一道概率竞赛试题的解法探讨

一道概率竞赛题的解法思考
樊陈卫
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2016(000)005
【摘要】2014年高中数学联赛第8题：设ABCD是空间4个不共面的点，以
1/2的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边相互独立，则A、B可用（一条边或若干条边组成）空间折线连接的概率为___．
【总页数】2页(P17-18)
【作者】樊陈卫
【作者单位】江苏省海门市海门中学 226100
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一道力学竞赛题的数学解法及思考 [J], 王连鹏
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4.对一道竞赛题的解法探究及思考 [J], 林闯;朱能荣;;
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高中数学概率题的解答方法分析概率是数学中一个重要的分支，与我们日常生活息息相关。

高中数学中关于概率的问题主要涉及到不同的事件发生的可能性。

在解答高中数学中的概率问题时，需要明确以下三个基本概念：试验、样本空间和事件。

试验是指一次观察或做出觉察来区别两个或两个以上可能结局的行为。

样本空间是指试验所有可能的结果组成的集合，用Ω表示。

下面介绍几种常见的概率问题的解答方法：1.穷举法这是一种非常简单的解答方法，适用于样本空间比较小的问题。

具体做法是把所有可能出现的结果列出来，然后统计事件发生的次数。

例如：一枚骰子掷一次，出现偶数的可能性是多大？样本空间为{1,2,3,4,5,6}，出现偶数的事件为{2,4,6}，因此偶数出现的可能性为3/6=1/2。

2.频率法对于样本空间比较大的问题，使用穷举法不太现实。

此时可以使用频率法来近似求解概率。

具体做法是进行大量次数的试验，然后统计事件发生的次数与总次数的比值。

进行一定次数的试验，统计出现正面和反面的次数比值。

如果进行的试验次数越多，那么比值就越接近于真实概率。

实际上，通过大量的试验，频率法可以非常精确地估算概率。

3.复合事件的概率当事件不是单独发生的，而是由若干个事件构成时，可以运用乘法原理和加法原理来求解概率。

乘法原理：指若一个事件由m个步骤组成，第一步有n1种可能结果，第二步有n2种可能结果，一直到第m步有nm种可能结果，则此事件总共有n1×n2×…×nm种可能结果。

例如：从一副牌中抽取4张牌，且4张牌均为红桃牌的概率是多少？根据乘法原理，第1张牌为红桃牌的概率为13/52，第2张牌为红桃牌的概率为12/51，以此类推，共有4张牌，因此概率为13/52×12/51×11/50×10/49≈0.0026。

加法原理：指若A和B是两个不相交的事件，则A和B的并事件的概率等于A和B各自的概率之和。

例如：某班级有30名学生，其中20名女生和10名男生，班级中挑选一个学生，其性别为女或成绩优秀的可能性是多少？根据加法原理，女生和成绩优秀的学生是两个不相交的事件，因此概率为20/30+（30-20）/30×0.2=0.67。

一道数学竞赛试题的解法探索及启示一、的提出笔看在分析2010年全国初中数学联合竟赛试题时.对第一大题第4小禽产生了极大的兴趣。

厚题如下：若方程。

. 3x-l=0(l)的两个根也是方程x\ax4bxM=0(2)的根，则ib-2c 的值为(,)(A)・13 (B)-9 (C)6 (D)0为什么笔者会对这道试题特别感兴趣？我们一起从解决这一试题的思路形成过程及解答过程中寻求答案。

