第四章 正态分布
１、解：(0,1)ZN
（1）{1.24}(1.24)0.8925PZ
{1.242.37}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986PZ
{2.371.24}(1.24)(2.37)(1.24)(2.37)0.89250.99110.0986PZ
（2）{}0.9147()0.91471.37{}0.05261()0.0526()0.94741.62PZaaaPZbbbb，，得，，，得
2、解：(3,16)XN
8343{48}()()(1.25)(0.25)0.89440.59870.295744PX
5303{05}()()(0.5)(0.75)44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.4649PX
31(25,36){25}0.95442(3,4){}0.95XNCPXCXNCPXC、（）设，试确定，使；（）设，试确定，使
解：（1）(25,36){25}0.9544XNPXC，
{2525}0.9544PCXC
25252525()()0.954466()()2()10.9544666()0.9772,21266CCCCCCCC即，
（2）(3,4){}0.95XNPXC，
331()0.95()0.952231.6450.292CCCC即，，
4、解：（1）2(3315,575)XN
4390.2533152584.753315{2584.754390.25}()()575575(1.87)(1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.89800.8673PX
129
第四章 随机变量的数字特征
在前面两章中我们讨论了随机变量的概率分布，这是关于随机变量统计规律的一种完整描述，然而在实际问题中，确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.
§1 数学期望
1.1 数学期望的概念
在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.
例1.1 设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即
平均抗拉强度1(110120212531302135140)10
123211110120125130135140101010101010
126.
从上例可以看出，对于一个离散型随机变量X，其可能取值为12,,,nxxx，如果将这n个数相加后除n作为“均值”是不对的.因为X取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.
概率论与数理统计第四章测试题
第4章 随机变量的数字特征
⼀、选择题1．设两个相互独⽴的随机变量X 和Y 的⽅差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的⽅差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44
2．若随机变量X 和Y 的协⽅差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ）
(A) X 与Y 相互独⽴ (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X 和Y 相互独⽴，且()()22
1122,,,X
N Y N µσµσ，
则2Z X Y =+（ ）(A) ()
221212,2N µµσσ++ (B) ()22
1212,N µµσσ++ (C) ()
2212122,4N µµσσ++ (D) ()2212122,4N µµσσ--
4．设⼆维随机变量(X,Y)服从⼆维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为
(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2
(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)2
5．设X 、Y 是两个相互独⽴的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学 期望()E Z =（ ） (A)
(B) 0 (C) (D) 6．设X 、Y 是相互独⽴且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =（ ）
(A)
2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4
θ
7．设随机变量X 和Y 的⽅差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ） (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B)独⽴的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独⽴的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){}
()1
12
1,2,2
n
n
n P X n =-?=
第 4 章 随机变量的数字特征
一、填空题
1、设 X 为北方人的身高， Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于
E( X ) E(Y)
2、设 X 为今年任一时刻天津的气温， Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气
温变化比北京的大，相当于 D(X) D(Y) .
3、已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X ) 2.4, D(X) 1.44 ，则二项分布的参数
n= 6 , p= .
4、已知 X 服从 (x ) 1 e x 2 2x 1，则 . E(X)=1 , D(X)=1/2.
5、设 X 的分布律为
X 1 0 1 2
P 1 1 1 1
8 4 2 8
则 E(2X 1) 9/4 .
6、设 X ,Y 相互独立，则协方差 cov( X ,Y ) 0 .
这时， X ,Y 之间的相关系数 XY 0 .
7 、 若 XY是随机变量 (X,Y)的相关系数，则 | XY| 1的充要条件是
P Y aX b 1 .
8、 XY 是随机变量 ( X ,Y ) 的相关系数， 当 XY 0时，X 与Y 不相关 ，当| XY | 1
时， X 与 Y 几乎线性相关 .
9、若 D(X) 8, D(Y ) 4 ，且 X ,Y 相互独立，则 D (2X Y ) 36 .
10、若 a, b 为常数，则 D (aX b) a2 D ( X ) .
11、若 X ,Y 相互独立， E( X ) 0, E(Y) 2 ，则 E(XY ) 0 .
12、若随机变量 X 服从 [0,2 ] 上的均匀分布，则 E( X ) π .
13、若 D(X) 25, D(Y ) 36, XY 0.4 ，则 cov( X ,Y ) 12 ， D(X Y) 85，
