《概率论与数理统计》袁荫棠_课后答案_概率论第四章

概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

习题4.11.设随机变量X 的概率密度为(1) (2)f(x)={2x, 0≤x ≤1,0, 其他; f(x)=12e -|x |, -∞<x <+∞求E(X)解: (1)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx = ∫10x ∙2xdx =2∙x 32|10=23(2)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫+∞-∞x ∙12e -|x |=02.设连续型随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <-1,a +b ∙arcsinx, -1≤x <1,1, x ≥1.试确定常数a,b,并求E(X).解:(1)f (x )=F '(x )={b 1-x 2, -1≤x <10, 其他∫+∞-∞f (x )dx =∫1-1b 1-x 2dx =b ∙arcsinx|1-1=bπ=1, 即b =1π又因当时-1≤x <1F (X )=∫X-1f (x )dx =∫x-11π∙11-x 2dx =1π∙arcsinx|x-1=1π∙arcsinx +12, 即a =12(2)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫1-1xπ∙11-x 2=03.设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为f(x)={1σ2e-x 22σ2, x >0,0, x ≤0.求E(X).解:E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =1σ2∫+∞0x ∙e -x 22σ2dx =14.设X 1, X 2,….. X n 独立同分布,均值为,且设,求E(Y).μY =1n ∑n i =1X i 解:E (Y )=E (1n ∑ni =1X i )=1n E (∑ni =1X i )=1n ∙n μ=μ5.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={e -y, 0≤x ≤1,y >0,0, 其他.求E(X+Y).解:E (X +Y )=∫+∞-∞∫+∞-∞(x +y )f (x,y )dxdy =∫+∞0∫10(x +y )e -ydxdy =∫+∞012∙e ‒y +y ∙e ‒y dy =326.设随机变量X 1, X 2相互独立,且X 1, X 2的概率密度分别为f 1(x )={2e -2x, x >0,0, x ≤0,求:f 2(x )={3e -3x, x >0,0, x ≤0,(1)E (2X 1+3X 2); (2)E (2X 1-3X 22); (3)E (X 1X 2解:(1)E (2X 1+3X 2)=2E (X 1)+3E (X 2)=2*12+3*13=2(2)E (2X 1-3X 22)==2E (X 1)-3E (X 22)=1-3*∫+∞x 23e -3xdx =1-3*[-∫+∞x 2d(e -3x)]=1-3*[-x 2∙e -3x|+∞0+∫+∞e -3xdx 2]=1-3*[0+∫+∞e -3x∙2xdx]=1-3*[23∫+∞e -3x∙3xdx ]=1-3*23*13=13(3)E (X 1X 2)=E (X 1)E (X 2)=12*13=167.求E(X).解:E (X )=∑i ∑j x i p ij =0*0.1+0*0.3+1*0.2+1*0.1+2*0.1+2*0.2=0.98.设随机变量X 的概率密度为且E(X)=0.75,求常数c 和.f(x)={cx α, 0≤x ≤1,0, 其他.α解:E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫10x ∙cx αdx =0.75习题4.21.设离散型随机变量X 的分布律为X -100.512P0.10.50.10.10.2求E (X ),E (X 2),D (X ).解: E (X )=(-1)*0.1+0*0.5+0.5*0.1+1*0.1+2*0.2=0.45E (X 2)=(-1)2*0.1+0*0.5+(0.5)2*0.1+12*0.1+22*0.2=1.025D (X )=(-1-0.45)2*0.1+(0-0.45)2*0.5+(0.5-0.45)2*0.1+(1-0.45)22.盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X 的期望和方差.解: X 的可能取值为0,1,2P {X =0}=C 22C 25=0.1P {X =1}=C 13∙C 12C 25=0.6P {X =2}=C 23C 25=0.3E (X )=0∗0.1+1∗0.6+2∗0.3=1.2D (X )=(0‒1.2)2∗0.1+(1‒1.2)2∗0.6+(2‒1.2)2∗0.3=0.144+0.024+0.192=0.363.设随机变量X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为f X (x )={2e ‒2x, x >0,0, x ≤0,f Y(y )={4, 0<y ≤14,0, 其他,求D(X+Y).解:D (X +Y )=D (X )+D (Y )=122+(14‒0)212=491924.设随机变量X 的概率密度为f X (x )=12e ‒|x |, ‒∞<x <+∞,求D(X)解:E (X )=∫+∞‒∞x2e ‒|x |dx =0E(X2)=∫+∞‒∞x 22e‒|x|dx=2∫+∞‒∞x22e‒x=∫+∞‒∞x2e‒x=2=D(X) E(X2)‒[E(X)]2=25.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=1,D(Y)=2,求D(X-Y).解: D(X‒Y)=D(X)+D(Y)=1+2=36.若连续型随机变量X的概率密度为f(x)={ax2+bx+c, 0<x<1,0, 其他,且E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数a,b,c.解:E(X)=∫10x(ax2+bx+c)dx=a4+b3+c2=0.5E(X2)=∫10x2(ax2+bx+c)dx=a5+b4+c3=0.15+(0.5)2=0.4∫+∞‒∞f(x)dx=∫10(ax2+bx+c)dx=a3+b2+c=1解得a=12,b=-12,c=3.习题4.31.设两个随机变量X,Y相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是 D .A. 8B. 16C. 28D. 442.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={18(x+y), 0≤x≤2,0≤y≤2,0, 其他求Cov(X,Y).解:E(X)=∫20[∫20x8(x+y)dy]dx=∫20(x28∙y+x8∙y22)|20d x=76E(Y)=∫20[∫20y8(x+y)dx]dy=76E(XY)=∫20[∫20xy8(x+y)dy]dx=43Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=43‒76∗76=‒1363.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={ye‒(x+y), x>0,y>0,0, 其他求X与Y的相关系数ρxy.解:E(X)=∫+∞0(∫+∞0xye‒(x+y)dy)dx=1E(Y)=∫+∞0(∫+∞0y2e‒(x+y)dx)dy=∫+∞0(∫+∞0y2e‒x e‒y dx)dy=∫+∞0y2e‒y dy=‒∫+∞0y2d(e‒y)=‒y2e‒y|+∞0+∫+∞0e‒y d(y2)=0+∫+∞0e‒y∙2ydy=2∫+∞0e‒y∙ydy=2E(XY)=∫+∞0(∫+∞0xy2e‒(x+y)dy)dx=2Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=2‒2∗1=0所以ρxy=Cov(X,Y)D(X)D(Y)=04.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y).