二、何题的分析及解决该题纶出的参冬答案中解答如下：设m是方程x2-3x-l=O的一个根，则m2-3m-l=O，所以mJ3m+lo由鹿意.m也是方程x4>ax2fbx>cxO得根，所以m4fam2+ bin代=0,把代人上式，得(3m+l)A・mJbmM=0，整理AVTT-2~将x>x2分别代入方程联立方程组并化简得：(952^-264 VTT+88a+24a VTT+24b+8b VIT+】6c=0 (3)'952-264\/TT*88a-24aV1T4-24b-8bx/1T♦l^O (4)(3*)得：3a+b=-33 (5)(3 片(4)得：lla・3b+2c=-l 19 (6)(5)x4-(6)得：wb-2g-13反思一：该思路清嘶、明了 .但在具体运算中.计算过程比较繁琐,且技巧性比较强•则有下面的分析：思路分析二：若方程(1)的两个根也是方程(2)的根.则多项式x^ax^bx+c可分解为/・3x-l与另一个因式乘积的形式，可设x%ax24-bx-H：=(x2-3x-1 Xx2^mx+n) (7)其中・mji为待定的系IL为了得到a+b-2c的值，可以有两种解法.解必二：由多顼式恒等定理知道，两个多项式恒等，对应次项的系数对应相等，即由x4+ax2+bx-H5=x4-Hm-3)x3+(n-3in-1) x2-(m+3n)x-n,得m-3=0n-3m-l=am+3n=-bic=f典I a+b-2c—13解法三：(7)式既然是怛等式，那么该式对所有实数均成立，令x=(»=l得：n=-c-3(m+n+ l)=a+b+c+11 +a-b+c=4( 1 -m+n)*l<#a+b-2c=-13反思二：由思路分析二可知，x%ax、bwc能被F・3x・l 整除，设其商式F+mx+n,姻余式为O0此时，问题转换为求X、ax24bx*c 除以x^-Sx-l 的商©解法四：由长除法mx4 4-0-jr1?-女-1* -3.？X 4 >3X4(0 410X^30J G X-t-far +c3? -X -*(a^lO)j^ +(64 3)x(o ♦ 10湿 T。

