a和b，它们的最大公约数为d，最小公倍数为l。

根据最大公约数和最小公倍数的定义，我们有以下等式：a = dxb = dy其中x和y是互素的正整数。

根据最大公约数和最小公倍数的性质，我们有： l = dxy因此，最大公约数和最小公倍数之积等于这两个正整数的乘积。

2. 习题：证明任意一个正整数的平方都是4的倍数或者4的倍数加1。

答案：设正整数为n。

根据整数的奇偶性，我们可以将n分为两种情况讨论。

情况一：n为偶数。

偶数可以表示为2k的形式，其中k为整数。

那么n的平方为(2k)^2 = 4k^2，显然是4的倍数。

情况二：n为奇数。

奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。

那么n的平方为(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1，显然是4的倍数加1。

综上所述，任意一个正整数的平方都是4的倍数或者4的倍数加1。

3. 习题：证明任意一个正整数的立方都是6的倍数、6的倍数加1或者6的倍数减1。

答案：设正整数为n。

根据整数的奇偶性，我们可以将n分为三种情况讨论。

情况一：n为偶数。

偶数可以表示为2k的形式，其中k为整数。

那么n的立方为(2k)^3 = 8k^3，显然是6的倍数。

情况二：n为奇数且不是3的倍数。

奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。

那么n的立方为(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1，显然是6的倍数加1。

情况三：n为奇数且是3的倍数。

奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。

那么n的立方为(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 6(4k^3 + 2k^2 + k)+ 1，显然是6的倍数减1。

附录1习题参照答案第一章习题一1.(ⅰ)由ab知b=aq，于是b=(a)(q)，b=a(q)及b=(a)q，即ab，ab及ab。

反之，由ab，ab及ab也可得ab；(ⅱ)由ab，bc知b=aq1，c=bq2，于是c=a(q1q2)，即ac；(ⅲ)由bai知ai=bqi，于是a1x1a2x2akxk=b(q1x1q 2x2qkxk)，即ba1x1a2x2akxk；(ⅳ)由ba知a=bq，于是ac=bcq，即bcac ；(ⅴ)由ba知a=bq，于是|a|=|b||q|，再由a0得|q|1，进而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。

2 .由恒等式mqnp=(mnpq)(mp)(nq)及条件mpmnpq可知mpmq np。

在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，此中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a,a 1,,a9,a19的数字和为s,s1,,s9,s10，此中必有一个能被11整除。

.设不然，n1=n2n3，n2p，n3p，于是n=pn2n3p3，即p3n，矛盾。

.存在无量多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2不可以表示为a2p的形式，事实上，若(k1)2=a2p，则(k1a)(k1a)=p，得k 1a=1，k1a=p，即p=2k1，此与p为素数矛盾。

第一章习题二1.考证当n=0,1，2，,11时，12|f(n)。

2 .1，b=3q22，r12，由3a2=3Qr122知写a=3q r ,r=0,1或2br1=r2=0，即3a且3b。

3 .记n=10q+r,(r=0,1,,9)，则nk+4-nk被10除的余数和r k+4-r k=rk(r4-1)被1除的余数同样。

对r=0,1,,9进行考证即可。

4 .对于任何整数n，m，等式n2(n1)2=m22的左侧被4除的余数为1，而右侧被4除的余数为2或3，故它不行能建立。

5因a43a29=(a23a3)(a23a3)，当a=1，2时，a23a3=1，a 43a29=a2a3=7，13，a43a29是素数；当a3时，a23a3>1，a 23a3>1，a43a29是合数。