布解:f (x,y )=12πσ1σ21‒ρ2e‒12(1‒ρ2){(x ‒μ1)2σ12‒2ρ(x ‒μ1)(y ‒μ2)σ1σ2+(y ‒μ2)2σ22}∵E (X )=0,E (Y )=0∴μ1=0, μ2=0,∵D(X)=16, D(Y)=25∴σ1=4,σ2=5∵Cov(X,Y)=12∴ρ=Cov (X,Y )D(X)D(Y)=124∗5=35∴f (x,y )=132πe‒2532(x 216‒3xy 50+y 225)5. 证明D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).证:D (X ‒Y )=E [X ‒Y ‒E (X ‒Y )]2=E [(X ‒E (X ))‒(Y ‒E (Y ))]2=E [(X ‒E (X ))2]‒2E [X ‒E (X )]∙E [Y ‒E (Y )]+E [(Y ‒E (Y ))2]=D (X )+D (Y )‒2Cov(X,Y)6. 设(X,Y)的协方差矩阵为,求X 与Y 的相关系数ρxy.C =(4‒3‒39)解:∵C =(4‒3‒39)∴Cov (X,Y )=‒3, D (X )=4,D (Y )=9∴ρxy =Cov (X,Y )D(X)D(Y)=‒32∗3=‒12自测题4一、 选择题1.设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是 B .A. E(X)=0.5, D(X)=0.25 B. E(X)=2, D(X)=4C. E(X)=0.5, D(X)=4 D. E(X)=2, D(X)=0.25解: 指数分布的E (X )=1λ, D (X )=1λ22. 设随机变量X,Y 相互独立,且X~B(16,0.5),Y 服从参数为9的泊松分布,则D(X-2Y+1)= C.A.-14B. 13C. 40D. 41解: D (X )=npq =16∗0.5∗0.5=4, D (Y )=λ=9D (X ‒2Y +1)=D (X )+4D (Y )+D (1)=4+4∗9+0=403. 已知D(X)=25,D(Y)=1, ρxy=0.4, 则D(X-Y)= B .A.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y)为二维连续随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 C .A. X 与Y 相互独立B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)C. E(XY)= E(X)E(Y)D. (X,Y)~N()μ1,μ2,σ12,σ22,0解: ∵X 与Y 不相关∴ρxy =0, ∴Cov (X,Y )=0∴E(XY)= E(X)E(Y)5.设二维随机变量(X,Y)~N(),则Cov(X,Y)= B .1,1,4,9,12A. B. 3C. 18D. 3612解: ∵ρxy =12=Cov (X,Y )D(X)D(Y)=Cov (X,Y )2*3, ∴Cov (X,Y )=36.已知随机变量X 与Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E(XY)= A .A. 3B. 6C. 10D. 12解: ∵X~U (‒1,3),Y~U (2,4)∴E (X )=a +b 2=‒1+32=1, E (Y )=2+42=3E (XY )= E (X )E (Y )=1∗3=37.设二维随机变量(X,Y)~N(),Ø(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .0,0,1,1,0A. X 与Y 都服从N(0,1)正态分布 B. X 与Y 相互独立C. Cov(X,Y)=1 D. (X,Y)的分布函数是Φ(x)∙Φ(y)二、 填空题1.若二维随机变量(X,Y)~N(),且X 与Y 相互独立,则ρ= 0 .μ1,μ2,σ12,σ22,0解:Cov(X,Y)=0∵2.设随机变量X 的分布律为 3 .X -1012P0.10.20.30.4令Y=2X+1,则E(Y)= 3 .解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=33.已知随机变量X 服从泊松分布,且D(X)=1,则P{X=1}= .e ‒1解: ∵ D (X )=λ=1∴P {X =1}=λ1e ‒λ1!=e ‒14.设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X)= D(Y)=1,则D(X-Y) =2 .5.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,= 6.E (X 2)解: ∵E (X )=λ=2,D (X )=λ=2,∴ E (X 2)=E 2(X )+D (X )=4+2=66.设X为随机变量,且E(X)=2, D(X)=4,则= 8 .E(X2)7.已知随机变量X的分布函数为F(x)={0, x<0x4, 0≤x<41, x≥4则E(X) = 2 .解: f(x)=F'''"(x)={14, 0≤x<40, 其他E(X)=∫40x4dx=08.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=2, D(Y)=1,则D(X-2Y+3)= 6 .三、设随机变量X的概率密度函数为f(x)={32x2, ‒1≤x≤1,0, 其他试求: (1)E(X), D(X); (2).P{|X‒E(X)|<2D(X)}解:(1) E(X)=∫1‒132x3dx=0D(X)=E(X2)‒E2(X)=∫1‒132x4=32∙x55|1‒1=35(2)P{|X‒E(X)|<2D(X)}=P{|X|<65}=∫65‒65f(x)dx=∫1‒132x2dx=1四、设随机变量X的概率密度为f(x)={x 0≤x≤12‒x, 1≤x<20, 其他试求: (1)E(X), D(X); (2),其中n为正整数.E(X n)解:(1)E(X)=∫1x2dx+∫21x(2‒x)dx=13+13=1D(X)=E(X2)‒E2(X)=∫10x3dx+∫21x2(2‒x)‒1=14+(143‒154)‒1=16(2)E(X n)=∫1x n+1dx+∫21x n(2‒x)=2(2n+1‒1)(n+1)(n+2)五、 设随机变量X 1与X 2相互独立,且X 1~N(), X 2~N().令X= X 1+X 2, Y= X 1-X 2.μ,σ2μ,σ2求: (1)D(X), D(Y); (2)X 与Y 的相关系数ρxy.解:(1)D (X )=D (X 1+X 2)=D (X 1)+D (X 2)=σ2+σ2=2σ2D (Y )=D (X 1‒X 2)=D (X 1)+D (X 2)=2σ2(2) Cov (X,Y )=E (XY )‒E (X )E (Y )=0ρxy =Cov (X,Y )D(X)D(Y)=0六、 设随机变量X 的概率密度为f (x )={2e ‒2x, x >0, 0, x ≤0.(1)求E(X),D(X);(2)令,求Y 的概率密度f Y (y).Y =X ‒E(X)D(X)解:(1)E (X )=∫+∞2xe ‒2x dx =12D (X )=E (X 2)‒E 2(X )=∫+∞02x 2e ‒2x dx ‒14=12‒14=14(2)Y =X ‒E(X)D(X)=X ‒1212=2X ‒1由Y=2X-1得, X’=X =Y +1212=∴f Y (y )={2e‒2(Y +12)∙12,Y +12>00, Y +12≤0{e ‒(y +1), y >‒10, y ≤‒1七、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x,y )={2, 0≤x≤1,0≤y ≤x,0, 其他求: (1)E(X+Y); (2)E(XY); (3). P{X +Y ≤1}解:(1)E (X +Y )=∫10dx ∫x 02(x +y )dy =∫102x 2+x 2dx =1(2)E(XY)=∫1dx∫x2xy dy=∫1x3dx=14(3) P{X+Y≤1}=∬x+y≤1f(x,y)dxdy=∫12(∫1‒yy2dx)dy=∫122‒4ydy=12八、设随机变量X的分布律为X-101P 131313记Y=X2,求: (1)D(X), D(Y); (2) ρxy.解:(1)E(X)=(‒1)∗13+0∗13+1∗13=0D(X)=(‒1‒0)2∗13+(0‒0)2∗13+(1‒0)2∗13=23 E(Y)=(‒1)2∗13+0∗13+12∗13=23D(Y)=(1‒23)2∗13+(0‒23)2∗13+(1‒23)2∗13=29E(XY)=(0∙‒1)∙9+(1∙‒1)∙29+(0∙0)∙19+(0∙1)∙29+(1∙0)∙19+(1∙1)∙29=0Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=0‒0∗23=0ρxy=Cov(X,Y)D(X)D(Y)=0。