竞赛中的概率问题高中阶段的概率是数学的一个重要分支概率论的初步,主要问题是概率与期望(含概率分布),主要工具是计数方法及思想.概率问题最早于2002年出现在我国中学数学竞赛中,高中联赛中的概率问题主要出现在一试中,重点关注计数技巧和思想的应用.一、知识结构一、概率含义:古典与几何1.概率定义:在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 接近于某个常数p(0≤p ≤1),则称常数p 是事件A 的概率;2.频率概率:概率是频率的期望值,频率可近似地作为概率;3.古典概型:具有如下特点的概率模型称为古典概率模型简称为古典概型:①试验中出现的可能结果只有有限个;②每个结果出现的可能性相同;古典概型的概率公式p(A)=A 包含的可能结果数/所有可能结果数;4.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型;几何概型的概率公式p(A)=构成事件A 的区域长度(面积或体积)/构成全部结果的区域长度(面积或体积);二、事件关系:互斥与独立1.关系定义:如果事件A 与B 不能同时发生,则称事件A 与B 为互斥事件;必有一个发生的两个互斥事件称为对立事件,事件A 的对立事件记为A ;如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,则称事件A 与B 为独立事件;2.事件运算:如果事件A 与B 至少有一个发生,记为A+B;如果事件A 与B 同时发生,记为AB;如果事件B 在事件A 发生的条件下发生,记为B|A;3.事件关系:如果事件A 与B 独立,则事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立;对任意事件A 与B,则事件AB 、A B 、A B 与A B 两两互斥;4.概率公式:如果事件A 与B 为互斥事件,则p(A+B)=p(A)+p(B);特别地,p(A)=1-p(A );如果事件A 与B 为独立事件,则p(AB)=p(A)p(B);对任意事件A 与B,则①p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB);②p(B|A)=p(AB)/p(A);设A 1,A 2,…,A n ,…是一组完备事件(当且仅当A 1,A 2,…,A n ,…中任意两事件互斥,且A 1∪A 2∪…∪A n ∪…是必然事件),则对任意事件B,都有P(B)=P(A 1) P(B/A 1)+P(A 2)P(B/A 2)+…+P(A n )P(B/A n )+…;三、概率分布:期望与方差1.概率分布:设离散型随机变量可能取值为:x 1、x 2、…、x n ,且p(ξ=x i )=p i (i=1,2,…,n),则称右表为随机变量ξ的概率分布列,简称ξ的分布列.且有性质:①p i ≥0;②p 1+p 2+…+p n =1.2.期望方差:若离散型随机变量ξ的概率分布如上表,则称E ξ=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n 为ξ的数学期望;称D ξ=(x 1-Eξ)2p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n -E ξ)2p n ,或D ξ=E ξ2-(E ξ)2为ξ的方差. 3.统计意义:随机变量ξ的数学期望E ξ的实质是随机变量ξ的所有取值的平均数,反映随机变量ξ可能取值的平均水平;而方差D ξ反映随机变量ξ取值偏离平均水平的集中或离散程度;4.运算性质:若ξ、μ是离散型随机变量,且μ=a ξ+b,其中a,b 为常数,则E μ=aE ξ+b,D μ=a 2D ξ,特别地,若ξ+μ=a,则E ξ+E μ=a,D ξ=D μ;若随机变量ξ=ξ1+ξ2+…+ξn +…,则E ξ=E ξ1+E ξ2+…+E ξn +…;若随机变量ξ的一切值位于区间[a,b]内,则期望E ξ∈[a,b],E ξ可正、可负、可为零;但方差D ξ必为非负数;四、常见分布:概率与公式1.两点分布:若随机变量ξ满足:P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,则E ξ=p,D ξ=p(1-p);若随机变量ξ满足:P(ξ=a)=1-p, P(ξ=b)=p,则E ξ=a+(b-a)p,D ξ=(b-a)2p(1-p); 2.二项分布:若随机变量ξ～B(n,p),即P(ξ=k)=C n k p k (1-p)n-k ,则E ξ=np,D ξ=np(1-p); x x 1 x 2 … x n p P 1 P 2 … p n3.几何分布:若随机变量ξ~g(k,p),即P(ξ=k)=p k-1(1-p)(k=1,2,3,…),则E ξ=p 1,D ξ=21pp -; 4.超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有ξ件次品的概率P(ξ=k)=n Nk n M N k M C C C --,则称随机变 量ξ服从超几何分布,且E ξ=n N M ,D ξ=n N M )1())((---N N M N n N . 五、解题思想:变量与事件1.变量取值:解决离散型随机变量ξ的概率分布问题,首要的问题是根据题意求出离散型随机变量ξ的取值集合;2.变量事件:随机变量ξ的取值集合确定后,关键的是求解每一个随机变量的取值所对应的概率,为此,要建立二个对应关系:①随机变量与事件的对应关系;②事件与概率的对应关系;3.事件概率:解决离散型随机变量ξ的概率分布问题的难点是求随机变量ξ对应的事件的概率,基本方法是用己知的基本事件表示待求事件,然后利用概率公式求概率;4.概率分布:由以上两个对应关系及事件的概率推出的随机变量ξ与概率的对应关系,即得分布列.然后利用数学期望和方差的计算公式和简化计算技巧,求期望和方差.并利用期望和方差的意义分析解决有关问题.六、正态分布:性质与转换1.密度函数:①连续型随机变量:如果随机变量ξ可以取某一区间内的一切值,则称该随机变量ξ为连续型随机变量;②密度曲线:如果连续型随机变量ξ的概率分布是某条曲线C,则称该曲线C 为随机变量ξ的分布密度曲线;③连续型随机变量ξ的分布密度曲线C 对应的函数f(x)称为随机变量ξ的分布密度函数.2.正态分布:如果随机变量的分布密度函数f(x)=222)(21σμπσ--x e ,x ∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)是参数,则称随机变量ξ服从参数为μ、σ的正态分布,用ξ～N(μ,σ2)表示.3.分布性质:①f(x)>0,即函数f(x)对应的分布密度曲线C 在x 轴上方;②分布密度曲线C 的渐近线为x 轴;③分布密度曲线C 关于直线x=μ对称;④随机变量ξ的分布密度函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减;⑤随机变量ξ的分布密度函数f(x)在x=μ处取得最大值f(μ)=σπ21;⑥分布密度曲线C 与x 轴围成的面积等于1;⑦x=μ±σ是函数f(x)的拐点,即函数f(x)在区间(μ-σ,μ+σ)内是凸函数,在区间(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)内是凹函数.4.参数意义:①几何意义:直线x=μ是分布密度函数f(x)的对称轴;σ的大小决定分布密度曲线C 的“胖”“瘦”,σ越大分布密度曲线C 越“矮胖”,σ越小分布密度曲线C 越“瘦高”;②统计意义:E ξ=μ,D ξ=σ2,σ越大总体分布越分散,σ越小总体分布越集中,D ξ=E ξ2-(E ξ)2. 5.特殊概率:P(ξ<a)=直线x=a 、x 轴与分布密度曲线C 所围成的面积,P(b<ξ<a)=直线x=b 、x=a 、x 轴与分布密度曲线C 所围成的面积,特别地,P(ξ<μ)=0.5,P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997.6.假设检验:正态分布ξ～N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)外的概率=0.003,几乎不可能发生,所以随机变量ξ的值在区间(μ-3σ,μ+3σ)外是非正常状态.7.标准分布:若ξ~N(0,1),则称随机变量ξ服从标准正态分布,则其正态曲线f(x)=2221x e -π关于直线x=0对称,E ξ=0,D ξ=1.且P(ξ≤x)=φ(x),φ(-x)=1-φ(x),P(a<ξ≤b)=φ(b)-φ(a),φ(0)=21. 8.互换公式:①正态分布与定积分的互换公式:P(b<ξ<a)=⎰a b dx x f )(;②正态分布与标准正态分布的互换公式:p(ξ≤x)=φ(σμ-x ),P(a<ξ≤b)=φ(σμ-b )-φ(σμ-a ).二、典型问题1.枚举计数[例1]:(2007年全国高中数学联赛试题)将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球.其号码为a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b.则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于 。

