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完全版概率论与数理统计习题答案第四版盛骤(浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1），n表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为：A或A－(AB+AC)或A－(B∪C)（2）A，B都发生，而C不发生。
表示为：AB或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一个发生（4）A，B，C都发生，表示为：A+B+C 表示为：ABC表示为：或S－(A+B+C)或（5）A，B，C都不发生，（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于,,中至少有一个发生。
故表示为：。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：,,中至少有一个发生。
故表示为：（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。
故表示为：AB+BC+AC6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。
第一章习题解答1．解：（1） Ω=｛0，1，…，10｝； （2） Ω=｛=i ni|0，1，…，100n ｝，其中n 为小班人数； （3） Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中； （4） Ω=｛（y x ,）|22y x +<1｝。
2．解：（1）事件C AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员； （2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式C ⊂B 是正确的； （3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C 成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，A =B 成立。
3．解：（1）ABC ；（2）AB C ；（3）C B A ；（4）C B A )(⋃；（5）C B A ⋃⋃； （6）C B C A B A ⋃⋃;(7)C B A ⋃⋃;(8)BC A C B A C AB ⋃⋃ 4．解：因ABC ⊂AB ，则P （ABC ）≤P （AB ）可知P （ABC ）=0 所以A 、B 、C 至少有一个发生的概率为P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）-P （AB ）-P （AC ）-P （BC ）+P （ABC ） =3×1/4-1/8+0 =5/85．解：（1）P （A ∪B ）= P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.3+0.8-0.2=0.9)(B A P =P （A ）-P （AB ）=0.3-0.2=0.1（2）因为P （A ∪B ）= P （A ）+P （B ）-P （AB ）≤P （A ）+P （B ）=α+β, 所以最大值maxP （A ∪B ）=min(α+β,1)；又P （A ）≤P （A ∪B ），P （B ）≤P （A ∪B ）,故最小值min P （A ∪B ）=max(α,β) 6．解：设A 表示事件“最小号码为5”，B 表示事件“最大号码为5”。
概率论与数理统计习题答案第四版盛骤(浙江大学)之司秆蘸矗创作浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）n表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，分歧格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系暗示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
A－(AB+AC)或A－(B∪C)（2）A，B都发生，而C不发生。
AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一个发生暗示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，暗示为：ABC（5）A，B，C S－(A+B+C)（6）A，B，C中未几于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生（7）A，B，C中未几于二个发生。
（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。
故暗示为：AB+BC+AC6.[三] 设A，B是两事件且P (A，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A，P (B即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)(*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A，（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB－。
概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编- 程述汉-舒兴明-第四章第四章习题解答11 •设随机变量X〜B (30,-)，则E (X)=( D ).6A.-；D.5.1E (X) = np = 30 562 •已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间［-1 , 3］和［2, 4］上服从均匀分布，则E(XY)=( A ).A. 3；B. 6；C. 10；D. 12.E(X) =1 E(Y) =3因为随机变量X和Y相互独立所以E(XY) = E(X)E(Y) = 33.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，贝U X2的数学期望E(X 2) = 1&4 .X LI B(10,0.4) E(X) =4 D(X) =2.42 2E(X ) =(E(X)) D(X) =18.44.某射手有3发子弹，射一次命中的概率为-，如果命中了就停止射击,3否则一直射到子弹用尽.设表示X耗用的子弹数.求E (X).解：X123P2/32/91/92 2 1 13E(X)=—十—：2 +3 9 9 95 .设X的概率密度函数为x, 0ExE1f (x) - x, 1 :： x 乞2[0, 其它求 E(X) , E(X2).解: E(X) = J xf(x)dx = J x2dx + J x(2-x)dx =1,0 ' 11 32 27f (x)dx x dx 亠 i x (2「x)dx .- -bo -E(X 2)「；x 2求 E(X) , E(Y),E(XY).解：X-12P 0.650.35E(X)二「0.65 0.35 2 =0.05 .Y-112P0.40.250.35E(Y) = -0.4 0.25 1 0.35 2 =0.55E(XY)=(-1) (-1) 0.25 (-1) 1 0.1 (-1) 2 0.32 (-1) 0.15 2 1 0.15 2 2 0.05 =-0.257 •设二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为求(1)E(X Y); (2) E(XY).E(XY) = _；.；(xy)f(x,y)dxdy=讥(广(xy)「dy)dx = 38.设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=1, D(Y)=2 , J则D(X-Y)= 3 .D(X _Y) = D(X) D(Y) =39.设正方形的边长在区间］0, 2］服从均匀分布，则正方形面积A=X2的f(x,y)二e0,1°,0 ：x y其它解: y) dxdy( x x y )e y d y dx 3方差为64/45 _________ .4 1E(X)=1, D(X) ,12 3X的密度函数f(x)= 102,0乞x乞26 •设随机向量(X, Y)的联合分布律为:E(X Y)=二y)求 D(X )，D(Y )，D(X-Y ).解：由本章习题5知E(X)=1 , E(X 2)=7，于是有62 21D(X)二 E(X )-(E(X)).6221 4E (XTE (X)「D (X)n 〒.4"be 42E(X )= x f(x)dx = 01 4 16x dx =2 5D(X 2) =E(X 4)—[E(X 2)]210•设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P1/5 1/2 1/5 1/10求 D(X).解：D(X) = E(X 2) -(E(X))2, E(X2 21 2 1 2E(X ) =(-1) -01- 2 551 19 224D(X)=E (X 2)-(E(X))2=5 25 2511•设随机变量X 的概率密度函数为f(x)亠1,求 D(X ).::1I解：E(X) xf (x) dxxe*dx=0, 2E(X 2)x 2f(x)dx=2 x 2e^dx = 2 ,0 212•设随机变量X , Y 相互独立，其概率密度函数分别为x,f x (x)二 2 -x,0 _x _1 1 ：： x _ 2y_ 0其它16 564 45由Y LI E(1)知 E(X) =D(X) =1.由于随机变量X , Y 相互独立，所以D(X -Y)二 D(X) D(Y) =7.613•设 D(X)=1,D(Y)=4，相关系数 P XY =0.5，则 cov(X,Y)=_1 __________ covX,Y)= » D(X)D(Y) =114•设二维随机变量（X, Y ）的联合密度函数为求 cov(X,Y )， ?XY •DJI nI 22。
