上册第二章第4节证明

年 级 初三 学 科 数学 版 本 湘教版

内容标题 §2.4 证明

编稿老师 阳矩红

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

§2.4 证明

【教学目标】

知识与技能：

（1）认识证明的必要性，初步了解证明的基本步骤和书写格式，培养自己的推理意识。

过程与方法：

（2）经历观察、验证、归纳等过程，体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。

情感、态度与价值观：

（3）体验数学学习活动充满着探索与创造，感受证明的必要性，养成对数学的好奇心，求知欲和探索创新精神。

二. 重点、难点：

1. 教学重点：

了解证明的基本步骤和书写格式，能比较系统地掌握证明一个真命题的全过程，完整地说明什么是证明及怎样证明。

2. 教学难点：

感受几何推理的严谨性、结论的准确性，初步发展演绎推理的能力。

三. 主要内容：

（一）什么叫证明：

从已知条件出发，运用概念的定义、公理和已经证明过的定理，通过推理，得出它的结论成立，这个过程叫做证明。

（二）证明的步骤和格式：

证明一个命题，要依据学过的定义、公理、定理、推论、性质等作为推理的大前提。在此基础上，一般按如下步骤进行：

（1）弄清题意，画出图形。

（2）分清命题的条件和结论，结合图形，用字母或含字母的式子写出已知、求证。

（3）通过分析找出由已知推出求证的途径，写出证明过程，要求证明过程中每一句话有根据，并写在后面括号内，力求规范。

（4）检查证明过程是否正确完善。

（三）证明的基本思想方法：

1. 综合法：从已知条件入手，运用已学过的公理、定义、定理等进行一步步的推理，一直推出结论为止，这种思维方法叫综合法，它是从已知→可知，从可知→未知的思维过程。

2. 分析法：从问题的结论入手，运用已学过的公理、定义、定理，一步步寻觅使结论成立的条件，一直“追到”这个结论或条件就是已知条件为止。分析法从未知→可知，从可知→已知，是执果求因的思维过程，与综合法的思维方向正好相反。

3. 分析综合法：把分析法和综合法“联合”起来，从问题的“两头”向“中间”靠拢，从而发现问题的突破口，这种思维方法叫做分析综合法。

4. 反证法：是先假设命题中结论的反面成立，推出与已知的条件或定义、定理、公理相矛盾的结果，从而断定结论的反面不成立，而肯定结论的正确性。

【典型例题】

知识点1：平行线的性质与判定。

例1. 如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别是∠ABC、∠ADC的平分线，AB∥CD。

求证：DE∥BF

D F C

1

3 2

A

E B

分析：首先同学们应熟悉平行线有关的性质与判定定理，其次思考，要证两直线平行应找与这两直线有关的角之间的关系。根据条件、结论、图形思考。

证明：∵BF、DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线（已知）

∴∠∠，∠∠（角平分线定义）112212ADCABC

∵∠ADC＝∠ABC（已知）

∴∠1＝∠2（等量代换）

又∵AB∥CD（已知）

∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）

∴∠2＝∠3（等量代换）

∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）

知识点2：有关三角形的内角、外角的性质。

例2. 已知：如图△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，E是AB上一点，EG⊥AD于M，交AC于F，交BC的延长线于G。