高中数学概率题解题方法概率是数学中一个非常重要的概念，它在生活中的应用非常广泛。

高中数学中，概率也是一个重要的考点，学生们需要掌握一些解题方法，以便在考试中取得好成绩。

本文将介绍几种常见的高中数学概率题解题方法，并通过具体的例子加以说明。

一、基本概念的理解在解概率题之前，首先要确保对概率的基本概念有清晰的理解。

概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。

当概率为0时，表示该事件不可能发生；当概率为1时，表示该事件必然发生。

例如，考虑一个掷骰子的问题。

骰子有6个面，每个面上的数字为1到6。

那么，掷出一个骰子，出现1的概率是多少呢？根据基本概念，我们知道骰子有6个面，而出现1的面只有一个，所以出现1的概率为1/6。

二、排列组合的应用在解决一些概率问题时，常常需要用到排列组合的知识。

排列是指从一组元素中选取若干个元素进行有序排列，而组合是指从一组元素中选取若干个元素进行无序排列。

例如，考虑一个从1到9的数字中选取3个数字组成一个三位数的问题。

这个问题可以用排列的方法解决。

由于数字不能重复使用，所以第一个数字有9种选择，第二个数字有8种选择，第三个数字有7种选择。

因此，总的排列数为9×8×7=504。

三、事件的独立性在解决一些复杂的概率问题时，需要考虑事件的独立性。

当两个事件发生与否互不影响时，称这两个事件是相互独立的。

例如，考虑一个从一副扑克牌中抽取两张牌，问这两张牌都是红心的概率是多少。

这个问题可以用独立事件的概率相乘的方法解决。

首先，在一副扑克牌中，红心牌有13张，总共有52张牌。

那么，第一张牌抽到红心的概率是13/52，第二张牌抽到红心的概率是12/51。

因此，两张牌都是红心的概率为(13/52)×(12/51)=1/17。

四、条件概率的计算在解决一些带有条件的概率问题时，需要用到条件概率的概念。

条件概率是指在已知某一条件下，某一事件发生的概率。

概率问题求解方法浙江·宁波东方外国语学校 栗建洲 315500注：此文发表于《新高考》2004.3期概率是对随机现象规律渲绎的研究，由于随机现象具有普遍性,使得概率有着广泛的应用。

高中新教材实验修订本第二册（下）概率部分重点介绍了等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括贝努利实验）。

本节内容其关键是要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”。

下面结合教学的实际例谈概率问题的几种解法。

一、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=nm （2）互斥事件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） （3）相互独立事件同时发生的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ） （4）贝努利公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。

