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结构动力学哈工大版课后习题解答

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第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律Fxm,得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理JM,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程LLdt)(=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即0)(dtUTd，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值iA

、1iA。

（2）由对数衰减率定义 )ln(1ii

A

A， 进一步推导有

212

，

因为较小， 所以有 

2

。

方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图： 单自由度系统的幅频曲线 （2）分析以上幅频曲线图，得到： 4/22/max2,1；

于是 221)21(n

；

进一步 222)21(n

；

最后 nn2/2/12；

1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。 方法一：幅频（相频）曲线法 当单自由度系统在正弦激励tFsin0作用下其稳态响应为： )sin(tAx, 其中： 22222202

0414st

n

xnmF

A ； (1) 21/2arctan (2)

从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比。 方法二：功率法： （1） 单自由度系统在tFsin0作用下的振动过程中，在一个周期内，

弹性力作功为 0

cW、

阻尼力做功为 2

AWcd、

激振力做作功为 sin

0FWf；

（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零， 即： cW

+dW+0fW；

于是 sin

0F-02Ac

进一步得： cFAsin

0；

（3） 当

n时，1sin，

则 2

maxstxA，

得 21

max, max2。

1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。 （a）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、 简支梁刚度为 23

48EIkl； 等效刚度为k;

则有 21

111

kkk；

则固有频率为：

mlkEIEIlmk3134848

；

（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:

m 2l2l1

k

图1-33（a）

2l 2l 1k m 3148lEIkk;

1k则固有频率为:

33148mlEIlkmk



(c)系统的等效刚度 1133

33EIEIkkkll

则系统的固有频率为 313

3klEIkmml

（d）由动量距定理00IFm得： （lkllkl2121212111）=22

1

ml

得： 021mk ，

则 mk21



。

1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k. 解：以 为广义坐标，则 系统的动能为

1km 1k

图1-33（c）

2l2l1k

1k

图1-33

m

图1-34 A B  0 2

02

212

1

IxmTTT）（

轮子重物

22222

44)21(21221xgPxgPRxRgPxg

P





）（

22xg

P

系统的势能为： 212UUUPxkx重物弹簧－ ；

拉格朗日函数为 L=T-U ;

由拉格朗日方程0)(xLxLdt 得 PxkxPg

则， 0=Pkg

所以：系统的固有频率为P

kg

1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R，质量为M，作纯滚动。弹簧刚度为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能T=T平动 +T转动 。

2222

1;211;222TMxxMRxTIRR平动转动

x 图1-35

kR M 22243412

1

xMxMxMT；

而势能 22

1

KxU；

系统机械能 CKxxMUT22214

3;

由0UTtdd得系统运动微分方程

023KxxM；

得系统的固有频率

MKn32 ；

1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质量为mB，半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA, ,杆BD的扭转刚度为KB, 解：由齿轮转速之间的关系BBAArr 得

角速度 ABABr

r；

转角 ABABr

r；

系统的动能为： 22212

1

BBAABAJJTTT

22222

2

41221221AABABBBAAArmmrmrm

T；

系统的势能为： 2222222

2121212

1

ABABABBAABBAAr

rKKKKKKU;

系统的机械能为

DA B 图1-36

C

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哈工大结构风工程课后习题答案

哈工大结构风工程课后习题答案

结构风工程课后思考题参考答案二、大气边界层风特性1 对地表粗糙度的两种描述方式:指数律和对数律（将公式写上).2 非标准地貌下的风速换算原则（P14)和方法（P15公式）。

3 脉动风的生成:近地风在流动过程中由于受到地表因素的干扰，产生大小不同的涡旋，这些涡旋的迭加作用在宏观上表现为速度的随机脉动。

在接近地面时,由于受到地表阻力的影响，导致风速减慢并逐步发展为混乱无规则的湍流.脉动风的能量及耗散机制：而湍流运动可以看做是能量由低频脉动向高频脉动过渡，并最终被流体粘性所耗散的过程。

在低频区漩涡尺度较大，向中频区（惯性子区)、高频区（耗散区）漩涡尺度逐渐减小，小尺度涡吸收由惯性子区传递过来的能量，能量最终被流体粘性所耗散.4 Davenport谱的特点：先写出公式通过不同水平脉动风速谱的比较：（1)D谱不随高度变化,而其他谱（如Kaimal谱、Solari谱、Karman谱）则考虑了近地湍流随高度变化的特点；(D谱不随高度变化,在高频区符合—5/3律，没有考虑近地湍流随高度变化的特点；）(2）D谱的谱值比其它谱值偏大，会高估结构的动力反应，计算结果偏于保守。

（3）S u(0）=0，意味着L u=0，与实际不符.5 湍流度随高度及地面粗糙程度的变化规律：随地面粗糙度的增大而增大，随高度的增加而减小。

积分尺度随高度及地面粗糙程度的变化规律：大量观测结果表明,大气边界层中的湍流积分尺度是地面粗糙度的减函数，而且随着高度的增加而增加。

功率谱随高度及地面粗糙程度的变化规律：随着高度增大和粗糙度的减小，能量在频率上的分布趋于集中，谱形显得高瘦；随着高度减小和粗糙度的增大,能量在频率上的分布趋于分散,谱形显得扁平.相干函数随高度及地面粗糙程度的变化规律：随地面粗糙度的增大而减小,随高度的增加而增大。

