第4讲 函数性质——单调性与周期性
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第4讲 函数的单调性与周期性
一、函数的单调性
我们在初中研究了一次函数、二次函数的图象，研究了)0(≠+=abaxy与
)0(2≠++=acbxaxy函数在某个区间内的增大或减小的性质这节课我们探讨一般函数的单调性。
[问题1] 分别作出函数
2(1) 3
(2) 21yx
yxx=
=−+的图象，并观察说出在定义域),(+∞−∞内函数值的增减变
化情况。
（1）()3fxx=的图象在定义域),(+∞−∞内，自左至右是上升的，即：函数值)(xf随自变量x
的增大而增大。
（2）2()21gxxx=−+的图象在对称轴左方的区间)1,(−∞是下降的，在对称轴右方的区间
),1(+∞ 是上升的，既：在区间)1,(−∞内，)(xg随自变量x的增大而减小，在区间),1(+∞
内，)(xg随自变量x的增大而增大。
定义1：设函数))((Axxfy∈=，对于区间,),(Aba⊆
1、如果任意
1212,(,)xxabxx∈<，时，都有),()(
21xfxf
),(ba内是增函数（increasing function）。
2、如果任意
1212,(,)xxabxx∈<，时，都有),()(
21xfxf>那么就说，函数)(xfy=在区
间),(ba内是减函数(decreasing function)。
定义2、若函数)(xfy=在某个区间内是增函数或减函数，则称)(xf在这一区间内具有单调性，该
区间叫做)(xf的单调区间。
[问题2] 思考函数的单调性与函数的图象之间的关系。
1、)(xf是增（减）函数⇔图象自左到右上升（下降）
2、图象的峰（谷）⇔函数增（减）变减（增）点⇔ 函数的极大（小）值点
定义3：设函数()yfx=的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的xI∈，都有()fxM≤（()fxM≥）
（2）存在0xI∈，使得0()fxM=
那么，我们称M是函数()yfx=的最大值（maximum value）。（最小值minimum value）
[问题3] 如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数)(xf的图象。
（1）说出单调区间以及在每一单调区间上)(xf是增函数，还是减函数。
（2）利用定义证明函数1
()fxx
x=+
在区间(0,1)内是减函数。
通过以上的探索、实践，归纳如下三点说明：
[说明1]函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质。
[说明2]因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以
不包括端点。
[说明3]初等函数均可分段单调。
[问题4 ] 已知：函数1
()fxx
x=+，（1）讨论()fx的单调性；（2）试作出()fx的图象.
例题1．判定函数
2()((1,1))
1ax
fxx
x=∈−
−的单调性.
例题2．讨论函数2()23fxxx=−−，2()23fxxx=−−的单调区间.
例题3．已知函数()xf为R
上的减函数，则满足()11
f
xf<⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
的实数x的取值范围是（ ）
A．()1,1− B．()1,0 C．()()1,00,1∪− D．()()+∞−∞−,11,∪
例题4．设函数定义在R上，对于任意实数m, n恒有()()()fmnfmfn+=，当0x>时，0()1fx<<
（1）求证：(0)1f=且当0x；
（2）求证：()fx在R上单调递减；
（3）设集合{}22(,)()()(1)Axyfxfyf==，{}(,)(2)1,BxyfaxyaR=−+=∈，
若ABφ=∩，求a的取值范围。
例题5．设()()yfuu=∈ R是增函数，()()uxxϕ=∈R是减函数，求复合函数(())fxϕ在R的单
调性。
二、函数的周期性
定义：设()()yfxxA=∈ ，若对任意xA∈，均有()()fxTfx+=(0T≠是常数)，则称()fx为周期
函数，T是()fx的周期
说明：（1）周期函数的定义域至少一端无限。
（2）周期性是函数的整体性质。