且心,w罗，.珥嘤
而b是••个有限数, f顷,便.=。 二(。0)=01) = 04)=(斗而)=(L，L" J =〔砧+。)=L ,存在其求法为
(a,t>) = (b,a-bs) = (a — bs,b — (a —血)禹)=… .(76501,9719) = (9719,76501-9719x7) = (S4«8,9719-S468) -(1251,8468-1251x6)
© 下证唯一性
当B 为奇数时,设 & =bs-^t=bsl +4 则|ETJ = p?（q _$）| >|Z?|
而时磚周達却一勺副+市岡矛盾故
当0为偶数时，“不咐、举^如队此时?为整数
3-?=ai+?=小 £+（_?）,%=?,kJ E?
学最大公因数与辗转相除法
I.讹叨推论4.1
推论41小b的公■数.与3, m的因数相同一
=(3J) 丄 证明木节(I)式屮的"最
4
证：由P3§1习观4知在(1.盘3。沙=蛙，叩応囈
2
log log 2
§3整除的进一步性质及最小公倍數
1. 证明两整数a, b互质的充分与必要条件是：存在两个整数s, t满足条件ax+bt = \
证明 必要性-若(fl,fe) = l.则由推论1.1知存在两个整数s, t满足：as+bt=(a,b)
as+ bt = \
充分性。若存在整数s, t使as+bt= 1,则a, b不全为0°
又因为(a,b)\a,(a,b)\b .所以(a,b\as + bt)即(<z,b)ll°
又皿*”。. .*,&) = I

题目1.任意5个整数中，其中有3个整数的和为3的倍数对错【答案】：对题目2.素因式分解没有唯一性对错【答案】：错题目3.偶数都是合数对错【答案】：错题目4.辗转相除法可以求得最大公因式对错【答案】：对题目5.整数的和是整数对错【答案】：对题目6.[1.2]=2对错【答案】：错题目7.2,3,5是素数对错【答案】：对题目8.任意大于1的整数都能写成素数的乘积对错【答案】：对题目9.(12,18)=6对错【答案】：对题目10.当n是奇数时，有3|(2n+1)对错【答案】：对题目11.(1008,1134)=( )a. 58b. 1008c. 1134d. 126【答案】：126题目12.398除于14的不完全商是（）a. 28b. 1c. 7【答案】：14题目13.设(a,b)=1,则(ab,a+b)=( )a. 1b. ac. a+bd. b【答案】：1题目14.(136,221,391)=( )a. 17b. 221c. 136d. 16【答案】：17题目15.设a，b，c为整数，如果a整除b，b整除a，则a=（）a. 1b. ±bc. a+2bd. 2b【答案】：±b题目16.[136,221,391]=( )a. 391b. 221c. 40664【答案】：40664题目17.[2.7]=( )a. 2.7b. 1c. 2d. 3【答案】：2题目18.设（a,b）=1，下列式子成立的是（）a. (ab,b)=(a,b)b. （ac,b）=(c,b)c. (ab,bc)=(c,b)d. (ab,b)=(c,b)【答案】：（ac,b）=(c,b)题目19.[3]=( )a. 3b. 2c. 1d. 4【答案】：3题目20.[24871,3468]=( )a. 3468b. 85c. 24871【答案】：17。

《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m  pmn  pq，则m  pmq  np。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >3n，则n1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为 a2  p（a > 0是整数，p为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12n4  2n3  11n2  10n，nZ。 2. 设3a2  b2，证明：3a且3b。 3. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n，m，等式n2  (n  1)2 = m2  2不可能成立。 5. 设a是自然数，问a4  3a2  9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x，yZ，172x  3y，证明：179x  5y。 5. 设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c，证明：ab。

6. 设n是正整数，求1223212C,,C,Cnnnn的最大公约数。

第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a，b是正整数，证明：(a  b)[a, b] = a[b, a  b]。 4. 求正整数a，b，使得a  b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144。 5. 设a，b，c是正整数，证明：

),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22accbbacbaaccbbacba。

6. 设k是正奇数，证明：1  2    91k  2k    9k。 第 5 节 1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。 2. 用辗转相除法求整数x，y，使得1387x  162y = (1387, 162)。 3. 计算：(27090, 21672, 11352)。 4. 使用引理1中的记号，证明：(Fn + 1, Fn) = 1。 5. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？ 6. 记Mn = 2n  1，证明：对于正整数a，b，有(Ma, Mb) = M(a, b)。 第 6 节 1. 证明定理1的推论1。 2. 证明定理1的推论2。 3. 写出22345680的标准分解式。 4. 证明：在1, 2, , 2n中任取n  1数，其中至少有一个能被另一个整除。