例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为21，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。

解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=21 由21= P （A ）=50001002=⇒K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=8120050002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=14495 二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。

例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住（2）恰好有n 个房间，其中各住一人解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，∴（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=n Nn ! （2）恰好有n 个房间其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有n N C 个, 由（1）可知：P （B ）=nn N N n C ! 三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。

概率题的解析对于概率题，它是关于随机事件的研究，主要是研究某个事件发生的可能性有多大。

在这里，我们来看一下概率题的解析方法，以及如何应用概率知识来解决问题。

一、概率的定义概率是指某一个事件发生的可能性大小，通常用0到1之间的一个数值来表示，其中0表示不可能发生，1表示肯定会发生。

对于中间的数值，则表示事件发生的可能性大小。

例如，一个事件的概率为0.5，表示有一半的可能性发生，也就是50%的概率。

二、概率的计算方法1. 频率法频率法是根据大量实验结果，统计某个事件发生的次数，得到符合该事件的概率。

例如，掷骰子的结果是1、2、3、4、5、6，根据掷骰子的实验结果，我们可以计算出掷出1的概率是1/6。

2. 古典概率法古典概率法是指根据当前的情况，用排列组合的方法来计算某个事件发生的概率大小。

例如，从一副扑克牌中随机抽出一张，计算其为红色的概率为26/52=1/2。

3. 主观概率法主观概率法是指根据个人的经验和判断，对某个事件发生的概率进行估计。

例如，对于明天是否会下雨，我们可以根据天气预报和自己的判断来估计其发生的概率。

三、概率的运用1. 概率在赌场中的应用赌场中的游戏通常是根据概率来进行设定的，例如，轮盘赌、扑克牌游戏等，通常都是先根据游戏规则进行计算，确定每个玩家的胜率和输率，然后在游戏中进行比拼。

2. 概率在保险中的应用保险公司通常是根据人们的风险评估来进行保险设定的，首先需要计算被保险人发生风险的概率，然后根据该概率来确定保险价值和保险费用。

3. 概率在投资中的应用投资中的风险和收益也是根据概率来进行评估的，例如，投资股票的收益率就需要根据公司的业绩、股市走势等来进行概率计算，然后确定适合的投资策略。