概论论与数理统计习题参考解答习题一8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率.解:设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件,则.125.08121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率.解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××⋅××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=−=−=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.0121)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3,基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3,2,1,0,5973==−i C C n ii i 则w w w .k h da w .c o m 课后答案网00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=××==××⋅××××××××====××=×××××⋅××××××××====×××=×××××××⋅××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m −−=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11⋯===−−13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为,310C n =121315C C C n A =则25.0412358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数,632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w ww .k h d a w .c o m 课后答案网15.一批产品中,一,二,三等品率分别为0.8,0.16,0.04,若规定一,二等品为合格品,求产品的合格率.解:设事件A 1为一等品,A 2为二等品,B 为合格品,则P (A 1)=0.8,P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2,且A 1与A 2互不相容,根据加法法则有P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616.袋内装有两个5分,三个2分,五个一分的硬币,任意取出5个,求总数超过一角的概率.解:假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分,A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分,A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分,则B =A 1+A 2+A 3,而A 1,A 2,A 3互不相容,基本事件总数252762354321678910510=×××=××××××××==C n 设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3,则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==××××===×===××××==B P C C C n C C C n C C n 17.求习题11中次品数不超过一个的概率.解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3,B 为次品数不超过一个,则B =A 0+A 1,A 0与A 1互不相容,则根据11题的计算结果有P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419.由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15,刮风(用B 表示)的概率为7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求P (A |B ),P (B |A ),P (A +B ).解:根据题意有P (A )=4/15,P (B )=7/15,P (AB )=1/10,则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==−+=−+=−+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P 20.为防止意外,在矿内同时设有两种报警系统A 与B ,每种系统单独使用时,其有效的概率系统A 为0.92,系统B 为0.93,在A 失灵的条件下,B 有效的概率为0.85,求(1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率(2)B 失灵的条件下,A 有效的概率解:设A 为系统A 有效,B 为系统B 有效,则根据题意有P (A )=0.92,P (B )=0.93,85.0)|(=A B P w w w .k h d a w .c o m 课后答案网(1)两个系统至少一个有效的事件为A +B ,其对立事件为两个系统都失效,即,而,则B A B A =+15.085.01)|(1)|(=−=−=A B P A B P 988.0012.01(1)(012.015.008.015.0)92.01(|(()(=−=−=+=×=×−==B A P B A P A B P A P B A P (2)B 失灵条件下A 有效的概率为,则)|(B A P 829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=−−=−=−=B P B A P B A P B A P 21.10个考签中有4个难签,3人参加抽签考试,不重复地抽取,每人一次,甲先,乙次,丙最后,证明3人抽到难签的概率相等.证:设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签,显然P (A )=4/10,而由903095106)|(()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=×===×===×===×==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P 由于A 与互不相容,且构成完备事件组,因此可分解为两个互不相容事件A B A AB B +=的并,则有1049036902412)()()(==+=+=A P AB P B P 又因之间两两互不相容且构成完备事件组,因此有B A B A B A AB ,,,分解为四个互不相容的事件的并,C B A C B A BC A ABC C +++=且720120849030)|()()(72072839024)|(()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=×===×===×===×==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P w w w .k h d a w .c o m 课后答案网则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=B A P C B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ),证毕.22.用3个机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95,求全部产品中的合格率.解:设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工,B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5,P (A 2)=0.3,P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94,P (B |A 2)=0.9,P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=×+×+×==∑=i i i A B P A P B P 23.12个乒乓球中有9个新的3个旧的,第一次比赛取出了3个,用完后放回去,第二次比赛又取出3个,求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解:设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球,A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球.则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(3121626331239331215272312132923121428131223191312132********=⋅××⋅××××===×××××××××===⋅××⋅××××===××××××××===⋅××⋅××××===××××××===⋅××⋅××××===××××==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P 根据全概率公式有w w w .k h d a w .c o m 课后答案网455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24.某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率是0.05,求:(1)任取一箱,从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.解:(1)设B 为任取一箱,从中任取一个为废品的事件.设A 为取到甲厂的箱,则A 与构成完备事件组A 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=×+×=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P (2)设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个,其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个,其中废品总数为2400×0.05=120个,因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P 25.一个机床有1/3的时间加工零件A ,其余时间加工零件B ,加工零件A 时,停机的概率是0.3,加工零件B 时,停机的概率是0.4,求这个机床停机的概率.解:设C 为加工零件A 的事件,则为加工零件B 的事件,C 与构成完备事件组.C C 设D 为停机事件,则根据题意有P (C )=1/3,P ()=2/3,C P (D |C )=0.3,P (D |)=0.4,C 根据全概率公司有367.04.0323.031|()()|()()(=×+×=+=C D P C P C D P C P D P 26.甲,乙两部机器制造大量的同一种机器零件,根据长期资料总结,甲机器制造出的零件废品率为1%,乙机器制造出的废品率为2%,现有同一机器制造的一批零件,估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍,今从该批零件中任意取出一件,经检查恰好是废品,试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.w w w .k h d a w .c o m 课后答案网解:设A 为零件由甲机器制造,则为零件由乙机器制造,A 与构成完备事件组.A A 由P (A +)=P (A )+P ()=1并由题意知P ()=2P (A ),A A A 得P (A )=1/3,P ()=2/3.A 设B 为零件为废品,则由题意知P (B |A )=0.01,P (B |)=0.02,A 则根据贝叶斯公式,任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==×+××==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27.有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球两个黑球.由甲袋中任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取到白球的概率.解:设事件A 为从甲袋中取出的是白球,则为从甲袋中取出的是黑球,A 与构成完备事A A 件组.设事件B 为从乙袋中取到的是白球.则P (A )=2/3,P ()=1/3,A P (B |A )=2/4=1/2,P (B |)=1/4,A 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==×+×=+=A B P A P A B P A P B P 28.上题中若发现从乙袋中取出的是白球,问从甲袋中取出放入乙袋的球,黑白哪种颜色可能性大?解:事件假设如上题,而现在要求的是在事件B 已经发生条件下,事件A 和发生的条件概A 率P (A |B )和P (|B )哪个大,可以套用贝叶斯公式进行计算,而计算时分母为P (B )已上题算A 出为0.417,因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=×===×==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A P w w w .k h d a w .c o m 课后答案网P (A |B )>P (|B ),因此在乙袋取出的是白球的情况下,甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.A 29.假设有3箱同种型号的零件,里面分别装有50件,30件和40件,而一等品分别有20件,12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回).试求先取出的零件是一等品的概率;并计算两次都取出一等品的概率.解:称这三箱分别为甲,乙,丙箱,假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件,则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件.则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件,则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=××===××===××==C C A C P C C A C P C C A C P 根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P 30.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。