初等数论复习题答案1. 试述质数与合数的定义。

答案：质数是指大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。

合数则是指除了1和它本身之外，还有其他因数的自然数。

2. 请解释最大公约数和最小公倍数的概念。

答案：最大公约数（GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

最小公倍数（LCM）是指两个或多个整数的最小公共倍数。

3. 举例说明辗转相除法（欧几里得算法）的计算过程。

答案：设两个正整数为a和b（a > b），辗转相除法的过程是：用较大的数除以较小的数，得到余数r，然后用较小的数去除这个余数，再得到新的余数，如此反复，直到余数为0，最后的除数即为最大公约数。

4. 试证明费马小定理。

答案：费马小定理指出，如果p是一个质数，a是一个不被p整除的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

证明过程通常涉及模运算和群论的基本概念。

5. 说明中国剩余定理的基本原理。

答案：中国剩余定理是数论中一个关于线性同余方程组的定理。

给定一组两两互质的模数和一组对应的余数，定理保证了存在一个唯一的解，这个解在模数乘积的模下是唯一的。

6. 什么是素数定理？请简要说明。

答案：素数定理描述了素数在自然数中的分布情况。

它指出，小于或等于给定数x的素数数量大约是x除以x的自然对数，即π(x) ≈ x / ln(x)。

7. 描述同余的概念及其性质。

答案：同余是指两个整数a和b，若它们除以正整数n后余数相同，则称a和b同余模n，记作a ≡ b (mod n)。

同余具有自反性、对称性和传递性等性质。

8. 简述模运算的性质。

答案：模运算的性质包括加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、分配律以及模逆元的存在性等。

9. 试解释什么是完全数。

答案：完全数是指一个正整数，它等于其所有真因数（即除了自身以外的因数）之和。

10. 请解释什么是亲和数。

答案：亲和数是一对或一组数，其中每个数的所有真因数之和等于另一个数。

例如，220和284就是一对亲和数，因为220的真因数之和为1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，而284的真因数之和也为220。

初等数论练习题一一、填空题1、d(24２0）=12; ϕ(24２0)＝_880_２、设ａ,n 是大于1的整数，若ａn －１是质数,则a=_2．3、模9的绝对最小完全剩余系是_{－4,-3,－2，-1,０,1,2,3,４}.4、同余方程９x+1２≡0（m ｏｄ ３7）的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-2３y ＝１00的通解是x ＝９0０+２3t,ｙ＝7０0+18ｔ t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(ｍ)_。

7、１81００被1７2除的余数是_256。

8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 ＝－１。

9、若p 是素数，则同余方程ｘ p - 1 ≡1(mo ｄ ｐ)的解数为 p －1 。

二、计算题1、解同余方程：3ｘ2+１1x -20 ≡ ０ (ｍod 105)。

解:因1０５ = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+１1x -20 ≡ ０ （m ｏd 3)的解为x ≡ 1 （mo ｄ ３), 同余方程３x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0,3 (mod 5），同余方程3x 2+１1x -20 ≡ 0 (mo ｄ 7)的解为x ≡ 2,６ (ｍod 7）, 故原同余方程有4解。

作同余方程组:x ≡ b 1 (mod 3),x ≡ b 2 （mod 5),ｘ ≡ ｂ３ (mo ｄ 7）,其中b 1 ＝ 1,b 2 = 0，3，b 3 = 2,６,由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，5５,58,100 （mod 1０5）。

2、判断同余方程ｘ２≡4２(mod 107）是否有解?11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解： 故同余方程x 2≡４2(mod 107)有解。

《初等数论》试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。