6 阵风因子与峰值因子的区别：阵风因子G=U’/U，是最大风速与平均风速的比值；峰值因子g=u max/σu是最大脉动风速与脉动风速均方根的比值。

【哈工大 结构动力学】SD 第1章 运动方程 2020

【哈工大 结构动力学】SD 第1章 运动方程 2020


实际动荷载产生的位移相等！
29
已经知道柔度
和刚度 k
之间的关系为：k 1
表达式成为：
比较：
简支梁： 刚架：
my cy ky FE (t) my cy ky FP (t)
基本质量弹簧体系： my cy ky F(t)
（2-3）
结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一
质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：
FIGURE 2-3 (a) Motion of system
(b) Equilibrium forces
46
体系的力的平衡条件为 ： 惯性力为 ：
因为地面加速度可以表示为结构的特定动力输入，运 动方程可表示为：
等效支座 激励荷载
47
另一种推导方法：
将 v（t t及）其导数代入方程
地震运动一般测量的是加速度，此时的等效荷载 需要由地震记录积分一次和二次而获得地面位移和速 度来计算，因此很难获得这种形式方程的解答。
q ( t)
q ( t)
EI
m
y(t )
l
[解]
FD FI
1） 确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移： 1个自由度。
2） 确定自由度的位移参数：质量 m 的位移： y(t )
3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！
4） 列位移方程：
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
思考题:
• 地震动输入 (ground motions inputs) • 大跨度结构非一致激励 (Spatial Variability) • 地震动如何传递到结构
58
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
哈工大理力第八章解答

哈工大理力第八章解答

第八章 点的合成运动1．如图所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为0x =，)acos(kt y β+=如将点M 投影到感光纪录纸上，此纸以等速c v 向左运动。

求点M 在纪录纸上的轨迹。

解：t v x 0v dtx d )v (v v c c c x x ='⇒=-'=-+'= )kt cos(a y dtdydt y d v v y y β+='⇒='⇒'= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+'='βx v k cos a y c2．如图所示，点M 在平面Ox′y′中运动，运动方程为cost)40(1x -='，40sint y ='式中t 以s 计，x '和y '以mm 计。

平面Ox′y′又绕垂直于该平面的O 轴转动，转动方程为rad t =ϕ，式中角ϕ为动坐标系的x '轴与定坐标系的x 轴间的夹角。

求点M 的相对轨迹和绝对轨迹。

解：相对轨迹：22240y 40)x (='+-'绝对轨迹：j i i ϕϕsin cos +='，j i j ϕϕcos sin +-='，)cos sin 40sint()sin cost)(cos 40(140sint cost)40(1j i j i j i r r ϕϕϕϕ+-++-='+'-='=)cost sint 40sint()t sin cost)(cost 40(1j i j i +-++-=j i 40sint )140(cost +-= )140(cost x -=，40sint y =22240y 40)(x =++3．水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度15m/s v a =，并与直径成60°角，如图所示。

工作轮的外缘半径R=2m ，转速30r/min n =。

为避免水流与工作轮叶片相冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。

第3章 习题解答 哈工大习题册

第3章 习题解答 哈工大习题册

第3章 电路定理3.1 如图所示电路，已知0=ab U ，求电阻R 的值。

a图3-1解：由题，0=ab U ,故53V1A 3I ==Ω，电流比为24842I I ==，134I R I =对回路1l 列KVL 方程可得 11520V 42()I I I =Ω+Ω+ 解得：13AI =所以215314A I I I =+=+=, 42/41A I I ==,354112A I I I =+=+=134/6R I I =⨯=Ω3.2 用叠加定理求图示电路的电流I 及1Ω电阻消耗的功率。

(a)(b)2图 3-2解： （a ） 本题考虑到电桥平衡，再利用叠加定理，计算非常简单。

（1） 3V 电压源单独作用,如图(a-1)、(a-2)所示。

由图(a-2)可得'3V1A 148348I ==⨯Ω+Ω+由分流公式得： ''182A 483I I Ω=-⨯=-Ω+Ω（2）1A 电流源单独作用，如图(a-3)所示。

考虑到电桥平衡，0I ''=，133(1A)A 134I ''=-⨯=-+ （3）叠加：1A I I I '''=+=，11117/12A I I I '''=+=-2111 2.007WP I Ω=⨯=(a-1)(a-2)(a-3)（b ）（1）4V 电压源单独作用，如图(b-1)所示。

24V 2V 22U Ω'=⨯=Ω+Ω，136A I U ''=-=-，125A I I I '''=+=- （2）2A 电流源单独作用，如图(b-2)所示。

'2I '(b-1)(b-2)222A 2V 22U Ω⨯Ω''=⨯=Ω+Ω，22/21A I U ''''== 对节点②列KCL 方程得1234A I U ''''=-=-对节点③列KCL 方程得235A I I U ''''''=-=- （3） 叠加 '"1116A 4A=10A I I I =+=---'"5A 5A=10A I I I =+=---2111100W P I Ω=⨯Ω=注释：不能用各独立源单独作用时电阻消耗的功率之和来计算电阻在电路中消耗的功率。