概率论与数理统计(第四版)习题答案全概率论与数理统计习（第四版）题解答第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A第二章 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率． 解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=75.04341313131==-++=第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=第四章 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++= 于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P 又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B += 于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=． （另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P 设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．第五章离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布．解：设X表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设=1，则ξ的概率分布为q-p三、 已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布；（２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x CCC x X P x x从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xxx从而X 的概率分布为即四、 电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP 相对误差为.5168877.0168031355.0168877.000≈-=δ五、 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P 32254115505)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、 设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、 函数211x +可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）． 解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x x x F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增．综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （2）[]π,0； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π． 解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、 一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤<≤=3,132,22021921,222110,430,0)(x x x x x x F四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A == 即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ． (2).21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx，解得21=A ，即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2)).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx ．第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间 不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率． 解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰e e dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有 638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xe x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有tt e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥． （２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx x f X P s X s X P x x．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0． 四、 设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=．解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X X Y -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yXyYe F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y yY π．第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布．解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π（3）X 及Y 的边缘分布函数分别为xxxXx dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan 1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxy Y ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ)4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dxx y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有1610032==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A yx，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x yy x xy⎩⎨⎧>>--=--其它00,0)1)(1(32y x e e y x（3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰020006),()(2032x x ex x dye e dy y xf x f xy x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰030006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdye dx edxdy y x f R Y X P 322033026),(}),{( 6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dydx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x ．第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥． 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dxedx edy e dx dxdy y x f X Y P x xyxyxy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥102102212)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、 设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(;,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j q p C j p n i q p C i p j n j j n Y in i i n X====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布． 证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()(∑=-+=ki kn n k in i n q p C C 02121)(由k nm ki ik nk m C C C +=-=∑0, 有 kn nki in i n C C C21210+==∑. 于是有),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P k n n k in n Z +==-++由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,;2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度．解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ. 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0,2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fYX Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z∈=≤+=≤=，其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z zz z z F Z从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、 电子仪器由六个相互独立的部件ijL （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ijX 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ第十章 随机变量的数学期望与方差一、 一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即于是有1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX 2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX Xσ二、 对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为于是有p q p q q p q p iq p ipq EX i ii i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2X于是有pp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=-进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P kk k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k kkk k kkkk kki iik k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望． 四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdxx x dx xx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为)( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）第十一章 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为于是有72.072.0128.00=⨯+⨯=EY72.072.0128.002=⨯+⨯=EY2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ．弦OB 的长为]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRR d R4sin 4cos 42020===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ; 0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<14110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x进而有 41)1(1)1(-=<-=≥e X P X P 设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---e e e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量nX X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni iX nX 11的数学期望与方差． 解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量nX X X,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni in i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设iX 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则iX 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i,1,0 于是iX 的概率分布为设∑==ni iX X 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-=即停车次数的数学期望为748.8.第十二章 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y x Ay x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ． 解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++11120022222A dr r rd A dxdy y x A πθπ解得, π1=A .(2)()11),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dxy xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰022022220223]11)1ln([1)1(211r r dr r r r r dr r r d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y x xydy dxdy y x xyf π.二、 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-121322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX xx0),(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY 0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdyy x xyf ),(10==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有⎰⎰+∞∞--===xdy dy y x f x f x xX 2),()(; 当)1,0(∉x 时,有0)(=x f X.即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y 因为),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、 利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差 )(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD DD E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率．解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==npq D ξ 于是有npq p npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、 样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少 个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以)3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ 1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理） 因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ．查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．第十三章 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、 设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P)]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---=.0402.09973.09625.02=--二、 已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）． 解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F XY≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ． 此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Yeyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数；(2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有 (1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=．第十四章二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布中心极限定理一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．。