四、总结概率是一个十分重要的数学概念，在各个领域都有广泛的应用。

在日常生活中，我们需要用到概率思维来进行判断和决策，例如，购买彩票、玩游戏、进行投资等，都需要考虑概率因素，以便进行更为明智的决策。

一道竞赛试题的多角度探索彭光焰(湖北省广水市一中432700)摘 要:本文探究一道上海市高中数学竞赛试题的解法，能供教师在教学过程中作参考，能对 同学们在学习这类问题有所帮助和启示.关键词：赛题；解法；三角形中图分类号：G632文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2022)07 -0002 -051 一道赛题题目(2012年上海市高中数学竞赛试题第9题)如图1 , o ABCD 中，AB 二x ,EC 二1,对角线AC 与BD 的夹角乙BOC 二45°,记直线AB 与CD 的距离为h ( x ).求h ( x )的表达式,并写出x 的取值范围•2解法探析2. 1利用解直角三角形解法1 作DF 丄AB 于点F ,CE 丄AB 于点E ,如图2,设DF 二CE 二方.贝U AF 二BE 二 1 -12 ,图1此题短小精悍，内涵十分丰富，解法多样，命题者真是匠心独运,是值得研究的一道好题,下面给出 本题的多种解法，其中解法7是命题者给出的参考答案，解法11是文［1］所给的，剩余10种解法是笔者给出的.AE — x + BE — x + 丿1 — r,BF — x -1 -12.故AC -」『+ (x +J1 一 t 2)2—%2 + 2x 1 — t 2 + 1 ,BD — J t 2 + (x -丿1- t 2)2收稿日期：2021 -12 -05作者简介：彭光焰，中学正高级教师，湖北省特级教师，从事高中数学教学研究.—2—% + 1 - 2X 1 — t .又 S OABCD - 2S aabc ,又 S a BOC 二 2 OC - OB sin 45 °艮卩DF ・ x 二 2x 2 x AC x BE ,二1 AC ・ BD ・ sin45 °oDF • x 二 m (2m + 2n ),-BD故 DF 二2(m + mn)二%2 -1x 2x °二2 X 4 + 4x 212 - 2X 2 + 1.16X 2 - i因此,h(x )二 DF 二 2X ，下略.解法3 如图3,设AC 二2a ,BD 二2b ,而 S aABCD - tX - 4S ABOC ,则在 RtA BEO 中,OB 二2 BD 二b ,BE 二EO二艮卩xt 二4 +4x 212 -2x 2 + 1 ,于是 EC 二OC -EO 二ax 212 二!( x 4 +4x 212 -2x 2 + 1)o4x 212 二（x 2 - 1）2,故t 二X ；-】，下略.2X解法2如图3,过点B 作BE 丄AC 于点E ,过AE 二 AO + EO 二 a +在RtA ABE 和RtABCE 中，由勾股定理，得X 2 二(a +2+2①点D 作DF 丄AB 于点F ，则ABEO 为直角三角形.12 二（a2+2②由①-②，得X 2 - 1二2 2 ab.③又 S aABCD -xh(),S aABCD - 2S aabc二2 x 2 x AC x BE设 OE 二 BE 二 m , EC 二 n因为 BC 二1，所以 m 2 + n 2 二1.在 RtA ABE 中,二2 a x AE 二 AO + OE 二 2m + n ,二AC x BE二J2 ab ,X 2二AB 2所以 xh ( x)二J2 ab.④故二AE 2 +BE 2二(2m + n )2 + m 2二4 m 2 + 4 m n + ( m 2 + n 2)二4 m 2 +4 m n + 1,m 2 + mn 二屮42把③代入④整理，得h （x ）二，下略.2. 2利用两角和的三角函数解法4 如图2,设乙CAB 二0,乙ABD 二a ,则a设 BE 二y ,CE 二 n ,+ 0 二 45 °.—3—贝U AF - BE -y ,DF - CE - n.在 RtA ACE 中,tan S - n ,x + y在 RtA BDF 中,tan a - n ,x — ynn ------+ ——-1,tan a + tan S x + y x — ytan( a + 0)- -1 — tan a tanS [ n 21 —飞 2x — y 即 2 2 n x 2-1.x — y — n在 RtA BCE 中,n 2 + y 2 -1,即 y 2 -1 — n 2.把⑥代入⑤并整理，得n -叮1.即 h (x ) - J.2x(x -丿12 — t 2 )2 +12 - (2b )2,由⑧+⑨,得a 2 + b 2 - x ； 1.⑨⑩把⑩代入⑦，得22 ab - x 2 — 1.因为 S U ABCD - xt ，⑪S aABCD -4S ABOC - 4 X 2 absin 45 ° - J 2 ab ,⑤x 2 — 1所以xt-厲ab二一⑥而 t - V ，因此 h (x ) -.2x而 0 < h (x ) W1,即 0<.2x又 2 ・AB ・b (x ) - 1 AB ・AD ・sinZ BADW 1 AB ・ AD.