2.4一维谐振子

一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示

一维线性谐振子是量子力学中重要的模型系统之一，它被广泛应用于许多领域，包括原子物理、分子物理和固体物理等。在本文中，我们将会进行一维线性谐振子的波函数及概率分布的可视演示，通过图像和数学方程式的结合，来帮助读者更直观地理解这一重要模型系统。

一维线性谐振子的哈密顿量可以写成如下形式：

\[ \hat{H} = -\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} +

\frac{1}{2}m\omega^2x^2 \]

m为谐振子的质量，ω为谐振频率，ħ为普朗克常量。谐振子的能量本征态满足薛定谔方程:

\[ \hat{H}\psi(x) = E\psi(x) \]

E为能量本征值，ψ(x)为波函数。下面，我们将通过数学方程式和图像的结合，来展示一维线性谐振子的波函数及概率分布。

我们首先绘制一维线性谐振子的前几个能级的波函数图像。通过数值计算和图像化技术，我们可以得到一维线性谐振子在不同能级下的波函数的形状。在这些波函数图像中，我们可以看到波函数在空间中的分布情况，以及不同能级下波函数的节点、振荡等特性。这样一来，读者可以更直观地理解一维线性谐振子的波函数在空间中的分布规律。

接下来，我们将展示一维线性谐振子的概率分布。一维线性谐振子的概率分布可以通过波函数的模长的平方来表示:

\[ P(x) = |\psi(x)|^2 \]

通过绘制一维线性谐振子在不同能级下的概率分布图像，我们可以直观地展示谐振子在空间中的概率分布情况。这可以帮助读者更加清晰地了解一维线性谐振子的概率分布规律。

通过波函数及概率分布的可视演示，读者可以更加深入地理解一维线性谐振子模型系统的性质。通过图像和数学方程式的结合，我们可以直观地看到一维线性谐振子的波函数在空间中的分布情况，以及概率分布的特性。这样一来，读者可以更加深入地理解一维线性谐振子系统的物理本质。这种可视化手段也为教学和科研工作提供了一种直观、生动的展示方式。

第二章 薛定谔方程

(4学时)

§2.1 薛定谔得出的波动方程

§2.2 无限深方势阱中的粒子

§2.3 势垒穿透

§2.4 谐振子

§2.1 薛定谔得出的波动方程

在§1.5中我们已说明微观粒子的状态用波函数描述波动性和粒子性的关系为波的强度正比于粒子到达的概率具体来说若r,t)为波函数,dV为空间r 点附近的体积元,则t时刻在此体积元内发现粒子的概率正比于|r,t)|2dV. |r,t)|2叫做相对概率密度.

波函数一般是空间坐标和时间的复函数

由于波函数的概率解释,可以相差一个任意常数因子,即和A代表相同的状态.其中A为任意复常数.这是因为将换为A空间各点的相对概率没有变化这一点与经典力学有本质区别在经典力学中代表波动的函数如果增大倍表示振幅增大了倍它代表的是另一个振动状态正因为波函数可以相差一个任意常数使满足以下归一化条件:

1d2V例如如果是一个未归一化的波函数则可令A由归一化条件 12222dVAdVAdV

得到:

dVA21, dV21这样得到的波函数已经满足归一化条件我们就说已归一，并用它代替来描述状态设r,t)是归一化波函数,则|r,t)|2dV的物理意义为t时刻在r 点附近dV体积元内发现粒子的概率.|r,t)|2称为概率密度由于概率必须单值有界连续所以要求单值有界连续这称为波函数的标准条件它在决定波函数时起着重要作用

在经典力学中,粒子的运动满足牛顿定律,它给出了粒子的运动状态随时间的变化规律.上节我们已说明,微观粒子的运动状态用波函数描述.波函数是时间和空间的函数:=(x,y,z,t).所谓微观粒子的运动规律,也就是描述状态的波函数随时间的变化规律,即所满足的方程,它在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位.

作 业 题

第一章 绪论

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成

反比，即mT=b(常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗

意波长。

1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子

化间隔E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要

实现这种转化，光子的波长最大是多少？

第二章 波函数和薛定谔方程

2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度：

(1) 1=eikr/r, (2) 2=e-ikr/r.

从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（即向原点）传播的球面波。

2.2 一粒子在一维势场

axaxx

xU











00

,,0,

)(

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 2.4 一粒子在一维势阱

axaxU

xU







,0,0

)(0

中运动，求束缚态(0

2.5 对于一维无限深势阱(0

求x

、2

x

和x，并与经典力学

结果比较。

2.6 粒子在势场

xaaxx

VxV











00

,0,,

)(

0

中运动，求存在束缚态(E<0)的条件(

，m，a，V0关系)以及能级方程。

2.7 求二维各向同性谐振子[V=k(x2+y2)/2]的能级，并讨论各能级的简并度。

2.8 粒子束以动能

E=mk222



从左方入射，遇势垒

00

,,0

)(

0





xx

1 一维量子谐振子的概率分布

摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。

关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布

1.引言：

谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。

通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。

2.经典一维谐振子：

首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k，物体m在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m的质点在做简谐振动的过程中用x来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x很小时，质点受力为F，则力F和x之间的线性关系为kxF，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子 2 作简谐振动，再根据牛顿第二定律：