第四章 大数定律与中心极限定理4.1设D(x)为退化分布:讨论下列分布函数列地极限是否仍是分布函数？1 1(1){D(x n)}; (2){D(x )}; (3){D(x - 0},其中 n =1,2,…n n解：(1)( 2)不是；(3)是. 4.2设分布函数F n (x)如下定义：x 兰- nl /、 x +nF n (x)=」 ---- 一 n c x 兰 n2n 1 x > n1J问F(x) =lim F n (x)是分布函数吗？n _jpc解：不是•4.3设分布函数列{F n (x)}弱收敛于分布函数 F(x)，且F(x)为连续函数，则 {F n (x)}在(」：,：：)上一致收敛于F(x).证：对任意地；.0,取M 充分大，使有1 —F(x) ：： ；,—x_M;F(x) ：： ；,—x ^-M对上述取定地 M ，因为F(x)在［-M,M ］上一致连续，故可取它地 k 分点：& 二-M :: X2 ：： ：：： X2 ：： X k 二 M ，使有 F(X j .J - F(xJ ：：；,仁 i ：： k ，再令X o - -：：,Xk T =3，则有F(x 「) —F(xJ ：： ；,0G k 1这时存在N ，使得当n • N 时有|F n (X i )-F(X i" ；,0G Ek 1(2)成立，对任意地x •(-：：,：：)，必存在某个i(0 _ i 一 k)，使得(X j ,X j 』，由(2) 知当n •N 时有F n (X)乞 F n (X i1) ：：F(X i1)；D(x)x 0X _0(1)(3)F n (X)一 F n (Xj • F(X)一 ；(4)由( 1), (3), (4)可得F n (x) —F(x)：： F(X i 1)—F(x) , F(X i ) — F(X i) — 2；, F n (x)-F(x) F(X i )-F(x)- ； _F(X i )_F(X i i)_ ； —2；,即有|Fn(x)-F(x)| c 2g 成立，结论得证•4.5设随机变量序列 同时依概率收敛于随机变量 •与，证明这时必有P( = ) =1.4.6设随机变量序列^n -In 1分别依概率收敛于随机变量•与，证明:(1)_nn即；■ n J'成立.(2 )先证明这时必有7—^ 2 .对任给地；0^0取M 足够大8<1 i ，使有^|> MT 〕£ §成立，对取定地M ，存在N ，当n> N 时有 lM 丿 < 2丿即对任意地名>0有P (E 」Mg )=0成立，于是有P G^n)=P |U 吐一H 兰丄卩 <z P 工丄1=02 n从而P 「二)"成立，结论得证.证：对任意地；0有'->-卜 P 乍n 冷？ |T 0,n T 0 2丿l 2丿证：(1)因为仁+口_監』n | |D n |沁A)u2 _P QE n -E 对)兰P Q -耳色上成立这时有I M 丿P fg +q >M 洋卩忤-匕+|2勺>M ) =p 鸥乂 +|2卩M 小為—q <i »P{(l n - I |2 | . M) - (I n - |-1)} < P(| r I ■ M 一 1)P(| n 一 |一1) ：：2、・P(I n - "k J=P(|「|| n |- 0 = P{(| n - || n |- )- (| n #M)}P{(| 卄 || n |-)^ (| n | M)}乞 P(| n - |) P(| n | M)：：3.MP2 n n =(： ■ n )^ n - n >C ■)^-^2'故；n P 「，结论成立.1 1 设随机变量序列©n ― T a ，a 0是一个常数，且：n式0，证明T -------- J —-na从而有P由；「•地任意性知；22,由前述（1）有4.7 不妨设a 0对任意地0 ：：：；：：： a ，当< Z 时有；a =a 2 +a(£ _a)兰a2-a ；,n -a\a-；n.于是有J巴—a[n aTTn -a2-<Pl a 结论成立.兰名+P (^n —a KgH O, n T°o因而丿l a、 x ( 1证：充分性，令 f (x) , x 0，则 f (x)20, x 0，故 f (x)是 x(x -0)1 + X(1 + X)地单调上升函数，因而 L 止（启〉丘j ，于是有1 + E E F n _，| 0 兰 --- E ——t 0,n T 凶1半—匕|对任意地；.0成立，充分性得证.必要性，对任给地名>0，令A =仏：J -匕 > 計，因为©n ―J 匕，故存在 E- 充分大地N 使得当n 一 N 时有P （A ；）：：：；,于是有4.10设随机变量n 按分布收敛于随机变量■，又数列a n > a ，b n > b ，证明a n n ' b n 也按分布收敛于a b.证：先证明a n 按分布收敛于a . ^0时为显然，不妨设a 0（ a ：：： 0时地 修改为显然），若a ， '，a n ， n 地分布函数分别记作F a • •，F ，F an -与 F n •，则F a * X = F £」x，当x 是F a …地连续点时，％是F …地连续点，于是有 a ab5E2RGbCAP⑺ 〔X 、n m F a 缶（X ）二 n m Fn 匕广广 F a©（X ）PP4.9证明随机变量序列 I n ［依概率收敛于随机变量 地充要条件为:住n 」|―；0,n -；::由；地任意性知 E一；0,nr ：:， 结论为真.< P （A ；） ； ：：成立，结论为真.由 4.12 知=(an -a)—；0，再由 4.6(1)知\(a^a) bn—；b ,于是由前述结论及4.11知\a n b^a；-佝-a)「b n按分布收敛于a：b ,结论得证.4.11设随机变量序列｛；｝按分布收敛于随机变量，随机变量序列｛n｝依概率收敛于常数a,证明n按分布收敛于：a.证：记「n地分布函数分别为F(x),F n(x)，贝r - a地分布函数为F(x—a)，设x是F (x 一a)地连续点，则对任给地；• 0 ,存在0，使当0 ：：：；厂时有| F(x - a _ ；) -F(x - a)卜：(1)现任取0 ：：：；1 ：：：；2 ：：：-，使得x-a，；1,x-a - ；2都是F ()地连续点，这时存在N，当n _弘时有I F (x - a * 詁)-F n (x - a * 詁)| ：：>(2)|F(X-a - 二)- F n(X-a - ；2)|：：；(3)对取定地,，存在N2，当n _ N2时有P（I n -a|_ ；1）:：；（4）于是当n Xmax（N「N2）时，由（1），（2），（4）式有P（n n -a） *a）= P｛（n n—a：：x — a）-（|n—a|「1）｝ P｛（n n—a：：x — a）-（|n—a|_；1）｝ MP （n ：：x—a ；1）P（| n —a|—；1）：： F（x — a） 3；⑸又因为P（n ：：X-a- ；2）=P｛[ n n -（n -a）：：X- ；2]「（| nT卜：；2）｝+ P｛（©n £X-am —a^2）｝于是由（1），（3），（4）式有P（n n —a ：：X-a） -P｛[ n n -（n - 司：：X - 叨「（| 厂&卜：；2）｝他（6）-P（n ：：X - a - ；2）一p（| n 一 a |- ；2 - F（X - a） - 3 ；由(5), (6)两式可得|P( n n — a ：：x—a) —F(x—a)|：：3；由；地任意性即知；n按分布收敛于：a ,结论得证.4.12设随机变量序列{ n}按分布收敛于，随机变量序列{ n}依概率收敛于0，证明P'n n >0.证：记',n地分布函数分别为F(x),F n(x)，对任给地；弋，取a 0,b 0足够大，使—a,b是F(x)地连续点且1 —F(b) ：：：；,F(_a)：：：；W因为F n(x) > F(x)，故存在N i，当n 一N i时有1 — F n(b)：：2,F n(—a)：：2P令M =max(a,b)，因为厂0，故存在 2，当n _ N2时有P(l n | 八M而P(| n n | ；) = P{(| n n | ；厂[(—a ^ n 小厂(| n | )]}MP{(| n n | •；) 一[(中空n 小)一(| n | )]} = h 丨2M其中^=0，当n 一max(N「N2)时有P{(| n n | 厂(—a 乞n ：：b)}乞P{^^ n < b)}二P{( n —a) 一( n - b)}二F n(-a) [1-F n(b)]P因而P(「n n | • J = J ：：：5 ；，由；地任意性知；n >0，结论为真•4.13设随机变量；服从柯西分布，其密度函数为P n(x)二n二(1 n2x2)这时有nP( n -x ^ii P( i 一)二[1 —F(x)]n =e 利xv),x ai=i对任意地；• 0，有证：对任意地； ■ 0，有已 庄 n 胆 1P(| n 匡；)r^dx21,n r ：：4.14设｛ n ｝为一列独立同分布随机变量，其密度函数为_P _其中：• 0为常数，令n =max （「I ，…，n ），证明n —；证：对任意地n ，0 ::： n ::： '■为显然，这时有P （ n ：：：nnx 1 xx W.i P( i <x W.i 0=dx =(—)n ,0 ：：： x ：：：： y y P PP( n ：： X)二 0,X 乞 0； P( n ::: X)=1,X _ :对任意地；• 0（ ； ：：： 1），有P(| n - J •；)二 P( n - ；)=(^-)n > 0, nP故n 》-成立，结论得证•4.15设｛ ；｝为一列独立同分布随机变量，其密度函数为x^a P （x ）=」i0x vaP令 n 二 mi n（l ，2「；n ），证明 n 2.证：设i 地分布函数为F （x ），有F(x)■:P故 n 0, n _•:.0 ：： x :::P(| n - a ；) = P( n - a _ ；) =0, n“ ：：P故n 》a 成立，结论得证•4.17设｛ n ｝为一列独立同分布随机变量，都服从(0,1)上地均匀分布，若n1Pn =(［丨；)n，证明n 》C(C 为常数)，并求出C.k 4证：这时｛In n ｝也是独立同分布随机变量序列，且1E n = °ln xdx = -11 nP由辛钦大数定律知｛In n ｝服从大数定理，即有—'T n 11，令f(x)二e x，则n y结论成立.2 n P 证明 一2k k )a.n(n 1) k^2 / ka = a n(n 1)心4J “2門2 —2 kn (n 1)心对任给地；・0，由契贝晓夫不等式有2协1 协1 4Q 2P(| n -a|- ；)2 D n 2 0,n::.n 1P故n 》a ，结论得证.4.19设｛ n ｝为一列独立同分布随机变量，且 D ^-2存在，数学期望为零，证f (x)是直线上地连续函数，由 4.8题知n (II i :—1 i )nnln i P土 —；e J = c4.18设｛ n ｝为一列独立同分布随机变量, 每个随机变量地期望为a ，且方差存在,证：已知E n = a ，记D ^-2，令n2n(n 1)数定律(马尔柯夫大数定律) 证：由契贝晓夫不等式即得.4.26在贝努里试验中，事件 A 出现地概率为p ，令1,若在第n 次及第n+1次实验中A 出现 O 其它证明｛ n ｝服从大数定律.证：｛ n ｝为同分布随机变量序列，且E E 'n= p 2 ,因而D ；二P 2(1- P 2)叮,n P明-Zn k 4证：这时｛ ；｝仍独立同分布，且E SD ； ::，由辛钦大数定律知结论成立.4.21设随机变量序列｛ n ｝按分布收敛于随机变量，又随机变量序列｛ n ｝依概率收敛于常数a(a = 0), n =0，则｛ n 按分布收敛于a.