求证：∠（∠∠）GB121

A

E

M

B D C G 3

2

1 F

分析：∠G、∠1、∠B在图形中处在一条线上，不便于寻找它们的关系，利用图中三角形内、外角的关系，可将问题转化、解决。

证明：在△BEG中，∠2＝∠B＋∠G

又AD⊥EF（已知）

∴∠AME＝90°（垂直定义）

∴∠2＝90°－∠3（直角三角形两锐角互余）

又AD平分∠BAC（已知）

∴∠∠（角平分线定义）312BAC

∴∠∠∠（等量代换）29039012ooBAC

∴∠∠18022oBAC

在中，∠∠∠（三角形内角和定理）ABCBACBo1801

∴∠∠∠（等量代换）221B

∴∠（∠∠）2121B

∵∠∠（∠∠）（等量代换）BG12B+1

∴∠（∠∠）（等式性质）GB121

练：已知BD为△ABC的内角∠ABC的角平分线，CD为外角∠ACE的平分线，它与BD交于D。

求证：∠A＝2∠D

A

B C E 2 1 D

知识点3：利用三角形全等证明线段或角相等。

例3. 如图，△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，∠1＝∠2，∠3＝∠4。

求证：AD垂直平分BC。

A

E

B D C 1 2 3 4

分析：由结论AD垂直平分BC，同学们容易想到等腰三角形“三线合一”性质，即要证：AB＝AC，AD平分∠BAC即可。根据条件容易找到证题途径。

证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4（等量加等量）

即∠ABC＝∠ACB

∴AB＝AC（等角对等边）

又∠1＝∠2（已知）

∴BE＝CE（等角对等边）

在△ABE和△ACE中

ABACBECE∠∠34

∴△ABE≌△ACE（SAS）

∴∠BAD＝∠CAD（全等三角形对应角相等）

∴AD垂直平分BC（等腰三角形“三线合一”性质）

在分析和证明时，应注意充分利用图形中的一些特殊图形的特殊性质，注意知识之间的联系与相互转换。

知识点4：利用线段垂直平分线证题。

例4. 如图，已知△ABC、△ADE是等边三角形，AD是△ABC的中线。

求证：BD＝BE

A

E

B D C 3 2 1

分析：利用条件容易想到利用特殊三角形的性质（三线合一）

根据结论，只需证AB垂直平分DE即可。

证明：∵△ABC、△ADE是等边三角形

又AD是中线（已知）

∴∠1＝∠2＝30°（等边三角形“三线合一”定理）

又∠EAD＝60°（等边三角形每个内角为60°）

∴∠3＝∠2＝30°

又AD＝AE

∴AB⊥DE且AB平分DE（三线合一）

即AB是DE的垂直平分线

∴BD＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

练：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。

求证：CM＝2BM

C

M

B N A

提示：连结AM，利用垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及直角三角形性质可证。

知识点5：反证法的恰当运用。

例5. 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么两个角所对的边也不相等。

已知：如图△ABC中，∠B≠∠C。

求证：AB≠AC

A

B C

证明：假设AB＝AC，则∠B＝∠C（等角对等边）

这显然与已知∠B≠∠C相矛盾。

∴假设AB＝AC是错误的

∴AB≠AC

知识点6：文字题的证明。

例6. 求证：等腰三角形底边上任一点与两腰的距离之和等于一腰上的高。

已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CH⊥AB于H。

求证：DE＋DF＝CH

A

H

E G F

B D C

证明：过D点作DG⊥CH于G

又DE⊥AB于E，CH⊥AB于H

∴四边形DGHE为矩形

∴DE＝GH（矩形的对边相等）

EH∥DG（矩形的对边平行）

∴∠B＝∠GDC

又AB＝AC

∴∠B＝∠ACB（等边对等角）

∴∠GDC＝∠ACB（等量代换）

又∠DGC＝∠DFC＝90°（垂直定义）

CD＝DC（公共边）

∴△CDG≌△DCF（AAS）

∴DF＝CG（全等三角形对应边相等）

又CH＝CG＋GH

∴CH＝DF＋DG（等量代换）

【模拟试题】（答题时间：70分钟）

一. 选择题。

1. 下列说法正确的是（ ）

A. “证明”是一种命题

B. “证明”就是举例说明

C. “证明”就是判断

D. “证明”是一种推理过程

2. 下面的推理判断正确的是（ ）

A. 我从书架上抽出5本书都是数学书，因此书架上的书都是数学书。

B. 有一条线段AB长3cm，另一条线段BC长2cm，那么AC长5cm

C. 直线AB与CD相交于O，如果∠AOC＝30°，那么∠BOD＝30°

D. 535322，

1213121321212222，，

于是，对于任何实数a、b，若ab22，则有ab。

3. 如图，AB∥CD，∠A＝38°，∠C＝80°，则∠M＝（ ）

M

A E B

C D

A. 52° B. 42° C. 10° D. 40°

二. 填空题。

1. 先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出了____________，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

2. 如图，∵AC⊥AB，BF⊥AB（已知）