高中数学《方程的根与函数的零点》导学案

第1课时 方程的根与函数的零点 1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题. 2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围. 一个小朋友画了两幅图:

问题1:上面的两幅图哪一个能说明此小朋友一定曾经渡过河? 显然,图1说明了此小朋友曾经渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点. 问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗? (2)二次函数的零点个数如何判断? (1)对于函数y=f(x),我们把使 的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点. (2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当 时,有两个零点;当Δ=0时,有 零点;当 时,没有零点. 问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系? 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. 问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么? (2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢? (3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明. (1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. (2)至少有一个. (3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.

1.函数y=x2-2x-3的零点是( ). A.(-1,0),(3,0) B.x=-1 C.x=3 D.-1和3 2.若函数f(x)=x2+2x+a有零点,则实数a的取值范围是( ). A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 3.观察函数y=f(x)的图象,则f(x)在区间[a,b]上 (填“有”或“无”)零点;f(a)·f(b) 0(填“<”或“>”),在区间[b,c]上 (填“有”或“无”)零点;f(b)·f(c) 0(填“<”或“>”),在区间[c,d]上 (填“有”或“无”)零点;f(c)·f(d) 0(填“<”或“>”). 4.已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么? 利用零点的概念求零点 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=; (2)f(x)=x2+2x+4; (3)f(x)=2x-3; (4)f(x)=1-log3x.

零点个数的判断 判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.

零点所在区间的判断 函数f(x)=lg x-的零点所在的大致区间是( ). A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)

下列函数中存在两个零点的是( ). A.f(x)=2x-2 B.f(x)=lg(x2-2) C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=ex-1-2

判断函数f(x)=x2-的零点的个数. 方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根( ). A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(-1,0)

1.下列图象表示的函数中没有零点的是( ).

2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x、f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6

f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57

-53.76 -126.4

9

函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.函数f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为 . 4.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6的一个零点为1.求函数f(x)的其他零点.

若a别位于区间( ). A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 考题变式(我来改编): 答案 第三章 函数的应用 第1课时 方程的根与函数的零点

知识体系梳理 问题2:(1)f(x)=0 (2)Δ>0 一个 Δ<0 问题4:(1)f(a)·f(b)<0 基础学习交流 1.D 由x2-2x-3=0得x=-1或x=3. 2.C 函数f(x)=x2+2x+a有零点,即方程x2+2x+a=0有实数根,所以Δ=4-4a≥0,得a≤1. 3.有 < 有 < 有 < 根据“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根”来判断. 4.解:因为f(-1)=2-1-(-1)2=-<0, f(0)=20-02=1>0,

而函数f(x)=2x-x2在[-1,0]上的图象是一条连续曲线, 所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是-3. (2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0, 所以方程x2+2x+4=0无实数根, 所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点. (3)令2x-3=0,解得x=log23, 所以函数f(x)=2x-3的零点是log23. (4)令1-log3x=0,解得x=3, 所以函数f(x)=1-log3x的零点是3. 【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点. 探究二:【解析】(法一)函数对应的方程为ln x+x2-3=0,即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图象.如图,两函数图象有一个交点.从而ln x+x2-3=0有一个根,即函数y=ln x+x2-3有一个零点.

(法二)∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0, f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,

∴f(1)·f(2)<0,又f(x)=ln x+x2-3在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)

上必有零点,又f(x)在(0,+∞)上是递增的,∴零点只有一个. 【小结】判断函数零点个数的主要方法: (1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点; (2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数; (3)结合单调性,利用f(a)·f(b)<0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数; (4)转化成两个函数图象的交点问题. 探究三:【解析】易知f(x)在(0,+∞)上是递增的. ∵f(6)=lg 6-=lg 6-<0,

f(7)=lg 7-<0,f(8)=lg 8-<0,

f(9)=lg 9-1<0,f(10)=lg 10->0,

∴f(9)·f(10)<0, ∴f(x)=lg x-的零点所在的大致区间为(9,10). 【答案】D 【小结】判断函数零点所在区间的三个步骤: (1)代:将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断. (3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点. 思维拓展应用 应用一:B A中零点为1;B中零点为±;C中零点为1;D中零点为1+ln 2,故选B. 应用二:

(法一)由x2-=0,得x2=. 令h(x)=x2(x≠0),g(x)=, 在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一个交点. 故函数f(x)=x2-只有一个零点. (法二)当x<0时,f(x)>0恒成立, 当x>0时,f(x)是递增的且不间断,又f(1)=1-1=0,故f(x)只有一个零点. 应用三:D 令f(x)=2x+x,∵f(-1)·f(0)=(-)×1<0,∴f(x)=2x+x的零点在区间(-1,0)内,故2x+x=0在区间(-1,0)内有实数根. 基础智能检测 1.A 观察图象可知A中图象表示的函数没有零点. 2.B ∵f(2)·f(3)<0,∴f(x)在[2,3]上至少有1个零点,同理f(x)在[3,4]、[4,5]上都存在至少1个零点,∴f(x)在[1,6]上的零点至少有3个,故选B. 3.0 因为f(x)为偶函数,所以其零点互为相反数,故四个零点之和为0. 4.解:由题意,设f(x)=(x-1)(x2+mx+n)=x3+(m-1)x2+(n-m)x-n,