证：由4.7题知丄 -- --- J 0，于是由4.12题有-n (―an*1布收敛于一(见4.10题地证明)，因而由4.11题知a按分布收敛于一，结论成立.a4.22设｛；｝为独立同N(0,1)分布地随机变量序列，证明ni 地分布函数k4弱收敛于N(0,1)分布.证：这时｛ '｝也为独立同分布随机变量序列，且 E 'n=1，由辛钦大数定律知 na i 2—P》1，又n 1服从N(0,1)分布，当然弱收敛于 n i 1N(0,1)分布，由4.21题即知n 按分布收敛于N(0,1)分布，结论得证.plEanqFDPw4.23如果随机变量序列｛ n ｝，当n > -> 0，证明｛ n ｝服从大又当|i-j|_2时，i与j独立，由4.24知｛n｝服从大数定律，结论得证•Q Q4.28设｛n｝为一列独立同分布随机变量，方差存在，又'a n为绝对收敛级数,n 4令n二n - i，则｛a n n｝服从大数定律.i 4证：不妨设E ^0.否则令：「n -E n，并讨论｛n｝即可•记E ：=于，又:: n n i n nc — |a n 卜：：：.因为 7 a i i - 7 a i (V - W aj，故有n 4 i =4 i 4 k =4 k4i 土1 n 1 n . n CT2 n n C%2D(1 a i i)2E｛1 "(二a i)] 牙"(二a i)0,n r ：：n i土n k A i土n 心甘n由4.23知｛a n n｝服从大数定律，结论得证.4.30设｛n｝为一列独立同分布随机变量，共同分布为弹 2 1P( n 2) F ,k=1,2,k 2试问｛n｝是否服从大数定律？答：因为E n存在，由辛钦大数定律知｛n｝服从大数定律.4.31设｛n｝为一列独立同分布随机变量，共同分布为弹 cP(n"莎而,5旳 1其中C=( 2 P)'，问｛n｝是否服从大数定律？k=2 k log k答：因为E n存在，由辛钦大数定律知｛n｝服从大数定律.4.32如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上地概率，为了有95鸠上地把握保证所观察到地频率与概率P地差小于P10，问至少应该做多少次试验？DXDiTa9E3d 解：令n-(- p)— P|:: P) =P(| V k 1 np10 Jnpq 10 F q 1 一彳 _e 2dx _ 0.95故应取 1 np= 2，即n =400$，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有p_〕，10、q p2因而q<1，故可取 n =400.p4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错地概率为 0.0001，校对时每个排版错误被改正地概率为 0.9，求在校对后错误不多于 15个地概 率.RTCrpUDGiT解：令戶‘1第i 个印刷符号被排错且校 对后仍错误 厂：0 其它因为排版与校对是两个独立地工序，因而P = P( j =1) =0.0001 0.1 =10二P( j =0) =q =1 - pn{ i }是独立同分布随机变量序列，E j = p ，令n = ' i ，其中n = 106，由中心im极限定理有p( n 汨5) = P (—匸叩 J 5二np =b)、1Jnpq pnpqv 2其中b '5:1.58，查N (0,1)分布表即可得P( n 汨5) : 0.94，即在校对后错误.10不多于15个地概率.‘1第n 次试验时图钉的尖头朝上其它据题意选取试验次数n 应满足 nz 耳P(|^^ - Pl 2)_ 0.95，因为n 比较大，由中心n10极限定理有n ' iP(ln1 np 10, q_• 1 np 2刁0「24.34在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡地概率为 0.006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问:5PCzVD7HxA（1） 保险公司亏本地概率多大？（2） 保险公司一年地利润不少于 40000元，60000元，80000元地概率各为多大？ 解：保险公司一年地总收入为120000元，这时 （1） 若一年中死亡人数 120，则公司亏本； （2） 若一年中死亡人数＜80，则利润中死亡人数_ 40000元；若一年中死亡人数＜60，则利润中死亡人数＞ 60000元；若一年中死亡人数＜40，则利润中死亡人数_ 80000元； 令¥‘1第i 个人在一年内死亡巴=丿 i0第i 个人在一年内活着n则P （ i =1）=0.006二p ，记n =7爲n=10000已足够大，于是由中心极限定理i 吕 可得欲求事件地概率为 （1）同理可求得 （2）P （ n 岂 80） ： 0.995 （对应的 b 2.59） P （n ^60） ： 0.5 （对应的 b = 0）P^n >120） =1 _P （苹/ J 20_n pJnpq 」pqx 21b —60,——「e 2dx 畑0（其中b 畑P （ n 乞 40） ： 0.005 （对应的b ” -2.59）4.35有一批种子, 其中良种地比例与其中良种占1,从中任取6000粒，问能以0.99地概率保证61相差多少？ jLBHrnAlLg6解：令1第i 粒为良种0第i 粒不是良种则P （〔ni，其中n = 6000，据题意即要求:使满足i An P（|」 1人 n.Z --卜?） 一 0.99.令q =1-p,b ----- ，因为n 很大，由中心极限定理有6n ：npq1 n — np： ) = P(—bm —n — p mb) 6. nipq 由N(0,1)分布表知当b =2.60时即能满足上述不等式，于是知b ___ 1a =-J npq ".25x10,，即能以0.99地概率保证其中良种地比例与相差不超n6过1.25 10巴4.36若某产品地不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件地 概率等于多少？ 解：令尹_；1第i 件为不合格品 _i ="0 第i 件为合格品贝U p =P( i =1) =0.005，记 q =1_p, “ = J i ，其中 n = 10000，记 b = 70二np ， y J npq由中心极限定理有—x 2叮—np1 bP( n 乞 70) =P(—nb) e 2dx ： 0.998.npq2-即不合格品不多于70件地概率约等于0.998.4.37某螺丝钉厂地不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中 含有100只合格品地概率不小于0.95 ? XHAQX74J0X 解：令£_ ；1 第i 只是合格品 _i ="0第i 只是不合格品=1) =0.99，记 q=1 —p,b = 100二np,Jn pq应满足P( n :: 100) < 0.05，由中心极限定理有十 S 一 npP( n ：：100) =P(—n ——b)：J npq 寸2兀查N(0,1)分布表可取b =-1.65，由此求得n =103，即在一盒中应装103只螺丝 钉才能使其中含有100只合格品地概率不小于0.95. LDAYtRyKfE4.39用特征函数地方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”地普哇松定理.证：设｛ i ｝」』独立同二项分布，即P(|-n- n 21 b _； ---- e 2dx _ 0.99 2 u则 p 二 P( i n二：h ，其中n 尚待确定，它i =12b 丄_e 2 dx 乞0.05P( ' =1) = P n,P( 「=0) =q n =1 一P n,1 S 乞nn(q nP n e")，记n 八i n , n 地特征函数记作：n (t)，因为i 1二- o(-), qn =1 - 一 o(-)，于是有n1 it.二[1 — ■ (e -1)o(—)]n —e ,n r ：：而e ，(eH A)是参数为■地普哇松分布地特征函数，由特征函数地逆极限定理即知定 理成立，证毕.4.40设随机变量I .服从丨---分布，其分布密度为■二 地分布函数弱收敛于N (0,1)分布. Jot证：l 地特征函数为，()=(1-殳厂〉，易知 」地特征函数为t 2故lim _g ：.(t) =e _2，所以相应地分布函数弱收敛于 N (0,1)分布，命题得证.Ct —JpC4.41设｛ ；｝为一列独立同分布随机变量，且 ；服从(-n,n)上地均匀分布，证明 对｛ n ｝成立中心极限定理.in地特征函数为 nP n 》’，故 P nn (t) =4P n" =(1e K o(1))nn nn a, it八仁帀乜)(1n P (x)=丨(：)X~e 「X x 0(, m 0)x _0证：当=时, g,t) =e 八(1-it-i -t r ：ln(1 )=e■因而有ln(1 -+ 0(^^))t 2T -— a T2，.23t1 ito2 2nx , ndx ，于是」2n 3nnk 21B "2；Dk ；§=!8n （n1）（2n1）r对任意地「0,存在N ，使当n-N 时有亍」，因而B.n ，即林德贝尔格条件满足，所以对｛ ；｝成立中心极限定理，结论得证•4.42设｛ ；｝，｛ n ｝皆为独立同分布随机变量序列，且 ｛ n ｝ 与｛ n ｝独立，其中1 1 nE?n =0,DE n =1； PC =±1) = ,n= 1,2,…，证明:s n=〒送 和地分布函数弱2 P n i 二收敛于正态分布N(0,1).证：这时｛ ； n ｝仍是独立同分布随机变量序列，易知有E( n n ) ",D( n n ) = E( n nt = E ；=1分布N(0,1)，结论得证.4.45利用中心极限定理证明： f n k 、 .Z ——b T —,n T k!丿 2证：设｛ n ｝是独立同分布随机变量序列，共同分布为 ■ =1地Poisson 分布，故nE n =D n -1, Bn =、' D k = n ，由林德贝尔格---勒维中心极限定理知kJ证：易知E n3 2故 B n从而当n K N ，LX^Bn Tx 2dF k (x) = 0，若 k <n ，由此知lim 12"B ； k4n送爲/2dF k (x )=0由林德贝尔格---勒维中心极限定理知:S n\ i 地分布函数弱收敛于正态广nZ (J -EL)k-1B nn由Poisson 分布地可加性知；服从参数为n 地Poisson 分布，因而k 4nn」n *n nP(v k ::: n) ■ —e 』，但 一e J — 0 (n —;)，所以 k 4 k ^o k! n!成立，结论得证版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 .版权为个人所有This articlein eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. 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习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。