（3）若T是()fx的周期，则kT也是()fx的周期(k∈N*)
（4）若T存在最小正周期值，则特指周期。
注意：（1）如果函数()fx在定义域内对任意的x满足()()fxTfxT+=−那么()fx是周期为2T的周
期函数。
（2）如果()fx在定义域内对任意的x满足()()fxTfx+=−，那么()fx是周期为2T的周期函
数。
（3）如果()fx是奇函数且满足是对任意x有()()faxfax+=−(0a≠)恒成立，那么()fx是
周期为4a的周期函数。
例6．已知，定义在R上的函数()fx是以2为周期的函数，且当x[0∈，2]时，()1fxx=−，求x∈R
时，()fx的解析式。
课后练习题
判定下列函数的单调性
1．2()23fxxx=−+−
2．(1)yxx=⋅−
3．3612yxx=+−
参考答案
一、函数的单调性
问题3
（1）()5
5, , 1, 2
2⎛⎞−−⎜⎟
⎝⎠是减函数，()5
, 1, 2, 5
2⎛⎞−⎜⎟
⎝⎠是增函数
（2）证明：
12 , (0, 1)xx∀∈ 令
12xx<
121212
1212
21
1212
1212
12
12
121111
()()()
1
()()1
(1)
()fxfxxxxx
xxxx
xx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−=+−+=−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎛⎞−
=−+=−−⎜⎟
⎝⎠
−
=−⋅
由
12xx
120xx−< 又
12 , (0, 1)xx∈
12 (0, 1)xx∴⋅∈
1210xx∴⋅−< 则12
12
12(1)
()0xx
xx
xx−
−⋅>
12()()fxfx∴>
()fx∴在(0, 1)单调递减
问题4 见视频
例1
1212 , (1, 1)xxxx∀∈−
2222
122112211212
12222222
121212(1)(1)()()
()()
11(1)(1)(1)(1)axxxxaxxxxxxaxax
fxfx
xxxxxx⎡⎤⎡⎤−−−−−−⎣⎦⎣⎦−=−==
−−−−−−
[]
1221212112
2222
1212()()()(1)
(1)(1)(1)(1)axxxxxxaxxxx
xxxx−+−−+
==
−−−−
由
12xx<
210xx∴−>
12 , (1, 1)xx∈−
[][]22
12 0, 1 0, 1xx∴∈∈ 22
12 10 10xx∴−<−<
又
12 (1, 1)xx⋅∈−
12 10xx∴⋅+>
（1）0a>时，2112
22
12()(1)
0
(1)(1)axxxx
xx−+
>
−− 即
12()()fxfx> ()fx∴在()1, 1−单调递减
（2）当0a
22
12()(1)
0
(1)(1)axxxx
xx−+
<
−−
12()()fxfx< ()fx∴在区间()1, 1−单调递增
（3）当0a=时，2112
22
12()(1)
0
(1)(1)axxxx
xx−+
=
−−
12()()fxfx= ()fx∴在()1, 1−是常值
例2
解：2
223 0
() ()
23 0xxx
fxgx
xxx⎧−−≥
==⎨
+−<⎩利用图象求单调区间（见视频）
(, 1), (0, 1)−∞−减 (1, 0), (1, )−+∞增
2
223 31
()
(23) 1<3xxxx
fx
xxx⎧−−≥≤−
=⎨
−−−−<⎩或
(, 1), (1, 3)−∞−减 (1, 1), (3, )−+∞增
例3 C
例4
（1）证明：取5, 0mn== 而(5)(0, 1)f∈ (50)(5)(0)fff∴+=⋅ (0)1f∴=
又设0x< 0 ()(0, 1)xfx∴−>∴−∈ (0)()()ffxfx=⋅− 于是1
()1
()fx
fx=>
−
（2）证明：
1212 , xxxx∀∈
则[]
1212221222()()()()()()()fxfxfxxxfxfxxfxfx−=−+−=−⋅−
[]
212()()1fxfxx=−−
2 x∈R∵由（1）及题设
2()0fx> 又
12xx<
120xx∴−<
由（1）
12()1fxx−>
12()10fxx∴−−>
则[]
212()()10fxfxx−−>
12()()fxfx∴>
()fx∴在R上是减函数
