西南大学初等数论作业答案

《初等数论》试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。

《初等数论》作业第一次作业：一、单项选择题1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a +4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 7、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定 二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=? 三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第二次作业一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(2、不定方程210231525=+y x （A ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解二、求解不定方程 1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， 所以原方程的特解为48,96=-=y x ， 因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、 =-1。

⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

《初等数论》作业.《初等数论》作业第⼀次作业：⼀、单项选择题1、=),0(b （）. A b B b - C b D 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）. A a B b C 1 D b a +4、⼩于30的素数的个数（）. A 10 B 9 C 8 D 75、⼤于10且⼩于30的素数有（）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不⼀定 7、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C ⽆限多D 不⼀定⼆、计算题1、求24871与3468的最⼤公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=? 三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第⼆次作业⼀、单项选择题1、如果( A ),则不定⽅程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(2、不定⽅程210231525=+y x （A ）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解⼆、求解不定⽅程 1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原⽅程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论习题及答案初等数论习题及答案数论作为数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。

它广泛应用于密码学、计算机科学和其他领域。

初等数论是数论的基础，它涉及到一些基本的概念和定理。

本文将介绍一些常见的初等数论习题，并提供相应的答案。

1. 习题：证明任意两个正整数的最大公约数和最小公倍数之积等于这两个正整数的乘积。

答案：设两个正整数分别为a和b，它们的最大公约数为d，最小公倍数为l。

根据最大公约数和最小公倍数的定义，我们有以下等式：a = dxb = dy其中x和y是互素的正整数。

根据最大公约数和最小公倍数的性质，我们有： l = dxy因此，最大公约数和最小公倍数之积等于这两个正整数的乘积。

2. 习题：证明任意一个正整数的平方都是4的倍数或者4的倍数加1。

答案：设正整数为n。

根据整数的奇偶性，我们可以将n分为两种情况讨论。

情况一：n为偶数。

偶数可以表示为2k的形式，其中k为整数。

那么n的平方为(2k)^2 = 4k^2，显然是4的倍数。

情况二：n为奇数。

奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。

那么n的平方为(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1，显然是4的倍数加1。

综上所述，任意一个正整数的平方都是4的倍数或者4的倍数加1。

3. 习题：证明任意一个正整数的立方都是6的倍数、6的倍数加1或者6的倍数减1。

答案：设正整数为n。

根据整数的奇偶性，我们可以将n分为三种情况讨论。

情况一：n为偶数。

偶数可以表示为2k的形式，其中k为整数。

那么n的立方为(2k)^3 = 8k^3，显然是6的倍数。

情况二：n为奇数且不是3的倍数。

奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。

那么n的立方为(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1，显然是6的倍数加1。

情况三：n为奇数且是3的倍数。

奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。

那么n的立方为(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 6(4k^3 + 2k^2 + k)+ 1，显然是6的倍数减1。

附录1习题参照答案第一章习题一1.(ⅰ)由ab知b=aq，于是b=(a)(q)，b=a(q)及b=(a)q，即ab，ab及ab。

反之，由ab，ab及ab也可得ab；(ⅱ)由ab，bc知b=aq1，c=bq2，于是c=a(q1q2)，即ac；(ⅲ)由bai知ai=bqi，于是a1x1a2x2akxk=b(q1x1q 2x2qkxk)，即ba1x1a2x2akxk；(ⅳ)由ba知a=bq，于是ac=bcq，即bcac ；(ⅴ)由ba知a=bq，于是|a|=|b||q|，再由a0得|q|1，进而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。

2 .由恒等式mqnp=(mnpq)(mp)(nq)及条件mpmnpq可知mpmq np。

在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，此中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a,a 1,,a9,a19的数字和为s,s1,,s9,s10，此中必有一个能被11整除。

.设不然，n1=n2n3，n2p，n3p，于是n=pn2n3p3，即p3n，矛盾。

.存在无量多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2不可以表示为a2p的形式，事实上，若(k1)2=a2p，则(k1a)(k1a)=p，得k 1a=1，k1a=p，即p=2k1，此与p为素数矛盾。

第一章习题二1.考证当n=0,1，2，,11时，12|f(n)。

2 .1，b=3q22，r12，由3a2=3Qr122知写a=3q r ,r=0,1或2br1=r2=0，即3a且3b。

3 .记n=10q+r,(r=0,1,,9)，则nk+4-nk被10除的余数和r k+4-r k=rk(r4-1)被1除的余数同样。

对r=0,1,,9进行考证即可。

4 .对于任何整数n，m，等式n2(n1)2=m22的左侧被4除的余数为1，而右侧被4除的余数为2或3，故它不行能建立。

5因a43a29=(a23a3)(a23a3)，当a=1，2时，a23a3=1，a 43a29=a2a3=7，13，a43a29是素数；当a3时，a23a3>1，a 23a3>1，a43a29是合数。