解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为()50.10.5E X =⨯=4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。

解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ==所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。

5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752a b a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解12013312201()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为 X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求(1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。

第四章数字待征4・1 解：£(X) = Vx p ；=iE (门=2＞少产09I•.甲机床生产的零件茨品数多于乙机床生产蹒件次融，又•.•两硼床的^的产量相同 ••.乙机床生产的豹的质量较好.4・2解；X 的所有可能取值为：3, 4, 5E(X) = Vxp. =3x0・l + 4x0.3 + 5x0.6 =4.5P{X= 5}=fl0.6尸心3}=P{X = 4} =00$T =0001*OOS-粹(000—畔1-了 +呻i =ooor z OOH护(x)/J =(y)jL l = £Oxt = ^ = CY)y (LO £)&-/!«审伽里必坊叱也範銮黔砲OK申站尋卄d .[(d_DT】= 二Y = — = ^-i)^Z= d^Z = Cr)j……£ = [ = “¥«_【対={—汕4.10裁见课本后面231页参考答秦心腿抿題1泊: 4.11解：设i酒为“，方差为(J：，则X~N( UP(A F>96)=1-P(X<96)= 1-P( )所以酸在60到84的抚率为P(60 S X S 84) = P(竺丄 < 丄上12 a4151)=20(1)-1-2x0.8413 ・1=0.68264.!2E(X 2) = OxO4+l :xO.3 + 22xO2+3:xO 1 = 2£(5X 2 + 4) = 4x0.4+(5xl 2 + 4)x0.3 + (5x22 + 4)x0 2+(5x3:+ 4)x0.1 = 14EQ ・)=£(2X) = F 2xe^dx =£( V) = H V |： + 不呦4.13 H ：=2(-厂)|； = 24 15聲看课本后面231页答案E(T) = E(<?4) = {「Q-3x4.14 H： r = —3设球的肓径为x 则：/(x) = ^-a■a<x<b其它4^Xi够胡_子)胡尹兄◎挣牛在 夕卜吕(》如4.16 解:仁(x)=匸/(〔>)4 = f. 12yd> = 4xf (v)=匸fg)e=j l lydx=12y -12y3£W =匸/「(X)•曲叮 4.X逐 WE(T)=匸/ (x) ydy = [ 12y -12y*d> = |E(AT)= [f f(x,y)xydxdy = [f 12xy dxdy = ' 12xtic =0<><xS 03 0 2E(X、心(环讼諒4.&=|£(丫)=匚/())y0 = fl2y°-12ydy =；4"解•.X与Y相互独立，■• •EQT) = E(X)E(D = f 疋还f〉/迪.二(扌斗：)J； "(4)°JO= jx(一“i|；+J；/•⑥)=亍［5 + (r 灯)卩彳x(5+l) = 44.18, 4.19, 4・20势看课本后面231, 232页答秦• 9•4上设X表示10颗骰子皈的点数之和，X （心1丄…10）表示第:颗般子出现的点«，则X^X:，且X\,X“・X*是*1独立同分布的，又E(A；)=1X1+2X1+...+6X1=A1o o 6 610 10 九^£(A^ = £(yXJ = X£W = 1Ox^ = 35MI Z64.22爹看课本后面232页答案4.23 E(X\ = OxO4 + l2xO.3 + 22xO2+35xO 1 = 2D(X)= £(X:)-[£(X)]2 =2-l2=l£(F2)=O X O.3+12X O5+22X O.2+32X O=1.3z)(y)=£(r2)-[£(r)j2=1.3-0.^ =0.49 4.24E（X：）叮斗皿+胆毎存*卜护+护|；十¥ = ¥DW = E(X:) - [E(X)f =y-4 = |Var(X) = E(X:)-[E(X)f =[我[[加r]，0 其它-1 < > < 1 其它4.25Zr(x) = {呼—0 其它二扌-1<X<10其它w •计 m 吏支ue >n ¥x =p > “轻H£5>^V 3«20)P A#・0Z —X GUNbl -%十»・x )4+・：+(E 4.+c r )4MKs s(T )Q +(电Q «(W+...+W +WQ »§(小)2•士小 N+示)3 Hf …咅麗&。