概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章第四章习题解答1．设随机变量X ～B （30，61），则E （X ）＝( D ). A.61；B.65； C.625； D.5.1()3056E X np ==⨯=2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）.A. 3；B. 6；C. 10；D. 12.()1()3E X E Y ==因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y ==3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______．(10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==:22()(())()18.4E X E X D X =+=4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）.解：X 1 2 3 P2/32/91/922113()233999E X =+⨯+⨯= 5．设X 的概率密度函数为,01()2,120,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它求2() ,().E X E X 解：12201()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰,122232017()()(2)6E X x f x dx x dx x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰.2214()[()]()1.33E X E X D X =+=+=24440116()()d d 25E X x f x x x x +∞-∞===⎰⎰2422216464()()[()]()5345D XE X E X =-=-=10．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2 P1/51/21/51/10求 D (X ).解：22()()(())D X E X E X =-，1111()101255105E X =-⨯++⨯+⨯=,22221114()(1)01255105E X =-⨯++⨯+⨯=,224119()()(())52525D XE X E X =-=-=. 11．设随机变量X 的概率密度函数为||1()e 2x f x -=，求D (X )．解：1()()02xE X xf x dx xe dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰， 22201()()222xE X x f x dx x e dx +∞+∞--∞===⎰⎰， 22()()(())2D X E X E X =-=.12．设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为,01()2,120,X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 e ,0()0,y Y y f y -⎧≥=⎨⎩其它求D (X )，D (Y )，D (X -Y )．解：由本章习题5知()1E X =，27()6E X =，于是有 221()()(())6D XE X E X =-=. 由(1)Y E :知()()1E X D X ==.由于随机变量X ，Y 相互独立，所以7()()()6D X Y D X D Y -=+=. 13．设D (X )=1,D (Y )=4,相关系数0.5XY ρ=，则cov(X ,Y )=___1____.cov(X ,Y )=()()1D X D Y ρ=14．设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为1sin()0,0(,)2220x y x y f x y ππ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩，，其它求cov(X ,Y )，XY ρ． 解：()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22001sin()24x x y dxdy πππ=+=⎰⎰,22()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰222001sin()2x x y dxdy ππ=+⎰⎰22011(cos +sin )2282x x dx πππ==+-⎰, 2221()()[()]2162D XE X E X ππ=-=+-. 由对称性 ()()4E Y E X π==, 21()()2162D Y D X ππ==+-. 2200()()(,)12()sin()22E XY xy f x y dxdyxy x y dxdy πππ+∞+∞-∞-∞=-=+=⎰⎰⎰⎰，cov(X ,Y )=22()()()().24E XY E X E Y ππ--=-=-00461，2221[()](2)=-0.2454.24162()()XY D X D Y πππρπ-==-+-15．设二维随机变量(X , Y )有联合概率密度函数1(),02, 02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 试求E (X )，E (Y )，cov(X , Y )，XY ρ． 解：()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰220017()86x x y dxdy =+=⎰⎰,由对称性7()6E Y =. 220014()()(,)()()83E XY xy f x y dxdy xy x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰, cov(X ,Y )= 1()()()36E XY E X E Y -=-.222220015()()(,)()()83E X x f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰, 2211()()(())36D XE X E X =-=. 由对称性11()36D Y =. 111()()XY D X D Y ρ==-16．设X , Y 相互独立，X ~N (0，1)，Y ~N (1，2)，Z = X +2Y ，试求X 与Z 的相关系数．解：cov(,)cov(,2)()2cov(,)101X Z X X Y D X X Y =+=+=+=,()(2)()4()9D Z D X Y D X D Y =+=+=,13()()xz D X D Z ρ==.17．设随机变量~X N (5,3)，Y 在[0，6]上服从均匀分布，相关系数12XY ρ=，求（1）(2)E X Y -；（2）(2)D X Y -.解：(2)()2()5231E X Y E X E Y -=-=-⨯=-,2(2)()4()4cov(,)()4()4()()61344339.122XY D X Y D X D Y X Y D X D Y D X D Y ρ-=+-=+-=+⨯-⨯=18．设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为2,01,0(,)0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其它 求（1）E （X ＋Y ）；（2）E （XY ）；（3）XY ρ.解：10()()(,)2(())1xE X Y x y f x y dxdy x y dy dx +∞+∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰;1001()()(,)2()4xE XY xy f x y dxdy xy dxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰;1002()(,)2()3x E X x f x y dxdy xdy dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰1()()()3E Y E X Y E X =+-=cov(X ,Y )= 1()()()36E XY E X E Y -=1222001()(,)2()2x E X x f x y dxdy x dy dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ 1222001()(,)2()6xE Y y f x y dxdy y dy dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ 221()()(())18D X E X E X =-=，221()()(())18D YE Y E Y =-= 12()()xz D X D Z ρ==。
