结构动力学作业
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目录
1.力插值法 (1)
1.1分段常数插值法 (1)
1.2分段线性插值法 (4)
2.加速度插值法 (7)
2.1常加速度法 (7)
2.2线加速度法 (9)
附录 (12)
分段常数插值法源程序 (12)
分段线性插值法源程序 (12)
常加速度法源程序 (13)
线加速度法源程序 (13)
1.力插值法
力插值法对结构的外荷载进行插值，分为分段常数插值法和分段线性插值法，这两种方法均适用于线性结构的动力反应计算。
1.1分段常数插值法
图1-1为一个单自由度无阻尼系统，结构的刚度为k ，质量为m ，位移为y (t )，施加的外力为P (t )。图1-2为矩形脉冲荷载的示意图，图中t d 表示作用的时间，P 0表示脉冲荷载的大小。
图1-1 单自由度无阻尼系统示意图
图1-2 矩形脉冲荷载示意图
对于一个满足静止初始条件的无阻尼单自由度体系来说，当施加一个t d 时间的矩形脉冲荷载，此时结构在t d 时间内的位移反应可以用杜哈梅积分得到：
0()sin ()2 (1cos )(1cos ) (0)
t
st st d P y t t d m t
y t y t t T
ωττω
πω=-=-=-≤≤⎰
(1-1)
如果结构本身有初始的位移和速度，那么叠加上结构自由振动的部分，结构的位移反应为：
02()cos sin (1cos
) (0
)st d y t
y t y t t y t t T
πωωω
=+
+-≤≤ (1-2)
图1-3 分段常数插值法微段示意图
对于施加于结构任意大小的力，将其划分为Δt 的微段，每一段的荷载都为一个常数(每段相当于一个矩形的脉冲荷载)，如图1-3所示，则将每一段的位移和速度写成增量的形式为：
1cos t sin t (1cos t)i
i
i i y P y y k
ωωωω
+=∆+
∆+-∆ (1-3)
i+1/sin t cos t sin t i
i
i y P y y k
ωωωωω
=-∆+
∆+
∆ (1-4)
程序流程图如下
i+1cos t sin t (1cos t)
i
i
i y P y y k
ωωωω=∆+
∆+
-∆i+1/sin t cos t sin t
i i i y P
y y k
ωωωωω=-∆+∆+∆
图1-4 分段常数插值法流程图
根据流程图可以编写相应的算法，利用MATLAB 进行编程，程序源代码见附录。为了验证程序的正确性，本文选取的以下的例题进行验证。
对于一个单自由度的无阻尼结构，当其受到一个周期荷载时，其结构响应分为稳态解和瞬态解，由于没有阻尼的影响，其瞬态解并不会衰减，其理论表达式为：
02
1
()()(sin sin )1p x t t t k ωβωβ=
-- (1-5)
式中，()x t 为位移响应，0p 为激励，k 为刚度，β为荷载频率与固有振动频率之比，ω为荷载频率，ω为结构固有频率。
现令0p 为1，k 为1，则ω为1，ω取为2/3。程序求得的解与解析解对比如图1-5所示（由于理论解与程序基本重合，所以将理论解乘以-1，方便比较）：
位移y
时间t
a )位移
速度v
时间t
b )速度
图1-5 分段常数插值法结果验证
由图1-5可知理论解与程序算得的解基本重合，可以验证程序的准确性。
1.2分段线性插值法
与分段常数插值法不同，分段线性插值法将每一微段的力当成一个线性的直线，对于每一个微段，可看成一个矩形和一个三角形脉冲的叠加。图1-6为分段线性插值微段示意图。
图1-6 分段线性插值法微段示意图
对于无阻尼的体系，后一个时间步的位移和速度可由前一个时间步相应的值求得：
11
cos sin (1cos )(1sin )i
i i i i y P P y y t t t t k k t
ωωωωωω+∆=∆+
∆+
-∆+-∆∆
(1-6) 11
/sin cos sin (1cos )i i i i i y P P y y t t t t k k t
ωωωωωωω+∆=-∆+∆+∆+-∆∆
(1-7) 分段线性插值法的流程图如图1-7所示，与分段常数插值法仅仅是迭代的方式有所不一样。
11cos sin (1cos )(1sin )
i
i i i i y P P y y t t t t k k t
ωωωωωω+∆=∆+
∆+
-∆+-∆∆11
/sin cos sin (1cos )
i i i i i y P P y y t t t t k k t
ωωωωωωω+∆=-∆+∆+∆+-∆∆
图1-7 分段线性插值法流程图
程序源代码见附录，同样利用1.1节的算例进行验证，所得的结果如图1-8所示。
位移y
时间t
a )位移
速度v
时间t
b )速度
图1-8 分段线性插值法结果验证
由上图可知程序的正确性。