故1 <x W 2+1.2 —[所以 h (x ) - , 1 <x WT? + 1.2x1 ・ x ；—「x W ：・x ・1,解法6由解法5所设，在A BOC 和A AOB 中, 分别由余弦定理可得，即 x 2 — 2x — 1 W0,a 2 +b 2 - 1 £2ab - 2 ，⑫1 — + 1.而 h (x ) >0,即 x 2 — 1 >0 ,x > 1 ,x < — 1.a 2 +b 2 - x 2_ 匹2ab - — 2 ，由⑫和⑬⑧得所以 1 <x W 2+1.2 2 ab - x 2 — 1.2. 3利用余弦定理又 S aABCD - 4S ABOC ，⑬⑭解法 5 如图 2,设AC -2a ,BD -2b ,则 OC - a ,OB - b ,并设 h ( x ) - t.在厶BOC 中，由余弦定理，得cos 45 ° - a 2+ b 2—12即 tx -42 ab.⑮2 ab2把⑭代入⑮，得t -丄.x — 1即h (x ) - 2x ，下略.即 J 2 ab - a 2 + b 2 — 1.在RtA ACE 和RtA BDF 中，由勾股定理得,⑦解法7由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得(x + 丿12 — t 2 )2 +12 - (2a )2,—4 —⑧OB 2 + OC 2 - J (AB 2 + BC 2) - 1 (x 2 +1).⑰在5OBC中，由余弦定理，得BC2—OB2+OC2-2OB・OC cos乙BOC,所以OB2+OC2-2OB・OC—1.⑱由⑰⑱，得x2-1OB-OC—.22S O ABCD—4S△OBC-4x1x OB x OC sin Z BOC_x2-1—2，故AB・h(x)—笃丄所以h(x)—叮1.解法8如图4,设AO—OC—a,BO—OD—b, h(x)—过点B作BE丄AC于点E,过点O作OF丄AB于点F,由RtA AFO^RtA ABE，得OF—AO BE—AB*在RtA BEO中，乙BOC—45°,故BE—2b.又OF-2,故t-J⑲2b在厶BOC和A AOB中由余弦定理，得12—a2+b2-J2ab.⑳x2—a2+b2+J2ab.㉑由㉑-⑳得，x2-1—22ab.㉒把⑲代入㉒整理，得即h(x)—x2%1•2.4利用平面向量解法9设朋—a,必—b,贝诫—a+b,DB—a-b,OC—；(a+b),O B—因为o/.OC-(a一b)4(a+b)-4(l a l2-l b I2)_x2-1—4，又O B・O B—I O B I・I O B I cos45°所以I O B I-I OC I cos45°—x-1.即I O I-I O C I—厲(x；-1).则S A boc—yI O I・I O C I sin45°—£一丄又因为S oABCD二h(x)・x，2-1S o ABCD—4S ABOC—2，2一[所以x•h(x)-—.x2一ih(x)-迂=下略.解法10如图5,以点A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.于是B(x,0).依题意可设C(x+m,n),D(m,n),则m+x n、O(2，2)•—5—又 AD 二BC 二 1,故 m 2 + n 2 二1.根据到角公式，n 仏-他 tan ——二 ,4 1 + 仏 k 2将仏，他代入上式，整理，得 1 二-2% si n 01 - X故 h (%)二 sin 0 二~.扁 /X + m n % - m n 、所以OC ・OB 二(2 ，2)・(2 ，- 2 )_x 2 - m 2 - n 2 _ x 2 - 1二4 二 4，解法12建立如图6所示平面直角坐标系. 由已知条件可知，可设(a , a ) , B ( b , 0 ),则I o C i -1o B i 二)2+害・[(宁)2+召]二1 (x2 + 1)2 -4m 2x 2.而O(C ・O分二I OC I ・ I O B I cos 45 °,A ( - a ,% 4 1 二扣(X 2 +1)2 -4m 2X 2 x 容,由两点式可得直线AB 的方程为(x 2 - 1)2 二 ( x 2 + 1)2 - 2 m 2 x 2,ax - ( a + b ) y - ab 二 0.则h (%)就是点C 到直线AB 的距离，即(x 2 - 1)2 二 2 (%2 + 1)2 -2(1 - n 2)x 2_ x 2 - 1n 二 2x ，即 h (x)二n 二J _ .2x2. 5利用平面解几何解法11如图4所示的平面直角坐标系，于是B (%,0)，然后利用直线的到角公式来求解.设乙DAB 二0 (0 < 0 <n),于是 D ( cos 0, sin 0 ) , C ( cos 0 + x , sin 0 ) , h ( x )二sin 0.再设AC , BD 所在直线的斜率分别为局，他，且仏，他均存在.于是“二 sin 0 “ 二 sin 0于疋 1 二 cos 0 + %，2 二 cos 0 - %'h (%)二2.㉓J a 2+ (a +b ) 2又 I AB 12 二%2,即 ％2二(a +b )2 + a 2, ㉔I BC I 2 二 12,即 1二(a -b )+a 2 ,㉕由㉔-㉕，得%2 - 1 二 4ab.㉖2把㉓和㉖代入㉓得h ( % )二宁1，下略.参考文献：［1］徐庆惠.由一道数学竞赛题的几种解法反思数学教学［J ］.数学教学,2012 (09) ：10-12.［责任编辑:李璟］—6—。