概率论与数理统计袁荫棠课后答案【篇一：《概率论与数理统计》学习指导】txt> 一、教学目的与课程性质、任务。

教学目的：本课程为学生讲授概率论与数理统计的基本概念、基本方法、基本技巧和基本理论。

主要培养学生对随机数学理论的掌握和实际问题的分析与理解能力，尽量引导学生针对实际随机现象进行科学的分析，从而达到增强学生动手能力和提高学生数学思维能力。

二、教学要求概率论与数理统计是在理论基础上实践性很强的课程，它主要讲授随机现象统计规律性的一门数学科学。

要求学生能够奠定较扎实的概率论理论基础，同时也能利用随机变量及其分布有关理论知识讨论数理统计中的有关统计推断问题.要求学生能对现实中的工程实际问题、保险问题、金融问题、可靠性问题等方面利用合理的概率论和数理统计有关理念予以解释和分析.在教学环节上，对学生的学习提出“掌握”和“了解”两个层次上要求，所谓“掌握”，是指学生在课后，必须能将所学内容用自己理解后的数学术语复述出来，这是将所学知识熟练应用到实践中的基础。

所谓“了解”，是要求学生对所学内容有初步的认知，不要求完全复述出来，但在遇到相关问题时要求能够辨识。

教学以课堂讲授为主，辅之以课堂具体的事例分析等方式。

三、教学进度表四、教学内容与讲授方法【篇二：1-4 章习题解答】（修订本1989 年）——袁荫棠编中国人民大学出版社1—4 章习题解答习题一1．解：(1) 互不相容（2）对立（3）互不相容（4）相容（5）互不相容（6）对立2．解：样本点为：（x,y ）,a={(x,y) ｜x+y=3,5,9,11},3．解：5a??ai 表示五次中至少有一次i?1击中目标,a?a1a2a3a4a5, 五次均未击中目标:五次中击中次数至多有两次。

4．解：(1) (a+b)(b+c)=ab+ac+b+bc ∵ab+bc ?b∴(a+b)(b+c)=b+ac（2）所有非平装书都是中文图书（3）是6．解：p（a）=86880/100000=0.8688,p(b)=0.80521, p(c)=0.677877．?解：这批产品合格率为：p=68/ （5+68+7 ）=0.85?解：若一个门：p? c7c3c102 11? c32 c102?0.53?若二个门：p?10 ．解p?24!?0.0833 c32 c102 ?345?0.066611．?解：记次品数分别为0、1、2、3 的概率分别为p0,p1,p2,p3p0?p2? c97c100255?0.8559,p1? 3c3c97c100c3c97c100532 514?0.14c3c97c1005?0.006,p3??0.0000612．解：p?13．解cncn?n1 kn?k1 cn nc5c3c211114．?解：前面两个邮筒没有信，则后面两个应为 2 个中取 2 个的重复排列?概率为221 1p?24?14,(或p?c2c216?0.25)p? c3c24 2 11 ?3?216?0.375?第一个邮筒只有一封信：?合格率为：0.8+0.16=0.96 16 ．解p?(c2c3c5?c2c3c5?c2c3c5?c2c3c5?c2c3c5?c2c3c5)/c10?1262 52?0.5122131230221212203517．?解：由11 题的结果得次品数不超过 1 个的概率为：p0+p1=0.8559+0.14=0.995921．解解：类似于例4（p16 ）22．?解：设a、b、c 分别为同一种零件被三个机床分别加工的这一事件，d 表示合格品。

第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果<见下表>,按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题,〔1〕计算圆半径的期望值；〔2〕(2)E R π是否等于2ER π？〔3〕能否用2()ER π来计算远面积的期望值,如果不能用,又该如何计算？其结果是什么？解〔1〕100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯= 〔2〕由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==〔3〕因为22()()E R E R ππ≠,所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果,按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4． 连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ,求k 和a 的值 解 由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差〔参看习题二第16题〕。

第四章 大数定律及中心极限定理导 学——极限论在概率研究中的应用本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。

并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：⋯⋯,21,,,n X X X 独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。

全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理， §3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。

三个定理。

“大数”及“极限”均要求+∞→n ，在实际问题中，n 充分大即可。

§2节主要研究对象为：算术平均值()n X X nX +⋯+=11；§4节的主要研究对象为： nni i X X X +⋯+=∑=11，比n X 1少了。

§2节的学习，不妨先从复习入手。

第二、三章已熟悉了()()⋅⋅D E 及,先推算出21)(,)(σμnX D X E =⋯==⋯=这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中NX D 2)(σ=中的n1很宝贵。

定理二是由定理一推得的，关键点为：n A X X X n +⋯++=21及X X n n n ni i A ==∑=11，于是可用定理一了。

推导本身是一件很愉快的事。

§2节的三个定理可在比对中学习。

定理一（契）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 一定为同分布，（贝）是由定理一（契）的特例。

定理二（马）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 独立或同分布。

定理三（辛）不要求)(X D 一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：μ−→−PX ,即算术平均值依概率收敛于数学期望。

“贝”的结论为：p nn PA −→−，即频率依概率收敛于概率。

这个结论很精致，十分简单了。

翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。

其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。

概率论第四章习题解答1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。

解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以 151115()234988884E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。

（2）因为Y 的取值为2,3，4，9当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故121{2}3015C P Y ===； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故135151{3}30302C P Y ==== 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故1442{4}303015C P Y ==== 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 993{9}303010P Y ====112314673()234915215103015E Y =⨯+⨯+⨯+⨯==。

（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。

由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。

1(1)(2)(3)(4)(5)6P X P X P X P X P X ==========(7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 111=⨯= 6121711215759()63663612i i E X i i ===+=+=∑∑2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。