概率题解法研究 厦门双十中学 郭俊芳

概率是高二（下）第十一章紧随排列组合后的内容，它的学习是建立在排列组合知识的基础上.解概率题：①当基本事件的概率未知，则需要依据排列组合的知识先求出基本事件的概率；②当基本事件的概率已知，则需要用不同事件概率的计算原理将所求事件的概率转化为基本事件的概率.不论哪种题型都以排列组合的两个原理为基础.再加上对各种事件的准确认识：如n个互斥事件A1,A2,„,An有一个发生的概率P(A1+A2+„+An) =P(A1)+P(A2)+„+P(An),就是加法原理在概率中的应用；n个相互独立事件A1,A2,„,An同时发生的概率P(A1A2„An) =P(A1) P(A2) „P(An),就是乘法法原理在概率中的应用.类比排列组合的解题思想方法，不难找到解概率题的通性通法. 解概率题首先要确定事件的类型：①等可能事件，如掷硬币、骰子、随机抽取均匀物品等.对于这类问题，要确定事件总数和所研究的特定事件发生的结果数；②互斥事件，如取出不同颜色的球、取出奇数和偶数等不可能同时发生的事件，要确定好几类互斥事件，关键是分类的事件不能重复，不能遗漏；③对立事件，每一个事件A都可以直接通过分类求概

率，也可以找到它的对立事件A，利用P(A)+P(A)=1的关系求概率，关键是直接和间接的方法哪一个便捷；④相互独立事件，如甲、乙两人从事不同的活动互相不影响、电路开关的开闭等；⑤n次独立重复试验恰好发生k次的事件，如重复抽取、重复掷硬币、骰子等.关键是独立重复实验的特征，每次实验的概率都相等为p,每次实验的结果只有两个——发生和不发生，即每次试验的两个事件是对立事件，概率分别是p和1-p，公式为

kknknnP(k)Cp(1p)，其系数是二项式系数knC不能遗漏.

下面以典型题为例，分类说明概率题的解法. 一、基本事件概率未知 例1．8支排球队有2支强队，任意将8队平均分成两组比赛，求这2支强队分在同一组的概率. 看成等可能事件.

高考数学中有关概率问题的解题思路概率是高中新教材的新增内容，在实际中应用非常广泛，每年高考都占有一席之地。

下面就高考中与概率有关的问题的解题思路作一归纳，供大家参考。

一．离散型随机变量的概率分布和数学期望 例1：（2003年理科高考题）A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员。

A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3。

按以往多次比赛的统计，0分。

设A 队，B 队最后所得总分分别为ξ，η。

（Ⅰ）求ξ，η的概率分布；（Ⅱ）求E ξ，E η。

分析：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0。

P （ξ=3）=23×25×25=875P （ξ=2）=23×25×35+13×25×25+23×35×25=2875P （ξ=1）=23×35×35+13×25×35+13×35×25=25P （ξ=0）=13×35×35=325;据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）= P （ξ=3）=875，P （η=1）= P （ξ=2）=2875P （η=2）= P （ξ=1）=25，P （η=3）= P （ξ=0）=325。

（Ⅱ）E ξ=3×875+2×2875+1×25+0×325=2215；因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ=2315。

思路：此类问题只需正确求出随机变量在某一范围内取值时所对应的概率，并能运用公式E ξ= 1122n n x p x p x p ++++ 计算即可。

二．等可能事件的概率 例2：（2000年理科高考题）甲，乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。

甲，乙二人依次各抽一题。

（Ⅰ）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？分析：（Ⅰ）116411109C C C C=415（Ⅱ）甲，乙二人依次都抽到判断题的概率为114311109C C C C 故甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1－114311109C C C C =1315或116511109C C C C ＋116411109C C C C ＋114611109C C C C =1315.思路：1。